\documentclass{beamer}
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\begin{document}
\title{\textbf{BOOTSTRAP}}
\author{Ana Beatriz Tozzo Martins e Guerino Pirollo Júnior \\
\small{Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Jr. }}


%\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

\AtBeginSection[]  % "Beamer, do the following at the start of every section"
{
\begin{frame}<beamer> 
\frametitle{Bootstrap} % make a frame titled "Outline"
\tableofcontents[currentsection]  % show TOC and highlight current section
\end{frame}
}	

\begin{frame}
	\titlepage
\end{frame}


\section{Bootstrap}
\begin{frame}{BOOTSTRAP}
%SLIDE 3: BOOTSTRAP
\begin{itemize}
\item Bootstrap e Jackknife: técnicas usadas para estimar a acurácia de estatísticas.\vspace{0.5 cm}
\item População-Amostra-Distribuição Amostral: características desta distribuição descrevem a  acurácia da estatística.\vspace{0.5 cm}
\item Acurácia:\vspace{0.5 cm}
	\begin{itemize}
	\item 1. Viés: Diferença entre o valor populacional e a média da distribuição amostral.\vspace{0.5 cm}
   	\item 2. Precisão: medida da variação na distribuição amostral.
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{BOOTSTRAP}
%SLIDE 4: BOOTSTRAP
\begin{itemize}
\item Jackknife – usado para estimar o viés e a variância de uma estatística.\vspace{0.5 cm}
\item Boostrap – usado para estimar viés, variância e intervalo de confiança (IC).\vspace{0.5 cm}
\item Ambas são métodos computacionalmente intensivos que substituem equações analíticas por cálculos numéricos.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{BOOTSTRAP}
%SLIDE 5: BOOTSTRAP
\begin{itemize}
\item Estima a distribuição amostral (desconhecida) de uma estatística em dois passos: \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
  \item 1. A distribuição desconhecida dos valores da população é aproximada por uma distribuição discreta, obtida de uma amostra \ $\textbf{x}=(x_1,...,x_n)$ denominada população estimada.\vspace{0.5 cm}
  \item 2. A distribuição amostral desconhecida é aproximada pela distribuição das estimativas de muitas amostras bootstrap.
%Ou seja, da população estimada, selecionam-se amostras denominadas amostras bootstrap, para estimar a distribuição amostral da estatística.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{BOOTSTRAP}
%SLIDE 6: BOOTSTRAP
\begin{itemize}
\item A distribuição bootstrap é usada para estimar o viés, o erro padrão e o IC. \\
      Figura:\vspace{0.5 cm} 

\item \textbf{Idéia do bootstrap:}
     Substituir a função de distribuição desconhecida $F$, pela função de distribuição empírica (FDE) $\hat{F}$ definida com os valores amostrais ordenados $x_{(1)} \leq x_{(2)} \ldots  x_{(n)}$ como
$$ \hat{F}(x)=\dfrac{i}{n}\,;\,\,\, x_{(i)} \leq x < x_{(i+1)}$$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{BOOTSTRAP}
%SLIDE 7: BOOTSTRAP
\begin{itemize}
\item A FDE converge para a FD real. \\ \vspace{0.5 cm}
   Por ex: \hspace{0.3 cm} $\text{Var}_{F}[\hat{\theta}(\mathbf{x})]$ é estimado por $\text{Var}_{\hat{F}}[\hat{\theta}(\mathbf{x})]$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{BOOTSTRAP}
%SLIDE 8: Estimativas Bootstrap
\begin{itemize}
\item $\hat{\theta}$  o estimador de $\theta$, \,\,\,$B$ o número de amostras boostrap e \\ $\mathbf{x}^{*b}$,\,\,\, $b=1,...,B$, amostras bootstrap.
\item Viés: \,\,\,$ \text{viés}=E[\hat{\theta}]-\theta$ 
\item Estimativa bootstrap do Viés: \,\,\,$\overline{\text{viés}}=E_{\hat{F}}[\hat{\theta}]-\hat{\theta}$ \,\,\,
 onde
$$E_{\hat{F}}[\hat{\theta}]= \theta^*=\dfrac{1}{B}\sum_{b=1}^{B}\hat{\theta}(\mathbf{x}^{*b})$$ 
\item Variância da distribuição bootstrap: $$\text{Var}_{\hat{F}}[\hat{\theta}]=\dfrac{1}{B-1}\sum_{b=1}^{B}[\hat{\theta}(\mathbf{x}^{*b})-\theta^*]^2$$ 
\item Erro padrão bootstrap: $s_{\hat{F}}[\hat{\theta}]=\sqrt{\dfrac{1}{B-1}\sum_{b=1}^{B}[\hat{\theta}(\mathbf{x}^{*b})-\theta^*]^2}$
\end{itemize}
\end{frame}

