\section{\large REVISÃO DE LITERATURA}

\subsection{Morte Súbita em Citros}

Essa doença, MSC, representa uma ameaça potencial para a
citricultura nacional, uma vez que afeta diversas variedades
comerciais de citros, causando o definhamento generalizado das plantas 
dentro da área produtora.

Sua incidência foi primeiramente observada na região sul do
Triângulo Mineiro e norte do Estado de São Paulo. Desde 1999, tem
causado a morte súbita de laranjeiras ({\it Citrus
sinensis}), tangerinas ({\it C. reticulata}) enxertadas em limoeiros
Cravo ({\it C. limonia}), (BASSANEZI; FERNANDES; YAMMAMOTO, 2003). 
Por ser transmitida por enxertia de tecidos e pela sua disseminação 
no pomar suspeita-se 
que a doença seja causada por um vírus, transmitido por vetor aéreo. 
Dois vírus (vírus da doença da tristeza dos citros e outro da família 
{\it Tymoviridae}) parecem estar associados a doença.  

Seu diagnóstico é realizado com base nos sintomas apresentados
pelas plantas doentes, pois não é possível diagnosticar a MSC
antes do aparecimento deles na planta. De início, ocorre
perda generalizada do brilho das folhas das plantas doentes,
perdendo a coloração verde-escuro, tendendo para o
amarelo-esverdeado. Com a evolução da doença, ocorre a desfolha
parcial da planta e seu sistema radicular apresenta grande
quantidade de raízes podres e mortas. A morte do sistema radicular
é consequência do bloqueio dos vasos do floema, que transportam a
seiva elaborada das folhas para as raízes.

O sintoma característico da doença é o aparecimento de coloração
amarela, tendendo para o alaranjado na parte interna da casca do
porta-enxerto, logo abaixo da zona de enxertia 
(BASSANEZI; AMORIM; BERGAMIN, 2003a).
O tempo entre o aparecimento dos primeiros sintomas e a morte da
planta é bastante variável em função da idade da planta, da época do
ano e da condição de carga dos frutos.

%figura

O avanço da doença pelas regiões produtoras causa preocupação aos
produtores e pesquisadores, que buscam conhecer o seu comportamento 
no tempo e espaço. O interesse está nas
relações espaciais entre plantas com sintomas de MSC. Essas
informações servirão de suporte para as inferências sobre o seu
período de incubação, a velocidade e os mecanismos de disseminação 
(Bassanezi et al. 2003).


\subsection{Leprose dos Citros}

A leprose dos citros é uma doença causada pelo vírus 
{\it Citrus leprosis vírus} (CiLV), transmitido pelo ácaro 
{\it Brevipalpus phoenicis}, medidas de controle da doença 
visam reduzir a população do vetor através de 
aplicações de acaricidas (BASSANEZI; LARANJEIRA, 2007).

Endêmica nas regiões produtoras do estado de São Paulo, a doença   
causa sérios prejuízos à produção. 
Na citricultura nacional, tem sido considerada a mais importante 
virose, pois reduz a produção e o período de vida das plantas 
de citros (RODRIGUES, 2000).
Os principais sintomas da doença na planta
são manchas em frutos, folhas e ramos, provocando queda prematura,
seca de ramos, e levando a planta ao definhamento 
(BASSANEZI; LARANJEIRA, 2007). 

Nas folhas, as lesões são inicialmente pouco salientes na face superior, 
apresentando coloração verde-pálida no centro e amarelada nas bordas. 
Nos frutos maduros, a lesão mostra-se na forma de uma depressão de 
coloração mais escura na casca, indo de verde a marrom-escura ou preta. 
Quando as lesões são abundantes, há queda intensa de folhas e frutos, 
reduzindo a capacidade fotossintética da planta. Nos ramos, a 
ocorrência de muitas lesões pode ocasionar a morte dos ponteiros. 
Os ramos mais grossos descascam transformando-se em porta de entrada 
para uma série de patógenos oportunistas.

O movimento e a distribuição espacial de vetores que transmitem a 
virose, afetam a disseminação
nas plantas e o progresso da epidemia. Existem relativamente 
poucos estudos dos processos temporais e espaciais, relacionando 
a dinâmica da doença na população de plantas hospedeiras e
a dinâmica populacional do vetor (CZERMAISNKI, 2006).


