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\usetheme{Warsaw}

\usefonttheme[onlylarge]{structuresmallcapsserif}
\title{MÉTODOS GEOESTATÍSTICOS BIVARIADOS: \\ Introdução}
\author{Edson Antonio A. Silva \hspace{1cm} \\ Prof. PhD. Paulo J. Ribeiro Jr.}
\institute{Universidade Federal do Paraná \\ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia}

\begin{document}
\date{12 de março de 2007}
% \setbeamertemplate{footline}[frame number] % numera os slides

\frame{\titlepage}

\frame{\frametitle{GEOESTATÍSTICA}
\begin{itemize}
\item A definição exata da palavra não consta dos dicionários da língua portuguesa;
\item Muitos autores dão definições próprias. A nossa é: Estudo de fenômenos estocásticos ligados às Ciências da Terra.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{TIPOS DE VARIÁVEIS AGRÍCOLAS}
\begin{itemize}
\item Propriedades Físicas e Químicas do solo;
\item Propriedades ambientais e regionais;
\item Propriedades morfológicas das plantas;
\item Rendimento agrícola;
\item Suas correlações.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{PRINCIPAIS APLICAÇÕES AGRÍCOLAS}
\begin{itemize}
\item Identificação de diferentes áreas de manejo;
\item Elaboração de mapas de informações dos recursos naturais disponíveis priorizando um conteúdo temático;
\item Elaboração de mapas de previsão de rendimento agrícola.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{ESTUDO DE CASO \#1}
\textcolor{red}{FAZENDA MOBASA}: Área de reflorestamento com estudo em parcelas de inventários florestais contínuos, com plantio de Pinus da espécie \textcolor{blue}{P.Taeda L.}, localizada no município de Rio Negrinho-SC, com área de $2.252,11 ha$, onde foram levantados dados pedológicos, amostras para análises físicas e químicas do solo e dados relacionados ao rendimento produtivo.
}

\frame{\frametitle{FAZENDA MOBASA}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{Mobasa_1.ps}
\includegraphics[width=5cm]{Mobasa.ps}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{MAPA TEMÁTICO}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{Suica.ps}
\end{center}
\vspace{-0.5cm}
\caption{Mapa de distribuição de chuva em região da Suiça}
\end{figure}
\textcolor{red}{\small{(Diggle e Ribeiro Jr, 2006)}}
}

\frame{\frametitle{TOOLBOX}
\vspace{2cm}
\begin{itemize}
\item Linguagem e ambiente operacional {\bf R};
\item Pacote geestatístico {\bf geoR};
\item Sistema operacional GNU/Linux.
\end{itemize}
%      \centering
      \begin{figure}[!ht]
      \includegraphics[scale=2]{Rlogo.ps}
      \hspace{1.5cm}
      \includegraphics[scale=0.5]{FFS.ps}
      \hspace{1.5cm}
      \includegraphics[scale=.5]{gnu-head-sm.ps}
      \end{figure}
% \vspace{1cm}
Recursos computacionais sob licença GPL ({\it General Public Licence})
}

\frame{\frametitle{GEOMETRIA DO ESPAÇO GEOESTATÍSTICO}

$$ \left\{(x_i;y_i): x\in \mathbb{R}^2, y \in \mathbb{R}^+, i=1,2,\ldots, n\right\}$$
\begin{itemize}
\item $x$: \footnotesize{Localização espacial de uma coordenada, normalmente registrada em UTM ({\it Universal Transverse Mercator}), dando sua projeção ortogonal plana, sendo a primeira coordenada a distância, em metros, à linha vertical imaginária que passa pela cidade de Greenwich (Inglaterra) e a segunda é a distância à linha imaginária horizontal que corta o Equador (País).}
\item $y$: \footnotesize{Medida escalar de uma variável contínua pertencente a um processo {\sf S} desconhecido.}
\end{itemize}
      \centering
      \begin{figure}[!ht]
      \includegraphics[scale=3]{AREA.ps}
      \end{figure}
}

