%\section{\bf Detecção de padrão espacial através
%do teste de aleatorização de Mantel}
\section{\bf Teste de Mantel para detecção de padrão espacial}
%\noindent {\bf Detecção de padrão espacial através
%do teste de aleatorização de Mantel}

\noindent\hspace{1cm} A não existência de padrão
espacial na dispersão dos insetos pode ser considerada como
hipótese de aleatoriedade, pois pode testar a existência de um
padrão espacial através da  aleatorização  da ordens dos
dados observados (MANLY, 2006).

\noindent\hspace{1cm} Os testes de aleatorização têm como base o
fato que, se a hipótese de nulidade é verdadeira, todas as
possíveis ordens para os dados têm a mesma chance de ocorrer.
Assim, para um conjunto de observações calcula-se o valor $e_o$ de
uma estatística $E$ e a seguir, faz-se um número grande
de aleatorizações que no contexto de dados espaciais 
são dadas por reordenações aleatórias dos dados,
obtendo-se valores $e_a$ que irão gerar uma aproximação por simulação 
da distribuição amostral de $E$.
Assim como em testes estatísticos clássicos a decisão é guiada
por um $valor-p$ que no caso de testes aleatorizados é dado pela 
proporção dos valores $e_a$ que são
maiores do que ou iguais a $e_o$. Por exemplo, se $p<0,05$,
conclui-se que existe uma forte evidência de que a hipótese de
nulidade não seja verdadeira ao nível de $5\%$ de probabilidade
(MANLY, $2006$).

\noindent\hspace{1cm} Testes aleatorizados possuem 
algumas características particulares em
comparação a testes estatísticos clássicos. 
As vantagens dos testes de aleatorização,
Em geral são relativamente fáceis de serem
calculados, são baseados em estatísticas não padronizadas e não
necessitam de informações prévias a respeito da população da qual
a amostra foi retirada. Além disto pode ser aplicado 
em amostras não aleatórias que podem consitir
 simplesmente de itens que precisam ser
analisados (MANLY, $2006$). Entretanto, os testes de aleatorização
são mais facilmente justificados quando as amostras
a\-na\-li\-sa\-das são aleatórias ou o próprio delineamento
experimental sugere um teste de aleatorização.
%\noindent\hspace{1cm} A principal desvantagem em se usarem os
%testes de aleatorização é que 
À primeira vista podem parecem ser pouco
rigorosos, pois nem sempre é possível ge\-ne\-ra\-li\-zar as
conclusões obtidas, sendo a sua contrução  específicas para cada conjunto de dados
e tipo de problema.
%O que um teste de aleatorização diz é que um certo padrão nos
%dados pode, ou não, ter aparecido por acaso (MANLY, 2006).

\noindent\hspace{1cm} No contexto de dados espaciais, em geral deseja-se
testar a hipótese nula de padrão espacial aleatório {\it versus} 
a alternativa de padrão espacial não aleatório.
Um teste para tal hipótese foi proposto
por Mantel~($1967$) que permite estudar, 
a partir da configuração dos pontos observados, 
se a dispersão dos insetos segue um padrão aleatório. 
O teste é implementado como se segue.
Seja uma variável observada em $n$ localizações 
Obtém-se duas matrizes $A$ e $B$, de dimensão $n \times n$, simétricas, 
cujos elementos representam distâncias, em alguma métrica, entre as observações.
\begin{eqnarray} \nonumber
A= \left(
\begin{array}{cccc}
  0 & a_{21} & ... & a_{n1} \\
  a_{21} & 0 & ... & a_{n2} \\
  ... & ... & ... & ... \\
  a_{n1} & a_{n2} & ... & 0 \\
\end{array}
\right) ~~~~e~~~~B= \left(
\begin{array}{cccc}
  0 & b_{21} & ... & b_{n1} \\
  b_{21} & 0 & ... & b_{n2} \\
  ... & ... & ... & ... \\
  b_{n1} & b_{n2} & ... & 0 \\
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}

\noindent sendo que aqui A é a matriz das distâncias Euclidianas entre
os pontos com localizações dadas por 
$(x_{1i}, x_{2i})$ e $(x_{1j}, x_{2j})$, isto é, com
elementos $a_{ij}=\sqrt{(x_{1i}-x_{1j})^2+(x_{2i}-x_{2j})^2}$ e B
é a matriz com elementos $b_{ij}=\sqrt{(z_i-z_j)}^2$, em que $Z$ é 
número médio de insetos por folha. A estatística teste é
dada pelo coeficiente de correlação de Pearson entre os elementos
correspondentes de $A$ e $B$, isto é,
\begin{eqnarray} \label{eq:r}
r = \displaystyle \frac {m \sum_{i<j} a_{ij} b_{ij}- \sum_{i<j}
a_{ij} \sum_{i<j} b_{ij}}{\sqrt  {\lbrack {m{\sum_{i<j}
a_{ij}^2-(\sum_{i<j} a_{ij})^2 \rbrack \lbrack m\sum_{i<j}
b_{ij}^2-(\sum_{i<j} b_{ij})^2}\rbrack }}},
\end{eqnarray}
que produz o valor $r_o$ quando calculada para os valores observados. 
A seguir permutam-se linhas e colunas de uma das matrizes um número $N$
suficientemente grande e obtêm-se os valores ${r_a}_k$, para $k=1,
2, \ldots N$. A proporção $p$ de valores $r_a \ge
r_o$, é comparada com um valor de nível de significância pré-fixado $\alpha$
(por exemplo, 0,05) e rejeita-se a hipótese nula se $p<\alpha$ (MANLY,~$2006$).

