\vspace{1cm}

\noindent {\bf Modelagem do padrão espacial}

%Foram feitos gráficos de pontos com a localização das plantas {\it
%versus} o número médio de insetos por folha, para uma idéia visual
%da existência de padrão espacial.

Uma vez detectado o padrão espacial o passo seguinte é tentar descrever tal padrão por algum modelo, usualmente assumindo como estocástico. Tal modelagem permite não apenas
caracterizar o padrão de dependência mas também utilizá-lo para obter predição 
de quantidades de interesse no problema em quantão, tais como mapas do comportamento da variável na área, proporção na área com infestação acima de um determinado limiar,
maiores valores de infecção e sua localização, entre outros.


\noindent\hspace{1cm} Uma possível  forma de modelar a
distribuição espacial é dada pelas
técnicas geoestatísticas, que associam 
o grau de dependência espacial à medidas de
distância e direção entre os pontos amostrados. 
A descrição da dependência espacial 
usualmente assume que os pontos amostrados mais
próximos são mais parecidos do que pontos mais distantes
(MONTAGNA, 2001). Diggle, Ribeiro~Jr e Christensen (2003) 
afirmam que termo geoestatística é utilizado para
identificar uma parte dos métodos
de estatística espacial na qual o modelo utilizado descreve
uma variação contínua das observações no espaço.

\noindent\hspace{1cm} O formato básico de dados geoestatísticos
univariados é dado por $(x_i, y_i), i= 1, 2, \ldots, n$, em que
$x_i=(x_{1i}, x_{2i})$ identifica a localização espacial, em geral no 
espaço bidimensional e $y_i$ é a medida escalar na posição $x_i$ da
$i$-ésima observação. Tem-se ainda que $y$ pode 
ser medido a princípio em qualquer lugar da região estudada (DIGGLE; RIBEIRO
JR., 2007).

\noindent\hspace{1cm} O modelo geoestatístico é especificado por:
$\lbrack S, Y \rbrack = \lbrack S \rbrack \lbrack Y|S \rbrack$, em
que: $Y(x): x \in A$ é o processo de medida e $y_i$ são os dados
observados; $S=\{S(x):x\in R^2\}$ é um processo gaussiano com
média $\mu$, variância $\sigma^2$ e função de correlação
$\phi(u)$ sendo $u$ a distância entre pares de observações. 
$S(x)$ é chamado de \textit{sinal} e
seus valores usualmente não são diretamente observados, $x$ 
é a posição da observação no espaço; $A$ é um subconjunto fixo de pontos no
$R^{d}$ onde $d$ é a dimensão do espaço que aqui será tomada como $d=2$
(DIGGLE; MOYEED; TAWN, 1998; DIGGLE; RIBEIRO JR., 2007).
As observações $Y_i$  podem ser vistas como uma  
versão com  \textit{ruído} de $S(x_i)$ para
um conjunto de lo\-ca\-li\-za\-ções $x_i$. 
Geralmente, assume-se que o delineamento de amostragem para
as posições $x_i$ é fixo ou estocasticamente independente do processo que
gera as medidas de $y_i$. 
No caso de $Y$ com distribuição gaussiana,
o modelo, pode ser escrito como
$Y_i = S(x_i)+Z_i$, em que $Z_i$ são mutuamente independentes e
seguem distribuição normal, com média $0$ e variância $\tau^2$
(DIGGLE; RIBEIRO JR., 2007) e para um conjunto finito de pontos 
o vetor aleatório $Y$ segue uma distribuição gaussiana multivariada.
Entretanto, de forma mais geral $Y$ pode seguir outras distribuições.
Diggle Tawn e Moyeed (1998) especificam tal modelo dentro da classe 
de modelos lineares generalizados (McCULLAGH e NELDER, 198???) 
onde o processo $S$ define efeitos aleatórios
com estrutura de dependência espacial chamado por Diggle e Ribeiro (2007)  
de modelo linear generalizado geoestatístico. 
Tal modelo permite então especificar explicitamente uma distribuição 
de Poisson para as observações o que é compatível com a estrutura de dados de contagem de insetos considerada neste trabalho.
%@Book{mccullagh+nelder:1989,
%  author = 	 {McCullagh, P. and Nelder, J. A.},
%  title = 	 {Generalized Linear Models},
%  publisher = 	 {Chapman and Hall},
%  address = 	 {London},
%  edition =      {Second},
%  year = 	 {1989},
%}


% tem-se que
% \begin{eqnarray} \nonumber
% {\bf Y} \sim N \left(\mu1, \sigma^2R+\tau^2I\right)
% \end{eqnarray}
% em que, de maneira mais geral, a média $\mu$
% pode ser substituída por uma função que descreva efeitos
% de covariáveis ou \textit{tendência}.

