\documentclass{beamer}
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%\usetheme{Warsaw}
\usetheme{AnnArbor}
%\usetheme{CambridgeUS}
%\usetheme{Berkeley}

%\usefonttheme[onlylarge]{structuresmallcapsserif}
\title{O Modelo Autologístico:\\
Uma Aplicação a Dados de Citros }
\author{ {Luziane Franciscon} \\
Orientador: Prof Paulo Justiniano Ribeiro Jr}
\institute{Esalq/USP}


\begin{document}

\date{ Novembro de 2007}

\frame{\titlepage

\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm,height=3cm]{esalq.ps}
\end{center}
\end{figure}
}


\frame{\frametitle{Roteiro de apresentação}
\begin{itemize}
\item Contexto de dados espaciais;
\pause
\item Um exemplo de dados de leprose em citros;
\pause
\item O modelo autologístico;
\pause
\item Aplicações do modelo aos dados;
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{...dados espaciais em {\it lattice}...}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{fig1.ps}
\caption{Dados espaciais em {\it lattice}}
\end{center}
\end{figure}
}


\frame{\frametitle{Diferentes abordagens}
\begin{itemize}
\item Diferentes abordagens;
\pause
\item Aqui será usado uma abordagem que modela uma observação 
em função do {\it status} dos vizinhos;
\pause
\item Existem duas categorias:
\item[-] Efeitos fixos $\rightarrow$ modelo autologístico;
\item[-] Efeitos aleatórios $\rightarrow$ modelo CAR;
\pause
\item A chave dessa abordagem é a definição e o uso da 
\textcolor {magenta} {estrutura de vizinhança};
\end{itemize}
}

 
\frame{\frametitle{Estrutura de vizinhança}
Diferentes estruturas de vizinhança dos dados;
\pause
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{viz.eps}
\caption{Estruturas de vizinhança}
\end{center}
\end{figure}
}


\frame{\frametitle{Motivação}
\begin{center}
\textcolor {blue}{Estudo Espacial em Leprose dos Citros}
\end{center}
}


\frame{\frametitle{Leprose em citros}
Uma doença de citros chamada \textcolor{red}{leprose};
\begin{itemize}
\pause
\item É causada pelo \textcolor{red} {vírus} {\it Citrus leprosis virus }
- CiLV, que é transmitido pelo \textcolor{red}{ácaro} {\it Brevipalpus phoenicis }
\pause
\item A \textcolor{red}{doença} e o \textcolor{red}{ácaro} transmissor encontram-se amplamente disseminados
por praticamente toda área citrícola do Brasil;
\pause
\item Causa \textcolor{red}{depreciação} dos frutos, \textcolor{red}{queda prematura}
das folhas e frutos,
seca dos ramos e \textcolor{red}{redução} da vida útil da planta;
\pause
\item Tornou-se uma das principais doenças da citricultura brasileira;
%referencias
\end{itemize}
(figuras...)
}


\frame{\frametitle{Dados de leprose em citros}
Os dados são oriundos do Fundecitrus.
\begin{itemize}
\item São dados de \textcolor {violet}{incidência de leprose} em um talhão
de citros, em Santa Cruz do Rio Pardo/SP;
\pause
\item O talhão é formado por 20 linhas com 58 plantas em cada linha, com
espaçamento de $7,5$ $\times$ $3,8$ metros;
\pause
\item Foram feitas 45 avaliações entre janeiro de 2002 e novembro de 2004;
\item As variáveis medidas foram: \textcolor {red} {incidência de doença} 
na planta, nos frutos, ramos e folhas,
\item[] também foram medidas \textcolor {red}{incidência de ácaro} 
na planta, nos frutos e folhas;
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Dados de leprose em citros}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=11cm]{avals3.eps}
\caption{Dados de leprose em citros}
\end{center}
\end{figure}
}