\frame{\frametitle{PREMISSAS}
\begin{itemize}
\item As observações da variável $Y$ são autocorrelacionadas. As observações mais próximas são mais similares entre si do que as observações mais distantes, geograficamente;
\item A variável $Y$ é uma medida observável de um processo de variação contínua, existente em uma região;
\item Cada observação de $Y$ em uma localização $x$ corresponde a uma única observação de um processo estocástico.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{MODELO ESTATÍSTICO}
$$Y(x_i) = \mu(x_i) + S(x_i) + \delta_i \text{\hspace{1cm}} i=1, 2, \ldots, n.$$
\begin{itemize}
\item $Y(x_i)$ é uma v. a. com distribuição normal de média $E[Y(x_i) \vert S(x_i)] = \mu(x_i)$ e variância $Var[Y(x_i) \vert S(x_i)] = \tau^2$;
\item $\mu(x_i) = \alpha + \beta D(x_i)$ é uma tendência espacial associada a uma variável externa $D(x_i)$, $\alpha$ e $\beta$ são constantes a serem determinadas;
\item $\left\lbrace S(x_i): x_i \in \mathbb{R} \right\rbrace$ é um processo gaussiano multivariado desconhecido com média zero e variância $\sigma^2$;
\item $\delta_i$ são variáveis aleatórias mutuamente independentes com distribuição normal de média zero e variância $\tau^2$.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DO MODELO ESTATÍSTICO}
Para um modelo sem tendência externa, com média constante $\mu$ temos:
$${\bf Y} \sim NMV(\mu{\bf 1};\sigma^2 {\bf R} + \tau^2{\bf I}) $$
\begin{itemize}
\item $\mu {\bf 1}$ é um vetor de tamanho $n$ com todos seus elementos iguais a $\mu$;
\item $\sigma^2$ é a variância (constante no processo);
\item ${\bf R}_{n\;{\sf} x\;n}$ é uma matriz de correlação onde os elementos $[r_{ij}]_{n\;{\sf} x\;n} = \rho(\Vert x_i - x_j \Vert) = \rho(u_{ij});$
\item $\tau^2$ é a variância do erro aleatório $\delta_i$.
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\textcolor{red}{\bf PROCESSO GAUSSIANO ESTACIONÁRIO}
\end{center}
}

\frame{\frametitle{TIPOS DE TENDÊNCIA NO MODELO}
\textcolor{red}{\bf Falta de Estacionariedade:}
\begin{itemize}
\item Altitude;
\item Compactação;
\item Diferentes tipos de manejo.
\end{itemize}
\textcolor{red}{\bf Falta de Isotropia:}
\begin{itemize}
\item Não há uma explicação do porque da função de correlação mudar seu comportamento com a direção, mas pode acontecer.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{CORREÇÃO PARA AUSÊNCIA DE ESTACIONARIEDADE (Co-variáveis)}
\begin{itemize}
\item modelar a tendência $\mu(x)$ relativamente às co-variáveis $D(x)$:
$$\mu(x) = \alpha - \beta D(x)$$
\item retirar da variável medida o efeito externo indesejado:
$$ Y(x) - \mu(x)$$
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{CORREÇÃO PARA TENDÊNCIA DIRECIONAL (Anisotropia)}
\text{\textcolor{red}{\bf Parâmetros:}}
\begin{tabular}{l}
   $\phi_\text{\tiny R}$: \text{razão de anisotropia (eixo maior/eixo menor)}\\
   $\phi_\text{\tiny A}$: \text{ângulo de anisotropia (do eixo maior)} \\
\end{tabular}

