
\section{MATERIAL E MÉTODOS} \label{met}

\subsection{Material}

Os dados com incidência de MSC e os dados com incidência de 
leprose dos citros 
a serem analisados nesse estudo foram cedidos pelo Fundecitrus
(Fundo de Defesa da Citricultura). 
O Fundecitrus é uma associação de citricultores e indústrias processadoras 
de frutas cítricas. Atua na sanidade dos pomares de cítricos, realiza e financia pesquisas 
científicas para a descoberta de formas de controle ou manejo de doenças e 
pragas que afetam a citricultura brasileira. %falar da importancia do banco de dados

Os dados de MSC foram obtidos na Fazenda Vale Verde, localizada no
município de Comendador Gomes, estado de Minas Gerais. O talhão
possui $20$ linhas com 48 plantas em cada uma. O
espaçamento entre linhas é de $7,5$ metros e entre as plantas na
linha é de $4$ metros. Na época da coleta dos dados as plantas tinham 12 anos.

Foram coletadas observações em $12$ avaliações feitas entre os
dias $05/11/2001$ e $07/10/2002$.
A coleta dos dados resumia-se a diagnosticar o \textit{status} de cada
planta dentro do talhão.
Em cada avaliação, se a planta observada apresentasse
sintomas da doença atribuía-se o valor $1$, se estivesse sadia atribuía-se
o valor $0$. 

O mapa da incidência da doença em cada avaliação está apresentado na
Figura~\ref{mapa}.
A incidência da doença no talhão variou de $14,9\%$ na primeira avaliação até
$45,73\%$ na $11^{o}$ avaliação.
A $12^{o}$ avaliação foi descartada devido à alta incidência da doença.

\setkeys{Gin}{width=0.95\textwidth}
\begin{figure}[h!tb]
\begin{center}
 \includegraphics[angle=0,scale=0.7]{vv202.eps}
 \vspace*{-0.5cm}
 \flegenda{Incidência de MSC em cada avaliação.}
  \label{mapa}
  \end{center}
\end{figure}

Os dados com incidência de leprose de citros são de um talhão da variedade valência sobre 
limoeiro cravo, plantado em 1996, no município de Santa Cruz do Rio Pardo/SP. O espaçamento 
entre linhas é de $7,5$ metros e entre plantas na linha é de $4$ 
metros com $20$ linhas de 58 plantas. 

Foram feitas $45$ avaliações entre os períodos de janeiro de $2002$ e 
novembro de $2004$. 
Nesse período não foram realizadas pulverizações com acaricidas no talhão, 
de modo a não afetar a população de ácaro da leprose.
As avaliações foram feitas em intervalos variáveis de tempo,
foram coletadas as seguintes informações: contagem de frutos, 
ramos e folhas com sintomas de leprose,
dentro do talhão; a partir dos registros de
infestação e de infecção nas plantas, foram obtidas as incidências 
binárias (0 para ausência do evento ácaro ou sintoma e 1 para 
presença do evento), correspondentes aos órgãos avaliados nas plantas
(quanto a sintomas) e à planta como um todo (quanto a sintomas e ácaros).
 

Os talhões de cítricos a serem analisados no trabalho permitem desenvolver uma 
metodologia de análise que poderá ser estendida para 
avaliar os demais talhões com incidência doenças cítricas que foram monitorados 
espacialmente.

\subsection{Métodos}

Devido ao fato que, presença, ou não, da doença em determinada planta está
altamente correlacionada com a presença, ou não, da doença em plantas vizinhas,
espera-se que plantas próximas tenham características similares,
particularmente, que a localização das plantas doentes apresente
algum padrão espacial.
Para os dados apresentados na Seção anterior a proposta é considerar a
depedência espacial dos dados na modelagem estatística atráves do modelo
autologístico.

\subsubsection{Especificação do modelo autologístico} \label{sec:especificacao}

Pelo modelo autologístico calcula-se a probabilidade de determinada
planta estar doente como combinação linear do {\it status} da doença
(doente/sadia) nas plantas vizinhas e de covariáveis usuais de um
modelo de regressão. Tem-se, então, 

\begin{equation} \nonumber
P(Y=y_{kl}|x_{kl},y_{(kl)})=logit(p_{kl})=\sum_{j=1}^{p}\beta_{j}x_{kl}+\sum_{k=1}^{q}\gamma_{k}y_{(kl)}
\; ,
\end{equation}
sendo que $y_{(kl)}$ é o vetor de observações sem a {\it kl}-ésima
observação, o índice $kl$ indica a posição da observação na linha
$k$ e na coluna $l$. Os $\beta_{j}'s$ são parâmetros de regressão e
$\gamma_{k}'s$ são os parâmetros de autocorrelação espacial,
$x_{k,l}$ representam as covariáveis e $y_{(k,l)}$ representam as
covariáveis de vizinhança. 

