\thispagestyle{empty}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
%{\setlength{\baselineskip}{1.5\baselineskip}

\section{Desenvolvimento}

\subsection{Revisão bibliográfica} \label{rev}

A revisão aborda, inicialmente, o contexto dos dados que serão analisados 
neste estudo. A descrição das duas doenças cítricas: a morte súbita dos  
citros e a leprose dos citros que causam grandes danos na produção de citros.
É apresentada uma breve revisão dos modelos lineares generalizados e 
dos modelos logísticos. Por fim, descreve-se o modelo autologístico e os 
métodos de inferência baseados em procedimentos computacionalmente 
intensivos.

\subsubsection{Morte súbita dos citros}

A MSC representa uma ameaça potencial para a
citricultura nacional, uma vez que afeta diversas variedades
comerciais de citros, causando o definhamento generalizado das plantas 
dentro da área produtora. Ela foi identificada no final da década de 90 em 
uma das principais áreas de produção no Brasil, no norte de São Paulo, 
região de Colômbia, e sul Minas Gerais, região de Comendador Gomes 
(GIRARDI, 2005). Desde então, esforços são empregados para entender a 
etiologia e os seus mecanismos de dispersão.  

A doença causa a morte súbita de laranjeiras ({\it Citrus
sinensis}), tangerinas ({\it C. reticulata}) enxertadas em limoeiros
`Cravo' ({\it C. limonia}), (BASSANEZI; FERNANDES; YAMAMOTO, 2003). 
O fato de ser transmitida por enxertia de tecidos e pela sua disseminação 
no pomar suspeita-se 
que a doença seja causada por um vírus, transmitido por vetor aéreo.  

O sintoma característico da doença é o aparecimento de coloração
amarela, tendendo para o alaranjado na parte interna da casca do
porta-enxerto, logo abaixo da zona de enxertia (BASSANEZI et al., 2003).
O tempo entre o aparecimento dos primeiros sintomas e a morte da
planta é bastante variável em função da idade da planta, da época do
ano e da condição de carga dos frutos.
Seu diagnóstico é realizado com base nos sintomas apresentados
pelas plantas doentes, pois não é possível diagnosticar a MSC
antes do aparecimento deles na planta. De início, ocorre
perda generalizada do brilho das folhas das plantas doentes,
perdendo a coloração verde-escuro, tendendo para o
amarelo-esverdeado. Com a evolução da doença, ocorre a desfolha
parcial da planta e seu sistema radicular apresenta grande
quantidade de raízes podres e mortas. A morte do sistema radicular
é conseqüência do bloqueio dos vasos do floema, que transportam a
seiva elaborada das folhas para as raízes. A Figura~\ref{msc1} mostra 
uma planta com sintomas de MSC.

Em 2004 dizia-se que nenhum agente causal havia sido associado a MSC 
(JESUS JR.; BASSANEZI, 2004). 
Em estudos de progresso espacial e temporal da doença suspeitava-se de 
uma doença de causa biótica associada a um vetor.  
Houve grande similaridade nos padrões espaciais da morte súbita com os 
padrões espaciais da tristeza na presença do seu vetor, {\it Toxptera citricida}. 
Sendo os sintomas similares aqueles do declínio rápido da tristeza,
quanto à sintomatologia, velocidade de progresso da doença e distribuição 
espacial das plantas afetadas nos talhões, e por serem doenças de
combinação copa/porta-enxerto.
A suspeita era de que talvez houvesse o 
envolvimento de uma estirpe do vírus da tristeza com essa doença letal.


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,scale=0.85]{Rfigs/msc.ps}
\end{center}
\hangcaptionL{Planta com sintomas de MSC}\label{msc1}
\end{figure}
%\vspace{-0.3cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

Em 2005, anunciou-se a descoberta de um novo vírus associado com a doença.
Possivelmente, um novo tipo de vírus da família {\it Tymoviridae} 
pode ser o agente causador da MSC.
Há 99,7\% de associação entre o agora chamado {\it Citrus Sudden 
Death  Virus} (CSDV, ou vírus associado à morte súbita 
dos citros) e o mal capaz 
de matar uma laranjeira ou uma tangerina em poucos meses.
Mesmo assim, não se pode dizer que seja realmente esse o responsável pela 
morte das plantas. É preciso ainda demonstrar que existe uma relação clara 
de causa e efeito, o chamado postulado de Koch, que consiste em inocular o 
suposto agente causador da doença em organismos sadios, nesse caso as 
laranjeiras, e verificar se elas contraem ou não a enfermidade 
(MACCHERONI et al., 2005).

Suspeitou-se que se tratava de uma mutação do vírus da tristeza dos citros, 
uma doença que consumiu 90\% dos laranjais paulistas entre 1939 e 1949. 
Depois, as diferenças se impuseram e foi demonstrado que o CSDV é um novo 
membro do gênero {\it Marafivirus}, integrante da família {\it Tymoviridae}, enquanto o 
vírus da tristeza pertence à família {\it Closteroviridae}. Mas ainda não se 
descarta a possibilidade de que os dois possam atuar em conjunto como 
causadores da morte súbita (MACCHERONI, 2005).
%http://www.revistapesquisa.fapesp.br/index.php?art=2704&bd=1&pg=1&lg=

No entanto, o avanço da doença pelas regiões produtoras causa preocupação aos
produtores e pesquisadores, que buscam conhecer o seu comportamento 
no tempo e espaço. O interesse está nas
relações espaciais entre plantas com sintomas de MSC. Essas
informações servirão de suporte para as inferências sobre o seu
período de incubação, a velocidade e os mecanismos de disseminação 
(BASSANEZI; FERNANDES; YAMAMOTO, 2003).


\subsubsection{Leprose dos citros}

A leprose dos citros foi considerada, nas últimas décadas, uma das 
mais importantes 
viroses na citricultura nacional, pois reduz a produção e o período de vida 
das plantas de citros (RODRIGUES, 2000). Causada por {\it Citrus leprosis 
virus} (CiLV), é uma doença endêmica nas regiões produtoras do estado de 
São Paulo. O vírus é transmitido exclusivamente pelo ácaro {\it Brevipalpus 
phoenicis}. O vírus da leprose pode ser transmitido
de planta a planta somente mediante o ácaro vetor que se alimenta em
planta infectada, adquirindo o vírus e transmitindo-o quando se alimenta em
planta sadia. A alimentação e circulação do ácaro na planta 
e entre as plantas afetadas gera o mecanismo de dispersão da doença 
(BASSANEZI; LARANJEIRA, 2007).

Endêmica nas regiões produtoras do estado de São Paulo, a doença causa 
sérios prejuízos à produção. Os principais sintomas da doença na 
planta são manchas em frutos, folhas e ramos, provocando queda prematura,
seca de ramos, e levando a planta ao definhamento (BASSANEZI; LARANJEIRA, 
2007).
Em geral, os sintomas são visíveis a partir de 17 a 60 dias após a infecção 
do tecido vegetal, sempre nos locais onde o ácaro se alimenta 
(BASSANEZI; SPÓSITO; YAMAMOTO, 2001). 

