

%\noindent em que,

\subsection{Material e métodos}

\subsubsection{Material}

Neste trabalho serão analisados dois conjuntos de dados de doenças cítricas.
O primeiro refere-se à incidências de MSC 
e o outro à incidências de leprose dos citros. 
Os dados são proveniente de talhões onde as plantas foram monitoradas regularmente durante
um certo período de tempo e foram cedidos pelo Fundecitrus (Fundo de Defesa da
Citricultura). O Fundecitrus é uma associação de citricultores e indústrias
processadoras de frutas cítricas. Atua na sanidade dos pomares de cítricos,
realiza e financia pesquisas
científicas para a descoberta de formas de controle ou manejo de doenças e
pragas que afetam a citricultura brasileira.

\subsubsubsection{Dados de morte súbita dos citros} \label{mscitros}

Os dados de MSC foram obtidos na Fazenda Vale Verde,
localizada no município de Comendador Gomes, estado de Minas Gerais 
($19^\circ$ $64'$ $68"$ S , $48^\circ$ $98'$ $04"$ O). O talhão
possui 20 linhas com 48 plantas em cada uma. O
espaçamento entre linhas é de $7,5$ metros e entre as plantas na
linha é de $4$ metros.  As plantas tinham 12 anos na época da coleta dos dados.

\vspace{0.5cm}

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,scale=0.85]{Rfigs/vv202.eps}
\end{center}
\hangcaptionL{Incidência de MSC em talhão da Fazenda Vale Verde em 12 avaliações entre 05/11/2001 e 07/10/2002.}
\label{msc}
\end{figure}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}



Foram coletadas observações em $12$ avaliações feitas entre os
dias $05/11/2001$ e $07/10/2002$.
A coleta dos dados resumia-se a diagnosticar o \textit{status} de cada
planta dentro do talhão.
A cada avaliação, se a planta observada apresentasse
sintomas da doença atribuía-se o valor $1$, se estivesse sadia atribuía-se
o valor $0$.

O mapa da incidência da doença em cada avaliação está apresentado na
Figura~\ref{msc}.
A incidência da doença no talhão variou de $14,9\%$ na primeira avaliação até
$45,73\%$ na $11^{o}$ avaliação.
A $12^{o}$ avaliação foi descartada das análises pois apresentava 
incidência da doença em quase a totalidade das plantas.


\subsubsubsection{Dados de leprose dos citros}

Os dados com incidência de leprose de citros foram colatados em um talhão
de citros da variedade `Valência' enxertada sobre limoeiro `cravo', plantado em 1996.
O talhão está localizado em uma propriedade comercial no município de Santa
Cruz do Rio Pardo/SP ($22^\circ$ $53'$ $56"$ S , $49^\circ$ $37'$ $58"$ O). 
O espaçamento entre linhas é de 7,5 metros e entre plantas na linha é de 
3,8 metros. Foram analisadas avaliações entre os períodos de 2002 a 2004.
Nesse período não foram realizadas pulverizações com acaricidas no talhão, de
modo a não afetar a população de ácaro da leprose.


%\begin{figure}[!htb]
%\begin{center}
%\includegraphics[angle=0,scale=0.65]{Rfigs/inplsin1.ps}
%\end{center}
%\hangcaptionL{Mapas com incidência de leprose dos citros nas avaliações do 
%ano de 2002}\label{inc1}
%\end{figure}
%%\vspace{-0.3cm}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,scale=0.65]{Rfigs/inplsin2.ps}
\end{center}
\hangcaptionL{Mapas com incidência de leprose dos citros em um talhão nas avaliações 
do ano de 2003}\label{inc2}
\end{figure}
%\vspace{-0.3cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,scale=0.65]{Rfigs/inplsin3.ps}
\end{center}
\hangcaptionL{Mapas com incidência de leprose dos citros em um talhão nas avaliações 
do ano de 2004}\label{inc3}
\end{figure}
%\vspace{-0.3cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

Foram registradas as incidências de doença e também a presença do ácaro transmissor em cada planta do talhão.
O monitoramento do talhão foi iniciado em 20/01/2002 com avaliações aproximadamente mensais.
Na avaliação de 27/05/2002 foi detectada a primeira planta com a doença, não tendo a doença sido detectada
em outras plantas até a avaliação de 05/02/2003. 
As Figuras~\ref{inc2} e~\ref{inc3} mostram as avaliações dos 
anos 2003 e 2004, respectivamente onde
observa-se a dispersão da doença pelo talhão ao longo do tempo de avaliação.
As avaliações foram feitas em intervalos variáveis de tempo.
Foram coletadas as seguintes informações a partir dos registros de
infestação por {\it B. phoenicis} e de infecção por CiLV nas plantas:
as incidências codificadas de forma binária sendo 0 para ausência do evento ácaro ou sintoma e 1 para
presença do evento. A codificação foi feita separadamente para 
presença de sintomas em órgãos avaliados nas plantas
 e, para a planta como um todo, quanto a presença de sintomas e ácaros.

Os dados provenientes dos talhões de plantas cítricas a serem analisados neste trabalho, permitem
desenvolver uma metodologia de análise que poderá ser estendida para
avaliar os demais talhões monitorados espacialmente para a incidência de doenças cítricas.



\subsubsection{Métodos}  \label{dlep}

Considera-se que a presença de sintomas de determinada doença em uma planta 
pode estar associada com a presença da doença em plantas vizinhas. 
Desta forma, espera-se que plantas próximas tenham características similares, 
particularmente, que a localização das plantas doentes apresente algum padrão espacial. 
Na análise de dados binários geralmente é usada
a regressão logística,
como por exemplo, na análise de presença de doenças em plantas. 
No contexto de plantas em um talhão, é razoável assumir que plantas vizinhas
tendem a ter {\it status} similar, refletindo uma
eventual agregação no padrão espacial da doença. O modelo autologístico
(BESAG,~1972) estende a regressão logística usual para capturar a dependência
espacial dos dados.

Para os dados de incidência de doenças em citros apresentados na Seção
anterior a proposta de análise é de considerar a estrutura espacial através
da modelagem da probabilidade condicional de uma planta ser infectada, dado
o {\it status} das plantas vizinhas, por meio do modelo autologístico.


\subsubsubsection{Metodologia para os dados de MSC}

O conjunto de dados de MSC consiste do registro da presença da doença em cada planta
do talhão, para cada momento de coleta. 
Para a modelagem dos dados nesse caso não há covariáveis usuais 
e sugere-se utilizar a estrutura de vizinhança entre plantas  
na construção de covariáveis que possam auxiliar a descrição da probabilidade 
da ocorrência de doença nas plantas.

Os dados de MSC serão utilizados com intuito de ilustrar o uso 
das funções dos pacotes Rcitrus (KRAINSKI; RIBEIRO~JR.,~2007) e stLattice 
(KRAINSKI; RIBEIRO JR.,~2008), para o ambiente estatístico R 
(R DEVELOPMENT CORE TEAM,~2008). Esses pacotes foram desenvolvidos 
motivados pela necessidade de implementar algoritmos para 
facilitar análises de dados de presença de doenças
em monitoramento de talhões de plantas cítricas. Entretanto, as 
rotinas podem ser utilizadas para outras culturas com
arranjos sistemáticos das plantas.
Os pacotes implementam funções para manipulação e validação 
dos dados, métodos exploratórios para detecção de padrões espaciais 
e alguns modelos estatísticos de análise para dados de doenças
em plantas, podendo ainda serem usados para análise de
outros tipos de dados binários com arranjo espacial.

As funções {\it aglm()} do pacote stLattice e
{\it autologistic.citrus()} do pacote Rcitrus possibilitam o ajuste do modelo autologístico 
a dados binários com dependência espacial. Os argumentos
dessas funções permitem diferentes especificações de modelo. 
Por exemplo, é possível combinar diferentes estruturas de vizinhança, diferentes 
métodos de estimação dos parâmetros e diferentes períodos de tempo de 
avaliação. Essa possibilidade de construir diversas combinações de 
estratégias de análise auxilia 
na busca por um modelo adequado e de fácil interpretabilidade.

