\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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%falar da leprose, modelo, o problema

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\linespread{1.5}

\begin{document}

\begin{center}
\textbf{{\Large Sele\c{c}\~ao de covari\'aveis de vizinhan\c{c}a 
na descri\c{c}\~ao do padr\~ao espacial da leprose dos citros}}
\\Elias Teixeira Krainski
\footnote{LEG/UFPR e UFMG, ekrainski@ufmg.br}
Luziane Franciscon
\footnote{LEG/UFPR e ESALQ/USP, lfrancis@esalq.usp.br}
Paulo Justiniano Ribeiro Jr
\footnote{LEG/UFPR, paulojus@ufpr.br}
\end{center}

%%\vspace{0.5cm}\noindent\textbf{1. INTRODUÇÃO}
\section{Introdu\c{c}\~ao}

A leprose dos citros \'e uma doen\c{c}a que vem sendo estudada 
com objetivo de entender seu mecanismo de atua\c{c}\~ao. 
Em um experimento realizado pelo FUNDECITRUS
(Fundo de Defesa da Citrucultura), a ocorr\^encia de 
leprose em plantas de um talh\~ao foram observadas em v\'arios 
instantes de tempo. Neste caso, h\'a dados descrevendo a evolu\c{c}\~ao 
temporal da doen\c{c}a e tamb\'em a din\^amica espacial dentro 
do talh\~ao. Um objetivo \'e verificar o efeito que uma planta 
doente exerce sobre as outras. Esse efeito existe? Ocorre apenas 
em plantas vizinhas no espa\c{c}o? No espa\c{c}o e no tempo? 
Como \'e esse efeito?

O modelo autologístico é uma alternativa para descrever a din\^amica 
espacial da  incid\^encia de doen\c{c}as em um talh\~ao, sendo um modelo 
para a probabilidade de doen\c{c}a de uma planta em fun\c{c}\~ao do 
\textit{status} das plantas vizinhas. Essa informa\c{c}\~ao \'e 
considerada como uma covari\'avel do modelo, covari\'avel de vizinhan\c{c}a. 
A covariável de vizinhança pode ser considerada de duas formas: a 
informação de existência ou não de vizinhas doentes ou, o número de 
vizinhas doentes. No primeiro caso, plantas com uma vizinha 
doente serão consideradas de forma igual às plantas com mais de uma 
vizinha doente. Essas duas possibilidades de considerar a informação 
das vizinhas devem ser consideradas na análise. Isso porque, ambas 
contemplam diferentes formas de contágio. No primeiro caso, o efeito 
de uma planta doente é o mesmo de duas plantas doentes.

Neste trabalho, foi utilizado um conjunto de dados de leprose dos citros
para ilustrar o uso das duas formas de considerar a informação da 
vizinhança.

%%\vspace{0.5cm}\noindent\textbf{2. MATERIAL E MÉTODOS} \label{met}
\section{Material e m\'etodos}

O modelo autologístico descreve a probabilidade de uma planta estar 
doente fazendo 
\begin{equation}\label{eq:prob}
logit(p_{ij}) =  \beta_0 + \gamma_1 (y_{i-1,j} + y_{i+1,j}) + 
   \gamma_2 (y_{i,j-1} + y_{i,j+1}) \; ,
\end{equation}
em que $p_{ij}$ é a probabilidade da planta na linha $i$ e na coluna $j$ 
estar doente; $y_{i-1, j}$ e $y_{i+1,j}$ são as vizinhas das linhas 
adjacentes, formando a covariável de vizinhança entre linha; 
$y_{i,j-1}$ e $y_{i,j+1}$ são as vizinhas das colunas 
adjacentes, formando a covariável de vizinhança dentro da linha; 
$\gamma_1$ e $\gamma_2$ são os parâmetros que medem o 
efeito das covariáveis de vizinhança.
Esta estrutura é flexível para estudar o caso com doenças de plantas, 
onde o espaçamento entre linhas é diferente do espaçamento dentro 
das linhas.

\citeasnoun{besag:72} sugere que as estimativas de 
$\{\gamma_1, \gamma_2\}=\gamma$ sejam obtidas maximizando a função de 
de pseudo-verossimilhança, dada por
\begin{equation}
\tilde{L}(\gamma,y) = \prod_i \prod_j f(p_{ij}, y)\;,
\end{equation}
em que $f(.)$ é a densidade de uma distribuição de Bernoulli. 
Não há grandes problemas ao estimar os efeitos, 
mas as estimativas de variância dos efeitos são subestimadas. 

