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\begin{document}

\title{UMA AVALIAÇÃO DO ESTIMADOR DE PSEUDO-VEROSSIMILHANÇA PARA
MODELOS AUTOLOGÍSTICOS ESPACIAIS}
\author{Denise N. Viola\thanks{% Departamento de Estatística, Universidade Federal da Bahia, Av.
Adhemar de Barros, s/n - Campus de Ondina CEP: 40.170-110,
Salvador, BA, Brasil, E-mail: {\it viola@ufba.br}} \and
Clarice G. B. Demétrio\thanks{%
Departamento de Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura
``Luiz de Queiroz'' - ESALQ, Universidade de São Paulo, Caixa
Postal 9, CEP: 13418-900, Piracicaba, SP, Brasil, E-mail: {\it
clarice@esalq.usp.br}} \and Bryan F. Manly\thanks{% Departamento de
Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura ``Luiz de
Queiroz'' - ESALQ, Universidade de São Paulo, Caixa Postal 9, CEP:
13418-900, Piracicaba, SP, Brasil, E-mail: {\it
bryanmanly@lycos.com}} \and Paulo J. Ribeiro
Jr.\thanks{ Laboratório de Estatística e Geoinformação,
Universidade Federal do Paraná, Caixa Postal 19.08c1, CEP:
81531-990, Curitiba, PR, Brasil, E-mail: {\it paulojus@ufpr.br}} } \maketitle

\begin{resumo}
Neste artigo foi feito um estudo de simulação para verificar o
comportamento dos estimbadores de pseudo-verossimilhança dos
parâmetros do modelo autologístico, considerando diferentes
estruturas de covariáveis e de vizinhança, três intensidades de
infestação de uma praga e cinco  valores para o parâmetro de
correlação entre os vizinhos. Uma aplicação dos modelos
considerados no estudo de simulação é feita a um conjunto de dados
provenientes de um experimento com pimentão, utilizado por
Gumpertz, Graham e Ristaino (1997). Mostra-se que o método de
estimação por pseudo-verossimilhança pode ser usado, com certa
cautela, quando o interesse está na contribuição das covariáveis,
mas não deve ser usado quando o interesse está na estimação da
correlação espacial.
\end{resumo}

\begin{palavra:chave}
Palavras-chaves: Modelo autologístico; dependência espacial; dados
binários; distribuição Bernoulli; pseudo-verossimilhança.
\end{palavra:chave}

\section{Introdução}
Variáveis respostas binárias, isto é, do tipo sucesso/fracasso são
muito comuns na experimentação agronômica. Por exemplo, em estudos
de fitopatologia, o pesquisador pode anotar estudo da presença ou
ausência de uma determinada doença visando associar a
probabilidade de occorência com covariáveis de interesse e/ou
estudar  padrões espaciais da distribuição da doença. Nesse tipo
de estudo, espera-se, em geral, que as observações sejam
correlacionadas no espaço e/ou no tempo. O modelo, usualmente,
adotado para a análise de respostas binárias é o modelo de
regressão logística que tem como uma de suas pressuposições a
independência das observações. Assim sendo, extensões ou modelos
alternativos são necessários para acomodar a estrutura de
correlação induzida pela dependência espacial e/ou temporal e têm
sido propostos na literatura.

Uma das propostas apresentadas na literatura são  os modelos
autologísticos (Besag,~1972, Augustin, Mugglestone e
Buckland,~1996, Gumpertz, Graham e Ristaino, 1997) em que se
constróem covariáveis com a finalidade de incorporar a informação
do ``status'' da doença na vizinhança de cada observação. As áreas
de aplicação são diversas e incluem estudos sobre fauna aquática
de macro invertebrados em 76 lagoas inglesas (Sanderson, Eyre e
Rushton, 2005), comportamento de clientes em relação a políticas
de seguro (Moon e Russel, 2006), mapeamento de pobreza em países
em desenvolvimento (Petrucci, Salvati e Seghieri, 2004),
distribuição espacial de renas na Suécia (Teterukovskiy e Edemirs,
2003), distribuição de vegetação em florestas, considerando
covariáveis climáticas (He, Zhou e Zhu, 2003), distribuição da
epidemia do {\it Phytophthora} em pimentão considerando efeitos de
variáveis do solo (Gumpertz, Graham e Ristaino, 1997),
distribuição de espécies de plantas considerando covariáveis
climáticas (Wu e Huffer, 1997), distribuição espacial de alces em
uma região da Escócia (Augustin, Mugglestone e Buckland, 1996),
análise genética de características familiares (Abel, Golmard e
Mallet, 1993), dentre outros. Uma comparação entre o modelo
autologístico e um modelo logístico regressivo é apresentada em
Abel, Golmard e Mallet~(1993).

Entretanto, estudos mais detalhados em relação às propriedades dos
estimadores e métodos de estimação propostos são necessários para
essa categoria de modelos. Entre os métodos propostos está o de
maximização de uma pseudo-verossimilhança. Tal método é
relativamente simples quando comparado com métodos alternativos e
computacionalmente intensivos, porém suas propriedades não têm
sido extensivamente estudadas (Petrucci, Salvati e Seghieri,
2004). Os parâmetros que descrevem a estrutura de dependência
tornam complexo, se não proibitivo, o estudo analítico das
propriedades dos métodos de estimação. Entretanto,  com o grande
desenvolvimento dos recursos computacionais, o uso de simulações
consiste em uma alternativa viável  para o estudo de propriedades
estatísticas de interesse. Esses estudos são baseados em
informações reais e utilizados como repetições de um experimento,
sendo igualmente aplicáveis para variáveis respostas contínuas ou
discretas.

 Neste artigo, procurou-se estudar o
 comportamento do procedimento de estimação em diferentes
 cenários de intensidade do padrão espacial e escolha de
 covariáveis espaciais. São relatados os resultados de um
 estudo de simulação para verificar o comportamento dos
 estimadores de pseudo-verossimilhança dos parâmetros do
 modelo autologístico, considerando (i) diferentes estruturas
 de covariáveis e de vizinhança, (ii) três intensidades de
 infestação de uma praga e (iii) cinco  valores para o parâmetro
 de correlação entre os vizinhos. Adicionalmente, uma aplicação dos
 modelos considerados no estudo de simulação é feita a um conjunto
 de dados provenientes de um experimento com pimentão,
 utilizado por Gumpertz, Graham e Ristaino~(1997).

O restante do artigo está organizado como se segue. A
Seção~\ref{sec:autolog} descreve o modelo autologístico como uma
extensão do modelo logístico usual e o procedimento de inferência
é apresentado na Seção~\ref{sec:est}. Na Seção~\ref{sec:simu}, é
feita a descrição do estudo de simulação cujos resultados são
apresentados e discutidos na Seção~\ref{sec:simuresult}. A
aplicação do modelo autologístico a dados reais é mostrada na
Seção~\ref{sec:aplic}. Finalmente, algumas considerações finais
aparecem na Seção~\ref{sec:consid}.