\vspace{.5cm}
\textcolor{red}{\bf Transformação Linear:} contração e rotação das coordenadas.
$$
(c_1';c_2')=
(c_1;c_2)
\left( 
\begin{array}{cc}
\cos \phi_\text{\tiny A} & -\sin \phi_\text{\tiny A} \\
\sin \phi_\text{\tiny A} & \cos \phi_\text{\tiny A}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \phi_\text{\tiny R}^{-1}
\end{array}
\right)
$$
}

\frame{\frametitle{TENDÊNCIA EXTERNA AO PROCESSO}
UM MODÊLO LIVRE DE TENDÊNCIA EXTERNA É DITO ESTACIONÁRIO.
}

\frame{\frametitle{2 MEDIDAS, 1 MÉDIA, 1 VARIÂNCIA}
\begin{itemize}
\item A \textcolor{red}{\bf VARIÂNCIA} mede, de certa maneira, o quão diferentes são essas duas medidas.
\item $(Y(x_i) - Y(x_j))$ dá a diferença de duas observações separadas por uma distância $u_{ij}=\Vert x_i - x_j \Vert$
\end{itemize}

\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{Area_2.ps}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{VAMOS ÀS CONTAS}
\begin{itemize}
\item $Var(Y(x_i) - Y(x_j)) = Var(Y(x_i)) + Var(Y(x_j)) - 2\;Cov(Y(x_i);Y(x_j))$
   \begin{itemize}
      \item $Var(Y(x_i)) = Var(\mu_i + S(x_i) + \delta_i) = \sigma^2 + \tau^2$
      \item $Cov(Y(x_i);Y(x_j)) = \sigma^2 \rho(u_{ij})$
   \end{itemize}
..... substituindo .....
\item $Var(Y(x_i) -Y(x_j)) = 2(\tau^2 + \sigma^2(1 - \rho(u_{ij})))$
\item $\dfrac{1}{2} Var(Y(x_i) - Y(x_j)) = \tau^2 + \sigma^2(1 - \rho(u_{ij}))$
\item $\gamma(u_{ij}) = \tau^2 + \sigma^2(1 - \rho(u_{ij}))$ \textcolor{red}{\bf SEMIVARIÂNCIA}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{SEMIVARIÂNCIA E SEMIVARIOGRAMA}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{variog.ps}
\end{center}
\end{figure}
$$\gamma(u_{ij}) = \tau^2 + \sigma^2(1-\rho(u_{ij})) $$
}

\frame{
No modelo $Y(x_i) = \mu_i + S(x_i) + \delta_i$, a função de correlação é a \textcolor{red}{\bf LEI} que estabelece a associabilidade entre os pares observações geográficas do processo em estudo.
}

\frame{\frametitle{RESTRIÇÕES DA FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO}
\begin{itemize}
\item CONTINUIDADE
\item DIFERENCIABILIDADE
\item $\rho(0) \leq 1$ e $\displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty} \rho(u)=0$
\item $u \geq 0$
\end{itemize}
}
\frame{\frametitle{A FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO: Diferenciabilidade}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Diferenciab.ps}
\end{center}
\end{figure}
\begin{center} A forma da função de correlação determina o quão suave pode ser a variação da informação ao se dela afastar. \end{center}
}

\frame{\frametitle{A FUNÇÃO DE CORRELAÇÃO: Um exemplo}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Dif_ex.ps}
\end{center}
\end{figure}
\begin{center} TRANSEÇÃO (Ex. Canaleta de irrigação) \end{center}
}

\frame{
\begin{center}
{\Huge {\bf FAMÍLIAS PARAMÉTRICAS DE FUNÇÕES DE CORRELAÇÃO}}
\end{center}
}

