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\begin{document}

\title{UMA AVALIAÇÃO DO ESTIMADOR DE PSEUDO-VEROSSIMILHANÇA PARA
MODELOS AUTOLOGÍSTICOS ESPACIAIS}
\author{Denise N. Viola\thanks{%
Departamento de Estatística, Universidade Federal da Bahia, Av.
Adhemar de Barros, s/n - Campus de Ondina CEP: 40.170-110,
Salvador, BA, Brasil, E-mail: {\it viola@ufba.br}} \and
Clarice G. B. Demétrio\thanks{%
Departamento de Ciências Exatas, ESALQ/USP, Avenida
Pádua Dias, 11, CEP: 13418-900, Piracicaba, SP, Brasil, E-mail: {\it
clarice@esalq.usp.br}} \and Bryan F. Manly\thanks{%
Departamento de Ciências Exatas, ESALQ/USP, Avenida
Pádua Dias, 11, CEP:
13418-900, Piracicaba, SP, Brasil, E-mail: {\it
bryanmanly@lycos.com}} \and Paulo J. Ribeiro Jr.\thanks{ Laboratório de Estatística e Geoinformação,
Universidade Federal do Paraná, Caixa Postal 19.08c1, CEP:
81531-990, Curitiba, PR, Brasil, E-mail: {\it paulojus@ufpr.br}} } \maketitle

\begin{resumo}
REVISAR AQUI AO FINAL
Neste artigo foi feito um estudo de simulação para verificar o
comportamento dos estimadores de pseudo-verossimilhança dos
parâmetros do modelo autologístico, considerando diferentes
estruturas de covariáveis e de vizinhança, três intensidades de
infestação de uma praga e cinco valores para o parâmetro de
correlação entre os vizinhos. Uma aplicação dos modelos
considerados no estudo de simulação é feita a um conjunto de dados
provenientes de um experimento com pimentão, utilizado por
Gumpertz, Graham e Ristaino~(1997).
Mostra-se que o método de
estimação por pseudo-verossimilhança pode ser usado, com certa
cautela, quando o interesse está na contribuição das covariáveis,
mas não deve ser usado quando o interesse está na estimação da
correlação espacial.
\end{resumo}

\begin{palavra:chave}
Palavras-chaves: modelo autologístico; dependência espacial; dados
binários; pseudo-verossimilhança, bootstrap.
\end{palavra:chave}

\section{Introdução}
Variáveis respostas binárias, isto é, do tipo sucesso/fracasso são
muito comuns na experimentação agronômica. Por exemplo, em estudos
de fitopatologia, o pesquisador pode anotar a presença ou
ausência de uma determinada doença visando associar a
probabilidade de ocorrência com covariáveis de interesse e/ou
estudar  padrões espaciais da distribuição da doença. Nesse tipo
de estudo, espera-se, em geral, que as observações sejam
correlacionadas no espaço e/ou no tempo. O modelo, usualmente,
adotado para a análise de respostas binárias é o modelo de
regressão logística que tem como uma de suas pressuposições a
independência das observações. Assim sendo, extensões ou modelos
alternativos têm
sido propostos para acomodar a estrutura de
correlação induzida pela dependência espacial e/ou temporal.

Uma das propostas apresentadas na literatura são  os modelos
autologísticos (Besag,~1972,
Augustin, Mugglestone e Buckland,~1996,
Gumpertz, Graham e Ristaino,~1997)
em que se constróem
covariáveis com a finalidade de incorporar a informação
do ``status'' da doença na vizinhança de cada observação.
As áreas de aplicação são diversas e incluem estudos sobre fauna
aquática de macro invertebrados em 76 lagoas inglesas
(Sanderson, Eyre e Rushton,~2005),
comportamento de clientes em relação a políticas
de seguro (Moon e Russel,~2008), mapeamento de pobreza em países em
desenvolvimento  (Petrucci, Salvati e Seghieri,~2004),
distribuição espacial de renas na Suécia (Teterukovskiy e Edemirs,~2003),
distribuição de vegetação em florestas, considerando covariáveis climáticas
(He, Zhou e Zhu,~2003),
distribuição da epidemia do {\it Phytophthora}
em pimentão, considerando efeitos de variáveis do solo
(Gumpertz, Graham e Ristaino,~1997),
distribuição de espécies de plantas, considerando covariáveis climáticas
(Wu e Huffer,~1997), distribuição espacial de alces em uma região da Escócia
(Augustin, Mugglestone e Buckland,~1996),
análise genética de características familiares
(Abel, Golmard e Mallet,~1993),
dentre outros.
%Uma comparação entre o modelo autologístico e um
%modelo logístico regressivo é apresentada em
%%Abel, Golmard e Mallet~(1993).

Entretanto, estudos mais detalhados em relação às propriedades dos
estimadores e métodos de estimação propostos são necessários para
essa categoria de modelos. Entre os métodos propostos está o de
maximização de uma pseudo-verossimilhança. Tal método é
relativamente simples quando comparado com métodos alternativos e
computacionalmente intensivos, porém suas propriedades não têm
sido extensivamente estudadas (Petrucci, Salvati e Seghieri,~2004).
Os parâmetros que descrevem a estrutura de dependência tornam
complexo, se não proibitivo, o estudo analítico das propriedades
dos métodos de estimação. Todavia, com o
desenvolvimento dos recursos computacionais, o uso de simulações
consistem em uma alternativa viável  para o estudo de propriedades
estatísticas de interesse. Esses estudos são baseados em
informações reais e utilizados como repetições de um experimento,
sendo igualmente aplicáveis para variáveis respostas contínuas ou
discretas.