Quer-se encontrar a melhor forma de considerar a informação das 
covariáveis de vizinhança no modelo ajustado aos dois conjuntos de 
dados. 
Diante desse fato 
serão comparadas duas possibilidades: considerar a 
informação como  
a existência ou não de vizinhas doentes (binária), e considerar 
o número de vizinhas doentes (contagem). 

O fato de se terem avaliações dos dados em diferentes períodos de tempo,
permite que seja explorada a dimensão temporal dos dados estudados. Uma
proposta é modelar os dados de um período de tempo $t$, utilizando
as covariáveis de vizinhança no período de tempo anterior $t-1$,
expresso pelo Modelo $2$. Outra possiblidade é construir o modelo
autologístico considerando covariáveis no período de tempo atual e
período de tempo anterior expresso pelo Modelo $3$.

Os modelos propostos aos dados são:

\[\begin{array}{lll}
Modelo 1: & logit(p_{kl}^{t}) = & \beta_{0} + \gamma_{1}L_{kl}^{t} +
\gamma_{2}C_{kl}^{t} + \gamma_{3}Da_{kl}^{t} + \gamma_{4}Db_{kl}^{t} \\
Modelo 2: & logit(p_{kl}^{t}) = & \beta_{0} + \gamma_{1}L_{kl}^{t-1}
+
\gamma_{2}C_{kl}^{t-1} + \gamma_{3}Da_{kl}^{t-1} + \gamma_{4}Db_{kl}^{t-1} \\
Modelo 3: & logit(p_{kl}^{t}) = & \beta_{0} + \gamma_{1}L_{kl}^{t-1}
+
\gamma_{2}C_{kl}^{t-1} + \gamma_{3}Da_{kl}^{t-1} + \gamma_{4}Db_{kl}^{t-1} + \\
 & & \gamma_{5}L_{kl}^{t} + \gamma_{6}C_{kl}^{t} +
\gamma_{7}Da_{kl}^{t} + \gamma_{8}Db_{kl}^{t} \\
\end{array}
\]

O teste da dependência espacial consiste em testar a significância 
dos coeficientes associados as covariáveis de vizinhança. 
Para isso, utiliza-se o seguinte resultado assintótico
\begin{equation}
\frac {\hat{\gamma}}{ep_{\hat{\gamma}}}\sim N(0,1) \; .
\end{equation}

No modelo $1$, o teste da significância dos coeficientes, estará testando
a existência da dependência espacial e permitirá ver se a agregação
ocorre apenas nas linhas (curto alcance), entre as linhas (médio alcance) ou
também nas diagonais (longo alcance). Além disso, a análise do efeito das
covariáveis de vizinhança nas diagonais permitirá avaliar a existência de um
efeito direcional da agregação.

A análise geral da significância dos coeficientes do modelo $2$,
estará testando a capacidade preditiva desse modelo.
É interessante saber se será possível prever o \textit{status} das
plantas em um momento futuro. A análise da
significância de cada coeficiente separadamente, permitirá estudar
a forma de propagação da doença. Por exemplo, se o coeficiente da
covariável de vizinhança na linha for significativo, pode-se dizer
que a doença tendeu a se propagar na linha.

No modelo $3$, a significância dos coeficientes das covariáveis no
tempo anterior, poderá ser interpretado da mesma forma que no modelo
$2$. Nesse modelo, o teste da significância das covariáveis no tempo
atual, estará testando se houve a formação ou incremento de
agregação entre a data da avaliação anterior e a data atual.


\subsubsection{Inferência para o modelo autologístico} \label{sec:infmodaut}

A estimação do modelo será feita usando diferentes métodos propostos
na literatura: Método de Pseudo-Verossimilhança, Método de Monte
Carlo e Método de Monte Carlo com Cadeias de Markov. O {\it software} 
estatístico usado é o R, e o pacote Rcitrus, disponível para {\it
download} em http://www.leg.ufpr.br/Rcitrus.