A função {\it autologistic.citrus()} do pacote Rcitrus traz argumentos 
básicos para a especificação do modelo. 
\begin{verbatim}
autologistic.citrus(formula=Y~R+C+dA+dB, bor=1, obj, size=NULL,
                    obj2=NULL, covariate=NULL, death=1,
                    healt=0, inf.method=c("pseudo","mc",
                    "bootstrap"), N, binary.covar=FALSE,
                     verbose=FALSE)
\end{verbatim}
Se o interesse está em estudar diferentes 
estruturas de vizinhança utiliza-se o argumento {\it formula} que permite 
combinar covariáveis de linha, coluna, diagonais, de primeira ou segunda 
ordem, além de variar o tempo das covariáveis de vizinhança quando existirem diferentes 
períodos de avaliação. Caso existam covariáveis usuais estas são acrescentadas pelo 
argumento {\it covariate}. O argumento {\it obj} especifica o objeto contendo 
o conjunto de dados da classe {\it matrix}  ou {\it data.frame}. 
A variável resposta entra com atributo de doente=1 e 
sadia=0, porém a codificação pode ser alterada pelos argumentos \textit{death} e \textit{health}.  
Os métodos de estimação implementados são o método de máxima 
pseudo-verossimilhança, \textit{bootstrap} com amostrador
de Gibbs para restimar as estimativas dos erros e o método de Monte Carlo. Existem outros argumentos 
pertencentes à função para situações mais específicas.


No pacote stLattice está disponível a função {\it aglm()} 
que implementa outras opções para o ajuste do modelo autologístico aos dados. 
\begin{verbatim}
 aglm(formula, data, sp = ~first, family = binomial,
      brlr=TRUE, bootstrap=TRUE, nboot=99,
      mctest = FALSE, nmc=99, bor = 1, lag = -1, times=30)
\end{verbatim}
O argumento {\it formula} permite especificar o modelo de regressão logística
com covariáveis usuais que possam existir no conjunto de dados.  
A classe stLattice define um formato específico para os dados a ser fornecido ao argumento {\it data}. 
A estrutura dessa classe é formada por três elementos: 
{\it coords} com as coordenadas (x,y) das localizações dos dados; 
{\it dates} com datas das avaliações e {\it data}, 
que é um {\it array} com quatro dimensões dadas 
pelo produto dos números de linhas, colunas, tempos e covariáveis. 
No argumento {\it sp} define-se as covariáveis de 
vizinhança do modelo, ou seja, a parte espacial do modelo. 
A vizinhança pode ser de primeira ordem (R + C), 
de segunda ordem (R+C+D), de segunda ordem com 
as diagonais separadas (R+C+dA+dB), ou ainda outras combinações de 
covariáveis. Em {\it lag} define-se o período do tempo em que as covariáveis
de vizinhança são avaliadas, podem ser períodos anteriores ou contemporâneos.
Define-se {\it bootstrap=TRUE} quando o procedimento de estimação 
usar pseudo-verossimilhança combinada com {\it bootstrap} via amostrador de Gibbs 
e {\it mctest=TRUE} quando o método de Monte Carlo é utilizado com o 
número de simulações dado por $N$. O argumento {\it brlr=TRUE} considera a correção de viés 
para ser usada no cálculo da função de pseudo-verossimilhança.


O procedimento de correção de viés (Firth,~1993) está implementado 
como uma opção no pacote stLattice. 
A aplicação desse método se dá nos casos em que
as estimativas de parâmetros não podem ser obtidas na maximização da função de 
pseudo-verossimilhança, fato que pode ocorrer na regressão logística. 
Isso é devido à separação completa ou quase-completa que ocorre quando há uma covariável 
que prediz perfeita ou quase perfeitamente a resposta. 
Supondo uma covariável com dois níveis e construindo com a resposta  
uma tabela de freqüências $2 \times 2$, tem-se a separação completa
no caso em que todos os elementos fora da diagonal desta tabela são nulos 
e quase completa quando um desses elementos é nulo.
No caso onde a covariável é a presença da doença na vizinhança,
a separação quase-completa pode ocorrer se, por exemplo, 
todas as plantas doentes do talhão tem vizinha na linha doente. 

O que diferencia o uso dos dois pacotes no ajuste do modelo
autologístico é o interesse do pesquisador e a estrutura dos dados. 
A função {\it aglm()} inclui o argumento {\it times},
para permitir o uso em  
situações onde além da estrutura espacial, a temporal também deva ser considerada.
Esse argumento é o peso do valor da diferença entre os diferentes 
períodos de tempo e define o termo de {\it offset} do modelo linear generalizado.
Em outras palavras, o pacote stLattice faz análises de dados espaço-temporais e
incorpora os dados de todas as avaliações em um modelo único. Por outro lado,
o pacote Rcitrus ajusta um modelo para cada avaliação, sem considerar o 
efeito temporal.

Segundo Krainsk et al.~(2008) o modelo autologístico calcula a
probabilidade $p_{kl}$ de determinada
planta na $k$-ésima linha e $l$-ésima coluna estar doente como 
uma função da combinação linear do {\it status} (doente/sadia) das plantas vizinhas.
Considerando a função de ligação logística tem-se que:
\begin{equation} \nonumber
logit(p_{kl})= \beta_0 +\gamma_1 L_{kl1} + \gamma_2 C_{kl2}
 + \gamma_{3}Da_{kl3}+ \gamma_{4}Db_{kl4} \; ,
\end{equation}
em que $L_{kl1}=y_{k-1,l} + y_{k+1,l}$ é o {\it status} das plantas na linha
adjacente e
forma a covariável dentro da linha; $C_{kl2}=y_{k,l+1} + y_{k,l-1}$ o
{\it status} das plantas em colunas adjacentes produzindo a covariável
entre linhas, $Da_{kl3}=y_{k-1,l+1}+ y_{k+1,l-1}$ e
$Db_{kl4}=y_{k-1,l-1}+y_{k+1,l+1}$ o {\it status} das plantas das diagonais,
formam as covariáveis de vizinhança das duas diagonais
(decrescente e crescente, respectivamente). Os parâmetros
$\gamma$'s medem o efeito de cada respectiva covariável de vizinhança.
A separação dos efeitos de linhas e colunas de plantas, acomoda o fato de
que o espaçamento dentro e entre linhas é diferente e permite estudar
os efeitos direcionais da doença. A estimação do modelo é feita usando o
método de pseudo-verossimilhança (BESAG,~1975).

Os modelos propostos para análise dos dados de MSC 
combinam diferentes estruturas de vizinhanças. São consideradas vizinhanças 
de primeira ordem, com efeito de linhas e colunas separadas e
de segunda ordem, com efeito de linhas, colunas e diagonais. 
Considera-se ainda períodos de avaliação anteriores e contemporâneos à avaliação. 
Essas diferentes formas de combinar a estrutura das covariáveis de vizinhança com o
tempo de avaliação auxiliam no estudo da estrutura de vizinhança que melhor
se adapta ao ajuste dos dados e permite avaliar se a defasagem no tempo é fator importante
na incidência da doença.