\frame{\frametitle{MATÉRN}
$$
\rho(u, \phi, \kappa) = \dfrac{1}{2^{\kappa -1}\Gamma(\kappa)} \left( \dfrac{u}{\phi}\right)^2 K_{\kappa} \left( \dfrac{u}{\phi}\right)
$$
onde $K_{\kappa}$ é a função modificada de Bessel (ver \textcolor{red}{Abramowitz, 1965})
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{matern.ps}
\end{center}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item $\kappa$ é um parâmetro de diferenciabilidade da função;
\item $\phi$ é um parâmetro de alcance prático para a função.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{ESFÉRICA}
$$
\rho \left( u;\phi\right)= 
    \left\lbrace
       \begin{array}{ll}
           1 - \frac{3}{2}\left( \frac{u}{\phi}\right)+ 
               \frac{1}{2} \left( \frac{u}{\phi}\right)^3 
                & 0 \leq \phi \\
           0    & u > \phi
       \end{array}
    \right.
$$
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{esferica.ps}
\end{center}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item $\phi$ é um parâmetro de alcance prático para a função.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{k-EXPONENCIAL}
$$
\rho \left( u;\phi;\kappa\right)=
       \begin{array}{ll}
           e^{-\left( \frac{u}{\phi}\right)^{\kappa}} 
                & \text{  para } \phi > 0 \text{ e } 0 < \kappa \leq 2
       \end{array}
$$
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{k_exp.ps}
\end{center}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item $\kappa=1 \Longrightarrow$ modelo exponencial \\

\vspace{-0.2cm}
{\tiny (função contínua mas não diferenciável em $u=0$)}
\item $\kappa=2 \Longrightarrow$ modelo gaussiano \\

\vspace{-0.2cm}
{\tiny (função contínua e infinitamente diferenciável)}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO}
\begin{itemize}
\item \textcolor{red}{\bf EXPLORATÓRIO}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Feito sobre os pontos de um semivariograma experimental;}
\item \textcolor{red}{\bf MÍNIMOS QUADRADOS}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Feito sobre os pontos de um semivariograma experimental;}
\item \textcolor{red}{\bf MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Feito sobre o conjunto de observações;}
\item \textcolor{red}{\bf BAYESIANO}: \\ 

\vspace{-0.2cm}
{\tiny Método computacionalmente intensivo;}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{MÉTODO DA MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA}
O método consiste em maximizar a função de log-Verossimilhança para a função distribuição conjunta $f_Y(y_1,y_2, \ldots ,\; y_n)$

$$
\begin{array}{rcl}
l({\bf y}, \beta, \tau^2, \sigma^2, \phi) & = & - \frac{n}{2}\log(\sigma^2{\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I}) - \\
& & \\
                                          &   & - \frac{1}{2}({\bf y} - {\bf D}\mbox{\boldmath $\beta$})^T
                                                  (\sigma^2{\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I})^{-1}
                                                  ({\bf y} - {\bf D}\mbox{\boldmath $\beta$})
\end{array}
$$
\begin{itemize}
\item ${\bf Y} \sim MVN({\bf D} \mbox{\boldmath $\beta$},\sigma^2 {\bf R}(\phi) + \tau^2{\bf I})$ \\
\vspace{-0.2cm}
{\tiny Processo gaussiano multivariado.}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{PREDIÇÃO LINEAR ESPACIAL}
\begin{itemize}
\item Suposição ou conjectura sobre um resultado geo-localizado \textcolor{blue}{Y}, desconhecido, que poderá ou não ocorrer conforme o valor predito;
\item Prever um resultado em uma localização, com base em um número discreto (normalmente pequeno) de observações obtidas dispersamente na área (\textcolor{red}{Krige, 1951});
\item Estimar, por regressão linear, baseado naquele modelo proposto inicialmente (\textcolor{red}{Goovaerts, 1997}).
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{PREDITORES DA MÉDIA}
$$
\hat{Y}(x_0) = \sum_{i=1}^n \omega_i Y(x_i) \text{\hspace{1cm} onde } 
\omega_{n\text{{\sf x}}1} = 
C_{n\;x\;n}^{-1} D_{n\;x\;1}
$$
\begin{itemize}
\item $C$: matriz de autocovariância/autocorrelação baseada nos pontos conhecidos do processo \textcolor{blue}{Y};
\item $D$: vetor de correlações entre os pontos conhecidos e um ponto $x_0$ onde se deseja ser estimado $\hat{Y}(x_0)$;
\item $\omega$: peso aplicado a cada ponto $Y(x_0)$ tal que $\sum_{i=1}^n \omega_i =1$.
\end{itemize}
\flushright
\textcolor{red}{\small Journel \& Huijbregts (1978) e Isaaks \& Srivastava (1989)}
}