\medskip

\section{Modelo autologístico} \label{sec:autolog}

Modelos lineares generalizados (MLG) envolvem três componentes, a
saber um componente sistemático, um aleatório e uma função de
ligação. O componente sistemático é definido durante o
planejamento do experimento e as variáveis explicativas entram na
forma de soma linear dos efeitos, isto é, com preditor linear
$\beeta = {\bf X\bbeta}$, em que ${\bf X}$ é a matriz do modelo,
${\bf \bbeta}$ é o vetor de parâmetros. O componente aleatório é
estabelecido após definidas as medidas que serão realizadas, em
que o conjunto de variáveis aleatórias $Y_i, i=1, 2, \ldots, n$
são mutuamente independentes com distribuição pertencente à
família exponencial na forma canônica e $\mbox{E}(Y_i)=\mu_i$. A
função de ligação relaciona o componente aleatório ao componente
sistemático, ou seja, a média da distribuição ao preditor linear.
Logo, na seleção de modelos a serem ajustados a um conjunto de
dados, é importante escolher a distribuição da variável resposta,
a matriz do modelo e a função de ligação (Demétrio, 2001). Um caso
particular dos MLG é o modelo de regressão logística que pode ser
usado para a análise de variáveis aleatórias binárias
independentes.

Sejam $Y_i$, $i=1, 2, \ldots, n$, variáveis aleatórias com
distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso $\pi_i$,
sendo que $y_i$ assume os valores zero (fracasso) ou um (sucesso).
Tem-se que $\mbox{E}(Y_i)= \pi_i$ e $\mbox{Var}(Y_i)= \pi_i(1-
\pi_i)$. Então, um modelo linear generalizado permite que as
probabilidades de sucesso $\pi_i$ sejam modeladas em termos de $p$
variáveis explanatórias $x_{ik}$, $k=1, \ldots, p$, através de

$$g(\pi_i)=\bbeta^T \bx_i$$
em que $g$ é uma função de ligação adequada e $\bbeta$ é o vetor
de parâmetros des\-co\-nhe\-ci\-dos. Considerando-se a função de
ligação logística, tem-se
\begin{eqnarray}
\mbox{logit}(\pi_i)& = & \log \frac{\pi_i}{1-\pi_i} =
\beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2x_{i2} + \ldots +
              \beta_px_{ip} \nonumber
\end{eqnarray}
e, portanto,
\begin{eqnarray}
\pi_i = P(Y=1|x) = \frac{\exp\{\beta_0 +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik}\}}{1 + \exp\{\beta_0 +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik}\}}.   \nonumber
\end{eqnarray}

\begin{figure}[b!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.85]{vizinho123.eps}
\end{center}
\caption{Representação esquemática de estrutura de vizinhança
sobre um látice regular (primeira, segunda e terceira
ordens).} \label{fig:estviz}
\end{figure}

O modelo autologístico, motivado por problemas  na área de
estatística espacial, foi introduzido por Besag~(1972, 1974) e
consiste em uma generalização do modelo logístico, considerando
dependência espacial entre as respostas. A autocorrelação é
induzida por funções das respostas dos vizinhos como covariáveis
do modelo, sendo que
 diferentes estruturas de vizinhança podem ser consideradas, usualmente
chamadas de primeira, segunda e terceira ordens com quatro, oito e
doze vizinhos, respectivamente, conforme Figura~\ref{fig:estviz}.
O preditor linear passa a ter a forma
\begin{eqnarray} \label{eq:predlinautolog}
\mbox{logit}(\pi_i)& = & \log  \frac{\pi_i}{1-\pi_i}
           = \beta_0 + \sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik} +  \bgamma^T \bz_i,
\end{eqnarray}
em que $\pi_i$ é a probabilidade de sucesso de um evento para o
$i$-ésimo indivíduo, $i=1, \ldots, n$, $\beta_k$ é o $k$-ésimo
parâmetro associado à covariável $x_{ik}$, $\bgamma$ é o vetor de
parâmetros associado ao vetor $\bz_i$ das covariáveis contruídas a
partir das observações na vizinhança da $i$-ésima observação.
Portanto, a probabilidade de sucesso é dada por
\begin{eqnarray}
P(Y_i=1|\mbox{vizinhos}) = \frac{\exp \{\beta_0 +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik} + \bgamma^T \bz_i \}}{1+\exp \{\beta_0 +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik} + \bgamma^T \bz_i\}}. \nonumber
\end{eqnarray}
A forma da covariável $\bz_i$ faz parte da especificação do
modelo. Augustin e Mugglestone e Buckland~(1996) definem como dada
pelo peso médio ponderado dos $k_i$ vizinhos do $i$-ésimo
indivíduo, isto é,
$$z_i=\frac{\sum^{k_i}_{j=1}w_{ij}y_{j}}{\sum^{k_i}_{j=1}w_{ij}}$$
sendo que $w_{ij}=\frac{1}{h_{ij}}$, em que $h_{ij}$ é a distância
euclidiana entre as observações $i$ e $j$. Por exemplo,
considerando-se  distância unitária entre vizinhos e estrutura de
vizinhança de primeira ordem, com observações nos vizinhos dadas
por $y_{i_r}$, $r = 1, \ldots, 4$, o valor da covariável $z_i$ da
$i$-ésima observação é dado por
\begin{eqnarray}
z_{i} = \frac{1}{4}(y_{i_1} + y_{i_2} + y_{i_3} + y_{i_4})
\label{eq:autoc4}
\end{eqnarray}\label{eq:viz1}
enquanto que para estrutura de vizinhança de segunda ordem, por
\begin{eqnarray}
z_{i} & = &
\displaystyle\frac{1}{4+\frac{4}{\sqrt{2}}}\left(y_{i_1} + y_{i_2}
+ y_{i_3} + y_{i_4} + \frac{y_{i_5}}{\sqrt{2}} +
\frac{y_{i_6}}{\sqrt{2}} + \frac{y_{i_7}}{\sqrt{2}} +
\frac{y_{i_8}}{\sqrt{2}}\right). \label{eq:autoc8}
\end{eqnarray}