Nas especificações de modelo utilizadas aqui tem-se que $M1$ considera como
covariáveis de vizinhança as observações das plantas vizinhas dentro e entre
linhas. O modelo $M2$ acrescenta as covariáveis das diagonais. 
Ambos consideram medidas no tempo de observação anterior,
\[\begin{array}{lll}
M1:  logit(p_{klt}) &  = & \beta_{0} + \gamma_{1}L_{(k,l,t-1,1)}+
\gamma_{2}C_{(k,l,t-1,2)} \\

M2:  logit(p_{klt}) & = & \beta_{0} + \gamma_{1}L_{(k,l,t-1,1)}+
\gamma_{2}C_{(k,l,t-1,2)} + \gamma_{3}Da_{(k,l,t-1,3)} + \gamma_{4}
Db_{(k,l,t-1,4)} \; .
\end{array}\]

\vspace{0.5cm}

Os modelos $M3$ e $M4$ consideram as mesmas covariáveis dos modelos
$M1$ e $M2$, respectivamente, porém refletindo o
{\it status} das plantas vizinhas no mesmo tempo de observação da resposta.
\[\begin{array}{lll}
M3:  logit(p_{klt}) & = &  \beta_{0} + \gamma_{1}L_{(k,l,t,1)} +
\gamma_{2}C_{(k,l,t,2)}  \\

M4:  logit(p_{klt}) & = &  \beta_{0} + \gamma_{1}L_{(k,l,t,1)} +
\gamma_{2}C_{(k,l,t,2)}  + \gamma_{3}Da_{(k,l,t,3)}+ \gamma_{4}
Db_{(k,l,t,4)} \; .

\end{array}\]

\vspace{0.5cm}
	
O teste de significância dos parâmetros de regressão são baseados na
aproximação usual para modelos lineares generalizados, assumindo que
$\frac {\hat{\gamma}}{\sqrt{Var({\hat{\gamma}})}}\sim N(0,1)$.
Nos modelos apresentados, o teste da significância dos coeficientes
estará testando a existência da dependência espacial e permitirá detectar se
a agregação ocorre apenas nas linhas (curto alcance), entre as linhas
(médio alcance) ou também nas diagonais (longo alcance).  
A escolha entre os diferentes modelos permite ainda verificar
a importância de se considerar a defasagem no tempo 
para construção das covariáveis espaciais.

A análise geral da significância dos coeficientes dos modelos $M1$ e $M2$,
estará testando a capacidade preditiva desses modelos.
A análise da significância de cada coeficiente separadamente,
permitirá estudar se a forma de propagação da doença possui efeitos direcionais. 
Os modelos $M3$ e $M4$ testam a
significância das covariáveis de vizinhança no tempo contemporâneo
e, desta forma, esses 
modelos dão um enfoque descritivo à análise dos padrões espaciais da doença.


\subsubsubsection{Metodologia para os dados de leprose dos citros} 
\label{metlep}

Informações sobre o padrão espacial de plantas doentes auxiliam no 
conhecimento dos mecanismos de dispersão da doença, do patógeno e, 
consequentemente, das epidemias. 

Medidas como a distância mínima entre plantas com incidência de leprose 
e a análise por {\it quadrats} são utéis para as análises exploratórias 
dos dados (SPÓSITO et al.,~2007). O teste da distância mínima média consiste em calcular as 
distâncias mínimas entre plantas doentes. Aplica-se um teste Monte Carlo,  
comparando o valor observado de plantas com incidência da doença com valores 
obtidos sob hipótese nula de aleatoriedade espacial completa. 
O valor-$p$ corresponde à proporção de distâncias médias mínimas
calculadas nas simulações, menores ou iguais à média das distâncias 
mínimas observadas.

A análise por {\it quadrats} consiste em um procedimento simples 
para caracterizar o padrão espacial da doença. Para análise faz-se 
uma subdivisão do talhão em $N$ regiões denominadas {\it quadrats}. 
O procedimento de seleção dos {\it quadrats}, a forma e o tamanho 
são flexíveis. Podem ser tomados de forma fixa, que consiste em uma 
subdivisão regular do talhão, ou de forma aleatória, em que a posição
do {\it quadrat} é tomada por sorteio no talhão (KRAINSKI et al.,~2005).
A análise do padrão espacial é feita a partir do número de plantas doentes
dentre as plantas de cada {\it quadrat}. 
Tipicamente, um padrão espacial é classificado como aleatório, 
agregado ou regular. O padrão espacial aleatório está relacionado a
iguais oportunidades de infeção enquanto o agregado ocorre quando, em 
condições naturais, o patógeno dispersa-se predominantemente a curtas distâncias, 
como por exemplo, através de respingos da chuva.
Nesse caso a probabilidade 
de que uma planta situada próxima à fonte de inóculo se torne infectada 
é maior do que a de plantas mais distantes. O padrão regular não ocorre 
de forma natural, mas pode ser provocado pelo plantio alternado de 
variedades resistentes e suscetíveis (LIMA et al.,~2006).
Para análise do padrão espacial, o teste do ajuste pode ser feito pelo 
índice de dispersão $D$, que é a razão entre a variância observada nos 
dados e a variância teórica, segundo uma distribuição de probabilidades 
assumida para as contagens. 
A hipótese de aleatoriedade espacial é testada considerando que, 
sob essa hipótese, $(N-1)D$ tem distribuição $\chi^2_{(N-1)}$ onde $N$ é o número
de \textit{quadrats}.

Após análises exploratórias os padrões espaciais podem ser
investigados em mais detalhes através da modelagem dos dados.
Dados de incidência de doenças em plantas coletados em diferentes
períodos de tempo permitem que, além da dimensão espacial,
a dimensão temporal dos dados também seja explorada. 
O modelo autologístico espaço-temporal 
considera os diferentes períodos de tempo entre as avaliações e ajusta
um modelo para o conjunto de todas as avaliações.

São considerados aqui diferentes modelos autologísticos espaço-temporais para a probabilidade 
de doença nas plantas. As equações dos modelos são 
apresentadas na Tabela~\ref{tab1:lep}. Os modelos apresentam 
covariáveis usuais $x_{k,l,j}$ refletindo presença do ácaro
em cada planta na $k$-ésima linha e 
$l$-ésima coluna. Considerou-se duas formas para tal covariável, a simples presença ou ausência 
do ácaro denotada por $x_{k,l,j,1}$ ou  
o número de ácaros na planta denotado por $x_{k,l,j,2}$.
As seguintes covariáveis de vizinhança foram utilizadas: $L_{(k,l,t)}=(y_{k-1,l,t} + y_{k+1,l,t})$ é o {\it status} 
das plantas na linha adjacente e forma a covariável dentro da linha; 
$C_{(k,l,t)}=(y_{k,l+1,t} + y_{k,l-1,t})$ o
{\it status} das plantas em colunas adjacentes produzindo a covariável
entre linhas e $S_{(k,l,t-1)}=y_{k,l,t-1}$ que é a covariável definida 
pelo \textit{status} da mesma planta no tempo anterior.

A primeira proposta é de modelar os dados de uma avaliação $t$, utilizando 
a mesma planta na avaliação anterior $t-1$. Esse modelo ($M1$) permite 
verificar se o {\it status} da planta pode estar determinado pela condição
dela mesma no tempo anterior. Na prática, o fato da planta estar ou não 
doente na avaliação anterior deve ser considerada sempre, ou seja, essa 
covariável permanece em todos os modelos propostos, dada a persistência 
da leprose nas plantas. Um outro modelo considerado ($M2$), com covariáveis de 
vizinhança no período de tempo anterior $t-1$, reflete o contágio 
da doença pela vizinhança do passado.