\noindent\hspace{1cm} Sendo as matrizes $A$ e $B$ são simétricas,
a correlação entre todos os elementos fora da diagonal principal é
a mesma que a correlação de $m=n(n-1)/2$ elementos na parte
triangular superior ou inferior da matriz. 
Note-se ainda que o único
termo de~(\ref{eq:r}) que é alterado pela mudança da ordem dos
elementos em uma das matrizes $A$ ou $B$ é a soma de produtos $Z =
\sum a_{ij} b_{ij}$.

\noindent\hspace{1cm} Outras possíveis métricas utilizadas para o cálculo
das distâncias são \textit{Euclidiana com dados padronizados},
\textit{Euclidiana quadrática}, \textit{Euclidiana quadrática com dados
padronizados}, \textit{distância proporcional} e \textit{diferença amostral} para
procedimentos de permutação de respostas múltiplas. Esse teste assume
que a correlação na métrica adotada é linear e alternativas incluem 
as propostas de Besag-Diggle, de Edgington, Monte Carlo, dentre
outros (MANLY, 2006). 
Uma outra proposta é dada por Sn\"all, Ribeiro Jr e Rydin (2003)
que controem um teste aleatorizado usando formas flexíveis
para relação entre as medidas de distâncias
dadas pela estrutura de modelos generalizados aditivos.
%% VER REFERENCIA NO MEU CV LATTES

\noindent\hspace{1cm} Quando o teste de Mantel rejeita a hipótese
de nulidade, pode haver interesse em se detectar qual o tipo de
associação existente entre as variáveis e isso pode ser mostrado
pelo gráfico de $b_{ij}$ {\it versus} $a_{ij}$. Um dos possíveis
modelos de associação é a regressão linear simples, em que os
elementos da matriz $A$ entram como variável explanatória e os
elementos da matriz $B$ como variável resposta, isto é,
\begin{eqnarray} \nonumber
b_{ij} = \beta_0 + \beta_1a_{ij} + \epsilon_{ij}
\end{eqnarray}
em que $\beta_0$ e $\beta_1$ são parâmetros a serem estimados e
$\epsilon_{ij}$ é o erro associado à resposta. Entretanto, formas
mais complexas de dependência espacial podem ocorrer.

%\noindent\hspace{1cm} A variável resposta utilizada foi a
%distância Euclidiana do número médio de insetos por folha e a
%covariável foi a distância Euclidiana dos pontos amostrados.

\noindent\hspace{1cm} Neste trabalho o 
teste de aleatorização para padrões
espaciais foi calculado considerando-se as observações em cada
data de coleta. O teste pode, a princípio ser extendido para
detecção de padrões temporais, porém isto levanta a questão
de como combinar informações da diversas unidades de observação. 
Embora tal alternativa tenha sido verificada para os dados de occorrência de tripes
optou-se por não incluir os resultados aqui dado o peuqno número de observações 
no tempo e o não haver interesse específico em testar padrões temporais.


%\noindent\hspace{1cm} De forma semelhante, foi usado o teste de
%aleatorização para detecção de padrões temporais, considerando-se
%as observações em cada ponto amostrado para cada data estudada.
%Para a realização do teste de Mantel foram consideradas as
%distâncias simples e as distâncias recíprocas (inverso da
%distância) dos tempos amostrados. Para a regressão linear, a
%variável resposta utilizada foi a distância Euclidiana do número
%de insetos por folha e a covariável foi a distância Euclidiana dos
%tempos amostrados. É importante enfatizar que o uso do teste de
%Mantel para a dependência temporal levanta problemas de como
%combinar a informação de um número grande de plantas.


\vspace{1cm}

\noindent {\bf Modelagem do padrão espacial}

Foram feitos gráficos de pontos com a localização das plantas {\it
versus} o número médio de insetos por folha, para uma idéia visual
da existência de padrão espacial.

\noindent\hspace{1cm} Existem diversos métodos para estudar a
distribuição espacial de objetos ou indivíduos, sendo comum o uso
das técnicas da Geoestatística, que podem estimar, a partir de
amostras, seu grau de associação (correlação), usando medidas de
distância entre eles e da direção deles. A dependência espacial
(autocorrelação espacial) mostra que os pontos amostrados mais
próximos são mais parecidos do que pontos mais distantes
(MONTAGNA, 2001). O termo geoestatística é utilizado para
identificar uma parte da estatística espacial, sendo utilizado
quando existe uma variação contínua das observações no espaço
(DIGGLE; RIBEIRO JR; CHRISTENSEN, 2003).

\noindent\hspace{1cm} O formato básico de dados geoestatísticos
univariados é dado por $(x_i, y_i), i= 1, 2, \ldots, n$, em que
$x_i=(x_{1i}, x_{2i})$ identifica a localização espacial (espaço
bidimensional) e $y_i$ é a medida escalar na posição $x_i$ da
$i$-ésima observação. Tem-se ainda que $y$ pode estar localizado a
princípio em qualquer lugar da região estudada (DIGGLE; RIBEIRO
JR., 2006).

