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\begin{document}

\title{UMA AVALIAÇÃO DO ESTIMADOR DE PSEUDO-VEROSSIMILHANÇA PARA
MODELOS AUTOLOGÍSTICOS ESPACIAIS}
\author{Denise N. Viola\thanks{%
Departamento de Estatística, Universidade Federal da Bahia, Av.
Adhemar de Barros, s/n - Campus de Ondina CEP: 40.170-110,
Salvador, BA, Brasil, E-mail: {\it viola@ufba.br}} \and
Clarice G. B. Demétrio\thanks{%
Departamento de Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura
``Luiz de Queiroz'' - ESALQ, Universidade de São Paulo, Caixa
Postal 9, CEP: 13418-900, Piracicaba, SP, Brasil, E-mail: {\it
clarice@esalq.usp.br}} \and Bryan F. Manly\thanks{Departamento de
Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura ``Luiz de
Queiroz'' - ESALQ, Universidade de São Paulo, Caixa Postal 9, CEP:
13418-900, Piracicaba, SP, Brasil, E-mail: {\it
bryanmanly@lycos.com}} \and Paulo J. Ribeiro
Jr.\thanks{Laboratório de Estatística e Geoinformação,
Universidade Federal do Paraná, Caixa Postal 19.081, CEP:
81531-990, Curitiba, PR, Brasil, E-mail: {\it paulojus@ufpr.br}}}
\maketitle

\begin{resumo}
Neste artigo é feito um estudo de simulação para verificar o
comportamento dos estimadores de pseudo-verossimilhança dos
parâmetros do modelo autologístico, considerando diferentes
estruturas de covariáveis e de vizinhança, três intensidades de
infestação de uma praga e cinco  valores para o parâmetro de
correlação entre os vizinhos. Uma aplicação dos modelos
considerados no estudo de simulação é feita a um conjunto de dados
provenientes de um experimento com pimenta do sino, utilizado por
Gumpertz, Graham e Ristino (1997). Mostra-se que o método de
estimação por pseudo-verossimilhança pode ser usado, com certa
cautela, quando o interesse está na contribuição das covariáveis,
mas não deve ser usado quando o interesse está na estimação da
correlação espacial.
\end{resumo}

\begin{palavra:chave}
Palavras-chaves: Modelo autologístico; dependência espacial; dados
binários; distribuição Bernoulli; pseudo-verossimilhança.
\end{palavra:chave}

\vspace{.5cm}

\section{Introdução}

Variáveis respostas binárias, isto é, do tipo sucesso/fracasso são
muito comuns na experimentação agronômica. Por exemplo, em estudos
de fitopatologia, o pesquisador pode anotar estudo da presença ou
ausência de uma determinada doença visando associar a
probabilidade de occorência com covariáveis de interesse e/ou
estudar  padrões espaciais da distribuição da doença. Nesse tipo
de estudo, espera-se, em geral, que as observações sejam
correlacionadas no espaço e/ou no tempo. O modelo usualmente
adotado para a análise de respostas binárias é o modelo de
regressão logística que tem como uma de suas pressuposições a
independência das observações. Assim sendo, extensões ou modelos
alternativos são necessários para acomodar a estrutura de
correlação induzida pela dependência espacial e/ou temporal e têm
sido propostos na literatura.

Uma das propostas apresentadas na literatura são  os modelos
autologísticos (BESAG,~1972, AUGUSTIN; MUGGLESTONE;
BUCKLAND,~1996, GUMPERTZ; GRAHAM; RISTANO, 1997) em que se
contróem covariáveis com a finalidade de incorporar a informação
do ``status'' da doença na vizinhança de cada observação.
 As áreas de
aplicação são diversas e incluem estudos sobre fauna aquática de
macro invertebrados em 76 lagoas inglesas (SANDERSON; EYRE;
RUSHTON, 2005), comportamento de clientes em relação a políticas
de seguro (MOON; RUSSEL 2005), mapeamento de pobreza em países em
desenvolvimento (PETRUCCI; SALVATI; SEGHIERI 2004), distribuição
espacial de renas na Suécia (TETERUKOVSKIY; EDEMIRS, 2003),
distribuição de vegetação em florestas, considerando covariáveis
climáticas (HE; ZHOU; ZHU 2003), distribuição da epidemia do {\it
Phytophthora} em pimenta do sino considerando efeitos de variáveis
do solo (GUMPERTZ; GRAHAM; RISTAINO, 1997), distribuição de
espécies de plantas considerando covariáveis climáticas (WU;
HUFFER, 1997), distribuição espacial de alces em uma região da
Escócia (AUGUSTIN; MUGGLESTONE; BUCKLAND, 1996), análise genética
de características familiares (ABEL; GLOLMARD; MALLET, 1993),
dentre outros. Uma comparação entre o modelo autologístico e um
modelo logístico regressivo é apresentada em Abel, Golmard,
Mallet~(1993).

Entretanto, estudos mais detalhados em relação às propriedades dos
estimadores e métodos de estimação propostos são necessários para
esta categoria de modelos. Entre os métodos propostos está o de
maximização de uma pseudo-verossimilhança. Tal método é
relativamente simples quando comparado com métodos alternativos e
computacionalmente intensivos, porém suas propriedades não têm
sido extensivamente estudadas (PETRUCCI; SALVATI; SEGHIERI, 2004).
Os parâmetros que descrevem a estrutura de dependência tornam
complexo, se não proibitivo o estudo análitico das propriedades
dos métodos de estimação. Entretanto,  com o grande
desenvolvimento dos recursos computacionais o uso de simulações
consistem um uma alternativa viável  para o estudo de propriedades
estatísticas de interesse. Esses estudos são baseados em
informações reais e utilizados como repetições de um experimento,
sendo igualmente aplicáveis para variáveis respostas contínuas ou
discretas.

 Neste artigo procurou-se estudar o
 comportamento do procedimento de estimação em diferentes
 cenários de intensidade do padrão espacial e escolha de
 covariáveis espaciais. São relatados os resultados de um
 estudo de simulação para verificar o comportamento dos
 estimadores de pseudo-verossimilhança dos parâmetros do
 modelo autologístico, considerando (i) diferentes estruturas
 de covariáveis e de vizinhança, (ii) três intensidades de
 infestação de uma praga e (iii) cinco  valores para o parâmetro
 de correlação entre os vizinhos. Adicionalmente, uma aplicação dos
 modelos considerados no estudo de simulação é feita a um conjunto
 de dados provenientes de um experimento com pimenta do sino,
 utilizado por Gumpertz, Graham e Ristino~(1997).

O restante do artigo está organizado como se segue. A
Seção~\ref{sec:autolog} descreve o modelo autologístico como uma
extensão do modelo logístico usual e o procedimento de inferência
é apresentado na Seção~\ref{sec:est}. Na Seção~\ref{sec:simu} é
feita a descrição do estudo de simulação cujos resultados são
apresentados e discutidos na Seção~\ref{sec:simuresult}. A
aplicação do modelo autologístico a dados reais é mostrada na
Seção~\ref{sec:aplic}. Finalmente, algumas considerações finais
aparecem na Seção~\ref{sec:consid}.