O terceiro modelo ($M3$) considera as covariáveis de vizinhança no período de 
tempo contemporâneo à avaliação. Esse modelo reflete 
um contágio por fontes adicionais que não foram capturadas em $M2$, 
atribuíveis a outros aspectos da propagação da doença
que não só a influência das plantas vizinhas 
doentes na inspeção anterior.

\begin{table}[!h]
\hangcaptionL{Equações dos modelos autologísticos espaço-temporais
propostos para o ajuste dos dados de leprose}  \vspace*{0.5cm} 
\label{tab1:lep}
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
\hline
Modelos & Equações \\
\hline
M1 & $\beta_0 + \gamma_0 S_{(k,l,t-1,0)}$  \\

M2 & $\beta_0 + \gamma_0 S_{(k,l,t-1,0)} + \gamma_1 L_{(k,l,t-1,1)} + \gamma_2 C_{(k,l,t-1,2)}$  \\
M3 & $\beta_0 + \gamma_0 S_{(k,l,t-1,0)} + \gamma_1 L_{(k,l,t,1)} + \gamma_2 C_{(k,l,t,2)}$ \\

M4 & $\beta_0 + \beta_1 x_{(k,l,1,1)} + \gamma_0 S_{(k,l,t-1,0)}$ \\
M5 & $\beta_0 + \beta_1 x_{(k,l,1,1)} + \gamma_0 S_{(k,l,t-1,0)} + \gamma_1 L_{(k,l,t-1,1)} 
+ \gamma_2 C_{(k,l,t-1,2)}$\\
M6 & $\beta_0 + \beta_1 x_{(k,l,1,1)} + \gamma_0 S_{(k,l,t-1,0)} + \gamma_1 L_{(k,l,t,1)} 
+ \gamma_2 C_{(k,l,t,2)}$\\

M7 & $\beta_0 + \beta_1 x_{(k,l,2,1)} + \gamma_0 S_{(k,l,t-1,0)} $ \\
M8 & $\beta_0 + \beta_1 x_{(k,l,2,1)} + \gamma_0 S_{(k,l,t-1,0)} + \gamma_1 L_{(k,l,t-1,1)} +
\gamma_2 C_{(i,j,t-1,2)}$\\
M9 & $\beta_0 + \beta_1 x_{(k,l,2,1)} + \gamma_0 S_{(k,l,t-1,0)} + \gamma_1 L_{(k,l,t-1,1)} 
+ \gamma_2 C_{(i,j,t-1,2)}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

A incidência de ácaro na própria planta, ou em suas vizinhas, pode influenciar a 
probabilidade de uma planta apresentar a doença. A fim de avaliar e 
quantificar este efeito, uma covariável é construída a partir da ocorrência 
do ácaro e acrescentada aos modelos anteriores, definindo-se
três novos modelos - $M4$, $M5$ e $M6$. Avaliou-se ainda se, ao invés 
da simples ocorrência, o número de ácaros na planta poderia explicar 
melhor a probabilidade de ocorrer leprose. Os modelos $M7$, $M8$ e $M9$ 
avaliam esse efeito juntamente com as covariáveis de vizinhança.

Os modelos considerados sugerem diferentes mecanismos para explicar a 
dispersão da doença e o interesse é identificar o modelo que melhor 
reflete os padrões observados nos dados. Dois critérios de seleção de 
modelos comumente usados e adotados aqui são o critério de informação 
de Akaike (AIC) e o critério de informação de Bayes (BIC). 
Em ambas opções é considerado o melhor modelo aquele que apresenta o 
menor valor da tais medidas.
Contudo, não deve substituir a interpretação e informação contextual, 
especialmente quando as diferenças entre os modelos são pequenas, em especial no 
caso específico dos modelos espaciais considerados aqui onde a verossimilhança é apenas 
uma aproximação (KRAINSKI et al.,~2008).

O estudo da relação espacial e temporal da associação entre a incidência 
de plantas infestadas por {\it B. phoenicis} e da incidência de leprose 
dos citros, pode trazer estimativas mais precisas sobre o crescimento da 
epidemia, no tempo e no espaço. A detecção de padrões espaço-temporais 
nos resultados sugerem métodos de controle do vetor 
e práticas de intervenção para a retirada de órgãos afetados concentrados nas áreas
de localização dos focos da doença, ao invés da ação na área total 
(CZERMAINSKI,~2006).

A estimação do modelo será feita 
maximizando a função de pseudo-verossimilhança dada pela
equação~(\ref{pseudo}). Como dito na Seção~\ref{rev} esse método traz
estimativas consistentes dos parâmetros do modelo, porém as estimativas de
variância são inacuradas no caso onde covariáveis são construídas a partir da própria 
variável resposta. 
É adotada aqui a proposta que utiliza
a metodologia \textit{Bootstrap} com amostrador de Gibbs, 
que se preserva o padrão espacial dos dados na reamostragem. 
Krainski et al.~(2008) descreve o algoritmo de 
estimação implementado pelos autores para obter a reamostragem e as novas 
estimativas. 

Os procedimentos de análise foram feitos no ambiente estatístico R 
(R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2008), usando o pacote stLattice 
(KRAINSKI; RIBEIRO JR., 2008).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\subsection{Resultados e discussões}
%
%\subsubsection{Dados de morte súbita em citros}
%
%\subsubsection{Dados de leprose dos citros}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Resultados e discussão}

\subsubsection{Dados de morte súbita em citros}

A Figura~\ref{msc} mostra um rápido espalhamento da MSC no 
talhão durante o tempo de avaliação. 
Na primeira avaliação $15\%$ das plantas dentro do talhão já apresentavam a doença, 
que atingiu $46\%$ na $11^o$ avaliação,
no período de 11 meses de observação. 
A simples inspeção visual sugere uma provável existência de 
dependência espacial da doença entre as plantas. 

Os modelos apresentados na Seção~\ref{mscitros} foram ajustados aos dados. 
Os procedimentos de análise com o uso 
de funções dos pacotes Rcitrus e stLattice 
estão descritos no Apêndice.

A Tabela~\ref{tab:mod1} mostra as estimativas dos parâmetros, erros-padrão 
e significância para o modelo $M1$ ajustado aos dados de MSC. 
Ajustou-se um modelo para cada uma das avaliações, a partir da segunda. 
A significância das estimativas mostrou que a covariável de vizinhança 
dentro da linha, no instante de tempo anterior, influencia a probabilidade de
presença da doença. Ao analisar as vizinhas de primeira ordem 
separadamente (dentro da linha e entre linhas de plantas) 
é possível medir o efeito do espaçamento entre as plantas. 
Neste caso, o modelo mostrou que o espaçamento menor dentro da linha 
tem maior impacto na probabilidade de ocorrência da doença.
                                
\begin{table}[!h]
\hangcaptionL{Estimativas dos parâmetros, erros-padrão e significância para
o modelo $M1$ ajustado aos dados de MSC} \vspace*{0.5cm} \label{tab:mod1}
\begin{center}
\begin{tabular}{lccc}
\hline
Avaliações & $\hat{\beta}_0 \pm EP(\hat{\beta}_0)$ & $\hat{\gamma}_1 \pm 
EP(\hat{\gamma}_1)$ & $\hat{\gamma}_2 \pm EP (\hat{\gamma}_2)$  \\
\hline
2 & $-$1,806$\pm$0,163$^{**}$ & 0,362$\pm$0,181$^{*}$ & 0,120$\pm$0,192 \\
3 & $-$1,605$\pm$0,131$^{**}$ & 0,473$\pm$0,163$^{**}$ & 0,151$\pm$0,151 \\
4 & $-$1,567$\pm$0,141$^{**}$ & 0,650$\pm$0,137$^{**}$ & 0,026$\pm$0,147 \\
5 & $-$1,431$\pm$0,138$^{**}$ & 0,615$\pm$0,124$^{**}$ & 0,033$\pm$0,148 \\
6 & $-$1,388$\pm$0,166$^{**}$ & 0,611$\pm$0,118$^{**}$ & 0,058$\pm$0,140 \\
7 & $-$1,215$\pm$0,129$^{**}$ & 0,596$\pm$0,113$^{**}$ & 0,196$\pm$0,121 \\
8 & $-$1,276$\pm$0,130$^{**}$ & 0,621$\pm$0,117$^{**}$ & 0,143$\pm$0,119 \\
9 & $-$1,222$\pm$0,134$^{**}$ & 0,615$\pm$0,118$^{**}$ & 0,125$\pm$0,112 \\
10 & $-$0,931$\pm$0,129$^{**}$ & 0,503$\pm$0,108$^{**}$ & 0,021$\pm$0,110 \\
11 & $-$0,592$\pm$0,188$^{**}$ & 0,436$\pm$0,115$^{**}$ & 0,038$\pm$0,111 \\
\hline
\multicolumn{4}{l}{\hspace {-0.35cm} \small $^{**}$ indica significância a $1\%$ de probabilidade.}\\ %normalsize
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


%Os resultados das Tabelas~\ref{tab:mod2}, \ref{tab:mod3} e \ref{tab:mod4} 
%também foram obtidos usando a função {\it autologistic.citrus()} do pacote Rcitrus. 
                                 