\frame{\frametitle{PREDITORES BASEADOS EM MODELOS}
$$
\hat{Y}(x_0) = \mu + {\bf r}'(\tau^2 {\bf I} + \sigma^2 {\bf R}(\phi))^{-1}({\bf y}-\mu {\bf 1})
$$
\begin{itemize}
\item $\mu$: média dos valores observados;
\item {\bf r}: vetor de correlações entre os pontos conhecidos e um ponto $x_0$ onde se deseja que seja estimado $\hat{y}(x_0)$;
\item {\bf y}: valores observados do processo \textcolor{red}{\bf Y}
\end{itemize}

\vspace{.5cm}
\textcolor{red}{\footnotesize Stein (1999); Schabenberger \& Gotway (2005) e Diggle \& Ribeiro Jr. (2006)}
}

\frame{\frametitle{UM MAPA DE PREDIÇÃO}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{krigado.ps}
\end{center}
\end{figure}

\vspace{-0.5cm}
\textcolor{red}{\footnotesize Mapa de predição em 1157 coordenadas a partir de 133 locais observados}
}

\frame{
\begin{center}
\textcolor{blue}{\Huge {GEOESTATÍSTICA \\ MULTIVARIADA}}
\end{center}
}


\frame{\frametitle{GEOESTATÍSTICA MULTIVARIADA}
\textcolor{blue}{\huge{Pricipais aplicações ...}}
\begin{itemize}
\item Associar a variação espacial de uma variável primária com um conjunto de variáveis secundárias, não necessariamente posicionadas nas mesmas coordenadas;
\item Útil para ampliar a quantidade de informações de uma variável primária de difícil medição com informações de variáveis "baratas" que sejam correlacionadas com ela.
\end{itemize}
}

\frame{
\begin{center}
{\Huge SOLUÇÕES \\ 
GEOESTATÍSTICAS \\ 
BIVARIADAS}
\end{center}
}

\frame{\frametitle{CORREGIONALIZAÇÃO}
Para \textcolor{red}{Journel e Huijbregts (1978)} um fenômeno regionalizado por ser representado através de algumas variáveis intercorrelacionadas, estudando-as simultaneamente. \\

Sob a hipótese de estacionariedade, define a covariância cruzada e o variograma cruzado como:
\begin{itemize}
\item $C_{kk'}(h)=E\left\{Z_{k'}(x+h)\; Z_{k}(x)\right\} - \mu_{k'}\mu_k$
\item $2\gamma_{kk'}= E\left\{ [Z_{k'}(x+h) - Z_{k'}(x)][Z_{k}(x+h) - Z_{k}(x)] \right\}$
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{CORREGIONALIZAÇÃO}
Para \textcolor{red}{Isaaks e Srivastava (1989)} e \textcolor{red}{Goovaerts (1997)} a covariância cruzada e a função de correlação cruzada descrevem a relação espacial entre duas variáveis. Seus estimadores são:
\begin{itemize}
\item $C_{uv}(h) = \frac{1}{N(h)}\displaystyle\sum_{(ij)\vert h_{ij}=h} u_i v_j - m_{u_{(-h)}} m_{v_{(+h)}}$ \\