\vspace{.5cm}

\section{Modelo autologístico} \label{sec:autolog}

Modelos lineares generalizados (MLG) envolvem três componentes, a
saber um componente sistemático, um aleatório e uma função de
ligação. O componente sistemático é definido durante o
planejamento do experimento e as variáveis explicativas entram na
forma de soma linear dos efeitos, isto é, com preditor linear
$\beeta = {\bf X\bbeta}$, em que ${\bf X}$ é a matriz do modelo,
${\bf \bbeta}$ é o vetor de parâmetros. O componente aleatório é
estabelecido após definidas as medidas que serão realizadas, em
que o conjunto de variáveis aleatórias $Y_i, i=1, 2, \ldots, n$
são mutuamente independentes com distribuição pertencente à
família exponencial na forma canônica e $E(Y_i)=\mu_i$. A função
de ligação relaciona o componente aleatório ao componente
sistemático, ou seja, a média da distribuição ao preditor linear.
Logo, na seleção de modelos a serem ajustados a um conjunto de
dados, é importante escolher a distribuição da variável resposta,
a matriz do modelo e a função de ligação (DEMÉTRIO, 2001). Um caso
particular dos MLG é o modelo de regressão logística que pode ser
usado para a análise de variáveis aleatórias binárias
independentes.

Sejam $Y_i$, $i=1, 2, \ldots, n$, variáveis aleatórias com
distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso $\pi_i$,
sendo que $y_i$ assume os valores zero (fracasso) ou um (sucesso).
Tem-se que $E(Y_i)= \pi_i$ e $Var(Y_i)= \pi_i(1- \pi_i)$. Então,
um modelo linear generalizado permite que as probabilidades de
sucesso $\pi_i$ sejam modeladas em termos de $p$ variáveis
explanatórias $x_{ik}$, $k=1, \ldots, p$, através de

$$g(\pi_i)=\bbeta^T \bx_i$$
em que $g$ é uma função de ligação adequada e $\bbeta$ é o vetor
de parâmetros des\-co\-nhe\-ci\-dos. Considerando-se a função de
ligação logística, tem-se
\begin{eqnarray}
\nonumber \mbox{logit}(\pi_i)& = & \log \frac{\pi_i}{1-\pi_i} =
\beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2x_{i2} + \ldots +
              \beta_px_{ip} \nonumber
\end{eqnarray}
e, portanto,
\begin{eqnarray}
\pi_i = P(Y=1|x) = \frac{\exp\{\beta_0 +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik}\}}{1 + \exp\{\beta_0 +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik}\}}.   \nonumber
\end{eqnarray}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{C:/ESALQ/TeseTEX/TeseCapDez06/TeseDoutFinal/ArtigoSimulação/vizinho123.eps}\\
\caption{Representação esquemática de estrutura de vizinhança
sobre um látice regular (primeira, segunda e terceira
ordens).}\label{fig:estviz}
\end{figure}

O modelo autologístico, motivado por problemas  na área de
estatística espacial, foi introduzido pelos artigos de
Besag~(1972, 1974) e consiste em uma generalização do modelo
logístico, considerando dependência espacial entre as respostas. A
autocorrelação é induzida por funções das respostas dos vizinhos
como covariáveis do modelo, sendo que
 diferentes estruturas de vizinhança podem ser consideradas, usualmente
chamadas de primeira, segunda e terceira ordens com quatro, oito e
doze vizinhos, respectivamente, conforme Figura~\ref{fig:estviz}.
O preditor linear passa a ter a forma
\begin{eqnarray} \label{eq:predlinautolog}
\mbox{logit}(\pi_i)& = & \log  \frac{\pi_i}{1-\pi_i}
           =  \beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2x_{i2} +
\ldots + \beta_px_{ip} + \bgamma^T \bz_i
\end{eqnarray}
em que $\pi_i$ é a probabilidade de sucesso de um evento para o
$i$-ésimo indivíduo, $i=1, \ldots, n$, $\beta_k$ é o $k$-ésimo
parâmetro associado à covariável $x_{ik}$, $\bgamma$ é o vetor
parâmetros associado ao vetor $\bz_i$ das covariáveis contruídas a
partir das observações na vizinhança da $i$-ésima observação.
Portanto, a probabilidade de um sucesso é dada por

\begin{eqnarray}
P(Y_i=1|\mbox{vizinhos}) = \frac{\exp \{\beta_0 + \beta_1x_{i1} +
 \ldots + \beta_px_{ip} + \bgamma^T \bz_i \}}{1+\exp
\{\beta_0 + \beta_1x_{i1} +\ldots + \beta_px_{ip} + \bgamma^T
\bz_i\}}. \nonumber
\end{eqnarray}

A forma da covariável $\bz_i$ faz parte da especificação do
modelo. Augustin, Mugglestone e Buckland~(1996) definem como  dada
pelo peso médio ponderado dos $k_i$ vizinhos do $i$-ésimo
indivíduo, isto é,
$$z_i=\frac{\sum^{k_i}_{j=1}w_{ij}y_{j}}{\sum^{k_i}_{j=1}w_{ij}}$$
sendo que $w_{ij}=\frac{1}{h_{ij}}$, em que $h_{ij}$ é a distância
euclidiana entre as observações $i$ e $j$. Por exemplo,
considerando-se  distância unitária entre vizinhos e estrutura de
vizinhança de primeira ordem, com observações nos vizinhos dadas
por $y_{i_r}$, $r = 1, \ldots, 4$, o valor da covariável $z_i$ da
$i$-ésima observação é dado por
\begin{eqnarray}
z_{i} = \frac{1}{4}(y_{i_1} + y_{i_2} + y_{i_3} + y_{i_4})
\label{eq:autoc4}
\end{eqnarray}
enquanto que para estrutura de vizinhança de segunda ordem

\begin{eqnarray}
z_{i} & = &
\displaystyle\frac{1}{4+\frac{4}{\sqrt{2}}}\left(y_{i_1} + y_{i_2}
+ y_{i_3} + y_{i_4} + \frac{y_{i_5}}{\sqrt{2}} +
\frac{y_{i_6}}{\sqrt{2}} + \frac{y_{i_7}}{\sqrt{2}} +
\frac{y_{i_8}}{\sqrt{2}}\right). \label{eq:autoc8}
\end{eqnarray}

Uma forma alternativa é adotada por Gumpertz, Grahan e
Ristino~(1997) que definem um conjunto de covariáveis $\bz_i$ que
consideram os componentes da estrutura de vizinhança com
possibilidade de especificar efeitos de linhas, colunas e
diagonais separadamente, permitindo assim modelar efeitos
direcionais. Logo, para estrutura de vizinhança de primeira ordem,
o preditor linear pode ser escrito da forma:
\begin{eqnarray}\nonumber \mbox{logit}(\pi_i) = \beta_{0} +
\beta_1x_{i_1} + \ldots +
\beta_px_{i_p} + \gamma_1L_i + \gamma_2C_i, \\
\nonumber
\end{eqnarray}
em que $\bgamma^T=(\gamma_1~ \gamma_2)$, $\bz^T_i=(L_i~C_i)$,
$\gamma_1$ e $\gamma_2$ são os parâmetros associados à informação
dos vizinhos nas linhas $L_i=(y_{i_1}+y_{i_2})/{2}$ e colunas
$C_i=(y_{i_3}+y_{i_4})/{2}$. No caso de estrutura de vizinhança de
segunda ordem

\begin{eqnarray}\nonumber
\mbox{logit}(\pi_i) = \beta_{0} +\beta_1x_{i_1}+ \ldots +
\beta_px_{i_p} + \gamma_1L_i + \gamma_2C_i + \gamma_3dA_i + \gamma_4dB_i, \\
\nonumber
\end{eqnarray}
em que $\bgamma^T=(\gamma_1 ~\gamma_2~\gamma_3~\gamma_4)$,
$\bz^T_i=(L_i~C_i~dA_i~ dB_i)$, $\gamma_3$ e $\gamma_4$ são os
parâmetros associados à informação das diagonais A e B,
respectivamente, e
$dA_i=\displaystyle\frac{y_{i_5}/\sqrt{2}+y_{i_8}/\sqrt{2}}{2/\sqrt{2}}$
e
$dB_i=\displaystyle\frac{y_{i_6}/\sqrt{2}+y_{i_7}/\sqrt{2}}{2/\sqrt{2}}$.
Essa separação de efeitos é interessante, por exemplo, no caso de
observações provenientes de plantios com diferentes espaçamentos
entre e dentro de linhas de plantio e efeitos direcionais.