\noindent\hspace{1cm} O modelo geoestatístico é representado por:
$\lbrack S, Y \rbrack = \lbrack S \rbrack \lbrack Y|S \rbrack$, em
que: $Y(x): x \in A$ é o processo de medida; $y_i$ são os dados
observados; $S=\{S(x):x\in R^2\}$ é um processo gaussiano com
média $\mu$ e variância $\sigma^2$, $S(x)$ é chamado de sinal e
seus valores não são diretamente observados, $x$ é a posição da
observação no espaço; $A$ é um subconjunto fixo de pontos no
$R^{2}$ (DIGGLE; MOYEED; TAWN, 1998; DIGGLE; RIBEIRO JR., 2006).
Tem-se ainda que $Y_i$ é uma versão de ``ruído'' de $S(x_i)$ para
um conjunto de lo\-ca\-li\-za\-ções $x_i$ (DIGGLE; MOYEED; TAWN,
1998). Geralmente, assume-se que o delineamento de amostragem para
a posição $x_i$ é estocasticamente independente do processo que
gera as medidas de $y_i$. O modelo, pode então ser escrito como:
$Y_i = S(x_i)+Z_i$, em que $Z_i$ são mutuamente independentes e
seguem distribuição normal, com média $0$ e variância $\tau^2$
(DIGGLE; RIBEIRO JR., 2006).

\noindent\hspace{1cm} Logo, pode-se dizer que

\begin{eqnarray} \nonumber
{\bf Y} \sim N \left(\mu1, \sigma^2R+\tau^2I\right)
\end{eqnarray}
em que $\mu$ é a média geral, mas no caso de existirem covariáveis
ou tendência, $\mu$ pode ser uma função.

\noindent\hspace{1cm} Os métodos de análise geoestatística
tradicionais são baseados em modelos Gaussianos, isto é, em
situações em que as variáveis respostas são contínuas, como por
e\-xem\-plo: (i) no estudo da concentração de ouro, Krige (1951),
verificou que apenas a informação da variância seria insuficiente
para explicar o fenômeno estudado e que seria necessário levar em
con\-si\-de\-ra\-ção a localização geográfica e a dependência
espacial das observações; (ii) em um estudo da distribuição da
precipitação pluviométrica medida em 143 postos meteorológicos do
Estado do Paraná no período de seca, maio/junho (RIBEIRO JR, 2004,
ZAMBOTI, 2001); (iii) no estudo da densidade e da umidade do solo,
medidas em 250 pontos distribuídos em uma malha regular,
utilizando sonda de neutrons em seis diferentes profundidades
(RIBEIRO JR, 1995); (iv) no estudo do teor de argila de 85
amostras de solos da Fazenda Canchim, localizada em São Carlos, SP
para fins de mapeamento (CAMARGO), (v) no estudo para obter os
métodos de estimação dos parâmetros em modelos geoestatísticos,
considerando diferentes estruturas de covariância para diferentes
métodos de estimação, avaliando características morfológicas,
físicas e químicas dos solos em diferentes camadas (OLIVEIRA,
2003); (vi) no estudo para modelar a profundidade {\it secchi} e a
concentração de clorofila A em nove pontos de coleta no Rio Anil,
localizado em São Luís - MA, que pode estar associada a
covariáveis, tais como salinidade, pH e temperatura (ALCÂNTARA et
al., 2004) .

\noindent\hspace{1cm} Como uma análise exploratória, um gráfico
muito utilizado na análise geoestatística, quando a variável
resposta é contínua, é o semi-variograma, isto é, o gráfico dos
valores da semivariância, $\gamma(h)$, de pares de observações
separadas pela mesma distância $h$ {\it versus} a distância
$h=\sqrt{(x_{1i} - x_{1j})^2 + (x_{2i} - x_{2j})^2}$ entre os
pontos amostrados. A semivariância é dada por:

\begin{eqnarray} \nonumber
\gamma^*(h) = \frac {1}{2 N(h)} \sum_{Y_i+h, Y_i \in N(h)}
\{Y(x+h)-Y(x) \} ^2
\end{eqnarray}
em que $Y(x)$ e $Y(x+h)$ são as medidas nas posições {\it x} e
{\it x+h} e $N(h)$ é o número de pares de pontos separados pela
distância {\it h}. Se não houver tendência, o variograma é feito
com a variável resposta e no caso de existir tendência, retira-se
a tendência e o variograma então é feito com os resíduos.

\noindent\hspace{1cm} Esse gráfico pode mostrar o grau de
similaridade entre pontos mais próximos, tendo como vantagens em
relação à covariância, a não necessidade de conhecer a E[Y(x)] e
poder incluir funções aleatórias com variância infinita. Sua forma
é crescente, pois a variabilidade aumenta à medida que cresce a
distância entre os dados. Uma forma alternativa, é o
va\-rio\-gra\-ma que é obtido multiplicando o semi-variograma por
2. (BRAGA, 1990, MONTAGNA, $2001$,ORTIZ, 2002; PILON, 2004,
SCHTZKO; KNUDSEN, 1992).

\noindent\hspace{1cm} Existem três tipos de variogramas, o
experimental, o verdadeiro e o teórico. O va\-rio\-gra\-ma
experimental é obtido a partir de observações feitas por um
processo de amostragem sobre as coordenadas geográficas. O
verdadeiro é desconhecido e representa a situação real. A análise
estrutural é utilizada para verificar qual o variograma teórico
que melhor se ajusta ao variograma experimental e, então, fazer
inferências sobre o verdadeiro variograma (ORTIZ, 2002, OLIVEIRA,
2003, PILON, 2004).