\subsection{Modelos Lineares Generalizados} \label{sec:revlitglm}

Os Modelos Lineares Generalizados (MLG's), também
denominados modelos exponenciais lineares, foram introduzidos por
Nelder e Wedderburn (1972). A idéia básica consiste em extender 
os modelos lineares usuais para respostas gaussianas. Permite-se, então,  
diferentes opções para a distribuição da variável resposta,
assumindo que a mesma pertença à família exponencial de
distribuições e tenha maior flexibilidade para a relação funcional
entre a média da variável resposta e o preditor linear.


\subsubsection{Especificação do Modelo}

A estrutura de um MLG é dada por três componentes:
\begin{itemize}
\item [i)] um componente aleatório composto de uma variável aleatória
$Y$ com $n$ observações independentes de uma distribuição
pertencente à família exponencial e um vetor de médias $\mu$;

\item [ii)]um componente sistemático composto por variáveis
explicativas $x_{1},...,x_{p}$ tais que, produzem um preditor
linear;
\item [iii)]e uma função $g(.)$ monótona diferenciável, conhecida como
função de ligação, que relaciona os dois componentes.
\end{itemize}

Sejam $Y_1, \cdots, Y_n$ variáveis aleatórias independentes, cada
uma com função de densidade de probabilidade na família
exponencial escrita como:

\begin{equation} \label{glm}
    f(y_i; \theta_i, \phi)=\exp [ \phi \{ y_i
\theta_i-b(\theta_i)+c(y_i)\}+a(y_i,\phi) ] \; ,
\end{equation}
em que ${\rm E}[Y_i]=  \mu_{i} $ e ${\rm Var}[Y_i]=\phi^{-1}V_i$,
$V_i=d\mu_i/d\theta_i$ é a função de variância, sendo
$i=1,2,\cdots,n$, $\theta=\theta(\beta)$ é o parâmetro canônico e
$\phi$ é o parâmetro de dispersão.

Os modelos lineares generalizados são definidos por~(\ref{glm}) e
pelo componente sistemático,

 \begin{equation}
    g(\mu_i)=\eta_i \; ,
 \end{equation}
em que $\eta_i=x_i\beta$ é o preditor linear,
$\beta=(\beta_1,\cdots, \beta_p)^\top$, $p<n$, é o vetor dos
parâmetros da regressão a serem estimados, $x_i=(x_{i1}, \cdots,
x_{ip})$ representa os valores de $p$ variáveis explicativas e
$g(\cdot)$ uma função monótona e diferenciável, denominada função
de ligação.

As funções de ligação mais utilizadas são obtidas quando o
parâmetro canônico coincide com o preditor linear, isto é, quando
$ \theta=\eta$ e a função de ligação, nestas situações, é chamada de
ligação canônica. Nas ligações canônicas o preditor linear modela
diretamente o parâmetro canônico, o que, geralmente, resulta em uma
escala adequada para a modelagem com interpretação prática para os
parâmetros de regressão.

Como exemplos ou casos particulares de distribuições que pertencem
à família exponencial podem-se mencionar as distribuições
normal, normal inversa, Poisson e binomial, dentre outras. A
partir dessas distribuições podem-se obter os modelos de regressão
normal inversa, regressão Poisson, regressão logística entre
outros.

Desde sua proposição os MLG's tem sido largamente usados, 
maoires detalhes sobre o assunto podem ser encontrados em 
Nelder e Wedderburn (1972), Demétrio (2001) e McCullagh e Nelder 
(1989).

\subsection{Modelo de Regressão Logística}

O modelo de regressão logística é um modelo linear generalizado
adequado para variáveis respostas binárias. Os dados assumem
distribuição de probabilidade binomial, sob a forma de $Y_{i}$
sucessos em $m_{i}$ ensaios de Bernoulli, $(i=1,\cdots, n)$. 
O modelo logístico é atrativo devido à facilidade de interpretação
dos parâmetros do modelo. A partir dos parâmetros pode-se medir o
aumento na chance de sucesso com o acréscimo de uma unidade da
covariável associada enquanto as demais permanecem constantes.


\subsubsection{Especificação do Modelo}

Seja $Y$ variável aleatória com distribuição binomial, escrita na 
forma da família exponencial por,
\begin{equation} \nonumber
f(y;\theta)= exp \left\{ \left(\begin {array} {c} m\\y \end{array} \right)+ 
y\, ln \theta +(m-y)\, ln(1-\theta) 
\right\} I_{A}(y)\; .
\end{equation}

O modelo de regressão logística para $E[Y|x]=\theta(x)$ pode ser
expresso por:

\begin{equation} \label{regl}
\theta(x)=P(Y=1|x)=\frac
{\exp\{\beta_{0}+\sum_{k=1}^{p}\beta_{k}x_{k}\}}{1+\exp\{
\beta_{0}+\sum_{k=1}^{p}\beta_{k}x_{k}\}} \; ,
\end{equation}
em que $Y_{i}=1$ representa a presença da resposta e zero, caso
contrário, $x$ representa as covariáveis, $x=(x_{1},\cdots,x_{p})$,
o parâmetro $\beta_{0}$ é o intercepto, e
$(\beta_{1},...,\beta_{p})$ são os $p$ parâmetros de regressão 
associados às covariáveis.