Uma metodologia sugerida para estimar a variância das estimativas, 
é utilizar reamostragem. Consiste em gerar 
re-amostras dos dados originais e utilizá-las para estimar a 
quantidade de interesse. No caso de dados com estrutura de 
dependência espacial, ou seja, a configuração espacial dos dados, 
a reamostragem não é tão simples. \citeasnoun{gumpertz:97} propõe 
que os erros sejam estimados por reamostragem, 
utilizando o algoritmo amostrador de Gibbs. 
A idéia é de retirar amostras da distribuição de cada 
observa\c{c}ão $y_{ij}$ condicionando ao \textit{status} das vizinhas, 
usando (\ref{eq:prob}).

As expressões para as duas formas de considerar a 
covari\'avel de vizinhan\c{c}a estão 
resumidas na tabela~\ref{expressoes}, para 
contagem e presença/ausência de vizinhos doentes.

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\label{expressoes}
\caption{Logito considerando contagem e 
ausência/presença de vizinhas doentes na linha}
\begin{tabular}{rrr|rr}
  \hline
\multicolumn{3}{c|}{Contagem} &
 \multicolumn{2}{c}{Binária} \\ 
\hline
 0 & 1 & 2 & Ausência & Presença \\
  \hline
$\beta_0$ & $\beta_0 + \gamma_1$ & $\beta_0 + 2\gamma_1$ & 
$\beta_0$ & $\beta_0 + \gamma_1$ \\
   \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

A leprose dos citros é uma doença de relevante importância na citrucultura 
brasileira, pois compromete a produção das plantas infectadas e a vida 
útil das mesmas, gerando perdas de produção. 
Os dados analisados nesse trabalho foram cedidos pelo FUNDECITRUS.
Trata-se de dados de incidência de leprose dos citros em um talhão 
de citros, no município de Santa Cruz do Rio Pardo/SP. O talhão tem 
espaçamento de $7,5$ m $x$ $3,8$ m com $20$ linhas de 58 plantas. 
Foram feitas $45$ avaliações entre os períodos de janeiro de $2002$ e 
novembro de $2004$.

%%\vspace{0.5cm}\noindent\textbf{3. RESULTADOS E DISCUSSÃO}
\section{Resultados e discuss\~ao}

O modelo autologístico foi ajustado usando o pacote 
\pkg {Rcitrus}~\cite{Rcitrus:05} implementado em 
\R{}~\cite{R:07}. 
Para avaliar a forma mais adequada de considerar a informação 
das vizinhas, comparou-se as freqüências esperadas com 
as observadas utilizando um teste qui-quadrado.

A Tabela~\ref{est} apresenta a distribuição de freqüências 
das $1160$ plantas na avaliação $31$, sendo $71$ plantas doentes. 
Destas, $20$ não tinha nenhuma vizinha doente na mesma linha e 
$25$ não tinha nenhuma vizinha na linha adjacente (coluna). 
A proporção de plantas doentes com nenhuma vizinha 
doente na linha é $0.019$, $0.3377$ se tiver uma vizinha 
e $0.8333$ se tiver duas vizinhas doentes. 
Nota-se uma grande diferença entre as proporções de doentes 
com uma vizinha na linha e com duas vizinhas na linha. 
As probabilidades ajustadas pelos 
modelos considerando covariáveis de forma binária e contagem, 
também estão descritas na mesma Tabela.
 
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\caption{Freqüências observadas, probabilidades observadas 
e estimadas}\label{est}
\begin{tabular}{r|rrr|rrr}
  \hline
 & \multicolumn{6}{|c}{Covariáveis de Vizinhança}\\
\hline
 & \multicolumn{3}{|c|}{Linha} & \multicolumn{3}{c}{Coluna}\\
\hline
 & Nenhuma & Uma & Duas  & Nenhuma & Uma & Duas \\
  \hline
Plantas sadias & 1033 & 51 & 5 & 1014 & 74 & 1 \\
Plantas doentes & 20 & 26 & 25 & 25 & 26 & 20 \\
   \hline
Prob. observadas & 0.0190 & 0.3377 & 0.8333 & 0.0241 & 0.2600 & 0.9524 \\
Cov. binária & 0.0190 & 0.4766 & 0.4766 & 0.0241 & 0.3802  & 0.3802 \\
Cov. contagem & 0.0206 & 0.2930 & 0.8907 & 0.0226  & 0.2907 & 0.8791  \\
   \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