Uma forma alternativa é adotada por Augustin, Mugglestone e
Buckland~(1997) que definem um conjunto de covariáveis $\bz_i$ que
consideram os componentes da estrutura de vizinhança com
possibilidade de especificar efeitos de linhas, colunas e
diagonais separadamente, permitindo assim modelar efeitos
direcionais. Logo, para estrutura de vizinhança de primeira ordem,
o preditor linear pode ser escrito na forma:
\begin{eqnarray}\nonumber \mbox{logit}(\pi_i) = \beta_{0} +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik} + \gamma_1L_i + \gamma_2C_i, \\
\nonumber
\end{eqnarray}
em que $\bgamma^T=(\gamma_1~ \gamma_2)$, $\bz^T_i=(L_i~C_i)$,
$\gamma_1$ e $\gamma_2$ são os parâmetros associados à informação
dos vizinhos nas linhas $L_i=(y_{i_1}+y_{i_2})/{2}$ e colunas
$C_i=(y_{i_3}+y_{i_4})/{2}$, respectivamente. No caso de estrutura
de vizinhança de segunda ordem
\begin{eqnarray}\nonumber
\mbox{logit}(\pi_i) = \beta_{0} +\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik}
+ \gamma_1L_i + \gamma_2C_i + \gamma_3dA_i + \gamma_4dB_i, \\
\nonumber
\end{eqnarray}
em que $\bgamma^T=(\gamma_1 ~\gamma_2~\gamma_3~\gamma_4)$,
$\bz^T_i=(L_i~C_i~dA_i~ dB_i)$, $\gamma_3$ e $\gamma_4$ são os
parâmetros associados à informação das diagonais A e B,
respectivamente, e
$dA_i=\displaystyle\frac{y_{i_5}/\sqrt{2}+y_{i_8}/\sqrt{2}}{2/\sqrt{2}}$
e
$dB_i=\displaystyle\frac{y_{i_6}/\sqrt{2}+y_{i_7}/\sqrt{2}}{2/\sqrt{2}}$.
Essa separação de efeitos é interessante, por exemplo, no caso de
observações provenientes de plantios com diferentes espaçamentos
entre e dentro de linhas de plantio e efeitos direcionais.

\medskip

\section{Estimação}\label{sec:est}

No modelo de regressão logística com observações independentes, a
estimação dos parâmetros é feita, geralmente, pelo método da
máxima verossimilhança (ML). Entretanto, no caso da modelagem de
observações espacialmente correlacionadas com o uso do modelo de
regressão autologístico não é possível escrever a função de
verossimilhança de forma fechada, sendo, portanto, em geral,
desconhecida uma expressão analítica para a constante de
normalização. Diversos métodos aproximados foram, então, propostos
para estimação dos parâmetros desse modelo, tais como máxima
pseudo-verossimilhança, MPL, e ``coding'', COD, (Besag, 1972),
``bootstrap'' (Besag, 1977), equações de estimação (Besag, 1986),
máxima verossimilhança com simulação Monte Carlo, MCL, (Geyer,
1991, Geyer, 1992, Geyer, 1994, Wu e Huffer, 1997, Huffer e Wu,
1998, Griffith,~2002, Sherman, Apanosovich e Carroll, 2006),
máxima verossimilhança com simulação Monte Carlo via cadeias de
Markov, MCMC (Gu e Kong, 1998, Gu e Zhu, 2001, Ward e Gleditsch,
2002), máxima pseudo-verossimlhança generalizada, MGPL, (Huang e
Ogata, 2002), dentre outros. Um método computacional
estatisticamente eficiente para o cálculo da constante de
normalização foi desenvolvido por Pettitt, Friel e Reeves (2003).

A estimativa da máxima pseudo-verossimilhança para um vetor de
parâmetros desconhecidos $\btheta=(\beta_0, \beta_1, \ldots,
\bgamma)^T$ é definida como um vetor $\hat{\btheta}$ que maximize
a função de pseudo-verossimilhança (Petrucci e Salvati e Seghieri,
2004)
\begin{eqnarray}
L(\bpi)=\prod^n_{i=1}P(Y_i=1|\mbox{vizinhos}) =
\prod^n_{i=1}\pi^{y_i}_i(1-\pi_i)^{(1-y_i)}  \label{eq:al1}
\end{eqnarray}
ou, equivalentemente,  o seu logaritmo
\begin{eqnarray}\nonumber
\ell(\bpi)=\sum^n_{i=1}y_i \log \pi_i +\sum^n_{i=1}(1-y_i) \log
(1-\pi_i).
\end{eqnarray}

Para o modelo autologístico, essa aproximação é computacionalmente
simples, pois necessita apenas de alguma rotina que construa as
covariáveis espaciais a partir dos dados originais e suas
localizações e alguma implementação computacional com método de
otimização numérica capaz de ajustar o modelo de regressão
logística. As estimativas pontuais obtidas dessa forma são
consistentes. Entretanto, os erros padrões das estimativas dos
parâmetros são inacurados por serem calculados, como se as
observações fossem independentes (Petrucci, Salvati e Seghieri,
2004). Uma proposta feita por Gumpertz, Graham e Ristaino~(1997) é
usar um método de reamostragem baseado em ``bootstrap''
paramétrico no qual o amostrador de Gibbs garante a obtenção de
amostras com padrão espacial compatível com o observado a partir
das quais podem-se obter os erros padrões para as estimativas
iniciais.

O método de pseudo-verossimilhança, de acordo com Ward e
Gleiditsch (2002) é fácil de implementar, mais eficiente do que
COD e mostra propriedades assintóticas razoáveis. Entretanto,
suspeita-se que seja ineficiente quando há forte correlação
espacial. Portanto, há necessidade de avaliações sobre a qualidade
das inferências produzidas em diferentes condições.

\medskip

\section{Um estudo de simulação}\label{sec:simu}

A fim de verificar o efeito causado por diferentes estruturas de
covariáveis e dependência espacial sobre os estimadores de
pseudo-verossimilhança dos parâmetros do modelo autologístico, foi
proposto um estudo de simulação, considerando-se um látice de $20
\times 20$ localizações com distância de uma unidade entre pontos.
Foram feitas 1.000 simulações, usando-se os pacotes \textsf{geoR}
(Ribeiro Jr. e Diggle, 2001) para gerar simulações e
\textsf{Rcitrus} (Krainski e Ribeiro Jr., 2006) para o ajuste de
modelo autologístico, ambos do ambiente computacional estatístico
\textsf{R} (R Development Core Team, 2007). Para cada simulação
foram seguidos os passos que se seguem.

Inicialmente, foram gerados valores para duas covariáveis $x_1$ e
$x_2$, para três situações: (i) independendentes entre si e sem
dependência espacial, (ii) independendentes entre si e com
dependência espacial e (iii) correlacionadas entre si e com
dependência espacial. Nos três casos, os valores para $x_1$ e
$x_2$ foram gerados a partir de uma distribuição normal de média
zero e variância unitária. Entretanto, no primeiro caso as
observações foram geradas independentemente enquanto que no
segundo e terceiro simulou-se de um modelo linear generalizado
geoestatístico (Diggle e Ribeiro Jr, 2007) que, no segundo caso
possuíam valores de alcance prático de 5 e 7 unidades,
respectivamente e, 6 unidades para o terceiro caso. O alcance
prático em modelos geoestatísticos reflete a extensão da
dependência espacial.

A relação entre as covariáveis no terceiro caso é dada por
$x_2=0,9 x_1+0,3 \epsilon$, com $\epsilon$ gerado a partir de uma
distribuição normal de média zero e variância unitária, definindo
a correlação em torno de $0,9$ entre $x_1$ e $x_2$.