\section{IC's da Distribuição Boostrap}
%SLIDE 9: IC's da Distribuição Boostrap
\begin{frame}{IC's da Distribuição Boostrap}
%SLIDE 10: IC's da Distribuição Boostrap
\begin{itemize}
\item Percentil bootstrap \vspace{0.5 cm}
\item Viés corrigido bootstrap \vspace{0.5 cm}
\item Bootstrap acelerado.
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Percentil Bootstrap}
%SLIDE 11: 1. Percentil Bootstrap
\begin{frame}{Percentil Bootstrap}
%SLIDE 12: 1. Percentil Bootstrap
\begin{itemize}
\item Limites do IC de $95\%$:\vspace{0.5 cm}
\begin{itemize} 
     \item $L_i$ - percentil $2,5$ da distribuição bootstrap;\vspace{0.3 cm}
     \item $L_s$ – percentil $97,5$ da distribuição bootstrap.
\end{itemize}\vspace{0.5 cm}
\item Cálculos para $1000$ amostras bootstrap:\\\vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
\item estimativas das amostras bootstrap em ordem crescente;\vspace{0.3 cm}
\item $L_i=$ média dos valores do $25^o$ e $26^o$ elementos;\vspace{0.3 cm}
\item $L_s=$ média dos valores do $975^o$ e $976^o$ elementos.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Percentil Bootstrap}
%SLIDE 13: 1. Percentil Bootstrap
\begin{itemize}
\item \textbf{Problema:} Assume distribuição bootstrap centrada ao redor do valor observado.\vspace{0.5 cm}
\item Produz IC's corretos quando o valor observado é a mediana da distribuição bootstrap .
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Correção de Viés do Estimador Bootstrap}
%SLIDE 14: 2. Correção de Viés do Estimador Bootstrap
\begin{frame}{Correção de Viés do Estimador Bootstrap}
%SLIDE 15: 2. Correção de Viés do Estimador Bootstrap
\begin{itemize}
\item Ajusta uma distribuição bootstrap que é viesada (sistematicamente muito alta ou muito baixa).\vspace{0.5 cm}
\item Determinação dos limites:\vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
  \item Calcular a distribuição bootstrap;\vspace{0.3 cm}
  \item Determinar $Fr$ a fração de amostras bootstrap menores do que o valor observado;\vspace{0.3 cm}
  \item $z_0=\Phi^{-1}(Fr)$ é calculado como a transformação probit de $Fr$ onde $\Phi^{-1}$ é a distribuição normal acumulada inversa.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Correção de Viés do Estimador Bootstrap}
%SLIDE 16: 2. Correção de Viés do Estimador Bootstrap
\begin{itemize}
  \item  Os limites para um IC de 95\% de confiança são\\
    $$L_i=\Phi(2z_0-1,96)$$
    $$L_s=\Phi(2z_0+1,96)$$\\
onde $\Phi$ é a função de distribuição normal acumulada.
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Bootstrap Acelerado}
%SLIDE 17: 2. Bootstrap Acelerado
\begin{frame}{Bootstrap Acelerado}
%SLIDE 18: 3. Bootstrap Acelerado
\begin{itemize}
\item Faz uma segunda correção quando se avalia a variância.\vspace{0.5 cm}
\item É assim chamada porque acelera a correção do viés.\vspace{0.5 cm}
\item Depende de duas constantes:\vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
   \item 1. $z_0$,  para corrigir o viés.\vspace{0.3 cm}
   \item 2. $a$ , fator de aceleração que corrige a assimetria.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bootstrap Acelerado}
%SLIDE 19: 3. Bootstrap Acelerado
\begin{itemize}
\item $a \neq 0$ quando poucos dados tem influência grande na estimativa observada.\vspace{0.5 cm}
\item \textbf{Estimativa não paramétrica de a:} obtida do cálculo da assimetria da função de influência empírica (FIE).\vspace{0.5 cm}
\item FIE mede a sensitividade da estatística observada na presença de cada dado na amostra original.\vspace{0.5 cm}
\item Estimada para cada ponto usando $n$ conjuntos de dados perturbados.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bootstrap Acelerado}
%SLIDE 20: 3. Bootstrap Acelerado
\begin{itemize}
\item $1^o$ conjunto: $t+1$ cópias do $1^o$ dado e $t$ cópias dos outros.
\item $i-$ésimo conjunto: $t+1$ cópias do $i$-ésimo dado e $t$ cópias dos outros.
\item Influência do $i$-ésimo dado em $\hat{\theta}$:
      $$ I_i=\dfrac{(\hat{\theta}_i-\hat{\theta})}{nt+1}$$