\vspace{.5cm}

\section{Estimação}\label{sec:est}

No modelo de regressão logística com observações independentes, a
estimação dos parâmetros é feita, geralmente, pelo método da
máxima verossimilhança (ML). Entretanto, no caso da modelagem de
observações espacialmente correlacionadas com o uso do modelo de
regressão autologístico não é possível escrever a função de
verossimilhança de forma fechada, sendo, portanto, em geral,
desconhecida uma expressão analítica para a constante de
normalização. Diversos métodos aproximados foram, então, propostos
para estimação dos parâmetros desse modelo, tais como máxima
pseudo-verossimlhança, MPL, e ``coding'', COD, (BESAG, 1972),
``bootstrap'' (BESAG, 1977), equações de estimação (BESAG, 1986),
máxima verossimilhança com simulação Monte Carlo, MCL, (GEYER,
1991, GEYER, 1992, GEYER, 1994, WU; HUFFER, 1997, HUFFER; WU,
1998, GRIFFITH,~2002, SHERMAN, APANOSOVICH, CARROLL, 2006), máxima
verossimilhança com simulação Monte Carlo via cadeias de Markov,
MCMC (GU; KONG, 1998, GU; ZHU, 2001, WARD; GLEDITSCH, 2002),
máxima pseudo-verossimlhança generalizada, MGPL, (HUANG; OGATA,
2002), dentre outros. Um método computacional estatisticamente
eficiente foi desenvolvido para o cálculo da constante de
normalização por Pettitt, Friel, Reeves (2003).

A estimativa da máxima pseudo-verossimilhança para um vetor de
parâmetros desconhecidos $\btheta=(\beta_0, \beta_1, \ldots,
\bgamma)^T$ é definida como um vetor $\hat{\btheta}$ que maximize
a função de pseudo-verossimilhança (PETRUCCI; SALVATI; SEGHIERI,
2004)
\begin{eqnarray}
L(\bpi)=\prod^n_{i=1}P(Y_i=1|\mbox{vizinhos}) =
\prod^n_{i=1}\pi^{y_i}_i(1-\pi_i)^{(1-y_i)}  \label{eq:al1}
\end{eqnarray}
ou, equivalentemente,  o seu logaritmo
\begin{eqnarray}\nonumber
\ell(\bpi)=\sum^n_{i=1}y_i \log \pi_i +\sum^n_{i=1}(1-y_i) \log
(1-\pi_i).
\end{eqnarray}

Para o modelo autologístico, essa aproximação é computacionalmente
simples, pois necessita apenas de alguma rotina que construa as
covariáveis espaciais a partir dos dados originais e suas
localizações e alguma implementação computacional com método de
optimização numérica capaz de ajustar o modelo de regressão
logística. As estimativas pontuais obtidas dessa forma são
consistentes. Entretanto, os erros padrões das estimativas dos
parâmetros são inacurados por serem calculados, como se as
observações fossem independentes (PETRUCCI; SALVATI; SEGHIERI,
2004). Uma proposta feita por Gumpertz, Grahan e Ristino (1997) é
usar um método de reamostragem baseado em ``bootstrap''
paramétrico no qual o amostrador de Gibbs garante a obtenção de
amostras com padrão espacial compatível com o observado a partir
das quais podem-se obter os erros padrões para as estimativas
iniciais.

O método de pseudo-verossimilhança, de acordo com Ward; Gleiditsch
(2002) é fácil de implementar, mais eficiente do que COD e mostra
propriedades assintóticas razoáveis. Entretanto, suspeita-se que
seja ineficiente quando há forte correlação espacial. Portanto, há
a necessidade de avaliações sobre a qualidade das inferências
produzidas em diferentes condições.

\vspace{.5cm}

\section{Um estudo de simulação}\label{sec:simu}

A fim de verificar o efeito causado por diferentes estruturas de
covariáveis e dependência espacial sobre os estimadores de
pseudo-verossimilhança dos parâmetros do modelo autologístico, é
proposto um estudo de simulação, considerando-se um látice de $20
\times 20$ localizações com distância de uma unidade entre pontos.
Foram feitas 1.000 simulações, usando-se os pacotes \textsf{geoR}
(RIBEIRO JR.; DIGGLE, 2001) para gerar simulações e
\textsf{Rcitrus} (KRAINSKI; RIBEIRO JR., 2006) para o ajuste de
modelo autologístico, ambos do ambiente computacional estatístico
\textsf{R} (R Core Team, 2006). Para cada simulação foram seguidos
os passos que se seguem.

Inicialmente, foram gerados valores para duas covariáveis $X_1$ e
$X_2$, para três situações: (i) independendentes espacialmente e
entre si, (ii) com dependência espacial e não correlacionadas
entre si e (iii) com dependência espacial e correlacionadas entre
si. Nos três casos os valores para $X_1$ e $X_2$ foram gerados a
partir de uma distribuição normal de média zero e variância
unitária. Entretanto, no primeiro caso as observações foram
geradas independentemente enquanto que no segundo e terceiro
simulou-se de um modelo linear generalizado geoestatístico (DIGGLE
E RIBEIRO, 2007) que, no segundo caso possuíam valores de alcance
prático de 5 e 7 unidades, respectivamente e, 6 unidades para o
terceiro caso. O alcance prático em modelos geoestatísticos
reflete a extensão da dependência espacial.
% INCLUIR REFERÊNCIA NO FINAL!!!!
A relação entre as covariáveis no terceiro caso é dada por
$X_2=0,9 X_1+0,3 \epsilon$, com $\epsilon$ gerado a partir de uma
distribuição normal de média zero e variância unitária, definindo
a correlação em torno de $0,9$ entre $X_1$ e $X_2$.

Em uma segunda etapa, foi ajustado o modelo logístico a partir do
qual foram obtidos os valores para as probabilidades $p$, a partir
de
$$p=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2)}
{1+\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2)}.$$
\noindent\hspace{1cm} Para se obterem diferentes valores de níveis
de incidência da doença, em torno de $10\%$ (baixa), $30\%$
(média) e $50\%$ (alta), os valores usados para os parâmetros
($\beta_0$, $\beta_1$, $\beta_2$) foram, respectivamente, (0, 1,
1), (-1, 0,25, 0,25) e (-3, -1, -1).

Em uma terceira etapa, após a construção da variável espacial
definidas no modelo autologístico~(\ref{eq:predlinautolog}) foram
calculados valores para a covariável $z$, usando-se a
expressão~(\ref{eq:autoc4}) com os valores de $y_{i_r}$, $r=1,
\ldots,4$, substituídos por valores de $p$ obtidos na segunda
etapa.

Em uma quarta etapa, foram recalculados os valores de $p$,
considerando-se
$$p=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma
z)} {1+\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma z)}$$ em que
foram avaliadas simulações com os valores 0,00, 0,25, 0,50, 0,75 e
1,00 para o parâmetro $\gamma$ e a seguir, foram calculados novos
valores para $z$ e valores de $\pi$ dados por
$$\pi=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma
z)} {1+\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma z)}.$$ A
partir destes, foram gerados valores para a variável resposta $Y$
a partir de uma distribuição Bernoulli com probabilidade de
sucesso $\pi$.