Observe que como:

\begin{equation} \nonumber
ln \left( \frac{\theta(x)}{1-
\theta(x)}\right)=\beta_{0}+\sum_{k=1}^{p}\beta_{k}x_{k} \; ,
\end{equation}
tem-se um modelo linear para o logito, isto é, o logaritmo
neperiano da razão entre $\theta(x)$ e $1-\theta(x)$. No contexto
de MLG's, o logito é a função de ligação canônica
para a regressão logística.

\subsubsection{Inferência}

A estimação dos parâmetros do modelo é, usualmente, feita pelo
método de máxima verossimilhança. Assumindo que as observações sejam 
independentes tem-se a seguinte expressão para a função de
 verossimilhança:
\begin{equation} \nonumber
L(\beta)=\prod_{i=1}^{n}(\theta(x_{i})^{y_{i}})(1-\theta(x_{i}))^{1-y_{i}}
\; ,
\end{equation}
em que $\theta(x_{i})$ é a contribuição para a função de
verossimilhança dos pares $(y_{i}, x_{i})$, $y_{i}=1$ e
$1-\theta(x_{i})$ a contribuição dos pares em que $y_{i}=0$.

O princípio da máxima verossimilhança é estimar o valor de $\beta$
que maximiza $L(\beta)$. Algebricamente, é mais fácil trabalhar com
o logaritmo dessa função,

\begin{equation} \nonumber
l(\beta)= ln[L(\beta)]= \sum[y_{i} \ln \left(
\frac{\theta(x_{i})}{1-\theta(x_{i})} \right) +
\ln(1-\theta(x_{i}))] \; .
\end{equation}

Para encontrar o valor que maximiza $l(\beta)$, basta diferenciar
a respectiva função com respeito a cada parâmetro $\beta_{j}$
$(j=0,1,...,p)$, obtendo-se o sistema de $p+1$ equações, que,
igualadas a zero, produzem como solução as estimativas de máxima
verossimilhança de $\beta$. 

As $p+1$ equações são chamadas de equações de verossimilhança e, por
não serem lineares nos parâmetros $\beta_{j}$, requerem métodos
numéricos para obtenção da solução. Os métodos iterativos de
Newton-Raphson e o escore de Fisher são algoritmos numéricos
comumente utilizados com essa finalidade.
Os valores ajustados para o modelo de
regressão logística são, portanto, obtidos substituindo-se as
estimativas de $\beta$ em (~\ref{regl}).


\subsection{Modelo Autologístico}

Uma vez ajustado um MLG aos dados, quer-se verificar a qualidade do ajuste, 
uma forma é observar a deviance residual e os 
graus-de-liberdade do resíduo do modelo. O valor da deviance dever estar 
próximo ao valor dos graus-de-liberdade do resíduo do modelo. 
Quando o valor da deviance é maior há superdispersão, mais detalhes 
Demétrio (2001). Em um contexto em que a superdispersão seja 
parcialmente explicada pelo padrão espacial. 
A análise exploratória busca o padrão espacial nos resíduos e
havendo indicação, redefine-se o modelo. 
Uma proposta é usar o modelo autologístico.  

O modelo autologístico é uma forma apresentada na literatura para que 
a dependência espacial dos dados seja explicitamente considerada na  
modelagem.
É um modelo auto-regressivo espacial para
dados binários, considera a
observação em determinado local dependente das observações em locais
vizinhos na forma de covariáveis.
Grande parte da teoria estatística do modelo autologístico foi
introduzida por Besag (1972), com alguns exemplos
envolvendo doenças de plantas. Desde então, diversos autores como 
Gumpertz, Graham e Ristiano (1997), Huffer e Wu (1998),
Gu e Zhu (2001) e Wu e Huffer (2005) desenvolveram suas pesquisas usando 
e fazendo generalizações do modelo.