A Tabela~\ref{tab:mod2} apresenta as estimativas, erros-padrão e 
significância para o modelo $M2$ em cada uma das avaliações. 
Para as covariáveis de segunda ordem, defasadas no tempo $t-1$, 
foram significativas ($p <0,05$) apenas a covariável dentro da linha, 
a diagonal decrescente nas avaliações 5 e 6, e a 
a diagonal crescente na avaliação 7. 

%\vspace{-0.5cm}
\begin{table}[!h]
\hangcaptionL {Estimativas dos parâmetros, erros-padrão e significância para
o modelo $M2$ ajustado aos dados de MSC} \vspace*{0.5cm} \label{tab:mod2}
\begin{center}
\begin{tabular}{lccccc}
\hline
Av. & $\hat{\beta}_0 \pm EP(\hat{\beta}_0)$ & $\hat{\gamma}_1 \pm EP(\hat{\gamma}_1)$ & $\hat{\gamma}_2 \pm EP(\hat{\gamma}_2)$ & $\hat{\gamma}_3 \pm EP(\hat{\gamma}_3)$ & $\hat{\gamma}_4 \pm EP(\hat{\gamma}_4)$  \\
\hline
2 & $-$1,866$\pm$0,153$^{**}$ & 0,357$\pm$0,192$^{*}$ & 0,096$\pm$0,205 & 0,069$\pm$0,199 & 0,136$\pm$0,171 \\
3 & $-$1,726$\pm$0,136$^{**}$ & 0,441$\pm$0,153$^{**}$ & 0,116$\pm$0,161 & 0,165$\pm$0,167 & 0,245$\pm$0,166 \\
4 & $-$1,721$\pm$0,146$^{**}$ & 0,639$\pm$0,134$^{**}$ & $-$0,047$\pm$0,137 & 0,205$\pm$0,141 & 0,224$\pm$0,144 \\
5 & $-$1,624$\pm$0,145$^{**}$ & 0,618$\pm$0,121$^{**}$ & $-$0,078$\pm$0,137 & 0,292$\pm$0,137$^{*}$ & 0,207$\pm$0,151 \\
6 & $-$1,577$\pm$0,134$^{**}$ & 0,595$\pm$0,113$^{**}$ & $-$0,028$\pm$0,124 & 0,242$\pm$0,131$^{*}$ & 0,209$\pm$0,137 \\
7 & $-$1,362$\pm$0,137$^{**}$ & 0,582$\pm$0,117$^{**}$ & 0,027$\pm$0,127 & 0,132$\pm$0,109 & 0,211$\pm$0,114$^{*}$ \\
8 & $-$1,392$\pm$0,161$^{**}$ & 0,611$\pm$0,111$^{**}$ & 0,101$\pm$0,120 & 0,075$\pm$0,122 & 0,155$\pm$0,126 \\
9 & $-$1,293$\pm$0,153$^{**}$ & 0,608$\pm$0,112$^{**}$ & 0,102$\pm$0,120 & $-$0,016$\pm$0,121 & 0,152$\pm$0,112 \\
10 & $-$0,953$\pm$0,144$^{**}$ & 0,502$\pm$0,105$^{**}$ & 0,016$\pm$0,111 & $-$0,089$\pm$0,118 & 0,127$\pm$0,104 \\
11 & $-$0,645$\pm$0,164$^{**}$ & 0,436$\pm$0,099$^{**}$ & 0,026$\pm$0,096 & $-$0,043$\pm$0,110 & 0,126$\pm$0,106 \\
\hline
\multicolumn{4}{l}{\hspace{-0.35cm} \small $^*$ e $^{**}$ indicam significância a $5\%$ e $1\%$ de probabilidade, respectivamente.}\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

A Tabela~\ref{tab:mod3} mostra as estimativas dos parâmetros, erros-padrão 
e significância do modelo $M3$. 
Esse modelo traz as covariáveis de vizinhança de primeira ordem, 
para o tempo contemporâneo a avaliação. Apenas a covariável dentro 
da linha mostra-se significativa ($p <0,01$) a partir da segunda 
avaliação. Entre as linhas de plantas não houve significância das 
plantas vizinhas.


\begin{table}[!h]
\hangcaptionL{Estimativas dos parâmetros, erros-padrão e significância para
o modelo $M3$ ajustado aos dados de MSC} \vspace*{0.5cm} \label{tab:mod3}
\begin{center}
\begin{tabular}{lccc}
\hline
Avaliações & $\hat{\beta}_0 \pm EP(\hat{\beta}_0)$ & $\hat{\gamma}_1 \pm EP(\hat{\gamma}_1)$ & 
$\hat{\gamma}_2 \pm EP(\hat{\gamma}_2)$   \\
\hline
1 & $-$1,965$\pm$0,134$^{**}$ & 0,327$\pm$0,199 & 0,004$\pm$0,210 \\
2 & $-$1,885$\pm$0,132$^{**}$ & 0,372$\pm$0,171$^{**}$ & 0,254$\pm$0,174 \\
3 & $-$1,703$\pm$0,129$^{**}$ & 0,639$\pm$0,141$^{**}$ & 0,043$\pm$0,149 \\
4 & $-$1,619$\pm$0,128$^{**}$ & 0,709$\pm$0,130$^{**}$ & $-$0,005$\pm$0,138 \\
5 & $-$1,480$\pm$0,126$^{**}$ & 0,604$\pm$0,123$^{**}$ & 0,066$\pm$0,127 \\
6 & $-$1,448$\pm$0,128$^{**}$ & 0,647$\pm$0,120$^{**}$ & 0,080$\pm$0,122 \\
7 & $-$1,311$\pm$0,131$^{**}$ & 0,619$\pm$0,113$^{**}$ & 0,121$\pm$0,114 \\
8 & $-$1,312$\pm$0,133$^{**}$ & 0,633$\pm$0,112$^{**}$ & 0,162$\pm$0,112 \\
9 & $-$1,218$\pm$0,132$^{**}$ & 0,612$\pm$0,111$^{**}$ & 0,099$\pm$0,110 \\
10 & $-$0,930$\pm$0,135$^{**}$ & 0,474$\pm$0,107$^{**}$ & 0,003$\pm$0,106 \\
11 & $-$0,850$\pm$0,144$^{**}$ & 0,546$\pm$0,100$^{**}$ & 0,143$\pm$0,098 \\
\hline
\multicolumn{4}{l}{\hspace{-0.2cm}\small $^{**}$ significativos a  $1\%$ de probabilidade.}\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


A Tabela~\ref{tab:mod4} mostra as estimativas dos parâmetros, 
erros-padrão e significância do modelo $M4$. 
Esse modelo traz as covariáveis de vizinhança de segunda ordem, 
para o tempo contemporâneo a avaliação. A covariável dentro da 
linha mostra-se significativa ($p <0,001$) a partir da 
segunda avaliação, além da diagonal decrescente na quinta avaliação.