A cada conjunto de dados gerados nas 90 situações, foram ajustados
três modelos:
\begin{enumerate}
\item M1: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2
+ \gamma z $ \item M2: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \gamma z $
\item M3: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2
$
\end{enumerate}

Note que M1 é o modelo usado na geração dos dados, enquanto que M2
e M3 estão sendo usados para verificar o efeito do uso de modelos
incompletos. Modelos semelhantes foram ajustados aos dados,
considerando estrutura espacial de segunda ordem. Entretanto, tais
modelos mostram  resultados semelhantes aos de primeira ordem e
que, portanto, não serão relatados aqui.

Para cada combinação de incidências e modelos considerados na
simulação os resultados foram avaliados e resumidos por médias,
erros padrões e médias dos erros padrões das estimativas
fornecidas pelo ajuste das 1000 sumulações obtidas em cada caso.

\vspace{.5cm}

\section{Resultados e discussão do estudo de
simulação}\label{sec:simuresult}

As médias das estimativas de cada parâmetro (Est), os erros
padrões (EPC) e as médias dos erros padrões fornecidos pelo ajuste
das 1000 simulações (EP) estão apresentados nas Tabelas~1 a~3.

De uma forma geral, nota-se que as médias das estimativas dos
parâmetros $\beta_1$ e $\beta_2$ têm valores não muito distantes
dos valores verdadeiros, mas com diferenças que dependem da
intensidade da correlação espacial $\gamma$ verdadeira, e também
da forma como as covariáveis foram geradas. Nota-se que os erros
padrões de suas estimativas são muito próximos da média dos erros
padrões fornecidos pelo ajuste do modelo. Observa-se, ainda uma
influência pequena nas médias das estimativas dos parâmetros
$\beta_1$ e $\beta_2$ obtidas pelos diferentes modelos mostrando
que as estimativas pontuais desses parâmetros são pouco afetadas
pela alternativa de modelagem de dependência espacial. Entretanto,
as médias das estimativas do parâmetro $\gamma$ têm uma
disparidade muito grande em relação ao valor $\gamma$ com o qual
foram gerados os dados. De forma semelhante existem disparidades
entre ECP e EP. A seguir são feitos comentários mais específicos.

Observa-se que quando as covariáveis foram geradas sem correlação
e sem dependência espacial, de uma forma geral, as médias das
estimativas dos parâmetros $\beta_1$ e $\beta_2$ são muito
próximas dos valores verdadeiros para todos os casos. Observa-se
ainda, que a média das estimativas de $\gamma$ aumentam à medida
em que aumenta a correlação entre os vizinhos. Verifica-se ainda
que os erros padrões das estimativas têm valores muito próximos da
média das estimativas dos erros padrões dados pelo modelo, embora
aumentem à medida que aumenta o valor da correlação espacial usada
na geração dos dados.

Quando as covariáveis foram geradas sem correlação e com
dependência espacial, observa-se que, de uma forma geral, as
médias das estimativas dos parâmetros $\beta_0$, $\beta_1$,
$\beta_2$ e $\gamma$ aumentam à medida que aumenta o valor da
correlação espacial. Nota-se ainda que, no modelo completo, as
médias das estimativas de $\beta_0$ são mais próximas dos valores
verdadeiros, para o caso de baixa infestação, quando a correlação
entre vizinhos é maior e são mais próximas dos valores verdadeiros
quando a correlação entre vizinhos é menor para média e alta
infestação. Verifica-se também, que os erros padrões das
estimativas têm valores muito próximos da média das estimativas
dos erros padrões dados pelo modelo.

Observa-se que quando as covariáveis foram geradas com correlação
e com dependência espacial, de uma forma geral, as médias das
estimativas dos parâmetros $\beta_1$ e $\gamma$ aumentam à medida
em que aumenta a correlação entre vizinhos, já as médias das
estimativas de $\beta_2$ são muito próximas dos valores
verdadeiros. Observa-se ainda, que a média das estimativas de
$\beta_0$ não alteram muito no caso de baixa infestação e aumentam
à medida em que aumenta a correlação entre os vizinhos para o caso
de média e alta infestação. Verifica-se ainda que os erros padrões
das estimativas têm valores próximos da média das estimativas dos
erros padrões dados pelo modelo.

\newpage
\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[h]
\caption{Valores obtidos para a média das estimativas dos
parâmetros a partir de 1000 simulações, supondo duas covariáveis
independentes e sem correlação espacial, para baixa
($\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$), média
($\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$) e alta
($\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$) infestação e
$\gamma$ verdadeiro = 0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 considerando
quatro vizinhos}
\end{table}
\vspace{-0.2cm} \small{
\begin{tabular}{ll | r r r r r r r r r r r r r r r} \hline
&& \multicolumn{15}{c}{$\gamma$ verdadeiro} \\
Mod&Par & &0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
&&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP\\
\hline
M1&$\beta_0$&-3,10&0,41&0,36&-3,08&0,41&0,35&-3,05&0,41&0,35&-3,03&0,40&0,35&-3,01&0,39&0,34\\
&$\beta_1$&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,22\\
&$\beta_2$&-1,05&0,25&0,24&-1,05&0,25&0,24&-1,05&0,24&0,24&-1,05&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,24\\
&$\gamma$&-0,87&6,34&47,45&-0,62&4,90&25,83&-0,69&5,84&36,28&-0,50&4,89&25,06&-0,41&4,96&27,34\\
M2&$\beta_0$&-2,23&0,24&0,23&-2,22&0,24&0,22&-2,20&0,24&0,22&-2,19&0,24&0,22&-2,17&0,24&0,22\\
&$\gamma$&-1,14&5,93&32,36&-0,88&4,65&19,51&-0,91&5,51&26,95&-0,70&4,63&19,07&-0,59&4,64&18,84\\
M3&$\beta_0$&-3,10&0,36&0,32&-3,07&0,35&0,32&-3,04&0,35&0,31&-3,01&0,34&0,31&-2,98&0,33&0,31\\
&$\beta_1$&-1,03&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,23&-1,02&0,23&0,22&-1,01&0,23&0,22\\
&$\beta_2$&-1,04&0,25&0,24&-1,04&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,23&-1,04&0,24&0,23\\
\hline
M1&$\beta_0$&-1,02&0,26&0,20&-0,94&0,26&0,21&-0,87&0,26&0,21&-0,78&0,26&0,21&-0,69&0,26&0,21\\
&$\beta_1$&0,26&0,12&0,12&0,25&0,12&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,11\\
&$\beta_2$&0,26&0,14&0,14&0,25&0,14&0,13&0,25&0,14&0,13&0,25&0,13&0,13&0,25&0,13&0,13\\
&$\gamma$&-0,04&0,83&0,59&-0,05&0,78&0,57&-0,03&0,75&0,55&-0,02&0,71&0,53&-0,02&0,70&0,52\\
M2&$\beta_0$&-0,98&0,26&0,20&-0,91&0,25&0,20&-0,84&0,25&0,20&-0,76&0,25&0,20&-0,67&0,26&0,21\\
&$\gamma$&-0,06&0,82&0,57&-0,06&0,77&0,56&-0,03&0,74&0,54&-0,01&0,71&0,52&0,00&0,70&0,51\\
M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,95&0,13&0,13&-0,87&0,13&0,12&-0,78&0,13&0,12&-0,69&0,12&0,12\\
&$\beta_1$&0,26&0,12&0,12&0,25&0,12&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,11&0,25&0,11&0,11\\
&$\beta_2$&0,26&0,14&0,14&0,25&0,14&0,13&0,25&0,14&0,13&0,25&0,13&0,13&0,25&0,13&0,13\\
\hline
M1&$\beta_0$&0,05&0,36&0,30&0,13&0,37&0,31&0,22&0,39&0,32&0,33&0,43&0,34&0,45&0,47&0,36\\
&$\beta_1$&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,04&0,16&0,16\\
&$\beta_2$&1,03&0,17&0,17&1,03&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,18&0,17\\
&$\gamma$&-0,09&0,67&0,54&0,00&0,67&0,54&0,10&0,68&0,54&0,18&0,71&0,54&0,24&0,75&0,55\\
M1&$\beta_0$&0,08&0,31&0,25&0,12&0,33&0,26&0,15&0,34&0,27&0,21&0,37&0,29&0,27&0,41&0,30\\
&$\gamma$&-0,17&0,59&0,45&-0,06&0,59&0,45&0,07&0,60&0,45&0,17&0,62&0,46&0,25&0,66&0,47\\
M3&$\beta_0$&0,00&0,13&0,13&0,13&0,13&0,13&0,27&0,13&0,13&0,43&0,14&0,14&0,59&0,14&0,14\\
&$\beta_1$&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,15&0,15&1,03&0,16&0,15&1,04&0,16&0,16\\
&$\beta_2$&1,02&0,17&0,16&1,02&0,17&0,16&1,02&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,18&0,17\\
\hline
\end{tabular}
}