O modelo é aplicável em diferentes contextos.
Na modelagem de distribuições de espécies de plantas considerando  
covariáveis climáticas ( WU; HUFFER, 1997), no estudo do efeito 
das informações de covariáveis de
vizinhança na sobrevida de árvores tropicais (HUBBEL; CONDIT; FOSTER, 2001).
Em um conjunto de dados epidemiológicos espaciais envolvendo câncer de 
fígado (SHERMAN; APANASOVICH; CARROLL, 2006).

Gumpertz, Graham e Ristiano (1997) usaram
o modelo para a análise da incidência de {\it Phytophthora} em
pimentas de sino, dispostas em um {\it lattice}. O interesse estava
em usar o modelo autologístico para estudar a probabilidade de um
particular {\it quadrat} ter planta com a doença, a partir das informações de
vizinhança e covariáveis de solo. Czermainski (2006) estudou a incidência 
de leprose dos citros utilizando o modelo autologístico, 
Viola (2007) aplicou o modelo a dados de um experimento com pimentão.

Em seus estudos sobre a distribuição de duas diferentes florestas no
Canadá He, Zhou e Zhu (2003) observaram que o modelo
autologístico conseguiu explicar a dependência espacial dos dados,
levando os autores a obterem resultados satisfatórios. 

Wu e Huffer (2005), em seu artigo, adicionaram um
componente temporal ao modelo autologístico para analisar dados
binários do tipo espaço-temporal. O modelo, então, captura a relação entre a
variável binária e possíveis covariáveis, além de simultaneamente
ajustar a dependência espacial e a dependência temporal para um
campo aleatório Markoviano espaço-temporal. Para ilustrar o
método, o modelo foi ajustado a dados de rupturas causadas por
besouros em pinus na Carolina do Norte/USA. As observações foram
feitas em diferentes períodos de tempo. 


A essência do modelo autologístico é utilizar covariáveis obtidas a partir 
da variável resposta em posições vizinhas da localização considerada. Portanto,  
o elemento chave do modelo é a estrutura de vizinhança que será discutida na 
próxima Seção.


\subsubsection{Estrutura de Vizinhança}

Alguns tipos de dados estão dispostos regularmente em 
linhas e colunas em uma determinada
região, ou seja, dados formando uma malha regular de pontos. A
estrutura descrita permite construir covariáveis de vizinhança, que
farão parte do modelo autologístico.

A estrutura de vizinhança pode ser construída de diferentes formas, como 
ilustrado na Figura \ref{viz}, considerando simplesmente a ordem  de 
vizinhança ou considerando o efeito da planta nas linhas e colunas 
separadamente (GUMPERTZ; GRAHAM; RISTIANO, 1997).

\setkeys{Gin}{width=0.95\textwidth}
\begin{figure}[h!tb]
\begin{center}
 \includegraphics[angle=0,scale=0.75]{viz.eps}
 \vspace*{-0.5cm} 
\flegenda{Estruturas de vizinhança: primeira ordem, segunda ordem e
segunda ordem separadamente.} \label{viz}
\end{center}
\end{figure}

Considerando as ordens de vizinhança, uma possibilidade é
construir uma covariável dentro de cada ordem de vizinhança. A covariável de
primeira ordem é a soma das observações de quatro vizinhos, dois
vizinhos na mesma linha em colunas adjacentes e dois vizinhos na
mesma coluna em linhas adjacentes, e a de segunda ordem é a
soma das observações da covariável de primeira ordem, com
as informações dos quatro vizinhos nas duas diagonais.

Outra maneira de construir covariáveis de vizinhança é considerar
linhas, colunas e diagonais separadamente, dentro de determinada
ordem. Na primeira ordem, são construídas duas covariáveis. A
primeira covariável inclui observações dos dois vizinhos na mesma
linha em colunas adjacentes, posições $(k,l+1)$ e $(k,l-1)$,
enquanto que a segunda covariável inclui informações dos dois
vizinhos na mesma coluna em linhas adjacentes, posições $(k-1,l)$ e
$(k+1,l)$. Na estrutura de segunda ordem de vizinhança, são somadas
as covariáveis de primeira ordem a uma terceira covariável, a qual 
inclui os dois vizinhos da diagonal $(-1,1)$, posições $(k-1,l+1)$ e
$(k+1,l-1)$ e a uma quarta covariável que inclui os dois vizinhos
da diagonal $(1,1)$, posições $(k-1,l-1)$ e $(k+1,l+1)$ (HE; ZHOU; ZHU, 
2003). De forma análoga pode-se considerar vizinhança de maior ordem. 