Em uma segunda etapa, foi ajustado o modelo logístico a partir do
qual foram obtidos os valores para as probabilidades $p$, a partir
de
$$p=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 x_1 +\beta_2 x_2)}
{1+\exp(\beta_0 +\beta_1 x_1 +\beta_2 x_2)}.$$
\noindent\hspace{1cm} Para se obterem diferentes valores de níveis
de incidência da doença, em torno de $10\%$ (baixa), $30\%$
(média) e $50\%$ (alta), os valores usados para os parâmetros
($\beta_0$, $\beta_1$, $\beta_2$) foram, respectivamente, (0, 1,
1), (-1, 0,25, 0,25) e (-3, -1, -1).

Em uma terceira etapa, após a construção da variável espacial
definidas no modelo autologístico~(\ref{eq:predlinautolog}) foram
calculados valores para a covariável $z$, usando-se a
expressão~(\ref{eq:autoc4}) com os valores de $y_{i_r}$, $r=1,
\ldots,4$, substituídos por valores de $p$ obtidos na segunda
etapa.

Em uma quarta etapa, foram recalculados os valores de $p$,
considerando-se
$$p=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 x_1 +\beta_2 x_2+\gamma
z)} {1+\exp(\beta_0 +\beta_1 x_1 +\beta_2 x_2+\gamma z)}$$ em que
foram avaliadas simulações com os valores 0,00, 0,25, 0,50, 0,75 e
1,00 para o parâmetro $\gamma$ e a seguir, foram calculados novos
valores para $z$ e valores de $\pi$ dados por
$$\pi=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 x_1 +\beta_2 x_2+\gamma
z)} {1+\exp(\beta_0 +\beta_1 x_1 +\beta_2 x_2+\gamma z)}.$$ A
partir destes, foram gerados valores para a variável resposta $Y$
a partir de uma distribuição Bernoulli com probabilidade de
sucesso $\pi$.

A cada conjunto de dados gerados nas 90 situações, foram ajustados
três modelos:
\begin{enumerate}
\item M1: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2
+ \gamma z $ \item M2: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \gamma z $
\item M3: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2
$
\end{enumerate}

Note que M1 é o modelo usado na geração dos dados, enquanto que M2
e M3 estão sendo usados para verificar o efeito do uso de modelos
incompletos. Modelos semelhantes foram ajustados aos dados,
considerando estrutura espacial de segunda ordem. Entretanto, tais
modelos mostram  resultados semelhantes aos de primeira ordem e
que, portanto, não serão relatados aqui.

\medskip

\section{Resultados e discussão}\label{sec:simuresult}

Nas Tabelas~1 a~3, são apresentados os resumos por médias (Est),
erros padrões (EPC) e médias dos erros padrões das estimativas
(EP) fornecidas diretamente pelo programa após o ajuste dos
modelos aos dados obtidos nas 1000 simulações em cada caso.

De uma forma geral, nota-se que as médias das estimativas dos
parâmetros $\beta_1$ e $\beta_2$ têm valores não muito distantes
dos valores verdadeiros, mas com diferenças que dependem da
intensidade da correlação espacial $\gamma$, e também da forma
como as covariáveis foram geradas. Nota-se que os erros padrões de
suas estimativas são muito próximos da média dos erros padrões
fornecidos pelo ajuste do modelo. Observa-se, ainda uma influência
pequena nas médias das estimativas dos parâmetros $\beta_1$ e
$\beta_2$ obtidas pelos diferentes modelos mostrando que as
estimativas pontuais desses parâmetros são pouco afetadas pela
alternativa de modelagem de dependência espacial. Entretanto, as
médias das estimativas do parâmetro $\gamma$ têm uma disparidade
muito grande em relação ao valor $\gamma$ com o qual foram gerados
os dados. De forma semelhante, existem disparidades entre ECP e
EP. A seguir, são feitos comentários mais específicos.

Observa-se que quando as covariáveis foram geradas sem correlação
e sem dependência espacial, de uma forma geral, as médias das
estimativas dos parâmetros $\beta_1$ e $\beta_2$ são muito
próximas dos valores verdadeiros para todos os casos. Observa-se
ainda, que a média das estimativas de $\gamma$ aumentam à medida
em que aumenta a correlação entre os vizinhos. Verifica-se ainda
que os erros padrões das estimativas têm valores muito próximos da
média das estimativas dos erros padrões dados pelo modelo, embora
aumentem à medida que aumenta o valor da correlação espacial usada
na geração dos dados.

Quando as covariáveis foram geradas sem correlação e com
dependência espacial, observa-se que, de uma forma geral, as
médias das estimativas dos parâmetros $\beta_0$, $\beta_1$,
$\beta_2$ e $\gamma$ aumentam à medida que aumenta o valor da
correlação espacial. Nota-se ainda que, no modelo completo, as
médias das estimativas de $\beta_0$ são mais próximas dos valores
verdadeiros, para o caso de baixa infestação, quando a correlação
entre vizinhos é maior e são mais próximas dos valores verdadeiros
quando a correlação entre vizinhos é menor para média e alta
infestação. Verifica-se também, que os erros padrões das
estimativas têm valores muito próximos da média das estimativas
dos erros padrões dados pelo modelo.

Observa-se que quando as covariáveis foram geradas com correlação
e com dependência espacial, de uma forma geral, as médias das
estimativas dos parâmetros $\beta_1$ e $\gamma$ aumentam à medida
em que aumenta a correlação entre vizinhos, já as médias das
estimativas de $\beta_2$ são muito próximas dos valores
verdadeiros. Observa-se ainda, que a média das estimativas de
$\beta_0$ não alteram muito no caso de baixa infestação e aumentam
à medida em que aumenta a correlação entre os vizinhos para o caso
de média e alta infestação. Verifica-se ainda que os erros padrões
das estimativas têm valores próximos da média das estimativas dos
erros padrões dados pelo modelo.