\frame{\frametitle{Dados de leprose em citros}
O que precisa ser investigado...
\pause
\begin{itemize}
\item Existe padrão espacial na ocorrência de doença?
\item O padrão varia ao longo do tempo/incidência?
\pause
\item Qual estrutura de vizinhança adequada para capturar o 
padrão espacial da doença?
\pause
\item A análise pode ser individual para cada avaliação, ou  
pode-se combinar em um modelo diferentes avaliações?
\item Existem efeitos de covariáveis?
\pause
\item Como combinar vários tempos, considerar intervalos diferentes 
entre as avaliações?
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Modelagem dos dados}
Dados \textcolor{magenta}{binários} com \textcolor{magenta}{dependência espacial};
\pause
\begin{itemize}
\item Ajustar um modelo logístico usual aos dados não é adequado;
\item Há superdispersão causada pela variabilidade espacial;
\pause
\item Uma forma de considerar essa variabilidade é ajustar um 
\textcolor{magenta}{modelo autologístico};
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Modelo autologístico}
\textcolor {blue} {O modelo autologístico proposto por Besag (1972)};

\begin{equation}\label{eq:prob}
logit(p_{ij}) =  \beta_0 + \gamma_1 L_{ij} + \gamma_2 C_{ij}
\end{equation}

\begin{itemize}
\pause
\item  $p_{ij}$ é a probabilidade da planta na linha $i$ e na coluna $j$
estar doente;
\pause
\item $L_{ij}=$ $(y_{i-1, j}$ $+$ $y_{i+1,j})$ são as vizinhas das linhas
adjacentes, formando a covariável de vizinhança entre linhas;
\pause
\item $C_{ij}=$ $(y_{i,j-1}$ $+$ $y_{i,j+1})$ são as vizinhas das colunas
adjacentes, formando a covariável de vizinhança dentro da linha;
\pause
\item $\gamma_1$ e $\gamma_2$ são os parâmetros que medem o
efeito das covariáveis de vizinhança.
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Modelo autologístico}
\textcolor {blue}{Estimação Besag (1975)};

Utilizar uma pseudo-verossimilhança:
\begin{equation}
\tilde{L}(\gamma,y) = \prod_i \prod_j f(p_{ij}, y)
\end{equation}
\pause
$f(.)$ é a densidade de uma distribuição de Bernoulli.

\begin{itemize}
\pause
\item \textcolor{red}{Problema:}
Observações são dependentes, causam problemas nas 
estimativas de variância dos efeitos.
\item Precisa usar um procedimento para estimar adequadamente 
os erros-padrão das estimativas;
\pause
\item \textcolor{cyan}{Uma solução:} Reamostragem. Mas como fazer, pois
os dados são espacialmente estruturados?

\pause
\item \textcolor{magenta}{Reamostragem com amostrador de Gibbs}, Gumpertz e Ristiano (1997):
Simular $y_{ij}$ condicionando ao \textit{status} das vizinhas,
usando (\ref{eq:prob}) com $\gamma_1$ e $\gamma_2$ estimados
para os dados observados.
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Modelo autologístico}
\textcolor{blue}{Reamostragem com Amostrador de Gibbs}
 \begin{itemize}
 \item O algoritmo amostrador de Gibbs é utilizado para preservar o
padrão espacial dos dados;
\pause
 \item Gerar $B$ amostras e estimar a quantidade de interesse,
\pause
 \item Passos:
   \begin{enumerate}
   \item Simular um novo \textit{lattice}, uma planta por vez:
    \begin{itemize}
\pause
     \item Usar $\hat{\gamma}$ estimado nos dados observados;
     \item Condicionar no \textit{status} atual das vizinhas;
     \item Calcular a probabilidade de doença;
     \item Simular \{0,1\} com a probabilidade estimada;
     \item Ir para próxima planta, aleatoriamente.
    \end{itemize}
\pause
   \item Obter a estimativa de $\gamma$ em cada {\it lattice} simulado;
   \item Repetir $B$ vezes.
   \end{enumerate}
 \end{itemize}
 }