\newpage
\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[h]
\caption{Valores obtidos para a média das estimativas dos
parãmetros a partir de 1000 simulações, supondo duas covariáveis
independentes e com correlação espacial, para baixa
($\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$), média
($\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$) e alta
($\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$) infestação e
$\gamma$ verdadeiro = 0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 considerando
quatro vizinhos}
\end{table}
\vspace{-0.2cm} \small{
\begin{tabular}{ll | r r r r r r r r r r r r r r r} \hline
&& \multicolumn{15}{c}{$\gamma$ verdadeiro} \\
Mod&Par & &0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
&&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP\\
\hline
M1&$\beta_0$&-3,09&0,38&0,35&-3,07&0,39&0,35&-3,05&0,39&3,45&-3,03&0,38&0,34&-3,02&0,39&0,34\\
&$\beta_1$&-1,08&0,33&0,29&-1,09&0,33&0,29&-1,11&0,33&0,29&-1,12&0,32&0,29&-1,14&0,32&0,29\\
&$\beta_2$&-1,08&0,31&0,29&-1,10&0,31&0,29&-1,12&0,31&0,29&-1,15&0,32&0,29&-1,17&0,32&0,29\\
&$\gamma$&-0,66&2,85&6,10&-0,53&1,78&1,22&-0,53&2,91&8,29&-0,38&1,56&1,14&-0,29&1,54&1,10\\
M2&$\beta_0$&-2,61&0,27&0,25&-2,60&0,27&0,25&-2,58&0,26&0,25&-2,57&0,26&0,24&-2,56&0,26&0,24\\
&$\gamma$&2,33&2,70&6,13&2,50&1,53&1,03&2,53&2,62&5,58&2,71&1,32&0,94&2,83&1,29&0,90\\
M3&$\beta_0$&-3,10&0,36&0,34&-3,08&0,36&0,34&-3,06&0,36&0,33&-3,04&0,37&0,33&-3,02&0,36&0,33\\
&$\beta_1$&-1,04&0,30&0,28&-1,06&0,30&0,27&-1,08&0,29&0,27&-1,10&0,29&0,27&-1,12&0,28&0,27\\
&$\beta_2$&-1,04&0,27&0,27&-1,07&0,27&0,27&-1,09&0,27&0,27&-1,12&0,27&0,27&-1,14&0,27&0,27\\
\hline
M1&$\beta_0$&-0,98&0,25&0,20&-0,91&0,25&0,21&-0,83&0,25&0,21&-0,74&0,26&0,21&-0,65&0,28&0,21\\
&$\beta_1$&0,26&0,14&0,14&0,27&0,14&0,13&0,28&0,14&0,13&0,30&0,14&0,13&0,31&0,14&0,13\\
&$\beta_2$&0,26&0,14&0,13&0,27&0,14&0,13&0,29&0,14&0,13&0,30&0,14&0,13&0,31&0,14&0,13\\
&$\gamma$&-0,18&0,84&0,59&-0,17&0,80&0,58&-0,15&0,77&0,56&-0,14&0,75&0,54&-0,12&0,73&0,53\\
M2&$\beta_0$&-1,09&0,25&0,20&-1,04&0,24&0,20&-0,97&0,24&0,20&-0,91&0,25&0,20&-0,84&0,26&0,20\\
&$\gamma$&0,27&0,82&0,57&0,30&0,77&0,55&0,35&0,74&0,53&0,41&0,71&0,51&0,45&0,70&0,49\\
M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,95&0,13&0,13&-0,87&0,13&0,12&-0,78&0,12&0,12&-0,69&0,12&0,12\\
&$\beta_1$&0,25&0,14&0,13&0,26&0,13&0,13&0,27&0,13&0,13&0,29&0,13&0,13&0,30&0,13&0,13\\
&$\beta_2$&0,25&0,13&0,13&0,26&0,13&0,13&0,28&0,13&0,13&0,30&0,13&0,13&0,31&0,13&0,13\\
\hline
M1&$\beta_0$&0,08&0,40&0,31&0,18&0,42&0,32&0,29&0,43&0,34&0,40&0,45&0,36&0,53&0,47&0,38\\
&$\beta_1$&1,04&0,21&0,18&1,08&0,21&0,18&1,12&0,22&0,19&1,15&0,22&0,19&1,19&0,23&0,20\\
&$\beta_2$&1,06&0,23&0,19&1,09&0,23&0,19&1,12&0,23&0,20&1,16&0,23&0,21&1,20&0,24&0,21\\
&$\gamma$&-0,15&0,74&0,56&-0,08&0,76&0,57&-0,02&0,75&0,57&0,05&0,76&0,58&0,10&0,75&0,59\\
M2&$\beta_0$&-1,30&0,26&0,23&-1,32&0,26&0,24&-1,34&0,26&0,24&-1,36&0,27&0,25&-1,36&0,27&0,26\\
&$\gamma$&2,51&0,52&0,41&2,64&0,51&0,41&2,77&0,51&0,41&2,90&0,51&0,42&3,01&0,51&0,42\\
M3&$\beta_0$&0,00&0,13&0,13&0,13&0,13&0,13&0,28&0,14&0,14&0,42&0,14&0,14&0,59&0,15&0,15\\
&$\beta_1$&1,01&0,15&0,15&1,06&0,15&0,15&1,11&0,16&0,16&1,16&0,16&0,16&1,21&0,18&0,17\\
&$\beta_2$&1,03&0,17&0,16&1,07&0,17&0,16&1,12&0,17&0,17&1,17&0,18&0,17&1,21&0,19&0,18\\
\hline
\end{tabular}
}