Nas folhas, as lesões são inicialmente pouco salientes na face superior, 
apresentando coloração verde-pálida no centro e amarelada nas bordas. 
Nos frutos maduros, a lesão mostra-se na forma de uma depressão de 
coloração mais escura na casca, indo de verde a marrom-escura ou preta. 
Quando as lesões são abundantes, há queda intensa de folhas e frutos, 
reduzindo a capacidade fotossintética da planta. Nos ramos, a 
ocorrência de muitas lesões pode ocasionar a morte dos ponteiros. 
Os ramos mais grossos descascam transformando-se em porta de entrada 
para uma série de patógenos oportunistas. A Figura~\ref{sint} mostra órgãos 
da planta com sintomas da doença.

\begin{figure}[!htb]
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,scale=2.91]{Rfigs/lepramos.ps}
\includegraphics[angle=0,scale=0.7]{Rfigs/lepfolha.ps}
\includegraphics[angle=0,scale=2.82]{Rfigs/lepfruto.ps}
\end{center}
\hangcaptionL{Órgãos da planta com sintomas de leprose dos citros}\label{sint}
\end{figure}
%\vspace{-0.3cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

A principal prática de controle são os acaricidas que geram de 10 a 15\% dos 
custos da produção (FUNDECITROS, 2008). Porém a utilização em grande escala 
de produtos químicos, além de causar problemas induzindo o aparecimento de 
populações de ácaros resistentes, gera preocupações ecológicas e econômicas. 
Diante disso, há um aumento na busca de alternativas para controlar a leprose,
entre eles, o uso comercial de diferentes tipos de agentes biológicos de 
controle e variedades resistentes ao vírus (BASTIANEL et al., 2006), 
visando um controle integrado, sobressaem-se o uso de cercas-vivas e/ou 
quebra-ventos adequados e o manejo correto das plantas daninhas hospedeiras do 
ácaro (MAIA; OLIVEIRA, 2005). O plantio de mudas isentas de ácaro e podas 
para eliminação dos ramos secos ou muito lesionados pela leprose. 
Além disso, conhecer a incidência da doença e do ácaro transmissor no tempo e 
espaço é de grande importância para descrever a dinâmica da doença e possíveis  
práticas de controle.

O movimento e a distribuição espacial de vetores que transmitem a virose 
afetam a disseminação nas plantas e o progresso da epidemia. Existem 
relativamente poucos estudos dos processos temporais e espaciais 
da dinâmica da doença nas plantas (CZERMAISNKI, 2006).


\subsubsection{Modelos lineares generalizados} \label{sec:revlitglm}

No contexto de doenças em plantas, tais como mencionadas anteriormente, 
os dados em geral, referem-se a indicação da presença da doença, contagem de 
indivíduos doentes, ou medidas de incidência. Para tais tipos de variáveis respostas  
não é adequado o ajuste de modelos lineares usuais.

Os Modelos Lineares Generalizados (MLG's), também
denominados modelos exponenciais lineares, foram introduzidos por
Nelder e Wedderburn (1972). A idéia básica consiste em extender 
os modelos lineares usuais para respostas gaussianas. Permite-se, então,  
diferentes opções para a distribuição da variável resposta,
assumindo que a mesma pertença à família exponencial de
distribuições e tenha maior flexibilidade para a relação funcional
entre a média da variável resposta e o preditor linear.

A estrutura de um MLG é dada por três componentes:
\begin{itemize}
\item [i)] um componente aleatório composto de uma variável aleatória
$Y$ com $n$ observações independentes de uma distribuição
pertencente à família exponencial e um vetor de médias $\mu$;

\item [ii)]um componente sistemático composto por variáveis
explicativas $x_{1},...,x_{p}$ tais que, produzem um preditor
linear;
\item [iii)]e uma função $g(.)$ monótona diferenciável, conhecida como
função de ligação, que relaciona os dois componentes.
\end{itemize}

Sejam $Y_1, \cdots, Y_n$ variáveis aleatórias independentes, cada
uma com função de densidade de probabilidade na família
exponencial escrita como:

\begin{equation} \label{glm}
    f(y_i; \theta_i, \phi)=\exp \{ \phi^{-1} [ y_i
\theta_i-b(\theta_i)+c(y_i)]+a(y_i,\phi) \} \; ,
\end{equation}
em que ${\rm E}[Y_i]=  \mu_{i} $ e ${\rm Var}[Y_i]=\phi V_i$,
$V_i=d\mu_i/d\theta_i$ é a função de variância, sendo
$i=1,2,\cdots,n$, $\theta=\theta(\beta)$ é o parâmetro canônico e
$\phi$ é o parâmetro de dispersão.

Os modelos lineares generalizados são definidos por~(\ref{glm}) e
pelo componente sistemático,

 \begin{equation}
    g(\mu_i)=\eta_i \; ,
 \end{equation}
em que $\eta_i=x_i\beta$ é o preditor linear,
$\beta=(\beta_1,\cdots, \beta_p)^\top$, $p<n$, é o vetor dos
parâmetros da regressão a serem estimados, $x_i=(x_{i1}, \cdots,
x_{ip})$ representa os valores de $p$ variáveis explicativas e
$g(\cdot)$ uma função monótona e diferenciável, denominada função
de ligação.

As funções de ligação mais utilizadas são obtidas quando o
parâmetro canônico coincide com o preditor linear, isto é, quando
$ \theta=\eta$ e a função de ligação, nessas situações, é chamada de
ligação canônica. Nas ligações canônicas o preditor linear modela
diretamente o parâmetro canônico, o que, geralmente, resulta em uma
escala adequada para a modelagem com interpretação prática para os
parâmetros de regressão.

Como exemplos ou casos particulares de distribuições que pertencem
à família exponencial podem-se mencionar as distribuições
normal, normal inversa, Poisson e binomial, dentre outras. A
partir dessas distribuições podem-se obter os modelos de regressão
normal inversa, regressão Poisson, regressão logística, entre
outros.

A estimação dos parâmetros pode ser feita pelo método da máxima 
verossimilhança. Se considerar a variável aleatória $Y_i$ com observações 
${\mathbf y^t}= (y_1,y_2,...,y_n)$ de uma distribuição pertencente a família 
exponencial~(\ref{glm}), a função de verossimilhança é dada por, 

\[\begin{array}{lll}
L(\btheta,\phi; \by)& = & \dprod^n_{i=1} f(y_i; \theta_i, \phi) \\
                    & = & \exp  \left [ \dsum^{n}_{i=1} \phi  \{ y_i
\theta_i-b(\theta_i)+c(y_i)\}+a(y_i,\phi) \right ] \; ,
\end{array}
\]
cujo o logaritmo é dado por:

\begin{equation}
 l(\btheta,\phi; \by)  = \sum^{n}_{i=1}  \left [ \phi \{ y_i
\theta_i-b(\theta_i)+c(y_i)\}+a(y_i,\phi) \right ] \; \nonumber .
\end{equation}

O ajuste adequado de um modelo aos dados, pode ser verificado através da 
estatística {\it scaled deviance} (NELDER; WEDDERBURN, 1972), dada por:
$$
S_q=(\hat{\bmu},\phi; \by)= -2 \{ l(\hat{\bmu},\phi; \by) - 
l(\tilde {\by},\phi; \by)\},
$$
em que, $q$ é o número de parâmetros do modelo, $ l(\hat{\bmu},\phi; \by)$ 
é o logaritmo da função de verossimilhança para o modelo sob ajuste e 
$l(\tilde {\by},\phi; \by)$ é o logaritmo da função de verossimilhança para 
o modelo saturado. No caso em que $\phi=1$, esta estatística reduz-se à 
{\it deviance}, 

\begin{equation}
D(\hat{\bmu};\by)= -2\{ l(\hat{\bmu};\by)- l(\tilde {\by}; \by)\} 
\; \nonumber .
\end{equation}

Portanto, para um modelo bem ajustado, espera-se que a {\it deviance} 
residual esteja próxima do número de graus de liberdade do resíduo do modelo. 
Uma maneira de obter uma {\it deviance} próxima do número de graus de 
liberdade é aumentar o número de parâmetros no modelo, mas com isso, 
aumenta-se também a complexidade na interpretação. O ideal é encontrar 
modelos simples com {\it deviance} moderada, procurar pela parcimônia
(BORGATTO, 2004).