\frame{\frametitle{Aplicação do modelo}
\begin{itemize}
\item O \textcolor{blue}{modelo autologístico} foi usado para o ajuste dos dados de leprose de citros;
\pause
\item Os cálculos foram feitos no pacote \textcolor {blue}{Rcitrus} do R;
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Aplicação do modelo}
Uma possível aplicação do modelo aos dados,
\pause
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=11cm]{avals3.eps}
\caption{Dados de leprose em citros}
\end{center}
\end{figure}
}


\frame{\frametitle{Resultados}
\begin{equation}
logit(p_{ij}) =  \beta_0 + \gamma_1 L_{ij} + \gamma_2 C_{ij} \nonumber
\end{equation}
\pause
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{lrrrr}
  \hline
 & Estimativa & Erro Padrão & Teste z & Valor p \\
  \hline
$\beta_0$ & $-$4,5223 & 0,3061 & $-$14,77 & $<$0,001 \\
$\gamma_1$ & 3,3819 & 0,4863 & 6,95 & $<$0,001 \\
$\gamma_2$ & 0,3590 & 0,6094 & 0,59 & 0,5558 \\
   \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Estendendo o modelo}
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ij}^t) & = & \beta_0 + \gamma_1 L_{ij}^t +
  \gamma_2 C_{ij}^t \;;
\end{array}\]
}


\frame{\frametitle{Resultados}
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\caption{Avaliações, incidências, estimativas e erros dos parâmetros}
\begin{tabular}{rcccc}
\hline
Av. & Incid & $\hat{\beta_0}$ $\pm$ EP & $\hat{\gamma_1}$$\pm$EP & $\hat{\gamma_2}$$\pm$EP \\
\hline
35 & 0.155& $-$3.52$\pm$0.19 & 2.29$\pm$0.21 & 0.95$\pm$0.22 \\
36 & 0.213& $-$3.24$\pm$0.17 & 1.97$\pm$0.17 & 0.96$\pm$0.19 \\
37 & 0.251& $-$3.17$\pm$0.15 & 2.10$\pm$0.16 & 0.85$\pm$0.16 \\
38 & 0.267& $-$2.69$\pm$0.15 & 1.87$\pm$0.15 & 0.51$\pm$0.14 \\
39 & 0.266& $-$2.64$\pm$0.15 & 1.79$\pm$0.14 & 0.57$\pm$0.14 \\
40 & 0.267& $-$2.59$\pm$0.15 & 1.85$\pm$0.14 & 0.43$\pm$0.14 \\
41 & 0.273& $-$2.60$\pm$0.15 & 1.76$\pm$0.13 & 0.55$\pm$0.13 \\
42 & 0.294& $-$2.59$\pm$0.15 & 1.72$\pm$0.13 & 0.60$\pm$0.13 \\
43 & 0.307& $-$2.58$\pm$0.15 & 1.68$\pm$0.13 & 0.68$\pm$0.13 \\
44 & 0.327& $-$2.50$\pm$0.15 & 1.55$\pm$0.12 & 0.76$\pm$0.13 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\pause
Os valores de p foram todos menores de $0,001$; 
}