\noindent\hspace{1cm} Como complemento, ao variograma, o gráfico
do envelope simulado também é muito utilizado para verificar a
existência de padrões espaciais. Os limites do envelope são
obtidos considerando os valores máximos e mínimos dos variogramas
ajustados, aleatorizando-se as ordens das posições das observações
e considerando-se a variável resposta fixa, (GeoR
http://www.est.ufpr.br/geoR). Recomendam-se 99 aleatorizações para
uma confiança razoável nos envelopes (ORTIZ, 2003). Se existirem
pontos fora desses limites, é uma evidência da existência de algum
padrão espacial.

\noindent\hspace{1cm} Entretanto, em alguns casos, as variáveis
respostas são contagens, proporções, ou então, assumem apenas
valores positivos ou muitos iguais a zeros, e a distribuição
condicionada às variáveis de localização espacial, não é normal,
isto é, $Y|S$ não é um processo gaussiano.

\noindent\hspace{1cm} Como e\-xem\-plo de variáveis respostas de
contagem podem ser citados (i) um estudo realizado na Ilha de
Rongelap, que faz parte da Republica Marshal e está localizada no
Oceano Pacífico, sobre a localização de níveis de alta
concentração de césio radioativo, um resíduo de contaminação
decorrente de testes de armas nucleares na década de 50, em que a
variável resposta é o número de {\it photon emissions} na escala
de energia discreta (DIGGLE; MOYEED; TAWN, 1998, DIGGLE; RIBEIRO
JR; CHRISTENSEN, 2003); (ii) um estudo da distribuição espacial
das espécies de cigarrinhas vetoras da {\it Xylella fastidiosa},
agente que causa a {\it Clorose Variegada} dos Citros em um pomar
de laranjas ``Pera'', com o objetivo de estabelecer meios para
controlar melhor a doença, em que a variável resposta é o número
dos indivíduos coletado no período de dezembro 1996 a dezembro
1999, agrupados por estações (FARIAS et al., 2004).

\noindent\hspace{1cm} Como e\-xem\-plo de variáveis respostas
binárias podem ser citados (i) um estudo da distribuição espacial
de espécies de líquens em que a variável resposta é presença, ou
não, de líquens em troncos de árvores, que pode estar associada a
covariáveis tais como diâmetro, sombreamento, cobertura do tronco,
umidade etc; (ii) um estudo da da existência de padrão espacial da
incidência de malária em crianças de Gambia, África, em que a
variável resposta presença, ou não, do agente causador, pode estar
associada a covariáveis tais como localização das vilas, presença
de centro de saúde, índice de vegetação, idade da criança, uso e
tratamento de mosquiteiros, etc (DIGGLE; RIBEIRO JR., 2006); (iii)
um estudo do levantamento da infestação da broca do café na
Colômbia em um período de quatro anos em que a variável resposta é
presença, ou não, da broca e, no caso de encontrar pelo menos um
fruto com broca, foi calculada a proporção de frutos infestados na
planta, que pode estar associada a covariáveis, tais como
temperatura (máxima, mínima e média), insolação, umidade relativa
e precipitação pluviométrica (RUIZ, 2002); (iv) um estudo
realizado em dezenove setores censitários na região do município
de Duque de Caxias, RJ para modelar a distribuição espacial da
epidemiologia de {\it ascaríase} em que a variável resposta é
presença, ou não, da doença (FORTES et al., 2004).

\noindent\hspace{1cm} Nesses casos, uma solução para a análise dos
dados seria usar uma transformação do tipo permitido pela família
de Box-Cox e depois o modelo Gaussiano, como proposto por
Christensen; Diggle; Ribeiro Jr., (2000). Entretanto, há
limitações e os autores sugerem que isso seja usado apenas para
uma análise inicial dos dados. A melhor alternativa, é usar os
modelos espaciais lineares generalizados.

\noindent\hspace{1cm} No modelo linear generalizado padrão, tem-se
que os $Y_i, i=1, 2, \ldots, n$ são mutuamente independentes com
distribuição pertencente à família exponencial na forma canônica e
$\mu_i=E[Y_i]$ especificado pelo preditor linear $h(\mu_i)=\eta_i$
para alguma função de ligação $h(.)$ conhecida.

\noindent\hspace{1cm} O modelo linear generalizado geoestatístico
é um caso particular de modelo linear ge\-ne\-ra\-li\-za\-do misto
em que os $Y_i, i=1, 2, \ldots, n$ condicionais a $S(x)$ são
mutuamente independentes com esperança $E[Y_i|S(x)] = \mu_i$ e
preditor linear $h(\mu_i)=S(x_i)$, $i=1, 2, \ldots, n$ para uma
função de ligação $h(.)$ conhecida, sendo que o sinal do processo
é $\{h^{-1}(S(x)): x \in A\}$ e $S(x_i)=S(x)+d(x)^T\beta$, em que
$\beta$ é o vetor dos parâmetros de regressão (DIGGLE; MOYEED;
TAWN, 1998, DIGGLE; RIBEIRO JR.; CHRISTENSEN, 2003).