Dois critérios comumente usados para a seleção de modelos são o 
critério de informação de Akaike (AIC), proposto por Akaike (1973) e o 
critério de informação de Bayes (BIC), proposto por Schwarz (1978) expressos,  
respectivamente, por
\begin{equation} \label{aic}
AIC=-2 l(\hat{\bmu},\phi;\by) + 2q
\end{equation}
 e,
\begin{equation}
BIC=-2 l(\hat{\bmu},\phi;\by) + q \log(n) \; ,
\end{equation}
em que, $q$ é o número de parâmetros do modelo e $n$ é o número de observações. 
Enquanto que o AIC considera apenas $q$, o BIC considera ambos, $q$ e $n$. Os
dois critérios são usados tanto para modelos aninhados como não aninhados. 
Para ambos, seleciona-se como o modelo mais adequado aos dados aquele que 
apresentar menor valor.

Desde sua proposição os MLG's tem sido largamente usados em diversos contextos 
de modelagem estatística. Maiores detalhes sobre o assunto podem ser 
encontrados em 
Nelder e Wedderburn (1972), McCullagh e Nelder 
(1989) e Cordeiro e Demétrio (2007).

\subsubsection{Modelo de regressão logística}

Dentro da família dos modelos lineares generalizados está o modelo de
regressão logística, adequado para a modelagem de variáveis com respostas 
binárias. Os dados assumem distribuição de probabilidade binomial, 
sob a forma de $Y_{i}$ sucessos em $m_{i}$ ensaios de Bernoulli, 
$(i=1,\cdots, n)$. 
O modelo logístico é atrativo e comumente usado devido à facilidade de 
interpretação dos seus parâmetros. A partir dos parâmetros pode-se 
quantificar o aumento na chance de sucesso com o acréscimo de uma unidade da
covariável associada enquanto as demais permanecem constantes.

Seja $Y$ uma variável aleatória com distribuição binomial, escrita na 
forma da família exponencial por,
\begin{equation} 
f(y;\theta)= exp \left\{ \left(\begin {array} {c} m\\y \end{array} \right)+ 
y\, ln \theta +(m-y)\, ln(1-\theta) 
\right\} I_{A}(y)\; . \nonumber
\end{equation}

O modelo de regressão logística pode ser expresso por:

\begin{equation} \label{regl}
\theta(x)=P(Y=1|x)=\frac
{\exp\{\beta_{0}+\sum_{k=1}^{p}\beta_{k}x_{k}\}}{1+\exp\{
\beta_{0}+\sum_{k=1}^{p}\beta_{k}x_{k}\}} \; ,
\end{equation}
em que $x$ representa as covariáveis, $x=(x_{1},\cdots,x_{p})$,
o parâmetro $\beta_{0}$ é o intercepto, e
$(\beta_{1},...,\beta_{p})$ são os $p$ parâmetros de regressão 
associados às covariáveis. O modelo fornece uma estimativa 
da probabilidade do indivíduo ter a resposta, dado que o mesmo possui, ou 
não, determinados fatores de interesse. Observe, ainda, que 

\begin{equation} \nonumber
ln \left( \frac{\theta(x)}{1-
\theta(x)}\right)=\beta_{0}+\sum_{k=1}^{p}\beta_{k}x_{k} \; ,
\end{equation}
tem-se um modelo linear para o logito, isto é, o logaritmo
neperiano da razão entre $\theta(x)$ e $1-\theta(x)$. No contexto
de MLG's, o logito é a função de ligação canônica
para a regressão logística.

A estimação dos parâmetros do modelo é, usualmente, feita pelo
método de máxima verossimilhança. Assumindo que as observações sejam 
independentes tem-se a seguinte expressão para a função de
 verossimilhança
\begin{equation} \nonumber
L(\beta)=\prod_{i=1}^{n}\theta(x_{i})^{y_{i}}(1-\theta(x_{i}))^{1-y_{i}}
\; ,
\end{equation}
em que $\theta(x_{i})$ é a contribuição para a função de
verossimilhança dos pares $(y_{i}, x_{i})$, $y_{i}=1$ e
$1-\theta(x_{i})$ a contribuição dos pares em que $y_{i}=0$.

O princípio da máxima verossimilhança é estimar o valor de $\beta$
que maximiza $L(\beta)$. Algebricamente, é mais fácil trabalhar com
o logaritmo dessa função,

\begin{equation} \nonumber
l(\beta)= ln[L(\beta)]= \dsum^n_{i=1} \left [y_{i} \ln \left(
\frac{\theta(x_{i})}{1-\theta(x_{i})} \right) +
\ln(1-\theta(x_{i})) \right ] \; .
\end{equation}

Para encontrar o valor que maximiza $l(\beta)$, basta diferenciar
a função com respeito a cada parâmetro $\beta_{j}$
$(j=0,1,...,p)$, obtendo-se o sistema de $p+1$ equações, que,
igualadas a zero, produzem como solução as estimativas de máxima
verossimilhança de $\beta$. 

As $p+1$ equações são chamadas de equações de verossimilhança e, por
não serem lineares nos parâmetros $\beta_{j}$, requerem métodos
numéricos para obtenção da solução. Os métodos iterativos de
Newton-Raphson e o escore de Fisher são algoritmos numéricos
comumente utilizados para essa finalidade.
Os valores ajustados para o modelo de
regressão logística são, portanto, obtidos substituindo-se as
estimativas de $\beta$ em (\ref{regl}).

Após obter as estimativas dos coeficientes do modelo é preciso avaliar 
a adequação do modelo ajustado aos dados. 
Na regressão logística as estatísticas de teste para essa finalidade são  
denominadas estatísticas de qualidade do ajuste. As duas mais conhecidas são: 
a qui-quadrado de Pearson e a 
qui-quadrado da razão de verossimilhanças.

\subsubsection{Modelo autologístico}

A chance de ocorrência da doença em determinada planta pode estar
associada com a presença da doença em plantas vizinhas.
Desta forma, espera-se que, em geral, plantas próximas tenham características similares
fazendo com que a localização das plantas doentes apresente
algum padrão espacial.
A regressão logística é amplamente usada para análise de dados binários,
como por exemplo, a presença de doenças em plantas. 
No contexto de plantas em um talhão, é razoável assumir que plantas vizinhas
tendem a ter {\it status} similar, refletindo uma
eventual agregação no padrão espacial da doença.
O modelo autologístico estende o modelo logístico usual, 
construindo covariáveis a partir da resposta observada na vizinhança 
de cada planta, uma vez que a configuração espacial dos dados está disponível. 