A estrutura de segunda ordem com efeitos considerados é mais flexível e
particularmente útil no caso com doenças de plantas que possuem
espaçamento diferente entre linhas e colunas.

A informação da covariável de vizinhança pode ser 
considerada de duas formas no modelo autologístico: a 
informação de existência ou não de vizinhas doentes ou, o número 
ou proporção de 
vizinhas doentes. No primeiro caso, plantas com uma vizinha 
doente serão consideradas de forma igual às plantas com mais de uma 
vizinha doente. Essas duas possibilidades de considerar a informação 
das vizinhas devem ser observadas na análise. Isso porque, ambas 
contemplam diferentes formas de contágio. No primeiro caso assume-se 
que o efeito 
de uma planta doente é o mesmo de duas plantas doentes.

Quando for considerado a contagem de plantas vizinhas doentes as expressões 
para o logito no caso de nenhuma vizinha doente, uma vizinha doente e 
duas vizinhas doentes são, respectivamente:
\[\begin{array}{lll}
 logit(p_{kl}) = & \beta_{0} \\
 logit(p_{kl}) = & \beta_{0} + \gamma_{1} \\
 logit(p_{kl}) = & \beta_{0} + 2\gamma_{1} \\
\end{array}
\]

Quando for considerado a covariável de vizinhança na forma forma binária, 
presença ou ausência de vizinhas 
doentes, as expressões são, respectivamente: 
\[\begin{array}{lll}
 logit(p_{kl}) = & \beta_{0} + \gamma_{1} \\
 logit(p_{kl}) = & \beta_{0} \\
\end{array}
\]

\subsubsection{Especificação do Modelo} \label{sec:especificacao}

No modelo autologístico, a probabilidade de sucesso é modelada
como combinação linear de presença ou ausência de sucesso em
locais vizinhos e de covariáveis que captam informações adicionais
nesses locais:

\begin{equation} \nonumber
P(Y=y_{i}|x_{ji},y_{(i)})=logit(p_{kl})=\sum_{j=1}^{p}\beta_{j}x_{ji}+\sum_{k=1}^{q}\gamma_{k}y_{(i)}
\; ,
\end{equation}
 em que $y_{(i)}$ é o vetor de observações sem a i-ésima observação,
$\beta_{j}$ mede a influência da covariável $x_{j}$ e $\gamma_{k}$
mede a influência de vizinhança de ordem $k$.


Um {\it lattice} $D$ é uma região com $n$ posições, cada uma
descrita pelas coordenadas $(k,l)$ especificando a linha e a coluna
em que a observação é alocada. Em cada posição é
observada uma resposta binária $y_{(k,l)}$, que tem valor
1 na presença da variável de interesse e zero, caso contrário, e um
vetor $p\times 1$ de covariáveis $x_{(k,l)}$. As respostas binárias
de $n$ posições correspondem a $Y=(y_{(k,l)},(k,l)\in D)$ que
constituem um mapa da ocupação da variável de
interesse (HE; ZHOU; ZHU, 2003).

A expressão do modelo autologístico é dada por,

\begin{equation} \nonumber
Pr(Y_{k,l}=y_{k,l}|x_{k,l},y_{(k,l)}, (k,l) \in
D)=\frac{exp\{\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l}+\sum_{t=1}^{q}\gamma_{t}y_{(k,l)}\}}{1+
exp\{
\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l}+\sum_{t=1}^{q}\gamma_{t}y_{(k,l)}\}}
\; ,
\end{equation}
em que, os $\beta's$ são parâmetros de regressão e os $\gamma's$ são os
parâmetros de autocorrelação espacial, $x_{k,l}$ representam as
covariáveis usuais e $y_{(k,l)}$ representam as covariáveis de
vizinhança, com preditor linear $\eta= g(\mu)=ln \left( \frac
{\theta(x)}{{1-\theta(x)}}\right)$.


\subsection{Inferência} \label{sec:infmodaut}

No modelo autologístico não é possível obter a expressão da função
de verossimilhança para a estimação dos parâmetros do modelo. A
probabilidade de sucesso de uma observação $s_{k,l}$ é condicional
ao {\it status} das outras observações
$v_{k,l}$. Isso faz com que as observações sejam dependentes entre
si, e ao ajustar um MLG usual, este não levará em conta
a autocorrelaçao dos dados. Diversos métodos de estimação 
foram propostos na literatura.