\noindent\hspace{1cm} Supondo-se que o número total de insetos
$Y(x_i)|S(x_i)$ tem distribuição de Poisson com média $t_i
\exp(S(x_i)), i=1, 2, \ldots, n$, em que $t_i$ representa os
números de folhas, tem-se que

\begin{eqnarray} \nonumber
P[Y(x)|S(x)=y(x_i)] = \frac{e^{-t_ie^{S(x_i)}}
\left(t_ie^{S(x_i)}\right)^{y(x_i)}}{y(x_i)!}.
\end{eqnarray}

\noindent\hspace{1cm} No caso de modelos lineares generalizados
espaciais, a função de verossimilhança, geralmente, não é expressa
de forma fechada, sendo descrita pela integral

\begin{eqnarray}
L = \int \prod^n_{i=1}\frac{e^{-t_ie^{S(x_i)}}
\left(t_ie^{S(x_i)}\right)^{y(x_i)}}{y(x_i)!}.
\frac{1}{\sqrt{2\pi}|\sigma^2R|}e^{\frac{-1}{2}
(S(x_i)-\mu_i)'\sigma^2R(S(x_i)-\mu_i)}ds, \label{eq:int}
\end{eqnarray}
que tem dimensionalidade grande, não tendo solução explícita na
maior parte dos casos. Métodos padrões para resolver a integral
(\ref{eq:int}) são desconhecidos, porém, uma possível solução é
utilizar Cadeias de Markov via Monte Carlo (MCMC), o que já está
implementado no pacote GeoRGLM do R (http://www.R-project.org).

\noindent\hspace{1cm} No caso de variáveis aleatórias discretas, o
va\-rio\-gra\-ma é um resumo menos natural dos dados, mas pode ser
útil como ferramenta para diagnóstico, após o ajuste do modelo
linear generalizado misto (DIGGLE; RIBEIRO JR, 2006). Nesse caso,
compara-se o va\-rio\-gra\-ma ajustado com o variograma
experimental, obtido através dos resíduos. Os variogramas
experimental e ajustado são dados, respectivamente por:

\begin{eqnarray}\nonumber
\gamma_Y(h) & = & \frac{1}{2}Var\{Y(x)\} +
\frac{1}{2}Var\{Y(x+h)\} - Cov\{Y(x), Y(x+h)\}.
\end{eqnarray}
e

\begin{eqnarray}\nonumber
\gamma_Y(h) & = & \exp(\beta+\frac{\sigma^2}{2}) +
\exp(2\beta+\sigma^2)[\exp(\sigma^2)- \exp\{\sigma^2\rho(u)\}].
\end{eqnarray}

\noindent\hspace{1cm} Para se fazer essa análise, as estimativas
dos parâmetros do modelo ajustado são supostas verdadeiras.
Simulam-se 99 amostras espaciais independentes com as mesmas
localizações dos dados observados. O variograma experimental é
calculado para cada uma das simulações e o envelope é construído
através dos quantis dos variogramas para os dados simulados e,
finalmente, verifica-se se o intervalo de confiança contém o
variograma ajustado aos dados observados.

\noindent\hspace{1cm} Porém, deve-se tomar cuidado pois o
variograma é errático, uma vez que é gerado por dados
assimétricos, sendo portanto, mais aconselhado para orientar as
análises do que para orientar nas estimativas dos parâmetros.

\noindent\hspace{1cm} Após a escolha de um determinado modelo, em
geral, há interesse na construção de um mapa de predição.
Assumindo, inicialmente, que se conhecem os parâmetros e que o
interesse está na intensidade de insetos dada por
$\lambda(x_0)=\exp(\beta+S(x_0))$, para o local $x_0=(x_{10},
x_{20})$, com a distribuição marginal de $S$ e a distribuição
condicional de $Y|S$ pode-se simular a distribuição condicional de
$[S|y]$, através do método MCMC. A superfície predita é dada por
(DIGGLE; MOYEED; TAWN, 1998):

\begin{eqnarray}\nonumber
\hat \beta + \hat S(x) + \frac{Var(x)}{2},
\end{eqnarray}
sendo que, $\hat\beta$ é a média do processo, nesse caso, pois não
existem covariáveis explanatórias nem tendência; $\hat S(x)$ é o
preditor linear de krigagem e $Var(x)$ é a variância da predição.

\subsection{\bf Resultados e discussão}

\vspace{1cm}

\noindent {\bf Detecção de padrão espacial através do teste de
aleatorização de Mantel}

\hspace{1cm}

\noindent {\bf Fazenda São Paulo}

\noindent\hspace{1cm} Os valores de $p$ obtidos para o teste de
Mantel feito para cada uma das coletas foram \textbf{0,0228},
\textbf{ 0,0022}, \textbf{0,0235}, 0,0588, 0,1005, 0,0749, 0,1297
e 0,5540. Pode-se observar, portanto, que apenas nos dias 10, 24 e
31 de julho existe evidência de rejeição da hipótese de padrão
aleatório, mostrando uma relação entre a localização da planta e o
número de insetos por folha. Isso é confirmado quando se observa o
gráfico de pontos (Figura \ref{fig:spgeo}) em que os pontos mais
próximos têm cores semelhantes. O gráfico de pontos é dividido por
quartis, em que azul representa as cores das observações menores
do que o primeiro quartil, verde são as observações entre o
primeiro quartil e a mediana, amarelo as cores entre a mediana e o
terceiro quartil e as maiores do que o terceiro quartil são
vermelhas. Nesse caso, os gráficos são representados por menos
cores pois existem pontos com os mesmos valores pertencentes a
dois intervalos diferentes. Observa-se também que a distribuição
de número médio de insetos por folha é assimétrica e aparentemente
não apresenta tendência.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.85]
{c:/esalq/TeseTEX/dadostripes/graficos/spgeo.eps}
\caption{Gráficos de dispersão e histogramas para o número médio
de insetos - Fazenda São Paulo.} \label{fig:spgeo}
\end{figure}

\noindent\hspace{1cm} Fazendo-se a regressão linear simples das
distâncias do número de insetos por folhas em relação às
distâncias da localização das estacas, vê-se que existe evidência
de que à medida que aumenta a distância entre pontos, aumenta a
distância entre o número de insetos por folha (ver Tabela
\ref{tab:reg}).