O modelo autologístico é uma das formas apresentadas na literatura para que 
a dependência espacial dos dados seja explicitamente considerada na  
modelagem.
É um modelo auto-regressivo espacial para
dados binários, considera a
observação em determinado local dependente das observações em locais
vizinhos na forma de covariáveis.
Grande parte da teoria estatística do modelo autologístico foi
introduzida por Besag (1972), com alguns exemplos
envolvendo doenças de plantas. Desde então, diversos autores como 
Gumpertz, Graham e Ristiano (1997), Huffer e Wu (1998),
Gu e Zhu (2001), Zhu, Huang e Wu (2005) e Sherman, Apanasovich e Carrol (2006) desenvolveram 
suas pesquisas usando e fazendo generalizações do modelo.

O modelo é aplicável em diferentes contextos.
Na modelagem de distribuições de espécies de plantas considerando  
covariáveis climáticas (WU; HUFFER, 1997), no estudo do efeito 
das informações de covariáveis de
vizinhança na sobrevida de árvores tropicais (HUBBEL; CONDIT; FOSTER, 2001) e 
em um conjunto de dados epidemiológicos espaciais envolvendo câncer de 
fígado (SHERMAN; APANASOVICH; CARROL, 2006).

Gumpertz, Graham e Ristiano (1997) usam
o modelo para a análise da incidência de {\it Phytophthora} em
pimentões, dispostos em um {\it lattice}, onde foi anotada a presença da 
doença em grupos de 2 a 3 plantas, denominados {\it quadrats}. O interesse 
em usar o modelo autologístico, consistiu no estudo da probabilidade de um
particular {\it quadrat} ter planta com a doença, a partir das informações de
vizinhança e de covariáveis de solo.
Em seus estudos sobre a distribuição de vegetação em duas diferentes florestas no
Canadá He, Zhou e Zhu (2003) observam que o modelo
autologístico consegue explicar a dependência espacial dos dados,
levando os autores a obter resultados satisfatórios. 
Os autores afirmam que a metodologia proposta no artigo pode ser usada 
nas áreas de 
geologia, ecologia, agricultura, epidemiologia, entre outras.
Viola (2007) aplica o modelo a dados simulados e a dados provenientes 
de um experimento com pimentão. 

Zhu, Huang e Wu (2005), em seu artigo, adicionam um
componente temporal ao modelo autologístico para analisar dados
binários do tipo espaço-temporal. O modelo, então, captura a relação entre a
variável binária e possíveis covariáveis, além de simultaneamente
ajustar a dependência espacial e temporal para um
campo aleatório Markoviano espaço-temporal. Para ilustrar o
método, o modelo foi ajustado a dados de rupturas causadas por
besouros em pinus na Carolina do Norte/USA. As observações foram
feitas em diferentes períodos de tempo. 
Krainski et al. (2008) ajustam modelos autologísticos para incidência 
de morte súbita dos citros de forma a analisar a presença da doença em 
plantas vizinhas no tempo contemporâneo à avaliação, no tempo anterior 
e um modelo com ambos os tempos. Czermainski (2006) ajusta modelos 
para dados de leprose dos citros observando a influência das covariáveis 
de vizinhança defasadas no tempo.

A essência do modelo autologístico é utilizar covariáveis obtidas a partir 
dos valores da variável resposta em posições vizinhas da localização 
considerada. 
Portanto, o elemento chave do modelo é a definição e a estrutura de vizinhança 
que será discutida na próxima Seção.


\subsubsubsection{Estrutura de vizinhança}

Alguns tipos de dados estão dispostos regularmente em 
linhas e colunas em uma determinada
região, ou seja, os dados formam uma malha regular de pontos, 
com as coordenadas de cada posição. A
estrutura descrita permite construir covariáveis de vizinhança, 
que representam o {\it status} das observações vizinhas no modelo 
autologístico.

A estrutura de vizinhança pode ser construída de diferentes formas, como 
ilustrado na Figura \ref{viz}, considerando simplesmente a ordem de 
vizinhança, primeira ordem, segunda ou ordens superiores,
ou ainda, considerando o efeito da planta nas linhas, colunas e diagonais  
separadamente (GUMPERTZ; GRAHAM; RISTIANO, 1997).
%\vspace{0.5cm}


Considerando as ordens de vizinhança, uma possibilidade é
construir uma covariável dentro de cada ordem de vizinhança. A covariável de
primeira ordem é a soma das observações de quatro vizinhos, dois
vizinhos na mesma linha em colunas adjacentes e dois vizinhos na
mesma coluna em linhas adjacentes, e a de segunda ordem é a
soma das observações da covariável de primeira ordem, com
as informações dos quatro vizinhos nas duas diagonais. A construção 
das covariáveis é feita de forma análoga para ordens superiores.

Outra maneira de construir covariáveis de vizinhança é considerar
linhas, colunas e diagonais separadamente, dentro de determinada
ordem. Na primeira ordem, são construídas duas covariáveis. A
primeira covariável inclui observações dos dois vizinhos na mesma
linha em colunas adjacentes, posições $(k,l+1)$ e $(k,l-1)$,
enquanto que a segunda covariável inclui informações dos dois
vizinhos na mesma coluna em linhas adjacentes, posições $(k-1,l)$ e
$(k+1,l)$. Na estrutura de segunda ordem de vizinhança, são somadas
as covariáveis de primeira ordem a uma terceira covariável, a qual 
inclui os dois vizinhos da diagonal $(-1,1)$, posições $(k-1,l+1)$ e
$(k+1,l-1)$ e a uma quarta covariável que inclui os dois vizinhos
da diagonal $(1,-1)$, posições $(k-1,l-1)$ e $(k+1,l+1)$ (HE; ZHOU; ZHU,   
2003). De forma análoga pode-se considerar vizinhança de maior ordem. 

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[angle=0,scale=0.85]{Rfigs/viz.eps}
\end{center}
\hangcaptionL{Estruturas de vizinhança: primeira ordem, segunda ordem e
segunda ordem separadamente}\label{viz}
\end{figure}
\vspace{0.5cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}

A estrutura que considera linhas, colunas e diagonais separadamente 
é mais flexível e particularmente útil no caso de doenças em plantas 
que possuem espaçamento diferente entre linhas e colunas. Permite medir 
o efeito das vizinhas dentro da linha, entre as linhas e efeitos direcionais 
das diagonais. 

\subsubsubsection{Especificação do modelo} \label{sec:especificacao}

No modelo autologístico com função de ligação logito, a probabilidade 
de sucesso é modelada
como combinação linear de presença ou ausência de sucesso em
locais vizinhos e de covariáveis que captam informações adicionais
nesses locais, dado pela expressão,

\begin{equation} \label{ma}
P(Y=1|x_{ij},y_{i})=logit(p_{ij})=\sum_{j=1}^{p}\beta_{j}
x_{ij}+\dsum_{d=1}^{q}\gamma_{d}y_{id}
\; ,
\end{equation}
em que $\beta_{j}$ mede a influência da covariável $x_{ij}$, $\gamma_{d}$
mede a influência de vizinhança de ordem $k$ e $y_{id}$ representam as covariáveis de vizinhança.