\begin{table}[!h]
\hangcaptionL{Estimativas dos parâmetros, erros-padrão e significância para
o modelo $M4$ ajustado aos dados de MSC} \vspace*{0.5cm} \label{tab:mod4}
\begin{center}
\begin{tabular}{lccccc}
\hline
Av. & $\hat{\beta}_0 \pm EP(\hat{\beta}_0)$ & $\hat{\gamma}_1 \pm EP(\hat{\gamma}_1)$ & $\hat{\gamma}_2 \pm EP(\hat{\gamma}_2)$ & $\hat{\gamma}_3 \pm EP(\hat{\gamma}_3)$ & $ \hat{\gamma}_4 \pm EP(\hat{\gamma}_4)$   \\
\hline
1 & $-$2,021$\pm$0,155$^{**}$ & 0,321$\pm$0,200 & $-$0,022$\pm$0,213 & 0,007$\pm$0,211 & 0,206$\pm$0,194 \\
2 & $-$1,973$\pm$0,153$^{**}$ & 0,349$\pm$0,173$^{**}$ & 0,229$\pm$0,175 & 0,139$\pm$0,177 & 0,161$\pm$0,171 \\
3 & $-$1,844$\pm$0,151$^{**}$ & 0,628$\pm$0,141$^{**}$ & $-$0,025$\pm$0,154 & 0,163$\pm$0,151 & 0,233$\pm$0,146 \\
4 & $-$1,781$\pm$0,150$^{**}$ & 0,709$\pm$0,130$^{**}$ & $-$0,098$\pm$0,145 & 0,212$\pm$0,141 & 0,208$\pm$0,140 \\
5 & $-$1,682$\pm$0,149$^{**}$ & 0,589$\pm$0,124$^{**}$ & $-$0,026$\pm$0,132 & 0,309$\pm$0,130$^{*}$ & 0,167$\pm$0,130 \\
6 & $-$1,633$\pm$0,150$^{**}$ & 0,632$\pm$0,121$^{**}$ & $-$0,007$\pm$0,128 & 0,187$\pm$0,127 & 0,239$\pm$0,125 \\
7 & $-$1,451$\pm$0,156$^{**}$ & 0,606$\pm$0,113$^{**}$ & 0,069$\pm$0,118 & 0,095$\pm$0,117 & 0,191$\pm$0,118 \\
8 & $-$1,391$\pm$0,155$^{**}$ & 0,624$\pm$0,112$^{**}$ & 0,133$\pm$0,116 & 0,027$\pm$0,117 & 0,131$\pm$0,115 \\
9 & $-$1,289$\pm$0,157$^{**}$ & 0,608$\pm$0,111$^{**}$ & 0,077$\pm$0,115 & $-$0,059$\pm$0,115 & 0,187$\pm$0,113 \\
10 & $-$0,907$\pm$0,164$^{**}$ & 0,478$\pm$0,107$^{**}$ & 0,011$\pm$0,108 & $-$0,117$\pm$0,111 & 0,071$\pm$0,108 \\
11 & $-$0,900$\pm$0,172$^{**}$ & 0,524$\pm$0,101$^{**}$ & 0,125$\pm$0,101 & $-$0,078$\pm$0,103 & 0,163$\pm$0,103 \\
\hline
\multicolumn{4}{l}{\hspace{-0.35cm} \small $^*$ e $^{**}$ significativos a $5\%$ e $1\%$ de probabilidade, respectivamente.}\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

O modelo autologístico espaço-temporal utilizado aqui 
considera os diferentes períodos de tempo entre as avaliações e ajusta 
apenas um único modelo para todas as avaliações coletadas. Os mesmos modelos 
ajustados individualmente para cada avaliação foram agora ajustados 
de forma conjunta para todas as avaliações.
A Tabela~\ref{tab:mod5} mostra as estimativas dos parâmetros, erros-padrão 
e significância para os quatro modelos. 
Observa-se que todas covariáveis de todos os modelos mostraram-se 
significativas (p $< 0,05$), possivelmente, devido ao fato de 
incluir o efeito de tempo de avaliação. 


\begin{table}[!h]
\hangcaptionL{Estimativas dos parâmetros, erros-padrão e significância para
o modelos $M1$, $M2$, $M3$ e $M4$ ajustados aos dados de MSC, considerando
todas as avaliações conjuntamente. } \vspace*{0.5cm} \label{tab:mod5}
\begin{center}
\begin{tabular}{lccccc}
\hline
Modelos & $\hat{\beta}_0 \pm EP(\hat{\beta}_0)$ & $\hat{\gamma}_1 \pm EP(\hat{\gamma}_1)$ & 
$\hat{\gamma}_2 \pm EP(\hat{\gamma}_2)$ & $\hat{\gamma}_3 \pm EP(\hat{\gamma}_3)$ & $\hat{\gamma}_4 
\pm EP(\hat{\gamma}_4)$   \\
\hline
M1 & $-$1,557$\pm$0,036$^{**}$ &1,215$\pm$0,031$^{**}$ & 0,8471$\pm$0,030$^{**}$ & $..$ & $..$\\
M2 & $-$1,842$\pm$0,038$^{**}$ & 0,941$\pm$0,033$^{**}$ & 0,403$\pm$0,035$^{**}$ & 0,512$\pm$0,034$^{**}$ &  0,571$\pm$0,034$^{**}$ \\
M3 & $-$2,139$\pm$0,039$^{**}$ & 1,336$\pm$ 0,031$^{**}$ & 0,894$\pm$ 0,029$^{**}$  & $..$ & $..$ \\
M4 & $-$2,395$\pm$0,041$^{**}$ & 1,031$\pm$0,033$^{**}$ & 0,407$\pm$0,035$^{**}$ & 0,494$\pm$0,035$^{**}$ & 0,589$\pm$0,035$^{**}$ \\
\hline
\multicolumn{4}{l}{\hspace{-0.35cm} \small $^{**}$ significativos a $1\%$ de probabilidade.}\\
\multicolumn{4}{l}{\hspace{-0.35cm} \small Nota : Sinal convencional utilizado:} \\
\multicolumn{4}{l}{\hspace{ 0.9cm} \small .. Não se aplica dado numérico.} \\
%\\}
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Ambos os pacotes ajustam adequadamente o modelo autologístico aos dados de 
MSC. Os diversos argumentos dão maior flexibilidade, principalmente no 
estudo das estruturas de vizinhança e do tempo de avaliação. 
Quando há interesse em estudar cada avaliação separadamente, 
sem incluir o intervalo de tempo entre as avaliações, é indicado o uso da função 
{\it autologistic.citrus()} do pacote Rcitrus. Quando há interesse em 
estudar o enfoque espaço-temporal dos dados, em um estudo mais abrangente, 
usa-se a função {\it aglm()} do pacote stLattice.

%\newpage
\subsubsection{Dados de leprose dos citros}


A incidência de leprose dos citros foi monitorada, desde o estágio de ausência da
doença, em 45 avaliações entre
meados do ciclo de 2002 até o final do ciclo de 2004, em 
um talhão com 20 linhas de plantas de 58 plantas em cada linha.  
As Figuras~\ref{inc2} e \ref{inc3} com os mapas da incidência 
da leprose durante o período de estudo mostram a leprose dos citros 
espalhando-se entre as plantas do talhão. Os valores da incidência de 
leprose nas plantas em cada avaliação estão presentes na Figura~\ref{incid}.  
\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,scale=0.65]{Rfigs/incid.ps}
\end{center}
\hangcaptionL{Incidência de leprose em cada avaliação}\label{incid}
\end{figure}
%\vspace{-0.3cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}

Os mapas de incidência de leprose, Figuras~\ref{inc2} e \ref{inc3}, 
mostram incidências baixas nas avaliações iniciais. 
Observa-se na Figura~\ref{incid} que a partir da avaliação 23 
a incidência começa a crescer com maior rapidez. 
Em nosso estudo obtou-se por analisar as avaliações a partir da $23^a$, 
quando 23 plantas apresentaram sintomas de leprose. 
 