\newpage
\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[h]
\caption{Modelos de regressão - Testes de
Aleatorização}\label{tab:reg}
\end{table}

\vspace{-0.7cm} %
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\begin{table}[!h]
\centering %
\begin{tabular}{l c c c}
  \hline
Prorpiedade & Data & Modelo & p\\
\hline \hline
 & 10/07   &Insetos/folha = 0,2102
 + 0,002325loc & 0,0205\\
Fazenda São Paulo & 24/07&
Insetos/folha = 0,6024 + 0,004216loc & 0,0022 \\
 & 31/07&  Insetos/folha =
 0,09317 + 0,0004174 & 0,0264 \\
 \hline
Estância Bela Vista & 08/08   &
Insetos/folha = 6,218 + 0,009037loc & 0,0334\\
 \hline
 & 04/06   &Insetos/folha =
 0,3035 + 0,007206loc & 0,0012\\
Sítio Novo II & 27/06   &
Insetos/folha = 1,181 + 0,004034loc & 0,0258\\
 & 04/07   &Insetos/folha =
 1,524 + 0,003371loc & 0,0455 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\hspace{1cm}

{\bf Estância Bela Vista}

\noindent\hspace{1cm} Os valores de $p$ obtidos para o teste de
Mantel feito para cada uma das coletas foram 0,8986, 0,0902,
\textbf{0,0338}, 0,7880 e 0,6224. Nota-se, portanto, que apenas no
dia 08 de agosto existe evidência de rejeição da hipótese de
padrão aleatório, mostrando uma relação entre a localização da
planta e o número de insetos por folha. A Figura \ref{fig:bvgeo}
confirma isso, pois observa-se um padrão nas cores, sendo que o
vermelho mostra uma maior concentração de insetos enquanto verde e
azul indicam baixa infestação. Nota-se também que a distribuição
de insetos por folha é assimétrica e aparentemente não apresenta
tendência.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=0.85]
{c:/esalq/TeseTEX/dadostripes/graficos/bvgeo.eps}
\caption{Gráficos de dispersão e histogramas para o número médio
de insetos - Estância Bela Vista.}\label{fig:bvgeo}
\end{figure}

\noindent\hspace{1cm} Fazendo-se a regressão linear simples das
distâncias do número de insetos por folhas em relação às
distâncias da localização das estacas, observa-se que existe
evidência de que à medida que aumenta a distância entre pontos,
aumenta a distância entre o número de insetos por folha (ver
Tabela \ref{tab:reg}).

\hspace{1cm}

{\bf Sítio Rosário}

\noindent\hspace{1cm} Os valores de $p$ obtidos para o teste de
Mantel foram 0,5309, 0,5961, 0,9236, 0,9512, 0,9412, 0,7297,
0,3223, 0,1897, 0,2771, 0,1771 e 0,7020. Nota-se que não existe
evidência de rejeição da hipótese de padrão aleatório, portanto, o
comportamento dos insetos é aleatório quando relacionado com a
posição da planta.

\hspace{1cm}

{\bf Sítio Novo II}

\noindent\hspace{1cm} Os valores de $p$ obtidos para o teste de
Mantel feito para cada uma das coletas foram \textbf{0,0006},
0,6127, \textbf{0,0251}, 0,7326, \textbf{0,0478}, 0,4781, 0,0651,
0,6084 e 0,4264. Pode-se observar, portanto, que apenas nos dias
04 e 27 de junho e 04 de julho existe evidência de rejeição da
hipótese de padrão aleatório, mostrando relação entre a
localização da planta e o número de insetos por folha. Isso é
confirmado quando se observa o gráfico de pontos (Figura
\ref{fig:sngeo}) em que há grupos de pontos cores semelhantes.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=0.85]
{c:/esalq/TeseTEX/dadostripes/graficos/sngeo.eps}
\caption{Gráficos de dispersão e histogramas para o número médio
de insetos - Sítio Novo II.} \label{fig:sngeo}
\end{figure}

\noindent\hspace{1cm} Fazendo-se a regressão linear simples das
distâncias do número de insetos por folhas em relação às
distâncias da localização das estacas, nota-se que existe
evidência de que à medida que aumenta a distância entre pontos,
aumenta a distância entre o número de insetos por folha (ver
Tabela \ref{tab:reg}).

\hspace{1cm}

{\bf Modelagem do padrão espacial}

\noindent\hspace{1cm} Após verificar-se a existência de evidência
de padrão espacial nos dados foi feita a modelagem espacial,
considerando-se técnicas de modelos lineares generalizados para a
distribuição de Poisson, com função de ligação logarítmica. Foram
feitos também intervalos de confiança para os parâmetros estimados
através de MCMC, considerando-se uma cadeia de 50.000 iterações,
com ciclo de pré convergência ({\it burn in}) 10.000. Foram
guardadas 2.500 (uma amostra a cada vinte amostras geradas) para
garantir a independência destas. Esse processo foi repetido 1.000
vezes e, através das 1.000 estimativas obtidas, foram calculados
os intervalos de confiança para os quantis $2,5\%$ e $97,5\%$. Os
resultados obtidos estão na Tabela \ref{tab:modgeo}.