\newpage
\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[h]
\caption{Valores obtidos para a média das estimativas dos
parãmetros a partir de 1000 simulações, supondo duas covariáveis
dependentes e com correlação espacial, para baixa
($\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$), média
($\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$) e alta
($\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$) infestação e
$\gamma$ verdadeiro =0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 considerando
quatro vizinhos}
\end{table}
\vspace{-0.2cm} \small{
\begin{tabular}{ll | r r r r r r r r r r r r r r r} \hline
&& \multicolumn{15}{c}{$\gamma$ verdadeiro} \\
Mod&Par & &0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
&&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP\\
\hline
M1&$\beta_0$&-3,09&0,38&0,35&-3,07&0,37&0,35&-3,06&0,37&0,34&-3,05&0,38&0,34&-3,03&0,37&0,34\\
&$\beta_1$&-1,12&0,75&0,70&-1,16&0,72&0,69&-1,19&0,73&0,69&-1,22&0,74&0,68&-1,25&0,73&0,68\\
&$\beta_2$&-0,99&0,71&0,69&-0,99&0,69&0,68&-1,00&0,69&0,68&-1,00&0,69&0,67&-1,01&0,68&0,67\\
&$\gamma$&-0,24&1,35&1,00&-0,20&1,33&0,97&-0,09&1,31&0,95&0,03&1,25&0,92&0,11&1,22&0,90\\
M2&$\beta_0$&-2,52&0,24&0,24&-2,51&0,24&0,24&-2,51&0,24&0,24&-2,51&0,23&0,24&-2,51&0,24&0,24\\
&$\gamma$&3,24&1,00&0,76&3,31&0,98&0,74&3,43&0,95&0,72&3,54&0,90&0,70&3,62&0,86&0,68\\
M3&$\beta_0$&-3,08&0,36&0,34&-3,06&0,36&0,34&-3,04&0,36&0,33&-3,03&0,36&0,33&-3,01&0,36&0,33\\
&$\beta_1$&-1,08&0,68&0,66&-1,12&0,66&0,65&-1,17&0,66&0,65&-1,23&0,67&0,65&-1,28&0,65&0,64\\
&$\beta_2$&-0,99&0,70&0,68&-0,99&0,68&0,68&-0,99&0,68&0,67&-0,99&0,68&0,66&-1,00&0,67&0,66\\
\hline
M1&$\beta_0$&-0,99&0,27&0,21&-0,92&0,26&0,21&-0,84&0,27&0,21&-0,75&0,27&0,21&-0,65&0,28&0,22\\
&$\beta_1$&0,24&0,45&0,43&0,26&0,44&0,43&0,29&0,43&0,42&0,33&0,41&0,42&0,36&0,41&0,41\\
&$\beta_2$&0,27&0,46&0,44&0,28&0,46&0,44&0,27&0,44&0,43&0,27&0,43&0,43&0,27&0,42&0,42\\
&$\gamma$&-0,12&0,84&0,59&-0,10&0,78&0,57&-0,09&0,78&0,56&-0,09&0,75&0,55&-0,09&0,72&0,53\\
M2&$\beta_0$&-1,15&0,25&0,20&-1,11&0,25&0,20&-1,06&0,26&0,20&-1,01&0,26&0,20&-0,96&0,26&0,20\\
&$\gamma$&0,57&0,78&0,54&0,64&0,72&0,52&0,71&0,72&0,50&0,77&0,69&0,49&0,84&0,66&0,47\\
M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,94&0,13&0,13&-0,86&0,13&0,13&-0,77&0,13&0,12&-0,68&0,12&0,12\\
&$\beta_1$&0,23&0,44&0,43&0,25&0,43&0,42&0,29&0,42&0,42&0,32&0,40&0,41&0,35&0,40&0,41\\
&$\beta_2$&0,27&0,45&0,44&0,28&0,45&0,43&0,27&0,44&0,43&0,27&0,43&0,42&0,27&0,42&0,42\\
\hline
M1&$\beta_0$&0,04&0,42&0,33&0,15&0,43&0,34&0,26&0,45&0,35&0,36&0,46&0,37&0,48&0,48&0,38\\
&$\beta_1$&1,02&0,51&0,51&1,07&0,52&0,51&1,13&0,54&0,52&1,19&0,54&0,52&1,27&0,54&0,53\\
&$\beta_2$&1,06&0,50&0,50&1,07&0,49&0,50&1,09&0,50&0,51&1,08&0,50&0,51&1,08&0,52&0,52\\
&$\gamma$&-0,08&0,81&0,61&-0,04&0,81&0,61&0,02&0,81&0,61&0,11&0,80&0,61&0,17&0,80&0,61\\
M2&$\beta_0$&-1,63&0,26&0,23&-1,64&0,25&0,24&-1,64&0,25&0,24&-1,66&0,26&0,25&-1,67&0,26&0,25\\
&$\gamma$&3,17&0,51&0,41&3,25&0,50&0,41&3,33&0,50&0,42&3,43&0,49&0,42&3,52&0,50&0,42\\
M3&$\beta_0$&0,00&0,14&0,14&0,02&0,20&0,15&0,27&0,15&0,15&0,41&0,16&0,16&0,57&0,16&0,16\\
&$\beta_1$&0,99&0,46&0,46&1,06&0,46&0,47&1,13&0,47&0,48&1,22&0,48&0,48&1,32&0,49&0,49\\
&$\beta_2$&1,06&0,49&0,50&1,07&0,49&0,50&1,08&0,50&0,51&1,08&0,50&0,51&1,07&0,51&0,52\\
\hline
\end{tabular}
}

\vspace{.5cm}

\section{Aplicação} \label{sec:aplic}

Uma aplicação da metodologia foi feita usando-se dados de
presença/ausência do patógeno {\it Phytophthora capsici} em {\it
quadrats} de pimenta de sino, tendo como covariáveis o conteúdo de
água no solo e o número de discos de folhas colonizadas pelo
patógeno, apresentados em Gumpertz, Graham e Ristiano (1997). É
importante observar que a porcentagem de infecção nesse caso é de
$13,5\%$, o que pode ser considerado como baixa. Além disso, a
correlação estimada entre $X_1$ e $X_2$ é apenas 0,27. A esse
conjunto de dados, foram ajustados os cinco modelos usados no
estudo de simulação, considerando $X_1$ como a covariável conteúdo
de água no solo e $X_2$ como o número de discos de folhas
colonizados pelo patógeno e o método de pseudo-verossimilhança
para estimação dos parâmetros. No artigo original, foi considerada
uma borda dupla, enquanto aqui usou-se borda simples. Os valores
faltantes da covariável $X_1$ foram estimados usando-se as
expressões~(\ref{eq:autoc4}) e~(\ref{eq:autoc8}) para estruturas
de vizinhança de primeira e segunda ordens, respectivamente. A
seleção de modelos foi feita usando-se o critério de informação de
Akaike (AIC), dado por $-2*LVM + 2*p$, em que $p$ representa o
número de parâmetros e $LVM$ é o logaritmo do valor maximizado da
função de verossimilhança, considerando-se como melhor modelo
aquele com menor AIC.