$m_{u_{(-h)}} = \frac{1}{N(h)}\displaystyle\sum_{i\vert h_{ij}=h} u_i$ e 
$m_{v_{(+h)}} = \frac{1}{N(h)}\displaystyle\sum_{j\vert h_{ij}=h} v_j$
\item $\gamma_{uv}(h) = \frac{1}{2N(h)} \displaystyle\sum_{(ij)\vert h_{ij}=h} (u_i-u_j)(v_i-v_j)$
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{CORREGIONALIZAÇÃO}
Para \textcolor{red}{Wackernagel (1989)} a função covariância cruzada geralmente não é uma função par, ou seja, valores da função para $+h$ e $-h$ podem ser diferentes. O máximo desta função (se for positiva para um dado par de variáveis) pode ser deslocada da origem. Este tipo de deslocamento é frequente em séries temporais onde o efeito de uma variável sobre outra não é instantâneo. Ele decompõe a função de covariância em duas partes: par e impar.

$$
C_{ij}(h) = \frac{1}{2} \left(C_{ij}(+h)+C_{ij}(-h) \right) + \frac{1}{2} \left(C_{ij}(+h)-C_{ij}(-h) \right)
$$
}

\frame{\frametitle{CORREGIONALIZAÇÃO}
Para \textcolor{red}{Diggle e Ribeiro Jr (2006)}
\begin{description}
\item \textcolor{red}{Y}$_1$: Processo gaussiano estacionário primário.
\item \textcolor{red}{Y}$_2$: Processo gaussiano estacionário secundário.
\end{description}

\vspace{.5cm}
\text{Modelo Bivariado plausível}
$$
\left\{
     \begin{array}{l}
        Y_{1i}= \mu_1 + \sigma_{01}R_0(\phi_a) + \sigma_1R_1(\phi_b) + \tau_1 \;\;\;\; i=1,2,\ldots, m \\
        Y_{2i}= \mu_2 + \sigma_{02}R_0(\phi_a) + \sigma_2R_2(\phi_c) + \tau_2 \;\;\;\; j=1,2,\ldots, n \\   
     \end{array}
\right.
$$
}

\frame{\frametitle{PREMISSA}
Dados geoestatísticos multivariados não precisam estar localizados nas mesmas coordenadas para todas as variáveis.
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{bivar.ps}
\end{center}
\end{figure}
{\tiny Pontos azuis representam locais onde foi medida a variável $Y_1$;} \\
{\tiny Pontos vermelhos representam locais onde foi medida a variável $Y_2$;} \\
{\tiny Pontos pretos representam locais onde foram medidas as variáveis $Y_1$ e $Y_2$;} \\
}

\frame{\frametitle{MATRIZ DE COVARIÂNCIA}
$$
{\mbox{\boldmath $\Sigma $}} =
\left(
\begin{array}{c|c}
Cov(Y_1;Y_1) & Cov(Y_1;Y_2) \\
\hline
Cov(Y_2;Y_1) & Cov(Y_2;Y_2)
\end{array}
\right)
$$
}
\frame{
$$
{\mbox{\boldmath $\Sigma $}} =
\left(
\begin{array}{cccc|cccc}
\sigma_{1,1}^{(1,1)} & \sigma_{1,2}^{(1,1)} & \ldots & \sigma_{1,r}^{(1,1)} &
\sigma_{1,1}^{(1,2)} & \sigma_{1,2}^{(1,2)} & \ldots & \sigma_{1,s}^{(1,2)} \\ % linha 1
\sigma_{2,1}^{(1,1)} & \sigma_{2,2}^{(1,1)} & \ldots & \sigma_{2,r}^{(1,1)} &
\sigma_{2,1}^{(1,2)} & \sigma_{2,2}^{(1,2)} & \ldots & \sigma_{2,s}^{(1,2)} \\ % linha 2
\ldots               & \ldots               &        & \ldots               &
\ldots               & \ldots               &        & \ldots               \\ % linha 3
\sigma_{r,1}^{(1,1)} & \sigma_{r,2}^{(1,1)} & \ldots & \sigma_{r,r}^{(1,1)} &
\sigma_{r,1}^{(1,2)} & \sigma_{r,2}^{(1,2)} & \ldots & \sigma_{r,s}^{(1,2)} \\ % linha 4          
\hline
\sigma_{1,1}^{(2,1)} & \sigma_{1,2}^{(2,1)} & \ldots & \sigma_{1,r}^{(2,1)} &
\sigma_{1,1}^{(2,2)} & \sigma_{1,2}^{(2,2)} & \ldots & \sigma_{1,s}^{(2,2)} \\ % linha 1
\sigma_{2,1}^{(2,1)} & \sigma_{2,2}^{(2,1)} & \ldots & \sigma_{2,r}^{(2,1)} &
\sigma_{2,1}^{(2,2)} & \sigma_{2,2}^{(2,2)} & \ldots & \sigma_{2,s}^{(2,2)} \\ % linha 2
\ldots               & \ldots               &        & \ldots               &
\ldots               & \ldots               &        & \ldots               \\ % linha 3
\sigma_{s,1}^{(2,1)} & \sigma_{s,2}^{(2,1)} & \ldots & \sigma_{s,r}^{(2,1)} &
\sigma_{s,1}^{(2,2)} & \sigma_{s,2}^{(2,2)} & \ldots & \sigma_{s,s}^{(2,2)} \\ % linha 4          
\end{array}
\right)
$$
}