% \noindent\hspace{1cm} Os métodos de análise geoestatística
% tradicionais são baseados em modelos Gaussianos, isto é, em
% situações em que as variáveis respostas são contínuas, como por
% e\-xem\-plo: (i) no estudo da concentração de ouro, Krige (1951),
% verificou que apenas a informação da variância seria insuficiente
% para explicar o fenômeno estudado e que seria necessário levar em
% con\-si\-de\-ra\-ção a localização geográfica e a dependência
% espacial das observações; (ii) em um estudo da distribuição da
% precipitação pluviométrica medida em 143 postos meteorológicos do
% Estado do Paraná no período de seca, maio/junho (RIBEIRO JR, 2004,
% ZAMBOTI, 2001); (iii) no estudo da densidade e da umidade do solo,
% medidas em 250 pontos distribuídos em uma malha regular,
% utilizando sonda de neutrons em seis diferentes profundidades
% (RIBEIRO JR, 1995); (iv) no estudo do teor de argila de 85
% amostras de solos da Fazenda Canchim, localizada em São Carlos, SP
% para fins de mapeamento (CAMARGO), (v) no estudo para obter os
% métodos de estimação dos parâmetros em modelos geoestatísticos,
% considerando diferentes estruturas de covariância para diferentes
% métodos de estimação, avaliando características morfológicas,
% físicas e químicas dos solos em diferentes camadas (OLIVEIRA,
% 2003); (vi) no estudo para modelar a profundidade {\it secchi} e a
% concentração de clorofila A em nove pontos de coleta no Rio Anil,
% localizado em São Luís - MA, que pode estar associada a
% covariáveis, tais como salinidade, pH e temperatura (ALCÂNTARA et
% al., 2004) .

% \noindent\hspace{1cm} Como uma análise exploratória, um gráfico
% muito utilizado na análise geoestatística, quando a variável
% resposta é contínua, é o semi-variograma, isto é, o gráfico dos
% valores da semivariância, $\gamma(h)$, de pares de observações
% separadas pela mesma distância $h$ {\it versus} a distância
% $h=\sqrt{(x_{1i} - x_{1j})^2 + (x_{2i} - x_{2j})^2}$ entre os
% pontos amostrados. A semivariância é dada por:

% \begin{eqnarray} \nonumber
% \gamma^*(h) = \frac {1}{2 N(h)} \sum_{Y_i+h, Y_i \in N(h)}
% \{Y(x+h)-Y(x) \} ^2
% \end{eqnarray}
% em que $Y(x)$ e $Y(x+h)$ são as medidas nas posições {\it x} e
% {\it x+h} e $N(h)$ é o número de pares de pontos separados pela
% distância {\it h}. Se não houver tendência, o variograma é feito
% com a variável resposta e no caso de existir tendência, retira-se
% a tendência e o variograma então é feito com os resíduos.

% \noindent\hspace{1cm} Esse gráfico pode mostrar o grau de
% similaridade entre pontos mais próximos, tendo como vantagens em
% relação à covariância, a não necessidade de conhecer a E[Y(x)] e
% poder incluir funções aleatórias com variância infinita. Sua forma
% é crescente, pois a variabilidade aumenta à medida que cresce a
% distância entre os dados. Uma forma alternativa, é o
% va\-rio\-gra\-ma que é obtido multiplicando o semi-variograma por
% 2. (BRAGA, 1990, MONTAGNA, $2001$,ORTIZ, 2002; PILON, 2004,
% SCHTZKO; KNUDSEN, 1992).

% \noindent\hspace{1cm} Existem três tipos de variogramas, o
% experimental, o verdadeiro e o teórico. O va\-rio\-gra\-ma
% experimental é obtido a partir de observações feitas por um
% processo de amostragem sobre as coordenadas geográficas. O
% verdadeiro é desconhecido e representa a situação real. A análise
% estrutural é utilizada para verificar qual o variograma teórico
% que melhor se ajusta ao variograma experimental e, então, fazer
% inferências sobre o verdadeiro variograma (ORTIZ, 2002, OLIVEIRA,
% 2003, PILON, 2004).

% \noindent\hspace{1cm} Como complemento, ao variograma, o gráfico
% do envelope simulado também é muito utilizado para verificar a
% existência de padrões espaciais. Os limites do envelope são
% obtidos considerando os valores máximos e mínimos dos variogramas
% ajustados, aleatorizando-se as ordens das posições das observações
% e considerando-se a variável resposta fixa, (GeoR
% http://www.est.ufpr.br/geoR). Recomendam-se 99 aleatorizações para
% uma confiança razoável nos envelopes (ORTIZ, 2003). Se existirem
% pontos fora desses limites, é uma evidência da existência de algum
% padrão espacial.