\noindent\hspace{1cm} As estimativas obtidas na Tabela
\ref{tab:modgeo} estão dentro dos intervalos de confiança, porém,
nota-se que $\phi$ apresenta grande amplitude no intervalo, o que
já era esparado, uma vez que esse parâmetro fornece informações do
alcance do modelo, ou seja, a distância a partir da qual as
observações não apresentam mais dependência espacial. Para
analisar esse parâmetro, deve-se obter informações da distância em
cada propriedade. No caso da Fazenda São Paulo, essa distância foi
de 10 a 170 metros, na Estância Bela Vista, essa distância foi de
10 a 200 metros e no Sítio Novo II, essa distância foi de 10 a 204
metros. Logo, nota-se que esses intervalos estão dentro do
esperado. Observa-se ainda que existem três casos em que a
estimativa é menor do que a distância mínima.

\noindent\hspace{1cm} Observa-se também que a amplitude dos
intervalos para $\beta$ e $\sigma^2$ são pequenas. Tem-se ainda
que $\beta$ é o parâmetro associado à função de ligação e
$\sigma^2$, $\phi$ e $\tau^2$ são parâmetros associados à
superfície S(x).

\noindent\hspace{1cm} Considerando o parâmetro $\beta$, observa-se
que na Fazenda São Paulo seus valores foram negativos, o que já
era esperado, uma vez que essa Fazenda estava isolada de outros
plantios de cebola, resultando em baixas médias de infestação. Já
na Estância Bela Vista que estava rodeada por plantio de cebola já
infestados pelo tripes essas estimativas foram altas. O Sítio Novo
II obteve estimativas próximas a zero, porém, como já foi visto
anteriormente, essa propriedade forneceu baixas médias para númro
de insetos por folha.

\noindent\hspace{1cm} O resumo e o gráfico de convergência dos
parâmetros estão no Anexo A. Pode-se observar que houve uma boa
convergência dos parâmetros, apesar desses apresentarem alta
variabilidade em alguns casos.

\newpage

\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[!h]
\caption{Modelagem geoestatística e intervalos para os parâmetros}
\label{tab:modgeo}
\end{table}
\vspace{-0.7cm} %
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\begin{table}[!h]
\centering %
\begin{tabular}{l c c c c c c}
\hline Prorpiedade & Data & $\beta$ &
$\sigma^2$ & $\phi$ & $\tau^2$ & LogMV \\
\hline \hline
                  & 10/07 & -0,6302 & 0,2763
                  & 3,7852 & 0,0000 & 231,2 \\
               &       & (-0,57; -0,46) &
               (0,03; 0,34) & (0,57; 36,86) &
               (0,00; 7,04)&  \\
Fazenda São Paulo & 24/07 & -0,5123 & 0,3773
                  & 13,1430 & 0,5781 & 186,5 \\
               &       & (-0,81; -0,62) &
               (0,16; 1,01) & (5,67; 82,86) &
               (0,00; 5,40) & \\
                  & 31/07 & -0,9424 & 0,2550 &
                  1,0000 & 0,0000 & 320,6 \\
              &  & (-0,97; -0,88) & (0,04; 0,30)
              & (0,56; 16,04) & (0,00; 5,31) & \\
\hline Estância Bela Vista & 08/08 & 2,3522 & 0,1994
                 & 14,2512 & 0,9220 & 127,5 \\
              &  & (2,34; 2,38) & (0,18; 0,28) &
              (10,72; 21,19) & (0,39; 1,28) &  \\
\hline
              & 04/06 & -0,4212 &  0,5535 &
              1,0002 & 0,0000 &  160,7 \\
              &  & (-0,45; -0,15) & (0,07; 0,58)
              & (0,57; 110,18) & (0,00; 5,94) & \\
Sítio Novo II & 27/06 & 0,2341 & 0,2233 & 23,6466
              &  2,0880 & 55,53 \\
              &  & (0,14; 0,25) & (0,14; 0,73) &
              (5,60; 40,50) & (0,00; 4,28) & \\
              & 04/07 & 0,2697 & 0,2660 & 23,5905
              & 2,3366 & 51,63 \\
              &  & (0,20; 0,30) & (0,22; 0,46) &
              (13,68; 37,71) & (0,90; 3,08) & \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\noindent\hspace{1cm} A seguir, foram construídos os mapas de
predição para a área estudada considerando os parâmetros estimados
da Tabela \ref{tab:modgeo}.

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[scale=0.90]
{c:/esalq/TeseTEX/dadostripes/graficos/predsp.eps} \caption{Mapa
de predição - Fazenda são Paulo.}\label{fig:sppred}
\end{figure}

\noindent\hspace{1cm} Comparando o mapa de predição (Figura
\ref{fig:sppred}) com o gráfico de pontos (Figura
\ref{fig:spgeo}), observa-se que seu comportamento é semelhante ao
observado, uma vez que as áreas de alta e baixa infestação são as
mesmas. Observa-se ainda que as tonalidades mais claras indicam
baixa infestação enquanto que as tonalidades mais escuras indicam
maior infestação.

\vspace{1cm}
\begin{figure}[htb]
\centering
  \includegraphics[scale=0.90]
  {c:/esalq/TeseTEX/dadostripes/graficos/predbv.eps}
  \caption{Mapa de predição - Estância
  Bela Vista.}\label{fig:bvpred}
  \end{figure}

\noindent\hspace{1cm} O mapa de predição \ref{fig:bvpred} e o
gráfico de pontos (Figura \ref{fig:bvgeo}) apresentam
comportamento semelhante uma vez que as áreas de alta e baixa
infestação são as mesmas.

\begin{figure}[htb]
\centering
  \includegraphics[scale=0.90]
  {c:/esalq/TeseTEX/dadostripes/graficos/predsn.eps}
  \caption{Mapa de predição -
  Sítio Novo II.}\label{fig:snpred}
  \end{figure}

\noindent\hspace{1cm} O comportamento do mapa de predição
\ref{fig:snpred} e do gráfico de pontos (Figura \ref{fig:sngeo}) é
semelhante uma vez que as áreas de alta e baixa infestação são as
mesmas.