\frame{\frametitle{PREDIÇÃO ESPACIAL BIVARIADA}
\begin{itemize}
\item Predição de uma variável $Y_1$ com o ``apoio'' de uma segunda variável $Y_2$ (co-variável) tomada nas mesmas coordenadas na primeira. (região, p.ex.);
\item Predição de uma variável de interesse primário $Y_1$ em coordenadas de uma segunda variável $Y_2$, sabidamente correlacionada com a primeira (Co-Krigagem).
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{CO-KRIGAGEM}
\begin{itemize}
\item Estimar a função a função de correlação e os parâmetros de um modelo bivariado (likBGCC) -- {\rm {\it Bivariate Gaussian Common Componente Model}} (no geoR);
\item Predizer valores da variável primária nas coordenadas da variável secundária (ampliação);
\item Predizer valores da variável primária em coordenadas compatíveis com a produção de um mapa.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{OBJETIVOS}
\begin{itemize}
\item Ampliar a revisão bibliográfica;
\item Adotar um conjunto de processos estocásticos gaussianos $\left\{S_1(x_i), S_2(x_j), \ldots S_p(x_k): i \neq j \neq \ldots \neq k; p \in \mathbb{Z}^+ \right\}$ nem todos independentes;
\item Eleger um dos $p$ processos como sendo aquele de interesse primário;
\item Discutir a análise de componentes principais e análise fatorial como procedimento viável para a redução do número de processos;
\item Construir modelo multivariado;
\item Construir a função MGCCM - {\it Multivariate Gaussian Common Component Model};
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{METAS}
\begin{itemize}
\item Aplicar o método multivariado em estudo de caso;
\item Maximizar a função MGCCM segundo seus parâmetros, utilizando o método da máxima verossimilhança;
\item Predizer valores da variável de interesse primário nas coordenadas das demais variáveis não coincidentes;
\item Construir mapa temático para a variável primária.
\item Avaliar criticamente as estratégias de aplicação do modelo multivariado tomando como base dados simulados.
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{ESTUDO DE CASO \#2}
\textcolor{red}{COODETEC}: Dados de pesquisa da Unioeste financiada pelo CNPq em área de agricultura de precisão com 1,33 ha, localizada no Centro de Pesquisa Eloy Gomes da Cooperativa Central Agropecuária de Desenvolvimento Tecnológico e Econômico Ltda, no município de Cascavel-PR, cultivada com soja na safra 1998, onde foram coletadas 256 amostras de solo em grid semi-regular, para análise de atributos químicos e dados de produtividade.
}