$\hat{\theta}_i$ é a estatística do $i$-ésimo conjunto de dados ;\\ $\hat{\theta}$ é a estatística do conjunto de dados original e \\ $t$ é um valor encontrado (experimentando) que dá uma estimativa adequada para $\hat{\theta}$.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bootstrap Acelerado}
%SLIDE 21: 3. Bootstrap Acelerado
\begin{itemize}
\item O coeficiente $a$ é proporcional a assimetria dos n valores de influência:
          $$a=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}I_i^3}{6[\sum_{i=1}^{n}I_i^2]^{3/2}}$$
\item Limites de 95\% de confiança:\\
  $$L_i=\Phi\left[z_0+\dfrac{z_0-1.96}{1-a(z_0-1.96)}\right]$$
  $$L_s=\Phi\left[z_0+\dfrac{z_0+1.96}{1-a(z_0+1.96)}\right]$$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bootstrap Acelerado}
%SLIDE 22: 3. Bootstrap Acelerado
\begin{itemize}
\item \textbf{Em resumo:}\vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
   \item $a=z_0=0$  implica $IC_1=IC_2$;\vspace{0.5 cm}
   \item Os três IC's são técnicas não-paramétricas;\vspace{0.5 cm}
   \item Não fazem suposições sobre a população;\vspace{0.5 cm}
   \item Usam somente a informação da amostra para estimar a precisão de uma estatística;\vspace{0.5 cm}
   \item Todas assumem independência.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\section{IC's da Distribuição Boostrap}
%SLIDE 23: IC's da Distribuição Boostrap
\begin{frame}{IC's da Distribuição Boostrap}
%SLIDE 24: IC's da Distribuição Boostrap
\begin{itemize}
\item Outros procedimentos:\\\vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
\item \textbf{Bootstrap paramétrico:} incorpora suposições distribucionais;\\\vspace{0.5 cm}
\item \textbf{Percentil-$t$ Bootstrap:} usa a distribuição da estatística $t$ ao invés da distribuição das estimativas;\\\vspace{0.5 cm}
\item \textbf{Bootstrap bayesiano:} que amostra os dados com probabilidades diferentes.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Jackknife}
\begin{frame}{Jackknife}
%SLIDE 25:Jackknife
\begin{itemize}
\item Embora bootstrap tem vantagens teóricas, Jackknife é muito usado pois requer menos cálculos e não inclui componente aleatório.\vspace{0.5 cm}
\item \textbf{Idéia da técnica}: o viés e o erro padrão da estatística podem ser estimadas recalculando a estatística em um subconjunto dos dados.
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Estimativas Jackknife}
%SLIDE 26: Estimativas Jackknife
\begin{frame}{Estimativas Jackknife}
%SLIDE 27: Estimativas Jackknife
\begin{itemize}
\item Calcule a estatística $\hat{\theta}$ com os $n$ dados;\vspace{0.5 cm}
\item Exclua o $1^o$ dado e calcule $\hat{\theta}_{-1}$ com os dados restantes;\vspace{0.5 cm}
\item Repita os cálculos, excluindo cada um dos dados;\vspace{0.5 cm}
\item Calcule $p_i$, o \textbf{pseudo valor}, para cada dado:
       $$p_i= \hat{\theta}+(n-1)(\hat{\theta}-\hat{\theta}_{-1})$$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Estimativas Jackknife}
%SLIDE 28: Estimativas Jackknife
\begin{itemize}
\item \textbf{Estimativa jackknife do viés:}
   $$ \text{viés}=\hat{\theta}-\overline{p}$$
  onde $\hat{\theta}$ é a estatística da amostra original e $\overline{p}$ é a média dos pseudo valores jackknife.\vspace{0.3 cm}
\item O Jackknife é efetivo na correção de uma estatística para o viés de $1^a$ ordem, um viés que é linearmente proporcional ao tamanho da amostra.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Estimativas Jackknife}
%SLIDE 29: Estimativas Jackknife
\begin{itemize}
\item \textbf{Estimativa jackknife do erro padrão:} erro padrão dos pseudo valores
    $$ s_{\hat{\theta}}=\sqrt{\dfrac{\sum(p_i-\overline{p})^2}{n(n-1)}}$$
onde $n$ é o tamanho da amostra e $\overline{p}$ é a média dos pseudo valores.\vspace{0.3 cm}
\item Por resultados, Jackknife é uma aproximação linear para o bootstrap e convergem para grandes amostras.\vspace{0.3 cm}
\item Não se estima IC's não paramétrico por jackknife porque o tamanho da amostra é limitado.
\end{itemize}
\end{frame}