\hspace{1cm}

\noindent {\bf Testes de Aleatorização para Padrão Temporal
Aleatório}

\noindent\hspace{1cm} A Tabela \ref{tab:modtemp} é referente aos
resultados obtidos para os teste de aleatorização para o número de
insetos por folha ao longo do tempo.

\noindent\hspace{1cm} A influência do tempo foi observada apenas
no Sítio Rosário, no qual não houve relação do número médio de
insetos por folha e a localização da planta. Provavelmente, a
ausência de relação entre o número de insetos por folha em relação
à amplitude do intervalo de tempo se deva às amplitudes das
coletas. Espera-se que, se as observações fossem coletadas em
intervalos menores, talvez essa relação fosse mais evidente.

\newpage

\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[h]
\caption{Valor de p para testes de aleatorização para padrão ao
longo do tempo}\label{tab:modtemp}
\end{table}
\vspace{-0.7cm} %
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\begin{table}[h]
\centering %
\begin{tabular}{ccc}
  \hline
Propriedade & Distância & Insetos\\
\hline
Fazenda& Distância&   0,1220 \\
São Paulo&Distância recíproca &  0,1270 \\
\hline
Estância&Distância&    0,3334\\
Bela Vista&Distância recíproca &  0,4321 \\
\hline
Sítio&Distância&   \textbf{0,0267} \\
Rosário&Distância recíproca & \textbf{ 0,0025} \\
\hline
Sítio &Distância&   0,8685 \\
Novo II&Distância recíproca &  0,5766\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\noindent\hspace{1cm} Como análise exploratória da relação entre o
número de insetos e a distância Euclidiana no tempo os gráficos de
dispersão apresentados na Figura \ref{fig:regtem}, para o Sítio
Rosário, confirmam evidência de dependência temporal.

\begin{figure}[!h]
\centering
  \includegraphics[scale=0.9]
  {c:/esalq/dados/tempo.eps}
  \caption{Relação das distâncias}
  \label{fig:regtem}
\end{figure}
\newpage

\noindent\hspace{1cm} O modelo de regressão linear simples para o
número médio de insetos por folha no Sítio Rosário considerando a
distância euclidiana foi: $ Insetos = 25,36 + 0,2584t $ e para a
distância recíproca foi: $Insetos = 40, 42 - 135,1t$, confirmando
evidência de relação entre a distância do número de insetos por
folha e a distância do tempo.

\section{Conclusões}\label{secconc:art1}

\noindent\hspace{1cm} As metodologias apresentadas e utilizadas aqui
permitiram testar a presença de padrões espaciais na distribuição
do tripes do prateamento, bem como sugerir 
mecanismos que odem ser usados como possíveis descrições de tais processos.
No primeiro caso o teste de aleatorização de Mantel
mostrou-se bastante satisfatório para a verificação do padrão
espacial aleatório enquanto que o modelo linear generalizado geoestatístico
fornece um possível modelo para os dados e fornece uma forma natural
para acomodar em sua estrutura relações com covariáveis que possam
afetar a distribuição do inseto. 
A combinação e emprego de tais métodos é nova no contexto da aplicação
considerada e os resultados aqui obtidos sugerem que este ferramental
de análise deve ser considerado para detecção e descrição dos padrões espaciais
de pragas  em condições de campo.

\noindent\hspace{1cm} O padrão espacial, embora detectado em algumas 
datas de coleta, não foi consistentemente indicado pelo teste aleatorizado.
Nossas análise exploratórias dos dados indicaram que a hipótese de presença de 
padrão espacial é razoável para o fenômeno. Entretanto, a sua não detecção
em certos casos pode ser atribuída 
à grande variabilidade das observações com possível efeito da forma imprecisa 
como os dados de valores mais elevados foram anotados. Além disto efeitos de 
covariáveis não medidas podem ter gerado condições heterogêneas de coleta
que terminam por mascarar o padrão espacial.

\noindent\hspace{1cm} Aparentemente, existe influência do tipo de
plantio na vizinhança sobre o número de insetos por folha na
planta, pois a Estância Bela Vista, que tinha na vizinhança área
plantada no sistema bulbinho, já infestada de tripes, foi a que
apresentou maiores médias para o número de insetos por folha e
maiores proporções de plantas infestadas.  A Fazenda São Paulo,
isolada de outros plantios de cebola, foi a que apresentou a menor
proporção de plantas infestadas, sendo que, essa proporção, no
geral, foi aumentando no decorrer do tempo, indicando que possa
realmente haver influência da infestação das plantas vizinhas.
Tal conjectura não pode ser testada estatísticamente 
com os dados disponíveis mas deve ser considerada para investigação 
em estudos futuros.

\noindent\hspace{1cm} Recomenda-se ainda que a amostragem seja realizada
incluindo algums pares de observações com espaçamentos menores, 
possibilitando assim uma melhor capacidade de descrição dos padrões espaciais
o que é especialmente relevante considerando-se 
a limitada mobilidade deste inseto.