\frame{\frametitle{Estender o modelo}
\begin{itemize}
\item Para o problema apenas essa análise é insuficiente, 
é preciso estender o modelo;
\pause
\item As variáveis são coletadas em períodos de tempo diferentes;
\item Considerar a estrutura temporal dos dados no modelo;
\item Modelos espaço-temporal;
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{ Diferentes modelos}
Modelos propostos:
  \begin{itemize}
  \item \textcolor {magenta} {Modelo $m1$}:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ij}^t) & = & \beta_0 + \gamma_1 C_{ij}^t + \gamma_2 C_{ij}^t \;;
\end{array}\]
\pause
\item \textcolor {violet}{Modelo $m2$}:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ij}^t) & = & \beta_0 +\gamma_1 L_{ij}^{t-1} +\gamma_2 C_{ij}^{t-1} \;;
\end{array}\]
\pause
\item \textcolor {magenta} {Modelo $m3$}:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ij}^t) & = & \beta_0 +\gamma_1 L_{ij}^{t-1}+ \gamma_2 C_{ij}^{t-1}  
\gamma_3 L_{ij}^t + \gamma_4 C_{ij}^t \;.
\end{array}
\]
 \end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Resultados}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\small
\caption{Incidências, estimativas dos parâmetros
dos modelos $m1$, $m2$, $m3$}
\label{tab:mod}
  \vspace{0.2cm}
\begin{tabular}{r|rr|rr|rr|rr}
\hline
&  \multicolumn{2}{|c|}{Modelo $1$} & \multicolumn{2}{c|} {Modelo $2$}
& \multicolumn{4}{c} {Modelo $3$}\\
\hline
&  & & & & \multicolumn{2}{|c|}{Tempo Atual} &
\multicolumn{2}{|c}{Tempo Anterior} \\
\hline
 Av. & $\hat{\gamma_1}$ & $\hat{\gamma_2}$  &
$\hat{\gamma_1}$ & $\hat{\gamma_2}$ & $\hat{\gamma_1}$ &  $\hat{\gamma_2}$ &
$\hat{\gamma_1}$ &  $\hat{\gamma_2}$ \\
\hline
35 & 2,29$^\ast$ & 0,95$^\ast$ & & & & & \\
36 & 1,97$^\ast$ & 0,96$^\ast$ & 2,27$^\ast$ & 1,06$^\ast$ & 2,08$^\ast$ & 0,33$^\ast$ & 1,20 & $-$0,40$^\ast$\\
37 & 2,10$^\ast$ & 0,85$^\ast$ & 2,18$^\ast$ & 0,93$^\ast$ & 1,31$^\ast$ & 0,91$^\ast$ & 0,82$^\ast$ &    0,10$^\ast$\\
38 & 1,87$^\ast$ & 0,51$^\ast$ & 2,09$^\ast$ & 0,92$^\ast$ & 1,79$^\ast$ & 0,45$^\ast$ & 0,80 &    0,01$^\ast$\\
39 & 1,79$^\ast$ & 0,57$^\ast$ & 1,80$^\ast$ & 0,79$^\ast$ & 1,06$^\ast$ & 0,93$^\ast$ &-0,03$^\ast$ &    0,67\\
40 & 1,85$^\ast$ & 0,43$^\ast$ & 1,74$^\ast$ & 0,55$^\ast$ & 1,32$^\ast$ & 0,54$^\ast$ & 0,35$^\ast$ &    0,20\\
41 &  1,76$^\ast$ & 0,55$^\ast$ & 1,82$^\ast$ & 0,49$^\ast$ & 0,88$^\ast$ & 1,02$^\ast$ &-0,60$^\ast$ &    1,04\\
42 & 1,72$^\ast$ & 0,60$^\ast$ & 1,78$^\ast$ & 0,49$^\ast$ & 0,95$^\ast$ & 0,87$^\ast$ & 0,53$^\ast$ & $-$0,02\\
43 & 1,68$^\ast$ & 0,68$^\ast$ & 1,72$^\ast$ & 0,56$^\ast$ & 1,07$^\ast$ & 0,68$^\ast$ & 0,88 & $-$0,30\\
44 & 1,55$^\ast$ & 0,76$^\ast$ & 1,66$^\ast$ & 0,66$^\ast$ & 0,95$^\ast$ & 0,79$^\ast$ & 0,64$^\ast$ &    0,02\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
$^\ast$ valor de p significativo $(p< 0,01)$
}