Quando $\gamma_{d}=0$, o modelo~(\ref{ma}) reduz-ze ao modelo de regressão 
logística que é apropriado para dados binários independentes. 
Quando $\beta_{j}=0$, o modelo torna-se o modelo autologístico proposto 
Besag (1972, 1974).

Considere um {\it lattice} $D$ uma região com $n$ posições, cada uma
descrita pelas coordenadas $(k,l)$ especificando a linha e a coluna
em que a observação é alocada. Em cada posição é
observada uma resposta binária $y_{(k,l)}$, que tem valor
1 na presença da variável de interesse e zero, caso contrário, e um
vetor $p\times 1$ de covariáveis $x_{(k,l)}$. As respostas binárias
de $n$ posições correspondem a $Y=(y_{(k,l)},(k,l)\in D)$ que
constituem um mapa da ocupação da variável de
interesse (HE; ZHOU; ZHU, 2003). 
A probabilidade de sucesso do modelo autologístico passa a ser,

\begin{equation}
Pr(Y_{k,l}=1|x_{k,l},y_{k,l}, (k,l) \in
D)=\frac{exp \lp \dsum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l,j}+\dsum_{d=1}^{q}\gamma_{d}
y_{k,l,d}\rp}{1+exp\lp
\dsum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l,j}+\dsum_{d=1}^{q}\gamma_{d}y_{k,l,d}\rp}
\; ,     
\end{equation}
em que, os $\beta's$ são parâmetros de regressão e os $\gamma's$ são os
parâmetros de autocorrelação espacial, $x_{k,l,j}$ representam as
covariáveis usuais e $y_{k,l,d}$ representam as covariáveis de
vizinhança, com preditor linear $\eta= g(\mu)=ln \left( \frac
{\theta(x)}{{1-\theta(x)}}\right)$.


\subsubsubsection{Inferência} \label{sec:infmodaut}

No modelo autologístico não é possível obter a expressão da função
de verossimilhança para a estimação dos parâmetros do modelo. A
probabilidade de sucesso de uma observação $s_{k,l}$ é condicional
ao {\it status} das outras observações
$v_{k,l}$. Isso faz com que as observações sejam dependentes entre
si, e ao ajustar um MLG usual, este não levará em conta
a autocorrelação dos dados. Dessa forma, não é possível escrever a função de verossimilhança
de forma fechada, sendo, em geral, desconhecida uma expressão analítica para a 
constante de normalização. Diversos métodos de estimação 
foram propostos na literatura.

O método de pseudo-verossimilhança proposto por Besag (1975) e 
utilizado por Gumpertz, Graham e Ristiano  
(1997), maximiza uma função de pseudo-verossimilhança para o modelo
ajustado. A reestimação dos erros-padrão das estimativas de
vizinhança é feita usando-se o método de {\it Bootstrap} com o amostrador
de Gibbs utilizado na geração das amostras, pois, é preciso preservar a 
estrutura de vizinhança dos
dados originais e o padrão de dependência espacial. 
Aplicações do método de pseudo-verossimilhança estão presentes em Strauss e 
Ikeda (1990), Arnold e Straus (1991) e Preisler (1991).
Em Hubbell, Condit e Foster (2001), o método de estimação usado foi de 
máxima verossimilhança com simulação 
Monte Carlo com cadeias de 
Markov, utilizando o amostrador de Gibbs, semelhante ao procedimento
utilizado por Gumpertz, Graham e Ristiano (1997).

Para a estimação do modelo autologístico Wu e Huffer (1997) usam três 
métodos de estimação:
{\it coding} (COD), máxima pseudo-verossimilhança (MPL) 
e Monte Carlo com cadeias de Markov (MCMC). A comparação entre os métodos mostrou que 
MCMC apresentou as melhores estimativas, porém requer muito mais tempo computacional que 
os outros 
métodos. A vantagem da precisão do método MCMC é substancial quando a correlação espacial 
é forte. 
Porém, quando a correlação é pequena, as estimativas de MPL são adequadas.
Os autores recomendam usar MPL nos estágios preliminares da construção do modelo, quando ainda 
diferentes modelos e covariáveis estão sendo considerados e analisados. 
O MCMC pode então ser usado para um ``ajuste fino'' dos resultados 
preliminares. 

He, Zhou e Zhu (2003) ajustam modelos autologísticos considerando a 
estrutura de vizinhança de segunda-ordem e comparam três métodos
de estimação dos parâmetros: o método de máxima pseudo-verossimilhança,
proposto por Besag (1975), o de máxima verossimilhança com 
simulação Monte Carlo, introduzido por Geyer e Thompson (1992), e a
aproximação estocástica Monte Carlo com cadeias de Markov proposto por
Gu e Zhu (2001). Estudos de simulação foram conduzidos para comparar a performace 
dos três métodos. 
O artigo relata que os dois últimos métodos dão resultados idênticos 
para as estimativas, enquanto que pseudo-verossimilhança apresenta valores 
um pouco diferentes. No entanto, afirmam que o método de 
pseudo-verossimilhança 
pode ser usado na maioria dos casos.
Zhu, Huang e Wu (2005) estimam os parâmetros do modelo por
máxima pseudo-verossimilhança e obtêm a predição de respostas futuras
no {\it lattice} por meio do amostrador de Gibbs. 

Sherman, Apanasovich e Carrol (2006) demonstram que o método 
de máxima verossimilhança 
não é adequado para estimação dos parâmetros no ajuste de dados binários 
espaciais usando o modelo autologístico. 
Discutem métodos alternativos 
de estimação: máxima pseudo-verossimilhança, máxima pseudo-verossimilhança 
generalizada e máxima verossimilhança com simulação Monte Carlo. 
Esses três métodos de estimação foram aplicados a um conjunto de dados 
reais e a dados simulados. O artigo discute os esforços computacionais para a
implementação dos métodos. Os resultados indicam para o método de máxima verossimilhança 
com simulação Monte Carlo 
como mais eficiente se comparado ao de máxima pseudo-verossimilhança, por outro lado a 
implementação computacional é muito 
mais intensiva e complexa para o primeiro método. No caso específico os autores 
comentam que não existe 
um grande aumento da eficiência por usar o método de máxima verossimilhança 
com simulação Monte Carlo e devido ao esforço computacional desse método sugerem o uso 
do método de  
máxima pseudo-verossimilhança.
Porém, eles afirmam que ao usar o método de máxima pseudo-verossimilhança é necessário 
que seja usado {\it Bootstrap} com amostrador de Gibbs para o cálculo dos erros-padrão.
	
No artigo de Viola et al. (2008) foi feito um estudo de simulação para 
verificar o comportamento
dos estimadores de pseudo-verossimilhança dos parâmetros do modelo autologístico, 
considerando diferentes estruturas de covariáveis de vizinhança, três intensidades de
infestação de uma praga e cinco valores para o parâmetro de correlação entre os vizinhos. 
Mostra-se que o método de estimação por pseudo-verossimilhança pode ser usado, com
certa cautela, quando o interesse está na contribuição das covariáveis, mas não deve ser
usado quando o interesse está na estimação da correlação espacial. 