\newpage
\setlength{\tabcolsep}{0.8pt}
\begin{table}
\caption{Valores obtidos para a média das estimativas dos
parâmetros a partir de 1000 simulações, supondo duas covariáveis
independentes e sem correlação espacial, para baixa
($\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$), média
($\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$) e alta
($\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$) infestação e
$\gamma$ verdadeiro = 0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 considerando
quatro vizinhos}
\[ \begin{tabular} {lll | r r r| r r r |r r r |r r r |r r r}
\hline
&&& \multicolumn{15}{c}{$\gamma$ verdadeiro} \\
\cline{4-18}
Inf&Mod&Par & &0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
\cline{4-18}
&&&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-3,10&0,41&0,36&-3,08&0,41&0,35&-3,05&0,41&0,35&-3,03&0,40&0,35&-3,01&0,39&0,34\\
&&$\beta_1$&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,22\\
&&$\beta_2$&-1,05&0,25&0,24&-1,05&0,25&0,24&-1,05&0,24&0,24&-1,05&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,24\\
&&$\gamma$&-0,87&6,34&47,45&-0,62&4,90&25,83&-0,69&5,84&36,28&-0,50&4,89&25,06&-0,41&4,96&27,34\\
Baixa&M2&$\beta_0$&-2,23&0,24&0,23&-2,22&0,24&0,22&-2,20&0,24&0,22&-2,19&0,24&0,22&-2,17&0,24&0,22\\
&&$\gamma$&-1,14&5,93&32,36&-0,88&4,65&19,51&-0,91&5,51&26,95&-0,70&4,63&19,07&-0,59&4,64&18,84\\
&M3&$\beta_0$&-3,10&0,36&0,32&-3,07&0,35&0,32&-3,04&0,35&0,31&-3,01&0,34&0,31&-2,98&0,33&0,31\\
&&$\beta_1$&-1,03&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,23&-1,02&0,23&0,22&-1,01&0,23&0,22\\
&&$\beta_2$&-1,04&0,25&0,24&-1,04&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,23&-1,04&0,24&0,23\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-1,02&0,26&0,20&-0,94&0,26&0,21&-0,87&0,26&0,21&-0,78&0,26&0,21&-0,69&0,26&0,21\\
&&$\beta_1$&0,26&0,12&0,12&0,25&0,12&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,11\\
&&$\beta_2$&0,26&0,14&0,14&0,25&0,14&0,13&0,25&0,14&0,13&0,25&0,13&0,13&0,25&0,13&0,13\\
&&$\gamma$&-0,04&0,83&0,59&-0,05&0,78&0,57&-0,03&0,75&0,55&-0,02&0,71&0,53&-0,02&0,70&0,52\\
Média&M2&$\beta_0$&-0,98&0,26&0,20&-0,91&0,25&0,20&-0,84&0,25&0,20&-0,76&0,25&0,20&-0,67&0,26&0,21\\
&&$\gamma$&-0,06&0,82&0,57&-0,06&0,77&0,56&-0,03&0,74&0,54&-0,01&0,71&0,52&0,00&0,70&0,51\\
&M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,95&0,13&0,13&-0,87&0,13&0,12&-0,78&0,13&0,12&-0,69&0,12&0,12\\
&&$\beta_1$&0,26&0,12&0,12&0,25&0,12&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,11&0,25&0,11&0,11\\
&&$\beta_2$&0,26&0,14&0,14&0,25&0,14&0,13&0,25&0,14&0,13&0,25&0,13&0,13&0,25&0,13&0,13\\
\hline
&M1&$\beta_0$&0,05&0,36&0,30&0,13&0,37&0,31&0,22&0,39&0,32&0,33&0,43&0,34&0,45&0,47&0,36\\
&&$\beta_1$&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,04&0,16&0,16\\
&&$\beta_2$&1,03&0,17&0,17&1,03&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,18&0,17\\
&&$\gamma$&-0,09&0,67&0,54&0,00&0,67&0,54&0,10&0,68&0,54&0,18&0,71&0,54&0,24&0,75&0,55\\
Alta&M2&$\beta_0$&0,08&0,31&0,25&0,12&0,33&0,26&0,15&0,34&0,27&0,21&0,37&0,29&0,27&0,41&0,30\\
&&$\gamma$&-0,17&0,59&0,45&-0,06&0,59&0,45&0,07&0,60&0,45&0,17&0,62&0,46&0,25&0,66&0,47\\
&M3&$\beta_0$&0,00&0,13&0,13&0,13&0,13&0,13&0,27&0,13&0,13&0,43&0,14&0,14&0,59&0,14&0,14\\
&&$\beta_1$&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,15&0,15&1,03&0,16&0,15&1,04&0,16&0,16\\
&&$\beta_2$&1,02&0,17&0,16&1,02&0,17&0,16&1,02&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,18&0,17\\
\hline
\end{tabular} \]
\end{table}

\newpage
\setlength{\tabcolsep}{0.8pt}
\begin{table}
\caption{Valores obtidos para a média das estimativas dos
parãmetros a partir de 1000 simulações, supondo duas covariáveis
independentes e com correlação espacial, para baixa
($\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$), média
($\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$) e alta
($\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$) infestação e
$\gamma$ verdadeiro = 0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 considerando
quatro vizinhos}
\[ \begin{tabular} {lll | r r r| r r r |r r r |r r r |r r r}
\hline
&&& \multicolumn{15}{c}{$\gamma$ verdadeiro} \\
\cline{4-18}
Inf&Mod&Par & &0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
\cline{4-18}
&&&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-3,09&0,38&0,35&-3,07&0,39&0,35&-3,05&0,39&3,45&-3,03&0,38&0,34&-3,02&0,39&0,34\\
&&$\beta_1$&-1,08&0,33&0,29&-1,09&0,33&0,29&-1,11&0,33&0,29&-1,12&0,32&0,29&-1,14&0,32&0,29\\
&&$\beta_2$&-1,08&0,31&0,29&-1,10&0,31&0,29&-1,12&0,31&0,29&-1,15&0,32&0,29&-1,17&0,32&0,29\\
&&$\gamma$&-0,66&2,85&6,10&-0,53&1,78&1,22&-0,53&2,91&8,29&-0,38&1,56&1,14&-0,29&1,54&1,10\\
Baixa&M2&$\beta_0$&-2,61&0,27&0,25&-2,60&0,27&0,25&-2,58&0,26&0,25&-2,57&0,26&0,24&-2,56&0,26&0,24\\
&&$\gamma$&2,33&2,70&6,13&2,50&1,53&1,03&2,53&2,62&5,58&2,71&1,32&0,94&2,83&1,29&0,90\\
&M3&$\beta_0$&-3,10&0,36&0,34&-3,08&0,36&0,34&-3,06&0,36&0,33&-3,04&0,37&0,33&-3,02&0,36&0,33\\
&&$\beta_1$&-1,04&0,30&0,28&-1,06&0,30&0,27&-1,08&0,29&0,27&-1,10&0,29&0,27&-1,12&0,28&0,27\\
&&$\beta_2$&-1,04&0,27&0,27&-1,07&0,27&0,27&-1,09&0,27&0,27&-1,12&0,27&0,27&-1,14&0,27&0,27\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-0,98&0,25&0,20&-0,91&0,25&0,21&-0,83&0,25&0,21&-0,74&0,26&0,21&-0,65&0,28&0,21\\
&&$\beta_1$&0,26&0,14&0,14&0,27&0,14&0,13&0,28&0,14&0,13&0,30&0,14&0,13&0,31&0,14&0,13\\
&&$\beta_2$&0,26&0,14&0,13&0,27&0,14&0,13&0,29&0,14&0,13&0,30&0,14&0,13&0,31&0,14&0,13\\
&&$\gamma$&-0,18&0,84&0,59&-0,17&0,80&0,58&-0,15&0,77&0,56&-0,14&0,75&0,54&-0,12&0,73&0,53\\
Média&M2&$\beta_0$&-1,09&0,25&0,20&-1,04&0,24&0,20&-0,97&0,24&0,20&-0,91&0,25&0,20&-0,84&0,26&0,20\\
&&$\gamma$&0,27&0,82&0,57&0,30&0,77&0,55&0,35&0,74&0,53&0,41&0,71&0,51&0,45&0,70&0,49\\
&M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,95&0,13&0,13&-0,87&0,13&0,12&-0,78&0,12&0,12&-0,69&0,12&0,12\\
&&$\beta_1$&0,25&0,14&0,13&0,26&0,13&0,13&0,27&0,13&0,13&0,29&0,13&0,13&0,30&0,13&0,13\\
&&$\beta_2$&0,25&0,13&0,13&0,26&0,13&0,13&0,28&0,13&0,13&0,30&0,13&0,13&0,31&0,13&0,13\\
\hline
&M1&$\beta_0$&0,08&0,40&0,31&0,18&0,42&0,32&0,29&0,43&0,34&0,40&0,45&0,36&0,53&0,47&0,38\\
&&$\beta_1$&1,04&0,21&0,18&1,08&0,21&0,18&1,12&0,22&0,19&1,15&0,22&0,19&1,19&0,23&0,20\\
&&$\beta_2$&1,06&0,23&0,19&1,09&0,23&0,19&1,12&0,23&0,20&1,16&0,23&0,21&1,20&0,24&0,21\\
&&$\gamma$&-0,15&0,74&0,56&-0,08&0,76&0,57&-0,02&0,75&0,57&0,05&0,76&0,58&0,10&0,75&0,59\\
Média&M2&$\beta_0$&-1,30&0,26&0,23&-1,32&0,26&0,24&-1,34&0,26&0,24&-1,36&0,27&0,25&-1,36&0,27&0,26\\
&&$\gamma$&2,51&0,52&0,41&2,64&0,51&0,41&2,77&0,51&0,41&2,90&0,51&0,42&3,01&0,51&0,42\\
&M3&$\beta_0$&0,00&0,13&0,13&0,13&0,13&0,13&0,28&0,14&0,14&0,42&0,14&0,14&0,59&0,15&0,15\\
&&$\beta_1$&1,01&0,15&0,15&1,06&0,15&0,15&1,11&0,16&0,16&1,16&0,16&0,16&1,21&0,18&0,17\\
&&$\beta_2$&1,03&0,17&0,16&1,07&0,17&0,16&1,12&0,17&0,17&1,17&0,18&0,17&1,21&0,19&0,18\\
\hline
\end{tabular} \]
\end{table}