Os resultados obtidos para o ajuste dos modelos ao conjunto
original de dados estão nas Tabelas~\ref{tab:est4V}
e~\ref{tab:est8V}. Pelo critério de informação de Akaike,
considerando-se estrutura de vizinhança de primeira ordem, foi
escolhido o modelo que inclui apenas a constante e o efeito de
linha, enquanto que estrutura de vizinhança de segunda ordem, o
melhor modelo inclui a constante, e os efeitos de linha e da
diagonal~B. Verifica-se, portanto, que nenhuma covariável foi
significativa, em concordância com resultados obtidos
 por Gumpertz; Graham; Ristaino (1997).
A probabilidade de um ``quadrat'' ter presença da doença é dada
por
\begin{eqnarray}
P(Y_i=1/y_j, j \neq i) = \frac{\exp \{-2,83+1,07dB+1,29L
\}}{1+\exp\{-2,83+1,07dB+1,29L\}}. \nonumber
\end{eqnarray}

\newpage

\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[!h]
\caption{Estimativas dos parâmetros e estatísticas dos diversos
modelos ajustados aos dados originais de pimenta do sino, com
estrutura de vizinhança de primeira ordem}\label{tab:est4V}
\end{table}
\vspace{-0.2cm} %
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\begin{table}[!h]
\centering %
\begin{tabular}{l|cccccc} \hline
Modelo & Parâmetro & Estimativa & Erro Padrão & Z & $valor-p$ & AIC \\
\hline %
M1 & $\beta_0$ & -3,29 & 1,10 & -3,00 & \textbf{0,003} & 245,16\\%
& $\beta_1$ & -0,05 & 0,13 & -0,35 & 0,73 &  \\%
& $\beta_2$ & 0,08 & 0,10 & 0,75 & 0,454 &  \\%
& $\gamma$ & 3,57 & 0,67 & 5,31 & \textbf{0,000}  & \\ %
M2 & $\beta_0$ & -2,50 & 0,24 & -10,51 & \textbf{0,000} & 241,73 \\%
& $\gamma$ & 3,56 & 0,66 & 5,38 & \textbf{0,000}  & \\  %
M3 & $\beta_0$ & -2,66 & 1,07 & -2,48 & \textbf{0,013} & 272,85\\%
& $\beta_1$ & 0,08 & 0,12 & 0,65 & 0,519 & \\%
& $\beta_2$ & 0,08 & 0,10 & 0,77 & 0,440 & \\ %
M4 & $\beta_0$ & -3,07 & 1,11 & -2,75 & \textbf{0,006} & 243,00 \\%
& $\beta_1$ & -0,04 & 0,14 & -0,262 & 0,793 & \\%
& $\beta_2$ & 0,06 & 0,10 & 0,54 & 0,591 & \\%
& $\gamma_1$ & 1,30 & 0,26 & 4,93 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & 0,36 & 0,32 & 1,12 & 0,26 & \\ %
M5 & $\beta_0$ & -2,49 &0,24 & -10,47 & \textbf{0,000} & 239,30 \\%
& $\gamma_1$ & 1,31 & 0,26 & 5,01 & \textbf{0,000 } & \\%
& $\gamma_2$ & 0,34 & 0,32 & 1,08 & 0,279 & \\ %
M5 & $\beta_0$ & -2,41 & 0,22 & -10,85 & \textbf{0,000} & 238,43 \\%
& $\gamma_1$ & 1,41 & 0,25 & 5,73 & \textbf{0,000} & \\%
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\newpage

\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[!h]
\caption{Estimativas dos parâmetros e estatísticas dos diversos
modelos ajustados aos dados originais de pimenta do sino, com
estrutura de vizinhança de segunda ordem}\label{tab:est8V}
\end{table}
\vspace{-0.2cm} %
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\begin{table}[!h]
\centering %
\begin{tabular}{l|cccccc} \hline
Modelo & Parâmetro & Estimativa & Erro Padrão & Z & $valor-p$ & AIC \\
\hline M1 & $\beta_0$ & -3,74 & 1,13 & -3,30 & \textbf{0,000} &
233,86
\\%
& $\beta_1$ & -0,11 & 0,14 & -0,79 & 0,433 & \\%
& $\beta_2$ & 0,09 & 0,10 & 0,86 & 0,390 & \\%
& $\gamma$ & 5,22 & 0,88 & 5,96 & \textbf{0,000} & \\ %
M2 & $\beta_0$ & -2,82 & 0,27 & -10,28 & \textbf{0,000} & 230,88 \\%
& $\gamma$ & 5,09 & 0,85 & 6,02 & \textbf{0,000} & \\  %
M3 & $\beta_0$ & -2,68 & 1,08 & -2,49 & \textbf{0,013} & 272,82\\%
& $\beta_1$ & 0,08 & 0,12 & 0,64 & 0,52 & \\
& $\beta_0$ & 0,08 & 0,10 & 0,79 & 0,429 & \\ %
M4 & $\beta_0$ & -3,60 &1,19 & -3,04 & \textbf{0,002} &229,31 \\%
& $\beta_1$ & -0,10 & 0,15 & -0,70 & 0,485 &  \\%
& $\beta_2$ & 0,06 & 0,11  & 0,60 & 0,550 & \\%
& $\gamma_1$ & 1,25 & 0,28 & 4,53 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & -0,15 & 0,37 & -0,41 & 0,682 & \\ %
& $\gamma_3$ & 0,57 & 0,33 &  1,71 & 0,088 & \\%
& $\gamma_4$ & 1,04 & 0,28 & 3,75 & \textbf{0,000} & \\%
M5 & $\beta_0$ & -2,94 & 0,29 & -10,16 & \textbf{0,000} & 225,94 \\%
& $\gamma_1$ & 1,25 & 0,27 & 4,58 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & -0,19 & 0,37 & -0,51 & 0,61 & \\  %
& $\gamma_3$ & 0,56 & 0,33 & 1,68 & 0,092 & \\%
& $\gamma_4$ & 1,02 & 0,27 & 3,72 & \textbf{0,000} & \\%
M5 & $\beta_0$ & -2,83 & 0,27 & -10,48 & \textbf{0,000} & 224,74 \\%
& $\gamma_1$ & 1,29 & 0,25 & 5,12 & \textbf{0,000} & \\  %
& $\gamma_4$ & 1,07 & 0,27 & 4,00 & \textbf{0,000} & \\%
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\vspace{.5cm}

\section{Considerações finais} \label{sec:consid}

O estudo de simulação com o objetivo de verificar o efeito causado
por diferentes estruturas de covariáveis e dependência espacial
sobre os estimadores de pseudo-verossimilhança dos parâmetros do
modelo autologístico permitiu verificar que as médias das
estimativas dos parâmetros associados às covariáveis têm valores
não muito distantes dos valores verdadeiros, mas com variações
dependendo da correlação espacial, e da forma como as covariáveis
foram geradas, mostrando uma robustez quanto à modelagem da
covariância na obtenção das estimativas. Os erros padrões de suas
estimativas são muito próximos da média dos erros padrões
fornecidos pelo modelo. Entretanto, as médias das estimativas do
parâmetro de correlação espacial têm uma disparidade muito grande
em relação ao valor verdadeiro com o qual foram gerados os dados.
De forma semelhante existem disparidades entre o erro padrão
obtido a partir das estimativas dos parâmetros e a média dos erros
padrões fornecidos pelo modelo.

As médias das estimativas dos parâmetros, geralmente, aumentam com
o aumento da correlação espacial, evidenciando a presença de um
pequeno vício, que praticamente desaparece no caso em que as
covariáveis não são correlacionadas e não têm dependência
espacial. O coeficiente de correlação espacial é estimado com
vício muito grande, fazendo com que a correlação espacial se torne
muito maior do que o valor verdadeiro.

Portanto, a conclusão geral deste estudo é a de que o método de
estimação por pseudo-verossimilhança pode ser usado, com certa
cautela, quando o interesse está na contribuição das covariáveis,
mas não deve ser usado quando o interesse está na estimação da
correlação espacial. Estudos adicionais por simulação são
necessários para verificar o efeito de observações faltantes nas
estimativas dos parâmetros do modelo autologístico.

\vspace{.5cm}

%Agradecimentos (se houverem)
{\noindent \bf \large Agradecimentos}\vspace{.5cm}

Esse trabalho é parte da Tese de Doutorado do primeiro autor no
Departamento de Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura
``Luiz de Queiroz'', Universidade de São Paulo, Piracicaba e foi
realizado com o apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal
de Nível Superior - CAPES - através do Programa da Demanda Social.
O segundo autor é Pesquisador 1C do CNPq. O quarto autor foi
Professor Visitante Estrangeiro pela CAPES no Departamento de
Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura ``Luiz de
Queiroz'', Universidade de São Paulo, Piracicaba, no período
maio/2004 a abril/2006.