Foram feitas análises exploratórias através da medida de distância 
mínima e da análises por \textit{quadrats}. A Tabela~\ref{tabdes:lep} apresenta 
as datas das avaliações, a incidência de leprose, 
os valores do índice binomial de dispersão e o teste da 
distância mínima média. Através da análise por {\it quadrats} 
verificou-se o padrão espacial agregado aos dados, ou seja, em condições
naturais, o patógeno dispersa-se predominantemente a curtas distâncias.
A probabilidade de uma planta situada próxima à fonte de inóculo, nesse caso outra planta doente, 
se tornar infectada é maior do que a de plantas mais distantes. 

A distância mínima média entre plantas com incidência de leprose 
foi calculada e comparada com as médias obtidas em
199 simulações para obtenção do valor-$p$. A medida que cresce a 
incidência de leprose diminui a distância entre plantas doentes. 
Por exemplo, na última avaliação, quando a incidência atinge $32\%$ 
das plantas no talhão, a média da distância mínima foi de $4,72$ metros 
entre as plantas doentes. 

%\vspace{-1.5cm}
\begin{table}
\hangcaptionL{Datas das avaliações, incidências de leprose, valores 
do teste de índice binomial de dispersão e teste
da distância mínima média.} \vspace*{0.5cm} \label{tabdes:lep}
\begin{center}
\begin{tabular}{lcccc}
\hline
Número & Data &  Incidências & Índice binomial  & Teste da distância  \\
 & das avaliações & da doença & de dispersão & mínima média \\
 & & & {\it Quadrat} (2 $\times$ 2) & Dist. Observada(m) \\
\hline 
23 & 23/06/2003 & 0,0198 & 1,655 Agreg. &  7,76$^{**}$\\
24 & 14/07/2003 & 0,0250 & 1,636 Agreg.&  6,85$^{**}$\\
25 & 11/08/2003 & 0,0276 & 1,885 Agreg.&  5,82$^{**}$\\
26 & 01/09/2003 & 0,0302 & 1,975 Agreg.&  6,65$^{**}$\\
27 & 22/09/2003 & 0,0345 & 2,039 Agreg.&  6,50$^{**}$\\
28 & 13/10/2003 & 0,0414 & 2,313 Agreg. & 7,36$^{**}$\\
29 & 03/11/2003 & 0,0612 & 2,433 Agreg. & 6,90$^{**}$\\
30 & 23/11/2003 & 0,0629 & 2,532 Agreg. & 6,87$^{**}$\\
31 & 15/12/2003 & 0,0681 & 2,419 Agreg. & 6,37$^{**}$\\
32& 05/01/2004 & 0,0741 &  2,401 Agreg. & 6,57$^{**}$\\
33& 03/02/2004 & 0,0750 &  2,405 Agreg. & 6,44$^{**}$\\
34& 01/03/2004 & 0,0888 &  2,335 Agreg. & 6,39$^{**}$\\
35& 22/03/2004 & 0,1241 &  2,423 Agreg. & 5,51$^{**}$\\
36& 12/04/2004 & 0,1552 &  2,311 Agreg. & 4,84$^{**}$\\
37& 03/05/2004 & 0,2129 &  2,460 Agreg. & 4,66$^{**}$\\
38& 31/05/2004 & 0,2509 &  2,426 Agreg. & 4,67$^{**}$\\
39& 01/07/2004 & 0,2672 & 2,414 Agreg. & 4,89$^{**}$\\
40& 26/07/2004 & 0,2664 & 2,327 Agreg. & 4,97$^{**}$\\
41& 16/08/2004 & 0,2672 & 2,309 Agreg. & 5,03$^{**}$\\
42& 08/09/2004 & 0,2733 & 2,311 Agreg. & 5,03$^{**}$\\
43& 27/09/2004 & 0,2940 & 2,309 Agreg. & 4,88$^{**}$\\
44& 18/10/2004 & 0,3207 & 2,347 Agreg. & 4,80$^{**}$\\
45& 22/11/2004 & 0,3276 & 2,412 Agreg. & 4,72$^{**}$\\
\hline
\multicolumn{4}{l}{\hspace{-0.36cm} \small $^{**}$ significativos a  $1\%$ de 
probabilidade.}\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{table} 


Após as análises exploratórias indicarem a presença do padrão espacial 
entre as plantas. O interesse agora passa a ser a modelagem  
do padrão espacial através do modelo autologístico.
O modelo autologístico possibilita o ajuste tanto de um 
modelo para cada uma das avaliações, quanto apenas 
um modelo único incorporando os dados de todas as avaliações. 
A Figura~\ref{coefs} mostra os coeficientes dos parâmetros e os 
erros-padrão de dois modelos ajustados para incidência de leprose em 
função apenas da covariável dentro da linha de plantas. Isso é 
apenas uma ilustração de como podem ser modelados  
os dados. No modelo $M1$ tem-se apenas um coeficiente $\hat{\gamma}$ 
comum para todas as avaliações. No modelo $M2$ há diferentes 
coeficientes $\hat{\gamma}$ para cada uma das avaliações consideradas. 

\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,scale=0.65]{Rfigs/coefs.ps}
\end{center}
\hangcaptionL{Coeficentes e erros-padrão para o modelo autologístico}
\label{coefs}
\end{figure}
%\vspace{-0.3cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}

A estrutura espaço-temporal dos dados permite agregar um estudo de padrões,
associações de dependência espacial e de tempo de contágio da doença 
entre as plantas. 
Foram ajustados os diferentes modelos autologísticos 
espaço-temporais descritos na Seção~\ref{metlep} e com expressões 
mostradas na Tabela~\ref{tab1:lep} aos dados das avaliações 23 a 45. O valor da 
{\it deviance residual} 
mantevesse próxima ao valor dos graus-de-liberdade do resíduo para todos os modelos, 
indicando um ajuste adequado dos modelos aos dados. Os procedimentos de análise com 
o uso do pacote stLattice estão descritos no Apêndice. 

As estimativas dos parâmetros e a correspondente significância de 
cada modelo são mostrados na Tabela~\ref{tab:lep}. 
Foram obtidas estimativas significativas dos coeficientes em 
todos os modelos ajustados, o que confirma a existência de padrão 
espacial da doença. A covariável de vizinhança com maior efeito foi 
a que reflete o {\it status} das plantas dentro da linha onde o 
espaçamento entre plantas é menor comparado ao espaçamento entre 
linhas de plantas. Este resultado indica que plantas mais próximas 
são mais susceptíveis ao contágio da doença por suas vizinhas doentes. 

O fato de que a covariável de vizinhança entre as linhas de plantas é 
significativa ($p < 0,001$) em todos os modelos ajustados 
indica que a dependência não é de apenas curto alcance. Nos modelos em que 
foram incluídas as covariáveis de presença do ácaro, o efeito também 
foi significativo, tanto para incidência, quanto para número de ácaros 
na planta ($p < 0,001$). Este resultado confirma que a presença 
do ácaro em plantas vizinhas aumenta a probabilidade da doença, 
quantificando o efeito da mobilidade deste vetor. 
Os modelos $M4$, $M5$ e $M6$ apresentaram menores valores de AIC, 
que M7, M8, e M9, respectivamente. Portanto, considerar o número 
de ácaros por planta não implicou em vantagens na qualidade do ajuste do modelo 
em  relação à simples incidência binária (presença/ausência) do ácaro na planta.
Tal informação é relevante do ponto de vista prático, pois sugere que,
nas condições deste estudo, 
o simples registro da presença de ácaros pode ser suficiente, sem a necessidade  
de quantificação dos ácaros. Entretanto, antes de recomendações definitivas, 
deve-se verificar se tal resultado se repete em dados coletados em outros
talhões.