\subsubsubsubsection{Método de máxima pseudo-verossimilhança}

O método de máxima pseudo-verossimilhança foi proposto por
Besag (1975). Desde então, muitas pesquisas mostraram que sob condições 
adequadas o método é consistente e assintoticamente normal ao redor do 
verdadeiro valor do parâmetro. Isso para quando for usado em grandes amostras 
de processos com dependência espacial. Mais informações e detalhamentos em Jenser e M$\phi$ller (1991), 
Guyon (1995), Huang e Ogata (2002), entre outros autores.
O método de máxima pseudo-verossimilhança tem sua implementação baseada em 
algoritmos para o ajuste de MLG combinado com os procedimentos de reamostragem e, 
no ambiente R (R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2008) está implementado 
nos pacotes Rcitrus (KRAINSKI; RIBEIRO JR., 2007) e stLattice (KRAINSKI; RIBEIRO JR., 2008).

Besag sugeriu um método de estimação para um vetor de parâmetros 
desconhecidos $\btheta=(\beta_0, \beta_1,...,\gamma)^T$, definido como 
um vetor $\hat{\btheta}$ que maximize a função de pseudo-verossimilhança, 

\begin{eqnarray} \label{pseudo}
l_{ps}(\btheta)& = &\sum_{(k,l)\in D} ln[P(Y_{k,l}=y_{k,l}|todos \;
os \; outros
\; valores)] \; , \\
l_{ps}(\btheta)& = &\sum_{(k,l)\in D}\{y_{k,l}f_{k,l}(\btheta)-ln[
1+\exp(f_{k,l}(\btheta))]\} \nonumber\;,
\end{eqnarray}
em que
$f_{k,l}(\btheta)=\beta_{0}+\beta_{1}x_{k,l}^{T}+\gamma_{1}y_{(k,l)}+
\gamma_{2}y_{(k,l)}+\gamma_{3}y_{(k,l)}+\gamma_{4}y_{(k,l)},$
e $\mathbf{\btheta}=(\beta_{0},\beta^{T}_{1},\gamma_{1}, \gamma_{2},
\gamma_{3}, \gamma_{4})^{T}$

O estimador $\mathbf{\hat{\btheta}}$, em geral, é consistente e 
assintoticamente normal.
Entretanto, os erros-padrão do estimador obtido pela 
regressão logística usual são inválidos e precisam ser  
recalculados de outra maneira (ZHU; HUANG; WU, 2005). 

Uma possível solução é usar métodos de reamostragem. No entanto, no contexto 
de padrões espaciais isso não é simples dada a necessidade de preservar a 
estrutura espacial. 
Isso pode ser alcançado através da reamostragem por bloco (CRESSIE, 1993).
Uma forma de recalcular proposta por Gumpertz, Graham e Ristiano (1997) é usar 
o método de reamostragem {\it Boostrap}.


\subsubsubsubsection{Método de {\it Bootstrap}}

A metodologia {\it Bootstrap} consiste em gerar amostras a partir dos dados
originais para estimar a quantidade de interesse com essas amostras.
O {\it Bootstrap} é utilizado quando se tem informação suficiente sobre
a forma da distribuição dos dados. A amostra {\it Bootstrap} é formada realizando-se
amostragem dessa distribuição com os parâmetros desconhecidos substituídos por
estimativas paramétricas obtidas dos dados. A distribuição da estatística de interesse 
aplicada aos
valores da amostra {\it Bootstrap}, condicional aos dados observados,
é definida como distribuição {\it Bootstrap} dessa estatística.

Devido à configuração espacial dos dados, o método de {\it Bootstrap}
necessita usar o algoritmo do amostrador de
Gibbs (GEMAN; GEMAN, 1984). O amostrador de Gibbs permite que o padrão
espacial de vizinhança original seja preservado na reamostragem {\it Bootstrap}. 
O  amostrador de Gibbs é particularmente útil para o modelo autologístico, 
por ser um procedimento
de amostragem baseado em distribuições condicionais, que permite retirar
amostras sucessivas da distribuição de cada $y_i$, condicionado aos 
seus vizinhos.

A idéia básica é amostrar da distribuição de
cada observação $y_{ij}$ condicionando com o {\it status} atual das vizinhas, 
cuja as probabilidades são dadas pelo modelo autologístico da 
equação~(\ref{ma}). Esse procedimento é um algoritmo que funciona da 
seguinte forma: 
começa com valores obervados $y^{(0)}$ dos quais obtém-se a estimativa  
do parâmetro $\gamma^{(0)}$ 
pela maximização da pseudo-verossimilhança da equação~(\ref{pseudo}). 
Em seguida gera-se  
$B$ amostras {\it Bootstrap} $(y^{(1)}, ... , y^{(B)})$ obtendo estimativas 
$(\hat{\gamma}^{(1)},..., \hat {\gamma}^{(B)})$ para cada uma delas. 
As amostras de {\it Bootstrap} são obtidas através dos seguintes passos: 
$i.$ começando de uma localização arbitrária (planta), atualiza seu 
{\it status} amostrando da distribuição de Bernoulli 
$f( \hat{\gamma}^{(0)},y^{(t)})$ com a probabilidade dada pelos parâmetros 
ajustados e pelo {\it status} atual das plantas, em uma sequência 
aleatória até que o ciclo seja completado, isto é, o {\it status} de 
todas as plantas sejão atualizadas gerando uma amostra {\it Bootstrap} com 
dados artificiais $y^{(t)}$ ; $ii.$ quando o ciclo for completado 
obtém-se as estimativas dos parâmetros maximizando a função de 
pseudo-verossimilhança dada pela equação~(\ref{pseudo}); 
$iii.$ repita os passos $i$ e $ii$ até que o número $B$ de 
amostras {\it Bootstrap} seja obtido (KRAINSKI et al., 2008).

Ao final do algoritmo de simulação, certifica-se que a cadeia das estimativas dos 
parâmetros converge para a distribuição alvo e então, a variância 
do estimador $\hat{\gamma}$ é dada simplesmente 
pela variância das estimativas $(\hat{\gamma}^{(1)},...,\hat{\gamma}^{(B)})$. 
É também recomendável descartar um certo número $M$ de reamostragens 
iniciais, o chamado período de aquecimento, período até a cadeia convergir 
para a distribuição estacionária, e utilizar as simulações a cada passo $k$, 
para reduzir o número de simulações armazenadas.