O método de pseudo-verossimilhança proposto por Besag (1977) e 
utilizado por Gumpertz, Graham e Ristiano 
(1997) maximiza uma função de pseudo-verossimilhança para o modelo
ajustado. A reestimação dos erros-padrão das estimativas de
vizinhança é feita usando-se o método de Bootstrap com o Amostrador
de Gibbs, pois, é preciso preservar a estrutura de vizinhança dos
dados originais e o método de Bootstrap sozinho não permite isso.
Em Hubbell, Condit e Foster (2001), o método de estimação usado foi de 
máxima verossimilhança com simulação 
Monte Carlo com Cadeias de 
Markov, utilizando o Amostrador de Gibbs, semelhante ao procedimento
utilizado por Gumpertz, Graham e Ristiano (1997).

He, Zhou e Zhu (2003) compararam três métodos
de estimação dos parâmetros: o método de pseudo-verossimilhança,
proposto por Besag (1977), o de máxima verossimilhança com 
simulação Monte Carlo, introduzido por Geyer e Thompson (1992), e a
aproximação estocástica Monte Carlo com cadeias de Markov proposto por
Gu e Zhu (2001).
Wu e Huffer (2005) estimaram os parâmetros do modelo por
pseudo-verossimilhança e obtiveram a predição de respostas futuras
no {\it lattice} por meio de Amostrador de Gibbs.

Sherman, Apanasovich e Carrol (2006) demonstraram porque o método 
de máxima verossimilhança 
não é adequado para estimação dos parâmetros no ajuste de dados binários 
espaciais usando o modelo autologístico. Discutiram métodos alternativos 
de estimação: máxima pseudo-verossimilhança, máxima pseudo-verossimilhança 
generalizada e máxima verossimilhança com simulação Monte Carlo. 
Esses três métodos de estimação foram aplicados a um conjunto de dados 
reais e a dados simulados.
	

\subsubsection{Estimação por Pseudo-verossimilhança}

O método de pseudo-verossimilhança foi proposto por
Besag (1977) e estudado por muitos autores desde então.
Besag sugeriu um método de estimação que maximize uma função de
pseudo-verossimilhança para o modelo ajustado, dado por:

\begin{eqnarray} \nonumber
l_{ps}(\theta)& = &\sum_{(k,l)\in D} ln[P(Y_{k,l}=y_{k,l}|todos \;
os \; outros
\; valores)]\nonumber \; , \\
l_{ps}(\theta)& = &\sum_{(k,l)\in D}\{y_{k,l}f_{k,l}(\theta)-ln[
1+\exp(f_{k,l}(\theta))]\} \nonumber\;,
\end{eqnarray}
em que
$f_{k,l}(\theta)=\beta_{0}+\beta_{1}x_{k,l}^{T}+\gamma_{1}y_{(k,l)}+\gamma_{2}y_{(k,l)}+\gamma_{3}y_{(k,l)}+\gamma_{4}y_{(k,l)},$
e $\mathbf{\theta}=(\beta_{0},\beta^{T}_{1},\gamma_{1}, \gamma_{2},
\gamma_{3}, \gamma_{4})^{T}$


O estimador $\mathbf{\hat{\theta}}$, em geral, é consistente e 
assintoticamente normal.
Entretanto, os desvios-padrão do estimador obtido pela 
regressão logística usual são inválidos e precisam ser  
recalculados de outra maneira (WU; HUFFER, 2005). 
Uma forma de recalcular proposta por Gumpertz, Graham e Ristiano (1997) é usar 
o método de reamostragem Boostrap 
paramétrico.


\subsubsection{Método de Bootstrap}

A metodologia Bootstrap consiste em gerar amostras a partir dos dados
originais para estimar a quantidade de interesse com essas amostras.
O Bootstrap paramétrico é utilizado quando se tem informação suficiente sobre
a forma da distribuição dos dados. A amostra Bootstrap é formada realizando-se
amostragem dessa distribuição com os parâmetros desconhecidos substituídos por
estimativas paramétricas. A distribuição da estatística de interesse 
aplicada aos
valores da amostra Bootstrap, condicional aos dados observados,
é definida como distribuição Bootstrap dessa estatística.

Para o presente estudo, os passos de Bootstrap consistem em simular
$N$ {\it lattices} $(\tilde{y}^{(1)},...,\tilde{y}^{(N)})$ dado as
estimativas dos parâmetros de vizinhança do modelo ajustado aos
dados observados. Obtém-se, então, a estimativa de $y_{i}^{(l) }$,
para cada $\tilde{y}^{(l)}$ simulado.

Devido à configuração espacial dos dados, o método de Bootstrap
necessita usar o algoritmo do amostrador de
Gibbs (GEMAN; GEMAN, 1984). O Amostrador de Gibbs permite que o padrão
espacial de vizinhança original seja preservado na reamostragem Bootstrap.