\newpage
\setlength{\tabcolsep}{0.8pt}
\begin{table}
\caption{Valores obtidos para a média das estimativas dos
parãmetros a partir de 1000 simulações, supondo duas covariáveis
dependentes e com correlação espacial, para baixa
($\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$), média
($\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$) e alta
($\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$) infestação e
$\gamma$ verdadeiro =0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 considerando
quatro vizinhos}
\[ \begin{tabular} {lll | r r r| r r r |r r r |r r r |r r r}
\hline
&&& \multicolumn{15}{c}{$\gamma$ verdadeiro} \\
\cline{4-18}
Inf&Mod&Par & &0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
\cline{4-18}
&&&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-3,09&0,38&0,35&-3,07&0,37&0,35&-3,06&0,37&0,34&-3,05&0,38&0,34&-3,03&0,37&0,34\\
&&$\beta_1$&-1,12&0,75&0,70&-1,16&0,72&0,69&-1,19&0,73&0,69&-1,22&0,74&0,68&-1,25&0,73&0,68\\
&&$\beta_2$&-0,99&0,71&0,69&-0,99&0,69&0,68&-1,00&0,69&0,68&-1,00&0,69&0,67&-1,01&0,68&0,67\\
&&$\gamma$&-0,24&1,35&1,00&-0,20&1,33&0,97&-0,09&1,31&0,95&0,03&1,25&0,92&0,11&1,22&0,90\\
Baixa&M2&$\beta_0$&-2,52&0,24&0,24&-2,51&0,24&0,24&-2,51&0,24&0,24&-2,51&0,23&0,24&-2,51&0,24&0,24\\
&&$\gamma$&3,24&1,00&0,76&3,31&0,98&0,74&3,43&0,95&0,72&3,54&0,90&0,70&3,62&0,86&0,68\\
&M3&$\beta_0$&-3,08&0,36&0,34&-3,06&0,36&0,34&-3,04&0,36&0,33&-3,03&0,36&0,33&-3,01&0,36&0,33\\
&&$\beta_1$&-1,08&0,68&0,66&-1,12&0,66&0,65&-1,17&0,66&0,65&-1,23&0,67&0,65&-1,28&0,65&0,64\\
&&$\beta_2$&-0,99&0,70&0,68&-0,99&0,68&0,68&-0,99&0,68&0,67&-0,99&0,68&0,66&-1,00&0,67&0,66\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-0,99&0,27&0,21&-0,92&0,26&0,21&-0,84&0,27&0,21&-0,75&0,27&0,21&-0,65&0,28&0,22\\
&&$\beta_1$&0,24&0,45&0,43&0,26&0,44&0,43&0,29&0,43&0,42&0,33&0,41&0,42&0,36&0,41&0,41\\
&&$\beta_2$&0,27&0,46&0,44&0,28&0,46&0,44&0,27&0,44&0,43&0,27&0,43&0,43&0,27&0,42&0,42\\
&&$\gamma$&-0,12&0,84&0,59&-0,10&0,78&0,57&-0,09&0,78&0,56&-0,09&0,75&0,55&-0,09&0,72&0,53\\
Média&M2&$\beta_0$&-1,15&0,25&0,20&-1,11&0,25&0,20&-1,06&0,26&0,20&-1,01&0,26&0,20&-0,96&0,26&0,20\\
&&$\gamma$&0,57&0,78&0,54&0,64&0,72&0,52&0,71&0,72&0,50&0,77&0,69&0,49&0,84&0,66&0,47\\
&M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,94&0,13&0,13&-0,86&0,13&0,13&-0,77&0,13&0,12&-0,68&0,12&0,12\\
&&$\beta_1$&0,23&0,44&0,43&0,25&0,43&0,42&0,29&0,42&0,42&0,32&0,40&0,41&0,35&0,40&0,41\\
&&$\beta_2$&0,27&0,45&0,44&0,28&0,45&0,43&0,27&0,44&0,43&0,27&0,43&0,42&0,27&0,42&0,42\\
\hline
&M1&$\beta_0$&0,04&0,42&0,33&0,15&0,43&0,34&0,26&0,45&0,35&0,36&0,46&0,37&0,48&0,48&0,38\\
&&$\beta_1$&1,02&0,51&0,51&1,07&0,52&0,51&1,13&0,54&0,52&1,19&0,54&0,52&1,27&0,54&0,53\\
&&$\beta_2$&1,06&0,50&0,50&1,07&0,49&0,50&1,09&0,50&0,51&1,08&0,50&0,51&1,08&0,52&0,52\\
&&$\gamma$&-0,08&0,81&0,61&-0,04&0,81&0,61&0,02&0,81&0,61&0,11&0,80&0,61&0,17&0,80&0,61\\
Alta&M2&$\beta_0$&-1,63&0,26&0,23&-1,64&0,25&0,24&-1,64&0,25&0,24&-1,66&0,26&0,25&-1,67&0,26&0,25\\
&&$\gamma$&3,17&0,51&0,41&3,25&0,50&0,41&3,33&0,50&0,42&3,43&0,49&0,42&3,52&0,50&0,42\\
&M3&$\beta_0$&0,00&0,14&0,14&0,02&0,20&0,15&0,27&0,15&0,15&0,41&0,16&0,16&0,57&0,16&0,16\\
&&$\beta_1$&0,99&0,46&0,46&1,06&0,46&0,47&1,13&0,47&0,48&1,22&0,48&0,48&1,32&0,49&0,49\\
&&$\beta_2$&1,06&0,49&0,50&1,07&0,49&0,50&1,08&0,50&0,51&1,08&0,50&0,51&1,07&0,51&0,52\\
\hline
\end{tabular} \]
\end{table}