\vspace{.5cm}

%citação do artigo
\info{VIOLA, D. N., DEMÉTRIO, C. G. B., RIBEIRO JUNIOR, P. J.,
MANLY, B. F. {\bf An avaliation of the pseudo-likelihood
estimators of autologistic parameters}. \textit{Rev. Mat. Estat.,}
São Paulo, v.xx, n.x, p.xx-xx, 20XX.}
\medskip

\begin{abstract}
In this paper a simulation study on pseudo-likelihood estimators
of autologistic parameters to verify the effect of different
covariate and neighbouring structures is described, with three
pest infestation levels and five different spatial correlation
coefficient values. An application of the methodology is presented
using bell pepper data from Gumpertz, Graham and Ristino (1997).
It is shown that the pseudo-likelihood method can be used when a
researcher is interested in the effect of covariates, but should
not be used for the estimation of the spatial correlation.
\end{abstract}

\begin{keyword}
autologistic model, spatial correlation, binary data, Bernoulli
distribution
\end{keyword}

\begin{thebibliography}{}
\bibitem[]{}

ABEL, L; GOLMARD, J. L.; MALLET, A. \textit{An autologistic model
for the Genetic Analysis of familial Binary data}. American
Society of Human Genetics, San Francisco, v. 53, p. 894-907, 1993.

AUGUSTIN, N. H.; MUGGLESTONE, M. A.; BUCKLAND, S. T. \textit{An
autologistic model for the spatial distribution of wildlife}.
Journal of Applied Ecology, v. 33, p. 339-347, 1996.

BESSAG, J. \textit{Nearest-neighbour systems and the auto-logistic
model for binary data (with discussion)}. Journal of the Royal
Statistical Society, v. 34, p. 75-83, 1972.

Besag, J. (1974). \textit{Spatial interaction and the statistical
analysis of lattice systems (with discussions)}. Journal of the
Royal Statistical Society, v.36 p.192-236, 1974.

BESAG, J. \textit{Efficience of pseudolikelihood estimators for
simple Gaussian fields}. Biometrika, v. 64, p. 616-618, 1977.

BESAG, J. \textit{On the statistical analusis of dirty pictures
(with discussion)}. Journal Royal Statistic Society, v. 48, p.
259-302, 1986.

DEMÉTRIO, C. G. B. \textit{Modelos lineares generalizados} In:
$46^a$ Reunião Anual da RBRAS, 2001, Piracicaba. Minicurso
Piracicaba, 2001, 1-113.

DIGGLE, P.J.; RIBEIRO Jr, P.J. \textit{Model based geostatistics}.
1.ed. New York: Springer, 2007. 230p.

GEYER, C. J. \textit{Markov Chain Monte Carlo maximum likelihood}.
Computing Science and Statistics: Proceedings of the 23rd
Symposium on the Interface, p. 156-163, 1991.

GEYER C. J. \textit{Pratical Markov chain Monte Carlo (with
discussion)}. Statistical Science, v. 7(4), p. 473-511, 1992.

GEYER, C. J. \textit{On the convergence Of Monte Carlo Maximum
likelihood calculations}. Journal of the Royal Statistical
Society, v. 56, p. 261-274, 1994.

GRIFFITH, D. A. \textit{A spatial filtering specification for the
autologistic model}. Enviromental and Planning A, v. 36, p.
1791-1811, 2002.

GU, M. G.; KONG, F. H. \textit{A stochastic aproximation algorithm
with Markov Chain Monte Carlo method for incomplete data
estimation problems}. proceedings of National Academic Science of
USA v. 95, p. 7270-7274, 1998.

GU, M. G.; ZHU, H. T. \textit{Maximum likelihood estimation for
spatial models by Markov Chain Monte Carlo Stocastic
Approximation}. Journal of the Royal Statistics Society, v. 63, p.
339-355, 2001.

GUMPERTZ M. L.; GRAHAM, J. M; RISTANO, J. B. \textit{Autologistic
model of spatial pattern of Phytophthora epidemic in bell pepper:
effects of soil variables on disease presence}. Journal of
agricultural, biological end Environmental Statistics, v. 2, p.
131-156, 1997.

HE, F.; ZHOU, J.; ZHU, H. \textit{Autologistic regression model
for the distribution of vegetation}. Journal of Agricultural,
Biological and Environmental Statistics, v. 8(2), p. 205-222,
2003.

HUANG, F.; OGATA, Y. \textit{Comparison of two methods for
calculating the partition functions of various spatial statistical
models}. Australian and New Zeland Journal of Statistics, v. 43,
p. 47-65, 2002.

HUFFER ; WU, 1998. MOON, S; RUSSEL, G. R. \textit{Predicting
product purchase from inferred customer similarity: an
autologistic model approach}. 2005.

KRAINSKI, E. T.; RIBEIRO JR., P. J., Introdução ao Rcitrus, 2006
<$http:\/\/leg.est.ufpr.br\/Rcitrus\/intro\/intro.pdf$>. Acesso em
12 nov. 2006.

MOON, S; RUSSEL, G. J. {\bf Predicting product purchase from
inferred customer similarity: an autologistic model approach} .
Disponível em:
<$http:\/\/www.biz.uiowa.edu\/marketing\/pdf\/russell_moon_sept05.pdf$>.
Acesso em 12 nov. 2006.

PETRUCCI, A. ; SALVATI, N.; SEGHIERI, C. \textit{Autologistic
regression model for poverty mapping and analysis}.
Metodolo$\widetilde{s}$ki Zveszki, v. 1(1), p. 225-234, 2004.

PETTITT, A. N.; FRIEL, N.; REEVES, R. \textit{Efficient
calculation of the normalizing constant of the autologistic and
related models on the cylinder and lattice}. Journal Royal
Statistical Society, v. 65(1), p. 235-246, 2003.

RIBEIRO JUNIOR, P. J., DIGGLE, P. J. geo{R}: a package for
geostatistical analysis, {\bf R-NEWS}, v.1, p.14-18, 2001
<$http:\/\/CRAN.R-project.org\/doc\/Rnews$>. Acesso em 05 jan.
2006.

SANDERSON, R. A.; EYRE, M. D.; RUSHTON, S. P.;
\textit{Distribution of selected macroinvertebrates in a mosaic of
temporary and permanent freshwater ponds as explained by
autologistic models}. Ecographi, v. 28, p. 355-362, 2005.

SHERMAN, M.; APANOSOVICH, T. V.; CARROLL, R. J. \textit{On
estimation in binary autologistic spatial models}. journal of
Statistical Computation and Simulation, v. 76(2), p. 167-179,
2006.

TETERUKOVSKIY, A.; EDEMIRS, L. \textit{Effective field sampling
for predicting the spatial distribution of reindeeer (Rangifer
tarandus) with help of the gibbs sampler}. Ambio, v. 32(8),
p.568-572, 2003.

WARD, M.; GLEDITSCH, K. S. \textit{Location, location, location:
An MCMC approach to modeling the spatial context of war and
peace}. Political Analysis, v. 10(3), p. 244-260, 2002.

WU, H; HUFFER, F. W. \textit{Modelling distribution of plant
species using the autolologistic regression model}. Environmental
and ecological Statistics, v.4, p. 49-64, 1997.

\end{thebibliography}

%%% a ser usado pelo editor

\unespreceived{01.01.2005}

\unespapproved{01.01.2005}

\end{document}