O  amostrador de Gibbs é útil, no sentido de ser um procedimento
de amostragem baseado em distribuições condicionais, que permite retirar
amostras sucessivas da distribuição de cada dado $y_i$, condicionado aos 
seus vizinhos.

O algoritmo de Gibbs para obter $N$ amostras $\hat{\gamma}$ é
feito da seguinte forma:
\begin{enumerate}
\item Iniciar com os dados observados, e fazer um ciclo pelas
  plantas atualizando cada planta em ordem aleatória.
\item Para atualizar cada planta deve-se simular o { \it status}
(doente/sadia) de acordo com o
  modelo ajustado aos dados observados e o estado atual dos vizinhos.
\item Uma varredura completa é realizada após atualizar o {\it status}
de todas as plantas uma vez.
\item Ajustar o modelo aos dados atuais e guardar as
estimativas dos parâmetros.
\item Repetir os passos anteriores $N$ vezes.
\end{enumerate}

Para obter a estimativa de $\gamma$ é preciso simular $y_{t}$ de
$P(y_{i}^{t}|y_{i-1}^{t-1})$, em que $$y_{i-1}^{t-1}=(y_{0}^{t},
...,y_{i-1}^{t}, y_{i+1}^{t-1}, ..., y_{n}^{t-1}),$$ são as
observações atuais da cadeia, reconstruir as covariáveis de
vizinhança e obter as estimativas de $\hat{\gamma}$ ajustando um
GLM usual. Os $N$ vetores de $\hat{\gamma}$ são utilizados
para obter o erro-padrão para $\hat{\gamma}$ estimado com os dados
observados.

\subsubsection{Método de Monte Carlo}

O método de Monte Carlo é o procedimento mais simples para se
fazerem inferência sobre parâmetros, a respeito dos quais se
desconhece a distribuição e, conseqüentemente, uma estatística
de teste. Esse método consiste em obter amostras do parâmetro de
interesse sob hipótese nula. Isso é feito ajustando-se o modelo
proposto a dados simulados sob a hipótese nula. A partir das
amostras dos parâmetros, obtém-se a distribuição empírica dos
parâmetros sob a hipótese nula. O valor observado na amostra de
dados reais é avaliado na distribuição empírica obtida e o valor 
de p é calculado.

O método de Monte Carlo é mais simples do que o método de Bootstrap e
sua aplicação extremamente mais rápida. A vantagem do procedimento
de Bootstrap é que são obtidas estimativas por intervalo para os
parâmetros. Porém, o método de Monte Carlo traz resultados muito
semelhantes sobre a hipótese de dependência espacial, tornando-se
uma opção aplicável a grandes conjuntos de dados.

\subsubsection{Método de Monte Carlo com Cadeias de Markov (MCMC)}

Wu e Huffer (1995) e, posteriormente, outros autores concluíram que usar 
máxima verossimilhança com simulação MCMC 
é superior aos outros métodos usados para
estimação dos parâmetros, como por exemplo, método de
pseudo-verossimilhança.
Em estudos de simulação as estimativas encontradas pelo 
método são aproximadamente normais e usando a informação de Fisher as 
estimativas de variância obtidas podem ser usadas para construir intervalos 
de confiança. 

Os métodos de Monte Carlo com Cadeias de Markov são uma alternativa
aos métodos não iterativos em problemas complexos. A idéia é obter
uma amostra da distribuição a posteriori e calcular estimativas de
características desta distribuição. As técnicas usadas são de
simulação iterativa, baseadas em cadeias de Markov, e assim os
valores gerados não serão mais independentes. Os métodos de
MCMC mais usados são Amostrador de Gibbs e o algoritmo de
Metropolis-Hastings.


\paragraph{Cadeias de Markov:}

Uma cadeia de Markov é um processo estocástico $\{X_{0},
X_{1},...\}$ tal que a distribuição de $X_{t}$ dado todos os
valores anteriores $X_{0},...X_{t-1}$ depende apenas de $X_{t-1}$.

Os métodos MCMC requerem que a cadeia seja:
\begin{itemize}
\item [i)] homogênea, isto é, as probabilidades de transição de um
estado para outro são invariantes; \item [ii)] irredutível, isto é, cada
estado pode ser atingido a partir de qualquer outro número finito
de interações; \item [iii)] e aperiódica.
\end{itemize}

Uma questão de ordem prática é como os valores iniciais
influenciam o comportamento da cadeia. A idéia é que conforme o
número de iterações aumenta, a cadeia gradualmente esquece os
valores iniciais e, eventualmente, converge para uma distribuição de
equilíbrio. Assim, em aplicações práticas é comum que as iterações 
iniciais sejam descartadas, como se formassem
uma amostra de aquecimento.