% \noindent\hspace{1cm} Entretanto, em alguns casos, as variáveis
% respostas são contagens, proporções, ou então, assumem apenas
% valores positivos ou muitos iguais a zeros, e a distribuição
% condicionada às variáveis de localização espacial, não é normal,
% isto é, $Y|S$ não é um processo gaussiano.

% \noindent\hspace{1cm} Como e\-xem\-plo de variáveis respostas de
% contagem podem ser citados (i) um estudo realizado na Ilha de
% Rongelap, que faz parte da Republica Marshal e está localizada no
% Oceano Pacífico, sobre a localização de níveis de alta
% concentração de césio radioativo, um resíduo de contaminação
% decorrente de testes de armas nucleares na década de 50, em que a
% variável resposta é o número de {\it photon emissions} na escala
% de energia discreta (DIGGLE; MOYEED; TAWN, 1998, DIGGLE; RIBEIRO
% JR; CHRISTENSEN, 2003); (ii) um estudo da distribuição espacial
% das espécies de cigarrinhas vetoras da {\it Xylella fastidiosa},
% agente que causa a {\it Clorose Variegada} dos Citros em um pomar
% de laranjas ``Pera'', com o objetivo de estabelecer meios para
% controlar melhor a doença, em que a variável resposta é o número
% dos indivíduos coletado no período de dezembro 1996 a dezembro
% 1999, agrupados por estações (FARIAS et al., 2004).

% \noindent\hspace{1cm} Como e\-xem\-plo de variáveis respostas
% binárias podem ser citados (i) um estudo da distribuição espacial
% de espécies de líquens em que a variável resposta é presença, ou
% não, de líquens em troncos de árvores, que pode estar associada a
% covariáveis tais como diâmetro, sombreamento, cobertura do tronco,
% umidade etc; (ii) um estudo da da existência de padrão espacial da
% incidência de malária em crianças de Gambia, África, em que a
% variável resposta presença, ou não, do agente causador, pode estar
% associada a covariáveis tais como localização das vilas, presença
% de centro de saúde, índice de vegetação, idade da criança, uso e
% tratamento de mosquiteiros, etc (DIGGLE; RIBEIRO JR., 2006); (iii)
% um estudo do levantamento da infestação da broca do café na
% Colômbia em um período de quatro anos em que a variável resposta é
% presença, ou não, da broca e, no caso de encontrar pelo menos um
% fruto com broca, foi calculada a proporção de frutos infestados na
% planta, que pode estar associada a covariáveis, tais como
% temperatura (máxima, mínima e média), insolação, umidade relativa
% e precipitação pluviométrica (RUIZ, 2002); (iv) um estudo
% realizado em dezenove setores censitários na região do município
% de Duque de Caxias, RJ para modelar a distribuição espacial da
% epidemiologia de {\it ascaríase} em que a variável resposta é
% presença, ou não, da doença (FORTES et al., 2004).

% \noindent\hspace{1cm} Nesses casos, uma solução para a análise dos
% dados seria usar uma transformação do tipo permitido pela família
% de Box-Cox e depois o modelo Gaussiano, como proposto por
% Christensen; Diggle; Ribeiro Jr., (2000). Entretanto, há
% limitações e os autores sugerem que isso seja usado apenas para
% uma análise inicial dos dados. A melhor alternativa, é usar os
% modelos espaciais lineares generalizados.

% \noindent\hspace{1cm} No modelo linear generalizado padrão, tem-se
% que os $Y_i, i=1, 2, \ldots, n$ são mutuamente independentes com
% distribuição pertencente à família exponencial na forma canônica e
% $\mu_i=E[Y_i]$ especificado pelo preditor linear $h(\mu_i)=\eta_i$
% para alguma função de ligação $h(.)$ conhecida.

\noindent\hspace{1cm} O modelo linear generalizado geoestatístico
é um caso particular de modelo linear ge\-ne\-ra\-li\-za\-do misto
em que os $Y_i, i=1, 2, \ldots, n$ condicionais a $S(x)$ são
mutuamente independentes com esperança $E[Y_i|S(x)] = \lambda_i$ e
preditor linear $h(\lambda_i)=S(x_i)$, $i=1, 2, \ldots, n$ para uma
função de ligação $h(\cdot)$ conhecida, sendo que o sinal do processo
é $\{h^{-1}(S(x)): x \in A\}$ e, no caso de de presença de covariáveis 
estende-se  com $S(x_i)=S(x)+d(x)^T\beta$, em que
$\beta$ é o vetor dos parâmetros de regressão (DIGGLE; MOYEED;
TAWN, 1998, DIGGLE; RIBEIRO JR.; CHRISTENSEN, 2003).