\frame{\frametitle{Modelo Autologístico Espaço-Temporal}
Relembrando, \pause se quisermos modelar as covariáveis de 
vizinhança apenas entre as linhas, o modelo autologístico seria,
\begin{eqnarray}
\eta & = &\beta_0+\gamma_1 L_{ij};\nonumber \\
\pause
\eta_{ij} & = &\beta_0+\gamma_1(y_{(i-1,j)}+y_{(i+1,j)}) \;; \nonumber \\
\pause
p_{ij}&=& \frac{exp(\eta_{ij})}{1+ exp(\eta_{ij})};\nonumber
\end{eqnarray}
}


\frame{\frametitle{Modelo Autologístico Espaço-Temporal}
Mas se quisermos usar o modelo autologístico espaço-temporal,
então,
\begin{eqnarray}
\eta&=&\beta_0+\gamma_1 L_{ijt} \;; \nonumber \\
\pause
\eta_{ijt}&=&\beta_0+\gamma_1(y_{(i-1,j,t)}+y_{(i+1,j,t)}) \;; \nonumber \\
\pause
p_{ijt} &=& \frac{\Delta_t exp(\eta_{ijt})}{1+\Delta_t exp(\eta_{ijt})} \;.\nonumber
\end{eqnarray}
}


\frame{\frametitle{Resultados}
No caso do modelo espaço-temporal o ajuste para as 10 avaliações finais,
\pause
\begin{equation}
logit(p_{ijt}) = \beta_0 + \gamma_1 L_{ijt} + \gamma_2 C_{ijt}\;; \nonumber
\end{equation}
\pause
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\caption{Estimativas dos parâmetros, erros-padrão, teste e 
valor p }
\begin{tabular}{lcccc}
\hline
 & Estimativa & Erro Padrão & Teste z & Valor p \\
\hline
$\beta_0$ &$-$2,4467 &0,0274& $-$89,1222& $<$ 0,001\\
$\gamma_1$ &0,8351 &0,0304&  27,4161& $<$ 0,001\\
$\gamma_2$ &0,8676 &0,0301&  28,8230& $<$ 0,001\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Considerações}
A decisão de qual modelo usar deve ser guiada pelo interesse do problema;
\begin{itemize}
\pause
\item Se for \textcolor {red}{preditivo};
\item[-] Enfocar modelos com capacidade preditiva, defasados no tempo;
\pause
\item Se for \textcolor{red} {descritivo};
\item[-] Enfocar modelos com variáveis contemporâneas;
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Outras abordagens}
Outras formas de abordagem foram modeladas, como por exemplo,
\begin{itemize}
\item Modelo espaço-temporal:
\item[-] Covariáveis $\rightarrow$ a mesma planta tempo 
anterior;
\item[-] Covariáveis  $\rightarrow$ plantas vizinhas no tempo 
anterior;
\item [-] Covariáveis  $\rightarrow$ plantas vizinhas no tempo 
atual;
\pause
\item Além das covariáveis de vizinhança introduziu-se ao 
modelo covariáveis do ácaro;
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Continuidade do Trabalho}
\begin{itemize}
\item Propor um modelo intermediário aos dois apresentados anteriormente;
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Bibliografia}
\begin{description}
 {\item[] BESAG, J. Nearest-Neighbour Systems and the Auto-logistic
Model for Binary Data, {\bf Journal of the Royal Statistics
Society}, Series B, n. 34, p. 75-83, 1972.}\\
\vspace{0.25cm}
{\item[] GUMPERTZ, M. L. ; GRAHAM, J. M.  and RISTAINO, J. B.Autologistic Model of 
Spatial Pattern of Phytophthora Epidemic in
Bell Pepper: Effects of Soil Variables on Disease Presence. {\bf
Journal of Agricultural, Biological and Environmental Statistics},
v.2, n.2, p.131-156, 1997.}\\
\vspace{0.25cm}
 {\item[] KRAINSKI, E. T. ; RIBEIRO, P. J. ; BASSANEZI, R and FRANCISCON, L. 
Autologistic model with an application to the citrus sudden
death, {\bf Scientia Agrícola}, submetido, 2007.}\\