\subsection{ Dependência Temporal no Modelo Autologístico}

No artigo de Wu e Huffer (2005) os dados do {\it
lattice} analisado estavam disponíveis em diferentes períodos de
tempo; ou seja, para uma dada localização $s_i$ e uma dada
observação no tempo $t$, a variável resposta é $Y_{i,t}=Y(s_i,t)$,
$(i=1,...,n)$ e $(t=1,2,...)$. Nesse caso, é necessário o acréscimo
da dependência temporal no modelo autologístico.

A formulação do modelo tem uma similaridade com Besag (1972) e com
Preisler (1993). Em Besag (1972), o modelo autologístico
espaço-temporal foi proposto com a suposição de estacionaridade.
Preisler (1993) considerou a regressão autologística
espaço-temporal, mas supôs a independência entre as observações em
diferentes tempos. A contribuição de Wu e Huffer (2005) foi de
melhorar o modelo de Preisler (1993) de modo que a dependência
temporal esteja contida no modelo. Além disso, o método pode ser
estendido para Campos aleatórios Markovianos com dependência
espacial e temporal.


\subsubsection{Covariáveis de vizinhança no período de tempo anterior}

Nas situações em que as observações são medidas em diferentes
períodos de tempo pode-se ajustar um modelo
autologístico para as observações em cada um dos períodos. Uma
proposta é modelar os dados de um período de tempo $t$, utilizando
as covariáveis de vizinhança no período de tempo anterior $t-1$.

Essa abordagem permite explorar o potencial preditivo do modelo. 
Por exemplo, ajusta-se o modelo em cada avaliação do tempo $t$, 
acessando as covariáveis do tempo anterior $t-1$, assim o modelo 
pode ser utilizado para predizer a incidência no
tempo futuro, baseado nas covariáveis de vizinhança do período
atual.

O modelo é dado por,
\begin{equation} \nonumber
Pr(Y_{k,l}=y_{k,l}^{t}|x_{k,l},y_{(k,l)}^{t-1}, (k,l) \in
D)=\frac{exp\{\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l}+\sum_{t=1}^{q}\gamma_
{t}y_{(k,l)}^{t-1}\}}{1+ exp\{
\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l}+\sum_{t=1}^{q}\gamma_{t}y_{(k,l)}^{t-1}\}}
\; ,
\end{equation}
em que, os $\beta's$ são parâmetros de regressão e $\gamma's$ são 
parâmetros de autocorrelação espacial, $x_{k,l}$ representam as
covariáveis e $y_{(k,l)}^{t-1}$ representam as covariáveis de
vizinhança no tempo anterior. Com preditor linear $\eta= g(\mu)=ln \left( \frac
{\theta(x)}{{1-\theta(x)}}\right)$.

Nessa situação, a estimação dos parâmetros pode ser 
feito por pseudo-verossimilhança, e 
as estimativas dos erros-padrão fornecidas pelo MLG usual estão corretas, 
pois não há autocorrelação das observações.

\subsubsection{Covariáveis de vizinhança no tempo atual e anterior}

A partir do modelo ajustado com covariáveis do tempo anterior,
pode-se testar se ainda restou algum efeito possível de ser
explicado pelas covariáveis no tempo atual. Para isso, constrói-se o 
modelo autologístico considerando covariáveis no período de tempo
atual e anterior em um mesmo modelo. Tem-se, para esse caso,

\begin{equation} \nonumber
Pr(Y_{k,l}=y_{k,l}^{t}|x_{k,l},y_{k,l}^{t}, y_{(k,l)}^{t-1}, (k,l)
\in D)= \frac{exp\{ \eta^{*} \}}{1+ exp\{ \eta^{*} \}} \; ,
\end{equation}
sendo que,
\[\eta^{*}=\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l}+\sum_{t=1}^{q}
\gamma_{t}y_{(k,l)}^{t}+\gamma_{t}y_{(k,l)}^{t-1} \; .\]

Ao fazer a estimação por pseudo-verossimilhança 
os erros-padrão das estimativas dos 
parâmetros no tempo $t$ precisam
ser estimados pelo procedimento de reamostragem, pois há a indução
de autocorrelação e os erros-padrão usuais não são apropriados.