\noindent\hspace{1cm} Supondo-se que o número total de insetos
$Y(x_i)|S(x_i)$ tem distribuição de Poisson com média $t_i
\exp(S(x_i)), i=1, 2, \ldots, n$, em que $t_i$ representa os
números de folhas, tem-se que
\begin{eqnarray} \nonumber
P[Y(x)|S(x)=y(x_i)] = \frac{e^{-t_ie^{S(x_i)}}
\left(t_ie^{S(x_i)}\right)^{y(x_i)}}{y(x_i)!}.
\end{eqnarray}

\noindent\hspace{1cm} Neste modelo função de verossimilhança, não é expressa
de forma fechada, sendo descrita pela integral
\begin{eqnarray}
L = \int \prod^n_{i=1}\frac{e^{-t_ie^{S(x_i)}}
\left(t_ie^{S(x_i)}\right)^{y(x_i)}}{y(x_i)!}.
\frac{1}{\sqrt{2\pi}|\sigma^2R|}e^{\frac{-1}{2}
(S(x_i)-\mu_i)'\sigma^2R(S(x_i)-\mu_i)}ds, \label{eq:int}
\end{eqnarray}
que tem dimensionalidade igual ao número de observações, 
e não tendo solução explícita. Uma possível solução é
utilizar Cadeias de Markov via Monte Carlo (MCMC).
Uma implementação comutacional é disponibilizada pelo 
pacote \textsf{geoRglm} do ambiente estatístico 
\textsf{R} (http://www.R-project.org).

\noindent\hspace{1cm} No caso de variáveis aleatórias discretas, o
va\-rio\-gra\-ma é um resumo menos natural dos dados, mas pode ser
útil como ferramenta para diagnóstico, após o ajuste do modelo
linear generalizado misto (DIGGLE; RIBEIRO JR, 2007). Nesse caso,
compara-se o va\-rio\-gra\-ma ajustado com o variograma
experimental, obtido através dos resíduos. Os variogramas
experimental e ajustado são dados, respectivamente por:
\begin{eqnarray}\nonumber
\gamma_Y(h) & = & \frac{1}{2}Var\{Y(x)\} +
\frac{1}{2}Var\{Y(x+h)\} - Cov\{Y(x), Y(x+h)\}.
\end{eqnarray}
e
\begin{eqnarray}\nonumber
\gamma_Y(h) & = & \exp(\beta+\frac{\sigma^2}{2}) +
\exp(2\beta+\sigma^2)[\exp(\sigma^2)- \exp\{\sigma^2\rho(u)\}].
\end{eqnarray}

%\noindent\hspace{1cm} Para se fazer essa análise, as estimativas
%dos parâmetros do modelo ajustado são supostas verdadeiras.
%Simulam-se 99 amostras espaciais independentes com as mesmas
%localizações dos dados observados. O variograma experimental é
%calculado para cada uma das simulações e o envelope é construído
%através dos quantis dos variogramas para os dados simulados e,
%finalmente, verifica-se se o intervalo de confiança contém o
%variograma ajustado aos dados observados.

\noindent\hspace{1cm} Porém, deve-se avaliar com parcimônia
tal diagnóstico pois o variograma 
é neste caso ainda mais errático do que o usualmente obtido para dados 
com distribuição contínua e simétrica, uma vez que é gerado por dados
assimétricos, sendo portanto, aconselhado para orientar as
análises e não como ferramenta para obtenção de estimativas dos parâmetros.

\noindent\hspace{1cm} Após a escolha de um determinado modelo, em
geral, há interesse na construção de um mapa de predição que descreva o comportamento da variável na região, ou qualquer outra quantidade de interesse que possa ser obtida 
a partir de tais mapas.
Assumindo, inicialmente, que se conhecem os parâmetros e que o
interesse está na intensidade de insetos dada por
$\lambda(x_0)=\exp(\beta+S(x_0))$, para o local $x_0=(x_{10},
x_{20})$, com a distribuição marginal de $S$ e a distribuição
condicional de $Y|S$ pode-se simular a distribuição condicional de
$[S|y]$, através do método MCMC. A superfície predita é dada por
(DIGGLE; MOYEED; TAWN, 1998):
\begin{eqnarray}\nonumber
\hat \beta + \hat S(x) + \frac{Var(x)}{2},
\end{eqnarray}
sendo que, $\hat\beta$ é a média do processo, nesse caso, pois não
existem covariáveis explanatórias nem tendência; $\hat S(x)$ é o
preditor linear de krigagem e $Var(x)$ é a variância da predição.

