\documentclass{beamer}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[brazil,brazilian]{babel}
%\usepackage{abnt-alf}

%\mode{presentation}
\usetheme{Ilmenau}
%\usetheme{Rochester}

%\mode\usepackage{graphicx} %Para incluir graficos EPS, PS
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
 
%\usepackage{setspace} %define o espacamento de linhas

\begin{document}
\title{\textbf{ALGORITMO EM}}
\author{Ana Beatriz Tozzo Martins e Guerino Pirollo Júnior\\
\small{Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr. }}

%\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

\begin{frame}
% SLIDE 1: Título
	\titlepage
\end{frame}

\section{ALGORITMO EM}
\begin{frame}{ALGORITMO EM}
%SLIDE 2: ALGORITMO EM
\begin{itemize}
\item Método iterativo para obter a estimativa de máxima verossimilhança (EMV) quando o conjunto de dados é incompleto. \vspace{0,5 cm}
\item No contexto bayesiano, por exemplo, assumindo uma priori flat para os parâmetros desconhecidos, pode ser usado para ensaiar e aproximar a moda a posteriori.\vspace{0,5 cm}
\item Em cada iteração o algoritmo alterna as operações de esperança (E) e maximização (M).
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{ALGORITMO EM}
%SLIDE 3: ALGORITMO EM
\begin{itemize}
\item O algoritmo é aplicado à função de verossimilhança e converge para um máximo local da verossimilhança dos dados observados.\vspace{0,5 cm}
\item Onde a verossimilhança é unimodal, o algoritmo converge para a EMV.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{O ALGORITMO}
%SLIDE 4:UM ESTUDO GENÉTICO
\begin{itemize}
\item \textbf{Objetivo:} EMV de $L(\theta|Y)$,\,\, $Y$-dados observados.\vspace{0,3 cm}
\begin{itemize}
\item Aumentar $Y$ com dados adicionais $Z$.\vspace{0,3 cm}
\item Estimar $Z$ de uma estimativa atual de $\theta$ e maximizar $L(\theta|Y,Z)$ com relação a $\theta$.\vspace{0,3 cm}
\item Iterar até obter convergência. \vspace{0,3 cm}
\end{itemize}
\item Dado uma estimativa atual $\theta^i$ de $\theta$ define-se a função
$$Q(\theta,\theta^i)= \int_Z log \left[L(\theta|Y,Z) \right]P(Z|\theta^i,Y)dZ=E\left[log \left[L(\theta|Y,Z) \right]\right]$$
onde a esperança é com relação a distribuição de Z dado a estimativa corrente de $\theta$ e $Y$, isto é, $P(Z|\theta^i,Y)$.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{UM ESTUDO GENÉTICO (RAO,1973)}
%SLIDE 5: UM ESTUDO GENÉTICO (RAO,1973)
Aplicação clássica, refere-se a um conjunto de dados contendo informações sobre linkagem genética de 197 animais.
O vetor das contagens animais é
     $$Y=(y_1,y_2,y_3,y_4)=(125,18,20,34)$$
com probabilidades
     $$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\theta}{4},\dfrac{1-\theta}{4}; \dfrac{1-\theta}{4}; \dfrac{\theta}{4})$$
\end{frame}

\begin{frame}{UM ESTUDO GENÉTICO}
%SLIDE 6: UM ESTUDO GENÉTICO
 EM simplifica a maximização da verossimilhança multinomial, aumentando os dados como segue:\\ \vspace{0,3 cm}
\begin{itemize}
\item $Y$ \,\, torna-se \,\,$X=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ \\
      onde $y_1=x_1+x_2$,\,\,\,\, $y_2=x_3$,\,\,\,\,  $y_3=x_4$ \,\,\,\, e \,\,\,\,$y_4=x_5$. \vspace{0,3 cm}
\item $L(\theta |Y) \propto (2+\theta)^{y_1}(1-\theta)^{y_2+y_3}(\theta)^{y_4}$ \vspace{0,3 cm}
\item $L(\theta |X) \propto (\theta)^{x_2+x_5}(1-\theta)^{x_3+x_4}$ \vspace{0,3 cm}
\item $Q(\theta,\theta^i)=\left[E(X_2| \theta^i,Y)+x_5 \right] log \theta+(x_3 + x_4) log(1-\theta)$\\
      onde $X_2| \theta^i,Y \sim \text{Bin}\left(125;\dfrac{\theta^i}{2 + \theta^i}\right)$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{UM ESTUDO GENÉTICO}
%SLIDE 7:UM ESTUDO GENÉTICO
\begin{itemize}
\item Maximizando, tem-se
$$\theta^{i+1}=\dfrac{E[X_2| \theta^i,Y]+x_5}{E[X_2| \theta^i,Y)+x_3+x_4+x_5}$$
onde $E[X_2| \theta^i,Y]=\dfrac{125\theta^i}{\theta^i+2}$\vspace{0,5 cm}
\item Alternância entre estimação e maximização:\\ \vspace{0,3 cm}
\hspace{1 cm} $\theta_1=0,5 \Longrightarrow E[X_2]=25 \Longrightarrow \theta_{i+1}=0,6082$\\ \vspace{0,3 cm}
 e assim por diante obtem-se\\
%\begin{table}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
\hline
$i$ & $\theta^{i}$\\
\hline
1  & 0,5     \\
2  & 0,6082  \\
3  & 0,6243  \\
4  & 0,6265  \\
5  & 0,6268  \\
6  & 0,6268  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center} \vspace{0,5 cm}
%\end{table}
\begin{center}
Portanto, a EMV moda posteriori é $\theta=0,6268$ \\ \vspace{0,3 cm}
(precisão de $4$ casas decimais)
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
1. COLES,S;ROBERTS,G;JARNER,S. \textbf{Computer Intensive Methods}, 2002.\\
%2. GAMMERMAN, D. \textbf{},Chapman&Hall,
3. LEE,P.M.\textbf{Bayesian Statistics},Third edition, Arnold, London, 2004.
\end{frame}
\end{document}