O teste qui-quadrado para plantas vizinhas na linha, 
indicou como adequada a informação da covariável em 
forma de contagem com valor de p $0.8560$, ou seja, 
o modelo se ajusta bem aos dados. 
Na forma binária o valor p do teste $0.0111$ 
implica a não adequação desse modelo aos dados. 
Ao consider vizinhas na coluna, o resultado é semelhante, 
com valor de p de $0.9068$ no caso de contagem e $0.001$
no caso binário.

A Figura~\ref{retas} mostra as proporções observadas e as 
probabilidades estimadas pelos modelos, em função do número 
de vizinhas doentes. Comparando as retas, nota-se que 
das probabilidades estimadas pelo modelo considerando contagem 
de vizinhas doentes é mais parecida com a observada. 
Isso evidencia que o modelo mais adequado aos dados de leprose 
de citros é quando considera-se a contagem de vizinhas doentes, 
tanto para covariáveis na linha como para covariáveis na coluna.

\setkeys{Gin}{width=0.95\textwidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\caption{Retas das proporções observadas e 
das probabilidades estimadas pelos modelos, em função do 
número de vizinhas doentes}\label{retas}
\includegraphics{linhaColuna31}
\end{center}
\end{figure}

Os dois modelos foram ajustados considerando a covariável 
de vizinhança na linha para as avaliações $23$ à $45$. 
Os valores p do teste qui-quadrado aplicado para cada avaliação 
estão na Tabela~\ref{qui}. Nas primeiras avaliações, 
ambas as formas de modelagem são satisfatórias. Isso pode ser 
explicado pela baixa incidência de plantas doentes nessas 
avaliações, pois embora as proporções em função do número 
de doentes sejam muito diferentes, as freqüências são baixas
e fazem com que o teste qui-quadrado não seja significativo.

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\caption{Valores p do teste Qui-quadrado para avaliações 23 à 45 
de leporse dos citros} \label{qui}
\begin{tabular}{rrrrrr}
  \hline
Avaliação & Contagem & Binária & Avaliação & Contagem & Binária \\
  \hline
23 & 0.9197 & 0.4288 & 35 & 0.9978 & 0.0000 \\
  24 & 0.5873 & 0.7797 & 36 & 0.5026 & 0.0008 \\
  25 & 0.2740 & 0.9563 & 37 & 0.9909 & 0.0000 \\
  26 & 0.3409 & 0.8513 & 38 & 0.9843 & 0.0000 \\
  27 & 0.1319 & 0.6801 & 39 & 0.9644 & 0.0000 \\
  28 & 0.3203 & 0.3825 & 40 & 0.8553 & 0.0000 \\
  29 & 0.3940 & 0.0825 & 41 & 0.9337 & 0.0000 \\
  30 & 0.5864 & 0.0433 & 42 & 0.8717 & 0.0000 \\
  31 & 0.8560 & 0.0111 & 43 & 0.8213 & 0.0000 \\
  32 & 0.9751 & 0.0023 & 44 & 0.7123 & 0.0000 \\
  33 & 0.9515 & 0.0028 & 45 & 0.1578 & 0.0010 \\
  34 & 0.9567 & 0.0009 &  &  &  \\
   \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

%%\vspace{0.5cm}\noindent\textbf{4. CONCLUSÕES}
\section{Conclus\~oes}

A forma de considerar a informação do \textit{status} das vizinhas 
foi relevante na maioria das avaliações analisadas dos dados de 
leprose. Portanto, 
deve-se verificar a forma mais adequada de considerar a informação 
da vizinhança no modelo antes se fazer inferência. 

\section*{Agradecimentos}
Ao FUNDECITRUS, na pessoa do Renato B. Bassanezi, 
e \`a Ana Beatriz C. Czermainski.

\bibliographystyle{./dcu}
\bibliography{./bib}    

\end{document}
% ----------------------------------------------------------------