\end{description}
}


\frame{\frametitle{Agradecimentos}
\begin{itemize}
\item Ao Prof. Paulo Justiniano;
\item Ao Elias Krainski e ao LEG (Laboratório de Estatística e Geoinformação);
\item Ao FUNDECITRUS, na pessoa do Renato B. Bassanezi.
\item A Embrapa Suínos e Aves;
\end{itemize}

\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=2cm]{leg.ps}
\caption{www.leg.ufpr.br}
\end{center}
\end{figure}
}

%\bibliographystyle{./dcu}
%\bibliography{../biblio}

\end{document} 



\frame{\frametitle{Modelo Autologístico Espaço-Temporal}
Alguns modelos propostos;
  \begin{itemize}
  \item \textcolor {magenta} {Modelo $m1$}:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ijt}) & = & \beta_0 + \gamma_1 (y_{i,j,t-1} + y_{i,j,t-1}) +
  \gamma_2 (y_{i,j,t-1} + y_{i,j,t-1}) \;;
\end{array}\]
\pause
\item \textcolor {violet}{Modelo $m2$}:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ijt}) & = & \beta_0 + \gamma_1 (y_{i-1,j,t-1} +y_{i+1,j,t-1})
+\gamma_2 (y_{i,j-1,t-1}+ \\ && y_{i,j+1,t-1}) \;;
\end{array}\]
\pause
\item \textcolor {magenta} {Modelo $m3$}:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ijt}) & = & \beta_0 +
  \gamma_1 (y_{i-1,j,t-1} + y_{i+1,j,t-1}) +
  \gamma_2 (y_{i,j-1,t-1} +\\ && y_{i,j+1,t-1}) +
\gamma_3 (y_{i-1,j,t} + y_{i+1,j,t}) +
  \gamma_4 (y_{i,j-1,t} +\\ && y_{i,j+1,t}) \;;
\end{array}
\]
 \end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Modelo Autologístico Espaço-Temporal}
  \begin{itemize}
  \item \textcolor {magenta} {Modelo $m4$}:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ijt}) & = & \beta_0 + \beta_1INPLACFR+
 \gamma_1 (y_{i,j,t-1} + y_{i,j,t-1}) +\\
 && \gamma_2 (y_{i,j,t-1} + y_{i,j,t-1}) \;;
\end{array}\]
\pause
\item \textcolor {violet}{Modelo $m5$}:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ijt}) & = & \beta_0 +\beta_1INPLACFR+
  \gamma_1 (y_{i-1,j,t-1} + y_{i+1,j,t-1}) + \\
 && \gamma_2 (y_{i,j-1,t-1} + y_{i,j+1,t-1}) \;;
\end{array}\]
\pause
\item \textcolor {magenta} {Modelo $m6$}:
\[\begin{array}{lll}
logit(p_{ijt}) & = & \beta_0 + \beta_1INPLACFR+
  \gamma_1 (y_{i-1,j,t-1} + y_{i+1,j,t-1}) + \\
 && \gamma_2 (y_{i,j-1,t-1} + y_{i,j+1,t-1}) +
\gamma_3 (y_{i-1,j,t} + y_{i+1,j,t}) + \\
 &&\gamma_4 (y_{i,j-1,t} + y_{i,j+1,t}) \;.
\end{array}
\]
 \end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Modelo Autologístico Espaço-Temporal}
Valores de AIC;
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\caption{Valores de AIC para os modelos
ajustados}
\begin{tabular}{lc}
\hline
 Modelo & AIC \\
\hline
$m_1$ & 18223,40\\
$m_2$ & 25674,77\\
$m_3$ & 26149,11\\
$m_4$ & 26825,93\\
$m_5$ & 33867,96\\
$m_6$ & 34441,09\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
}