%\vspace{0.5cm}

\begin{table}[!h]
\hangcaptionL{Estimativas e erros padrões dos parâmetros para os 
modelos ajustados aos dados 
de leprose dos citros} \vspace*{0.5cm} \label{tab:lep}
\begin{center}
\begin{tabular}{lccccc}
\hline
Modelos & $\hat{\beta}_0$ & $\hat{\beta}_1$ & $\hat{\gamma}_1$ & $\hat{\gamma}_2$ & $\hat{\gamma}_3$ \\
\hline
M1  & -2,040$\pm$0,023$^{**}$ &    $..$         & 1,625$\pm$0,043$^{**}$ &       $..$        & $..$\\
M2  & -2,552$\pm$0,029$^{**}$ &     $..$            & 1,064$\pm$0,047$^{**}$ & 0,616$\pm$0,033$^{**}$ & 0,959$\pm$0,032$^{**}$ \\

M3  & -2,545$\pm$0,029$^{**}$ &	    $..$       & 1,043$\pm$0,048$^{**}$ & 0,745$\pm$0,031$^{**}$ & 0,716$\pm$0,032$^{**}$\\

M4  & -2,243$\pm$0,026$^{**}$ &  0,801$\pm$0,041$^{**}$ & 1,500$\pm$0,044$^{**}$  & $..$ & $..$ \\

M5  & -2,661$\pm$0,031$^{**}$ &  0,531$\pm$0,044$^{**}$ & 1,012$\pm$0,047$^{**}$ & 0,571$\pm$0,034$^{**}$ & 0,919$\pm$0,032$^{**}$ \\

M6  & -2,659$\pm$0,032$^{**}$ &  0,556$\pm$0,043$^{**}$ & 0,993$\pm$0,047$^{**}$ & 0,702$\pm$0,032$^{**}$ & 0,676$\pm$0,032$^{**}$ \\

M7  & -2,341$\pm$0,023$^{**}$ &  0,022$\pm$0,002$^{**}$ & 1,572$\pm$0,043$^{**}$ & $..$ & $..$\\

M8  & -2,577$\pm$0,029$^{**}$ &  0,013$\pm$0,001$^{**}$ & 1,045$\pm$0,047$^{**}$ & 0,597$\pm$0,033$^{**}$ & 0,944$\pm$0,032$^{**}$\\

M9  & -2,567$\pm$0,029$^{**}$ &  0,013$\pm$0,002$^{**}$ & 1,028$\pm$0,047$^{**}$ & 0,727$\pm$0,031$^{**}$ & 0,699$\pm$0,032$^{**}$ \\

\hline
\multicolumn{4}{l}{\hspace{-0.36cm} \small $^{**}$ significativos a  $1\%$ de probabilidade.}\\
\multicolumn{4}{l}{\hspace{-0.35cm} \small Nota : Sinal convencional utilizado:} \\
\multicolumn{4}{l}{\hspace{0.9cm} \small .. Não se aplica dado numérico.} \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


A escolha do modelo mais adequado aos dados de leprose de 
citros foi guiada pelo valor do AIC e BIC, selecionando como melhor, 
o modelo com menor valor para ambos. A Tabela~\ref{tab2:lep} 
apresenta os valores de AIC e BIC para cada modelo ajustado. 
O modelo mais adequado aos dados, entre os ajustados, 
foi o modelo $M4$, uma vez que o modelo $M1$ é considerado um modelo 
base por refletir a persistência da doença em plantas infectadas 
e portanto não é considerado na seleção dos modelos.

Uma vantagem do modelo autologístico é a possibilidade de quantificar 
a probabilidade de doença em uma particular planta dado o {\it status} 
das plantas vizinhas ou da mesma planta no espaço e/ou no tempo. 
No presente estudo a escolha do modelo $M4$ indica que o {\it status} 
da mesma planta em uma avaliação anterior juntamente com a incidência 
do ácaro é o que melhor explica a ocorrência da doença. Através dos 
coeficientes do modelo pode-se calcular a probabilidade da 
planta apresentar leprose, dado que ela estava ou não doente na 
avaliação anterior e da planta ter ou não presença de ácaro. 
Os resultados desses cálculos mostram que, a probabilidade da planta 
apresentar a doença dado que não estava doente na avaliação anterior 
e apresenta incidência de ácaro é de 0,191. Por outro lado, a 
probabilidade da planta apresentar a doença dado que não estava doente 
e não apresenta incidência de ácaro é de 0,096. Logo, em um período 
de tempo de aproximadamente 22 dias, intervalo aproximado entre as 
avaliações, uma planta sadia tem aproximadamente o dobro de chance de adquirir a doença 
se estiver hospedando o ácaro vetor. 

\begin{table}[!h]
\hangcaptionL{Valores de AIC para os modelos ajustados aos dados 
de leprose dos citros} \vspace*{0.5cm} \label{tab2:lep}
\begin{center}
\begin{tabular}{lcc}
\hline
Modelos &  AIC & BIC\\
\hline
M1 & 18052,37 &	18068,39 \\
M2 & 33006,94	& 33038,96 \\
M3 & 33419,41	& 33451,43 \\
M4 & 26516,68	& 26540,70 \\
M5 & 40868,39	& 40908,42 \\
M6 & 41343,40	& 41383,44 \\
M7 & 26828,33	& 26852,35 \\
M8 & 41104,43	& 41144,47 \\
M9 & 41629,12	& 41669,15 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table} 

Embora o modelo M4 seja indicado pelo AIC e pelo BIC como de melhor 
ajuste dentre os modelos $M2$ a $M9$, isso não exclui a importância e a 
possibilidade de extrair resultados práticos dos demais. A 
significância dos demais efeitos mostra a relevância do padrão 
espacial da doença nas plantas vizinhas bem como da presença de ácaros.  

\begin{table}[!h]
\hangcaptionL{Probabilidades da planta apresentar leprose dado que 
estava sadia no tempo anterior} \vspace*{0.5cm} \label{tab:probs}
\begin{center}
\begin{tabular}{lccc}
\hline
 \multicolumn{1}{l}{Vizinhas doentes} &  \multicolumn{3}{c} {Vizinhas doentes}  \\
 \multicolumn{1}{l}{dentro da linha} &  \multicolumn{3}{c} {entre linhas}   \\
 
\hline
& 0 & 1 & 2\\
\hline
0 & 0,073 & 0,126	& 0,212	\\
1 & 0,169 & 0,274 & 0,411 \\
2 & 0,347	& 0,496 & 0,645 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table} 

Por exemplo, se o interesse for apenas de observar as covariáveis 
de vizinhança, o modelo mais adequado indicado pelo AIC e BIC será 
o $M2$, modelo com as covariáveis de vizinhança defasadas no tempo, $(t-1)$. 
Com os valores dos coeficientes do modelo pode-se calcular a 
probabilidade estimada da planta apresentar leprose dado que ela estava 
sadia na avaliação anterior e do {\it status} das plantas vizinhas 
dentro da linha e entre linhas na avaliação anterior. Os resultados 
estão detalhados na Tabela~\ref{tab:probs}. Observa-se que uma planta sadia na 
avaliação anterior tem probabilidade de $0,274$ de apresentar leprose 
se uma vizinha na linha e outra vizinha entre as linhas de planta 
estivesse doente na avaliação anterior. Observa-se também que  
quando há duas plantas vizinhas dentro da linha doentes a probabilidade 
da planta apresentar doença é maior, se comparado com duas plantas 
doentes entre as linhas, $0,347$ e $0,212$, respectivamente. Isso 
pode estar refletindo o espaçamento entre as plantas, que nesse caso 
é menor dentro da linha de plantas.


Portanto a escolha do modelo neste contexto não deve ser automática e guiada simplesmente 
por critérios como o AIC e o BIC, mas também pelas hipóteses 
fitopatológicas a serem avaliadas combinadas à estrutura de dados disponíveis. 