\subsubsubsubsection{Método de Monte Carlo}

Um método alternativo utiliza simulação Monte Carlo para aproximar a 
função de verossimilhança e gerar estimadores que são consistentes e 
assintoticamente normais (VIOLA, 2007).
	Geyer e Thompson (1992); He, Zhou e Zhu (2003) consideram o logaritmo da 
razão de verossimilhanças em relação a um ponto de referência 
$\psi \in \Theta$,

\begin{equation}
\ell(\btheta) - \ell(\psi) = (\btheta-\psi)^T T(Y_0)- log \frac {C(\btheta)} 
{C(\psi)} \; , \nonumber
\end{equation}
e dado que, 

\begin{equation} \label{psi}
P_{\btheta}(\bY)=C(\btheta)^{-1} \exp\{ \btheta^T T(\bY)\} \; 
\end{equation}
em que, $ T(\bY)= \dsum_{i \in D} y_i \tilde {x_i}$ e $\tilde {x_i}=(1,x_i^T,
z_i^T),$ tem-se que,
 
\begin{equation} \label{int}
\frac {C(\btheta)} {C(\psi)} = \int \exp \{ (\btheta - \psi)^T T(\bY) \} 
P_\psi (\bY) d\bY
\end{equation}

Usando Monte Carlo a integral~(\ref{int}) pode ser aproximada com base em 
uma amostra aleatória $Y_1, Y_2,...,Y_n$ de $P_\psi(\bY)$, isto é,

\begin{equation} \label{frac}
\frac {C(\btheta)} {C(\psi)} \approx \frac {1} {n} \dsum_{i=1}^n 
\exp \{ (\btheta - \psi)^T T(\bY_i) \}
\end{equation}
 
Substituindo (\ref{frac}) dentro de (\ref{psi}), obtém-se uma aproximação 
para o logaritmo da razão de verossimilhança em (\ref{psi}),

\begin{equation}
\ell(\btheta;\psi)= (\btheta-\psi)^T T(\bY_0) - ln \left [ 
\frac {1} {n} \dsum_{i=1}^n \exp \{ (\btheta - \psi)^T T(\bY_i) \right ]
\end{equation}

Maximizando $\ell(\btheta;\psi)$ encontra-se a estimativa de $\hat{\btheta_n}$.
O algoritmo de Newton-Raphson pode ser usado para calcular $\hat{\btheta_n}$, 
mais detalhes em He, Zhou e Zhu (2003). A eficiência do método depende da escolha 
de $\psi$. Quando $\psi$ está muito longe da estimativa de verossimilhança, 
o método pode deixar de ser uma solução. Huffer e Wu (1998) propõem usar 
a estimativa de pseudo-verossimilhança como valor inicial $\theta^0$ para o 
valor de $\psi$.


\subsubsubsubsection{Método de Monte Carlo com Cadeias de Markov (MCMC)}


Os métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC) são uma alternativa
aos métodos não iterativos em problemas complexos. A idéia é obter
uma amostra da distribuição a posteriori e calcular estimativas de
características desta distribuição. As técnicas usadas são de
simulação iterativa, baseadas em cadeias de Markov, e assim os
valores gerados não serão mais independentes. Os métodos de
MCMC mais usados são amostrador de Gibbs e o algoritmo de
Metropolis-Hastings.

Huffer e Wu (1998) e, posteriormente, outros autores estudaram MCMC 
no contexto de modelos autologísticos. Zhu, Huang e Wu (2005) usam 
para inferência estatística um algoritmo MCMC que permitiu obter a 
distribuição a posteriori dos parâmetros do modelo e as distribuições 
preditivas a posteriori. 
Huffer e Wu (1998) concluem que usar 
máxima verossimilhança com simulação MCMC 
é superior aos outros métodos usados para
estimação dos parâmetros, como por exemplo, o método de
pseudo-verossimilhança.
Em estudos de simulação as estimativas encontradas pelo 
método são aproximadamente normais e usando a informação de Fisher as 
estimativas de variância obtidas podem ser usadas para construir intervalos 
de confiança.  Maiores detalhes em Geyer e Thompson (1992),  
Seymour e Ji (1996), Gu e Zhu (2001) e Sherman, Apanasovich e Carrol (2006).

\hspace{-2.5cm}{ \bf Cadeias de markov:}
Uma cadeia de Markov é um processo estocástico $\{X_{0},
X_{1},...\}$ tal que a distribuição de $X_{t}$ dado todos os
valores anteriores $X_{0},...X_{t-1}$ depende apenas de $X_{t-1}$.

Os métodos MCMC requerem que a cadeia seja:
\begin{itemize}
\item [i)] homogênea, isto é, as probabilidades de transição de um
estado para outro são invariantes; \item [ii)] irredutível, isto é, cada
estado pode ser atingido a partir de qualquer outro número finito
de interações; \item [iii)] aperiódica.
\end{itemize}

Uma questão de ordem prática é como os valores iniciais
influenciam o comportamento da cadeia. A idéia é que conforme o
número de iterações aumenta, a cadeia gradualmente esqueça os
valores iniciais e, eventualmente, converge para uma distribuição de
equilíbrio. Assim, em aplicações práticas, é comum que as iterações 
iniciais sejam descartadas, como se formassem
uma amostra de ``aquecimento".

\subsubsubsection{Covariáveis de vizinhança} \label{vizi}

A informação da covariável de vizinhança pode ser 
considerada de duas formas no modelo autologístico: de forma dicotômica com a 
informação de existência ou não de vizinhas doentes ou, o número/proporção 
de vizinhas doentes ou mesmo alguma medida do grau de 
infestação das vizinhas. No primeiro caso, plantas com uma vizinha 
doente serão consideradas de forma igual às plantas com mais de uma 
vizinha doente. Essas duas possibilidades de considerar a informação 
das vizinhas devem ser observadas na análise, pois, ambas 
contemplam diferentes formas de contágio. No primeiro caso assume-se 
que o efeito ou pressão de infecção 
de uma planta doente é o mesmo de duas plantas doentes.

Quando for considerado a contagem de plantas vizinhas doentes as expressões 
para o logito no caso de nenhuma vizinha doente, uma vizinha doente e 
duas vizinhas doentes são, respectivamente:
\[\begin{array}{lll}
 logit(p_{kl}) = & \beta_{0} \\
 logit(p_{kl}) = & \beta_{0} + \gamma_{1} y_{k,l,1} \\
 logit(p_{kl}) = & \beta_{0} + 2\gamma_{1} y_{k,l,1} \\
\end{array}
\]

Quando for considerado a covariável de vizinhança na forma binária, 
presença ou ausência de vizinhas 
doentes, as expressões são, respectivamente: 
\[\begin{array}{lll}
 logit(p_{kl}) = & \beta_{0} + \gamma_{1} y_{k,l,1} \\
 logit(p_{kl}) = & \beta_{0}  \\
\end{array}
\]

\hspace {-2.5cm}{\bf Covariáveis de vizinhança no período de tempo anterior}:
Nas situações em que as observações são medidas em diferentes
períodos de tempo pode-se ajustar um modelo
autologístico para as observações em cada um dos períodos. Uma
proposta é modelar os dados de um período de tempo $t$, utilizando
as covariáveis de vizinhança no período de tempo anterior $t-1$.
Czermainski (2006) modelou os dados com incidência de leprose,
através do modelo autologístico com covariáveis de vizinhança defasadas 
no tempo. 

Essa abordagem permite explorar o potencial preditivo do modelo. 
Por exemplo, ajusta-se o modelo em cada avaliação do tempo $t$, 
avaliando as covariáveis do tempo anterior $t-1$, assim o modelo 
pode ser utilizado para predizer a incidência no
tempo futuro, baseado nas covariáveis de vizinhança do período
atual. O modelo é dado por,
\begin{equation} \nonumber
Pr(Y_{k,l}=y_{k,l,t}|x_{k,l},y_{k,l,t-1}, (k,l) \in
D)=\frac{exp\lp \dsum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l,j}+\dsum_{d=1}^{q}\gamma_
{d}y_{k,l,t-1,d}\rp}{1+ exp\lp
\dsum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l,j}+\dsum_{d=1}^{q}\gamma_{d}y_{k,l,t-1,d}\rp}
\; ,
\end{equation}
em que, os $\beta's$ são parâmetros de regressão e $\gamma's$ são 
parâmetros de autocorrelação espacial, $x_{k,l,j}$ representam as
covariáveis e $y_{k,l,t-1,d}$ representam as covariáveis de
vizinhança no tempo anterior, com preditor linear na forma $\eta= g(\mu)=ln \left( \frac
{\theta(x)}{{1-\theta(x)}}\right)$.