%\begin{frame}{Estimativas Jackknife}
%SLIDE : Estimativas Jackknife

\section{Escolha da Técnica}
%SLIDE 30: Escolha da Técnica
\begin{frame}{Escolha da Técnica}
%SLIDE 31: Escolha da Técnica
\begin{itemize}
\item Depende da precisão.\vspace{0.3 cm}
\item Respostas similares exceto p/ grandes amostras\vspace{0.3 cm}
\item IC baseados no erro padrão jackknife assumem que a estatística tem uma distribuição normal.\vspace{0.3 cm}
\item IC acelerado é o mais geral, geralmente melhor e para $a=z_0=0$ reduz-se ao IC percentil.\\\vspace{0.3 cm}
Custos associados:
\begin{itemize}
\item 1. Cálculos mais complicados;\vspace{0.2 cm}
\item 2. Mais amostras bootstrap que o método percentil porque as duas constantes são estimadas.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\section{O que é bootstrapping}
%SLIDE 32: O que é bootstrapping
\begin{frame}{O que é bootstrapping}
%SLIDE 33: O que é bootstrapping
\begin{itemize}
\item \textbf{Suposição chave}: independência. \vspace{0.5 cm}
\item A suposição determina o que deve ser bootstrap.
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Número de Amostras Bootstrap}
%SLIDE 34: Número de Amostras Bootstrap
\begin{frame}{Número de Amostras Bootstrap}
%SLIDE 35: Número de Amostras Bootstrap
\begin{itemize}
\item Quanto maior o no de amostras bootstrap, maior a precisão do erro padrão ou IC e custo computacional.
\item
\begin{itemize}
  \item $100$ amostras bootstrap para estimar variância 
  \item $>1000$ amostras bootstrap para estimar IC 
  \item $1500$ amostras bootstrap para calcular\\
             IC da correção do viés\\
             IC acelerado
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Número de Amostras Bootstrap}
%SLIDE 36: Número de Amostras Bootstrap
\begin{itemize}
\item As estimativas bootstrap tem $2$ fontes de variabilidade:
\begin{itemize}
 \item 1. devido a variabilidade entre as amostras bootstrap.
 \item 2. devido a variabilidade amostral na obtenção dos dados originais.
\end{itemize}
\item As estimativas jackknife tem $1$ fonte de variabilidade: a dos dados originais.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
1. COLES,S;ROBERTS,G;JARNER,S. \textbf{Computer Intensive Methods}, 2002.\\
2. SCHEINER, S.M.;GUREVITCH,J.\textbf{Design and Analysis of Ecological Experiments},Chapman \& Hall, New York,1993.
\end{frame}

\end{document}