\frame{\frametitle{FAZENDA COODETEC}
\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{Wollenhaupt.eps} \;\;
\includegraphics[width=4cm]{panoramica.ps}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{CRONOGRAMA}
\begin{tabular}{|c|c|l|}
\hline
12-03-07 & 12-03-07 & \scriptsize{Qualificar o projeto junto ao PPGMNE} \\
12-03-07 & 30-04-07 & \scriptsize{Completar a revisão da literatura} \\
         &          & \scriptsize{Elaborar metodologia de análise dos dados} \\
30-04-07 & 20-06-07 & \scriptsize{Aplicar metodologia aos conjuntos de dados} \\
20-06-07 & 30-06-07 & \scriptsize{Simular processos geoestatísticos multivariados} \\
01-07-07 & 30-09-07 & \scriptsize{Elaborar relatório preliminar com resultados e discussão} \\
01-10-07 & 31-12-07 & \scriptsize{Elaborar versão preliminar do relatório final} \\
01-01-08 & 28-02-08 & \scriptsize{Fazer revisão ortográfica e gramatical do relatório final} \\
15-01-08 & 15-01-08 & \scriptsize{Marcar data de defesa do relatório final} \\
15-01-08 & 15-01-08 & \scriptsize{Definir os membros da banca} \\
01-03-08 & 01-03-08 & \scriptsize{Encaminhar relatório final aos membros da banca} \\
01-03-08 & 30-03-08 & \scriptsize{Defender a tese} \\        
\hline
\end{tabular}
}


\frame{\frametitle{REFERÊNCIAS}
\begin{thebibliography}{x}
\bibitem{abramowitz+stegun:1965} ABRAMOWITZ, M.  \& STEGUN I., {\em Handbook of Mathematical Functions}. 9.ed., New York: Dover, 1965.
\bibitem{diggle+ribeiroJr:2006} DIGGLE, P. J. \& RIBEIRO Jr P. J., {\em Model-based Geostatistics}. USA: Springer Series in Statistics, 2006.
\bibitem{goovaerts:1997} GOOVAERTS, P., {\em Geostatistics for Natural Resources Evaluation}. Oxford:, Oxford University Press, 1997.
\bibitem{isaaks+srivastava:1989} ISAAKS, E. H. \& R. SRIVASTAVE, M., {\em Applied GEostatistics}. New York: Oxford University, 1989.
\bibitem{journel+huijbregts:1978} JOURNEL A. G. \& HUIJBREGTS Ch. J., {\em Mining Geostatistics}. London: Academic Press, 1978.
\bibitem{krige:1951} KRIGE D. G., {\em A Statistical Approach to Some Mine Valuations and Allied Problems at Witwatersrand}. University of Witwatersrand, 1951. Master's thesis.
\end{thebibliography}
}

\frame{\frametitle{REFERÊNCIAS}
\begin{thebibliography}{x}
\bibitem{R:2006} {\em R: A Language and Environment for Statistical Computing}, R Foundation for Statistical Computing, Vienna:, 2006, http://www.R-project.org.
\bibitem{ribeiro+diggle:2001} RIBEIRO Jr, P. J. \& DIGGLE P. J., geoR: A package for geostatistical analysis, {\em R-NEWS}, v01, n2, 2001, http://cran.r-project.org/doc/Rnews.
\bibitem{schabenberger:2005} SCHABENBERGER O. \& GOTWAY, A., {\em Statistical Methods for Spatial Data Analysis}, New York: Chapman-Hall, 2005.
\bibitem{stein:1999} STEIN, M. L. {\em Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging}. New York: Springer series in statistics. 1999.
\bibitem{wakernagel:2003} WAKERNAGEL, H., {\em Multivariate geostatistics: an introduction with applications}, 3.ed., Germany: Springer series in statistics, 2003.
\end{thebibliography}
}

\frame{
\begin{center}
\Huge{ F I M }
\end{center}
}
\end{document}