\medskip

\section{Aplicação} \label{sec:aplic}

Uma aplicação da metodologia foi feita usando-se dados de
presença/ausência do patógeno {\it Phytophthora capsici} em {\it
quadrats} de pimentão, tendo como covariáveis o conteúdo de água
no solo e o número de discos de folhas colonizadas pelo patógeno,
apresentados em Gumpertz, Graham e Ristaino~(1997). É importante
observar que a porcentagem de infecção nesse caso é de $13,5\%$, o
que pode ser considerado como baixa. Além disso, a correlação
estimada entre $x_1$ e $x_2$ é apenas 0,27. A esse conjunto de
dados, foram ajustados os cinco modelos usados no estudo de
simulação, considerando $x_1$ como a covariável conteúdo de água
no solo e $x_2$ como o número de discos de folhas colonizados pelo
patógeno e o método de pseudo-verossimilhança para estimação dos
parâmetros. No artigo original, foi considerada uma borda dupla,
enquanto aqui usou-se borda simples. Os valores faltantes da
covariável $x_1$ foram estimados usando-se as
expressões~(\ref{eq:autoc4}) e~(\ref{eq:autoc8}) para estruturas
de vizinhança de primeira e segunda ordens, respectivamente. A
seleção de modelos foi feita usando-se o critério de informação de
Akaike (AIC), dado por $-2*LVM + 2*p$, em que $p$ representa o
número de parâmetros e $LVM$ é o logaritmo do valor maximizado da
função de verossimilhança, considerando-se como melhor modelo
aquele com menor AIC.

Os resultados obtidos para o ajuste dos modelos ao conjunto
original de dados estão nas Tabelas~\ref{tab:est4V}
e~\ref{tab:est8V}. Pelo critério de informação de Akaike,
considerando-se estrutura de vizinhança de primeira ordem, foi
escolhido o modelo que inclui apenas a constante e o efeito de
linha, enquanto que estrutura de vizinhança de segunda ordem, o
melhor modelo inclui a constante, e os efeitos de linha e da
diagonal~B. Verifica-se, portanto, que nenhuma covariável foi
significativa, em concordância com resultados obtidos
 por Gumpertz e Graham e Ristaino~(1997).
A probabilidade de um ``quadrat'' ter presença da doença é dada
por
\begin{eqnarray}
P(Y_i=1/y_j, j \neq i) = \frac{\exp \{-2,83+1,07dB+1,29L
\}}{1+\exp\{-2,83+1,07dB+1,29L\}}. \nonumber
\end{eqnarray}

\newpage

\begin{table}
\caption{Estimativas dos parâmetros e estatísticas dos diversos
modelos ajustados aos dados originais de pimentão, com estrutura
de vizinhança de primeira ordem}\label{tab:est4V}
\[ \begin{tabular} {l|cccccc} \hline
Modelo & Parâmetro & Estimativa & Erro Padrão & Z & $valor-p$ & AIC \\
\hline %
M1 & $\beta_0$ & -3,29 & 1,10 & -3,00 & \textbf{0,003} & 245,16\\%
& $\beta_1$ & -0,05 & 0,13 & -0,35 & 0,73 &  \\%
& $\beta_2$ & 0,08 & 0,10 & 0,75 & 0,454 &  \\%
& $\gamma$ & 3,57 & 0,67 & 5,31 & \textbf{0,000}  & \\ %
M2 & $\beta_0$ & -2,50 & 0,24 & -10,51 & \textbf{0,000} & 241,73 \\%
& $\gamma$ & 3,56 & 0,66 & 5,38 & \textbf{0,000}  & \\  %
M3 & $\beta_0$ & -2,66 & 1,07 & -2,48 & \textbf{0,013} & 272,85\\%
& $\beta_1$ & 0,08 & 0,12 & 0,65 & 0,519 & \\%
& $\beta_2$ & 0,08 & 0,10 & 0,77 & 0,440 & \\ %
M4 & $\beta_0$ & -3,07 & 1,11 & -2,75 & \textbf{0,006} & 243,00 \\%
& $\beta_1$ & -0,04 & 0,14 & -0,262 & 0,793 & \\%
& $\beta_2$ & 0,06 & 0,10 & 0,54 & 0,591 & \\%
& $\gamma_1$ & 1,30 & 0,26 & 4,93 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & 0,36 & 0,32 & 1,12 & 0,26 & \\ %
M5 & $\beta_0$ & -2,49 &0,24 & -10,47 & \textbf{0,000} & 239,30 \\%
& $\gamma_1$ & 1,31 & 0,26 & 5,01 & \textbf{0,000 } & \\%
& $\gamma_2$ & 0,34 & 0,32 & 1,08 & 0,279 & \\ %
M5 & $\beta_0$ & -2,41 & 0,22 & -10,85 & \textbf{0,000} & 238,43 \\%
& $\gamma_1$ & 1,41 & 0,25 & 5,73 & \textbf{0,000} & \\%
\hline
\end{tabular} \]
\end{table}