Nessa situação, a estimação dos parâmetros pode ser 
feito por máxima pseudo-verossimilhança, e 
as estimativas dos erros-padrão fornecidas pelo MLG usual estão corretas, 
pois não há autocorrelação das observações.

Algumas vezes o interesse do estudo está em medir a permanência do evento na 
observação, ou seja, dado que o evento de interesse estava presente no 
período anterior, qual a probabilidade do evento permanecer no tempo atual.  
A covariável de vizinhança nesse caso, é a própria unidade com a observação defasada no tempo.

\hspace {-2.5cm}{\bf Covariáveis de vizinhança no tempo atual e anterior}:
A partir do modelo ajustado com covariáveis do tempo anterior,
pode-se testar se ainda restou algum efeito possível de ser
explicado pelas covariáveis no tempo atual. Para isso, constrói-se o 
modelo autologístico considerando covariáveis no período de tempo
atual e anterior em um mesmo modelo. Krainski et al. (2008) ajustam 
modelos com covariáveis de vizinhança no tempo anterior e modelos com covariáveis 
no tempo atual e anterior à avaliação, em um mesmo modelo.  
A expressão para a probabilidade de sucesso do modelo para esse caso,

\begin{equation} \nonumber
Pr(Y_{k,l}=1|x_{k,l},y_{k,l,t}, y_{k,l,t-1}, (k,l)
\in D)= \frac{exp\{ \eta^{*} \}}{1+ exp\{ \eta^{*} \}} \; ,
\end{equation}
sendo que,
\[\eta^{*}=\dsum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l,j}+\dsum_{d=1}^{q}
\gamma_{d}y_{k,l,t,d}+\dsum_{d=1}^{q} \gamma_{d}y_{k,l,t-1,d} \; .\]

Ao fazer a estimação por pseudo-verossimilhança 
os erros-padrão das estimativas dos 
parâmetros no tempo $t$ precisam
ser estimados pelo procedimento de reamostragem, pois há a indução
de autocorrelação e os erros-padrão usuais não são apropriados.

\subsubsubsection{Modelo autologístico espaço-temporal}

O modelo autologístico citado anteriormente é adequado para dados binários espaciais em 
{\it lattice} em determinado momento no tempo. Porém, muitas vezes as observações são  
repetidas ao longo do tempo e estão disponíveis dados do mesmo {\it lattice}
em diversos pontos no tempo, como visto na Seção~\ref{vizi}. 
Ou seja, para uma dada localização $s_i$ e um determinado tempo $t$, a 
variável resposta é $Y_{i,t} \equiv Y_{(s_i,t)}$, em que $i=(1,...,n)$ e 
$t=1,2,...$.

Fernández-Durán, Poiré e Rojas-Nandayapa (2004) estendem o modelo autologístico para incluir 
variáveis exploratórias contemporâneas e valores observados da covariável 
de vizinhança no período anterior. O artigo avalia a importância 
do efeito temporal de primeira ordem. Os autores referem-se ao 
modelo como modelo autologístico com efeitos temporais.

No artigo de Zhu, Huang e Wu (2005) os dados do {\it
lattice} analisados estão disponíveis em diferentes períodos de
tempo. Os autores destacam a necessidade do acréscimo da dependência temporal no modelo autologístico.
O principal objetivo do artigo foi o de desenvolver um modelo autologístico 
espaço-temporal que, sistematicamente, modelasse a relação entre a variável resposta e 
potenciais variáveis explicativas, acomodando a dependência espacial e temporal simultaneamente.
A formulação do modelo tem uma similaridade com Besag (1972) e com
Preisler (1993). Em Besag (1972), o modelo autologístico
espaço-temporal foi proposto com a suposição de estacionaridade.
Preisler (1993) considera a regressão autologística
espaço-temporal, mas supôs a independência entre as observações em
diferentes tempos. 

A contribuição de Zhu, Huang e Wu (2005) foi de
melhorar o modelo de Preisler (1993) de modo que a dependência
temporal esteja contida no modelo. Além disso, o método pode ser
estendido para campos aleatórios markovianos com dependência
espacial e temporal. O 
modelo captura ambas as dependências, espacial e temporal, simultaneamente, 
além das possíveis variáveis explicativas. Para a inferência, os autores usam 
máxima pseudo-verossimilhança,
e comentam que para modelos autologísticos com dependência espacial
mas sem variáveis explicativas, a eficiência do estimador de máxima pseudo-verossimilhança
depende dos valores do coeficiente de autocorrelação espacial e às vezes pode 
ser comparável com a eficiência das estimativas de máxima verossimilhança. 
No entanto, o erro-padrão das estimativas da regressão logística
são inválidos e, portanto, precisam ser recalculados. Os autores usam {\it Bootstrap}  
de uma forma semelhante à Gumpertz, Graham e Ristiano (1997). 
Eles propõem para futuras pesquisas a 
extensão do modelo para coeficientes variando no tempo e termos com interação entre o espaço e tempo.
	  
	
Um modelo autologístico espaço-temporal foi usado por Zheng e Zhu (2008) para relacionar 
uma variável resposta binária a potenciais covariáveis em um {\it lattice}. O modelo acomoda 
a dependência espacial ao longo do tempo de estudo. Essa abordagem é útil para a análise espaço-temporal 
dos dados binários. No entanto, o método de inferência estatística comumente usado, máxima 
pseudo-verossimilhança, em alguns casos pode ser estatisticamente ineficiente, principalmente 
quando a dependência espacial e temporal é forte. 
O artigo propõe uma abordagem bayesiana para a inferência e para previsão de respostas 
futuras. Um algoritmo de Metropolis-Hastings combinado com 
amostrador de Gibbs foi desenvolvido para a obtenção da distribuição a posteriori dos parâmetros, 
bem como para as distribuições preditivas a posteriori. Os autores demonstram a metodologia 
sugerida e 
comparam os resultados obtidos nesse método com resultados obtidos nos métodos de máxima pseudo-verossimilhança e máxima verossimilhança 
com MCMC através de um exemplo de dados de rupturas causadas por besouros em pinus.

A expressão do modelo autologístico espaço-temporal é dada por,
 
\begin{equation}
Pr(Y_{k,l}=y_{k,l}|x_{k,l},y_{k,l,t}, (k,l) \in
D)=\frac{exp\{\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l,j}+
\Delta_t(\sum_{d=1}^{q}\gamma_{d}y_{k,l,d})\}}{1+
exp\{\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l,j}+
\Delta_t (\sum_{d=1}^{q}\gamma_{d}y_{k,l,d})\}}\; .
\end{equation}

A diferença desse modelo para o modelo autologístico atemporal é o acréscimo do $\Delta_t$ 
considerado {\it offset} no modelo, e que é o peso do valor 
da diferença entre os diferentes períodos de tempo (BESAG, 1972). 
Os métodos de estimação são os mesmos métodos usados no modelo autologístico 
(atemporal). 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%% MATERIAL E MÉTODOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%








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