\newpage

\begin{table}
\caption{Estimativas dos parâmetros e estatísticas dos diversos
modelos ajustados aos dados originais de pimentão, com estrutura
de vizinhança de segunda ordem}\label{tab:est8V}
\[ \begin{tabular}{l|cccccc} \hline
Modelo & Parâmetro & Estimativa & Erro Padrão & Z & $valor-p$ & AIC \\
\hline M1 & $\beta_0$ & -3,74 & 1,13 & -3,30 & \textbf{0,000} &
233,86
\\%
& $\beta_1$ & -0,11 & 0,14 & -0,79 & 0,433 & \\%
& $\beta_2$ & 0,09 & 0,10 & 0,86 & 0,390 & \\%
& $\gamma$ & 5,22 & 0,88 & 5,96 & \textbf{0,000} & \\ %
M2 & $\beta_0$ & -2,82 & 0,27 & -10,28 & \textbf{0,000} & 230,88 \\%
& $\gamma$ & 5,09 & 0,85 & 6,02 & \textbf{0,000} & \\  %
M3 & $\beta_0$ & -2,68 & 1,08 & -2,49 & \textbf{0,013} & 272,82\\%
& $\beta_1$ & 0,08 & 0,12 & 0,64 & 0,52 & \\
& $\beta_2$ & 0,08 & 0,10 & 0,79 & 0,429 & \\ %
M4 & $\beta_0$ & -3,60 &1,19 & -3,04 & \textbf{0,002} &229,31 \\%
& $\beta_1$ & -0,10 & 0,15 & -0,70 & 0,485 &  \\%
& $\beta_2$ & 0,06 & 0,11  & 0,60 & 0,550 & \\%
& $\gamma_1$ & 1,25 & 0,28 & 4,53 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & -0,15 & 0,37 & -0,41 & 0,682 & \\ %
& $\gamma_3$ & 0,57 & 0,33 &  1,71 & 0,088 & \\%
& $\gamma_4$ & 1,04 & 0,28 & 3,75 & \textbf{0,000} & \\%
M5 & $\beta_0$ & -2,94 & 0,29 & -10,16 & \textbf{0,000} & 225,94 \\%
& $\gamma_1$ & 1,25 & 0,27 & 4,58 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & -0,19 & 0,37 & -0,51 & 0,61 & \\  %
& $\gamma_3$ & 0,56 & 0,33 & 1,68 & 0,092 & \\%
& $\gamma_4$ & 1,02 & 0,27 & 3,72 & \textbf{0,000} & \\%
M5 & $\beta_0$ & -2,83 & 0,27 & -10,48 & \textbf{0,000} & 224,74 \\%
& $\gamma_1$ & 1,29 & 0,25 & 5,12 & \textbf{0,000} & \\  %
& $\gamma_4$ & 1,07 & 0,27 & 4,00 & \textbf{0,000} & \\%
\hline
\end{tabular} \]
\end{table}

\medskip

\section{Considerações finais} \label{sec:consid}

O estudo de simulação com o objetivo de verificar o efeito causado
por diferentes estruturas de covariáveis e dependência espacial
sobre os estimadores de pseudo-verossimilhança dos parâmetros do
modelo autologístico permitiu verificar que as médias das
estimativas dos parâmetros associados às covariáveis têm valores
não muito distantes dos valores verdadeiros, mas com variações
dependendo da correlação espacial, e da forma como as covariáveis
foram geradas, mostrando uma robustez quanto à modelagem da
covariância na obtenção das estimativas. Os erros padrões de suas
estimativas são muito próximos da média dos erros padrões
fornecidos pelo modelo. Entretanto, as médias das estimativas do
parâmetro de correlação espacial têm uma disparidade muito grande
em relação ao valor verdadeiro, com o qual foram gerados os dados.
De forma semelhante existem disparidades entre o erro padrão
obtido a partir das estimativas dos parâmetros e a média dos erros
padrões fornecidos pelo modelo.

As médias das estimativas dos parâmetros, geralmente, aumentam com
o aumento da correlação espacial, evidenciando a presença de um
pequeno vício, que praticamente desaparece no caso em que as
covariáveis não são correlacionadas e não têm dependência
espacial. O coeficiente de correlação espacial é estimado com
vício muito grande, fazendo com que a correlação espacial se torne
muito maior do que o valor verdadeiro.

Portanto, a conclusão geral deste estudo é a de que o método de
estimação por pseudo-verossimilhança pode ser usado, com certa
cautela, quando o interesse está na contribuição das covariáveis,
porém não deve ser usado quando o interesse está na estimação da
correlação espacial. Estudos adicionais por simulação são
necessários para verificar o efeito de observações faltantes nas
estimativas dos parâmetros do modelo autologístico.

\medskip

{\noindent \bf \large Agradecimentos}\vspace{.5cm}

Esse trabalho é parte da Tese de Doutorado do primeiro autor no
Departamento de Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura
``Luiz de Queiroz'', Universidade de São Paulo, Piracicaba e foi
realizado com o apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal
de Nível Superior - CAPES - através do Programa da Demanda Social.
O segundo autor é Pesquisador 1C do CNPq. O quarto autor foi
Professor Visitante Estrangeiro pela CAPES no Departamento de
Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura ``Luiz de
Queiroz'', Universidade de São Paulo, Piracicaba, no período
maio/2004 a abril/2006.

%citação do artigo
\info{VIOLA, D. N., DEMÉTRIO, C. G. B., RIBEIRO JUNIOR, P. J.,
MANLY, B. F. {\bf An avaliation of the pseudo-likelihood
estimators of autologistic parameters}. \textit{Rev. Mat. Estat.,}
São Paulo, v.xx, n.x, p.xx-xx, 20XX.}

\medskip

\begin{abstract}
In this paper a simulation study on pseudo-likelihood estimators
of autologistic parameters to verify the effect of different
covariate and neighbouring structures is described, with three
pest infestation levels and five different spatial correlation
coefficient values. An application of the methodology is presented
using bell pepper data from Gumpertz, Graham and Ristaino (1997).
It is shown that the pseudo-likelihood method can be used when a
researcher is interested in the effect of covariates, but should
not be used for the estimation of the spatial correlation.
\end{abstract}

\begin{keyword}
autologistic model, spatial correlation, binary data, Bernoulli
distribution.
\end{keyword}

\begin{thebibliography}{}
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\end{thebibliography}

%%% a ser usado pelo editor

\unespreceived{00.00.0000}

\unespapproved{00.00.0000}


\end{document}

% Siga os exemplos a seguir:

%Livro
McCULLACH, P.; NEDER, J. A. \textit{Generalized linear models}.
2.ed. London: Chapman and Hall, 1989. 511p.

%Capítulo de Livro,
ARNOLD, B. C. Multivariate logistic distributions. In: BALAKRISHNAN,
N. (Ed.). \textit{Handbook of the logistic distribution. New York:
Marcel Dekker}, 1992. p.237-261. (Statistics, textbook and
monograph, 123).

%Dissertação ou tese
BUSSAB, W. O. \textit{Hierarchical dichotomous partitions in cluster
analysis}, 1976. 236p. Thesis (Ph.D.) - L. S. E. University of
London, London, 1976.

%Artigo em periódico
BARRETO, M. C. M.; DEMÉTRIO, C. G. B. \textit{An extension of the
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%Artigo em congresso
STRINGER, J. K.; CULLIS, B. R. Joint modelling of spatial
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BREEDING CONFERENCE, 12., 2002,  Perth. \textit{Proceedings…} Perth:
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