Neste artigo, procurou-se estudar o
comportamento do procedimento de estimação em diferentes
cenários de intensidade do padrão espacial e escolha de
covariáveis espaciais. São relatados os resultados de um
estudo de simulação para verificar o comportamento dos
estimadores de pseudo-verossimilhança dos parâmetros do
modelo autologístico, considerando (i) diferentes estruturas
de covariáveis e de vizinhança, (ii) três intensidades de
infestação de uma praga e (iii) cinco  valores para o parâmetro
de correlação entre os vizinhos. Adicionalmente, uma aplicação dos
modelos considerados no estudo de simulação é feita a um conjunto
de dados provenientes de um experimento com pimentão,
utilizado por
Gumpertz, Graham e Ristaino~(1997).

O restante do artigo está organizado como se segue. A
Seção~\ref{sec:autolog} descreve o modelo autologístico como uma
extensão do modelo logístico usual e o procedimento de inferência
é apresentado na Seção~\ref{sec:est}. Na Seção~\ref{sec:simu}, é
feita a descrição do estudo de simulação cujos resultados são
apresentados e discutidos na Seção~\ref{sec:simuresult}. A
aplicação do modelo autologístico a dados reais é mostrada na
Seção~\ref{sec:aplic}. Finalmente, algumas considerações finais
aparecem na Seção~\ref{sec:consid}.

\medskip

\section{Modelo autologístico} \label{sec:autolog}

Modelos lineares generalizados (Nelder e Wedderburn,~1989)
envolvem três componentes, a saber,
um componente sistemático, um aleatório e uma função de
ligação. O componente sistemático é definido durante o
planejamento do experimento e as covariáveis entram na
forma de soma linear dos efeitos, isto é, com preditor linear
que para a $i$-ésima observação pode ser escrito como
$\eta_i = \beta_0 + \sum^p_{j=1} \beta_j x_{ij}$, em que
cada $x_j, j=1, \ldots, p$
é uma covariável à qual se associa um parâmetro $\beta_j$.
O componente aleatório é
estabelecido após definidas as medidas que serão realizadas, em
que o conjunto de variáveis aleatórias $Y_i, i=1, \ldots, n$
são mutuamente independentes com distribuição pertencente à
família exponencial na forma canônica e $\mbox{E}(Y_i)=\mu_i$. A função
de ligação relaciona o componente aleatório ao componente
sistemático, ou seja, a média da distribuição ao preditor linear.
Logo, na seleção de modelos a serem ajustados a um conjunto de
dados, é importante escolher a distribuição da variável resposta,
as covariáveis a serem incluídas e a função de ligação (Demétrio,~2001).
Um caso particular dos modelos lineares generalizados
é o modelo de regressão logística que pode ser
usado para a análise de variáveis aleatórias binárias independentes.

Sejam $Y_i$, $i=1, 2, \ldots, n$, variáveis aleatórias com
distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso $\pi_i$,
sendo que cada observação $y_i$ assume valor zero (fracasso) ou um (sucesso).
Tem-se que $\mbox{E}(Y_i)= \pi_i$ e $\mbox{Var}(Y_i)= \pi_i(1- \pi_i)$. Então,
um modelo linear generalizado permite que as probabilidades de
sucesso $\pi_i$ sejam modeladas pelo preditor linear
$$g(\pi_i)= \beta_0 + \sum^p_{j=1} \beta_j x_{ij}$$
em que $g$ é uma função de ligação adequada.
No caso da função de ligação logística, tem-se
\begin{eqnarray}
\mbox{logit}(\pi_i)& = & \log \left(\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\right) =
\beta_0 + \sum^p_{j=1} \beta_j x_{ij} \nonumber
\end{eqnarray}
e, portanto,
\begin{eqnarray}
\pi_i = P(Y=1|x) = \frac{\exp\{\beta_0 +
\sum^p_{j=1}\beta_j x_{ij}\}}{1+\exp\{\beta_0+\sum^p_{j=1}\beta_j x_{ij}\}}.\nonumber
\end{eqnarray}

O modelo autologístico, motivado por problemas  na área de
estatística espacial, foi introduzido pelos artigos de
Besag~(1972,~1974) e consiste em uma generalização do modelo
logístico, considerando dependência espacial entre as respostas.
A autocorrelação é induzida por \textit{covariáveis espaciais}
que são  construídas por funções das respostas dos vizinhos
de cada observação e adicionadas ao preditor linear.
Diferentes estruturas de vizinhança podem ser consideradas, usualmente
chamadas de primeira, segunda e terceira ordens, que, no caso de um arranjo
regular das observações no espaço, possuem quatro, oito e
doze vizinhos, respectivamente, conforme Figura~\ref{fig:estviz}.
O preditor linear passa a ter a forma
\begin{eqnarray} \label{eq:predlinautolog}
\mbox{logit}(\pi_i)& = & \log  \left(\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\right)
           =  \beta_0 + \sum^p_{j=1}\beta_j x_{ij}
              + \sum^q_{k=1}\gamma_k z_{ik} \; ,
\end{eqnarray}
em que $\pi_i$ é a probabilidade de sucesso de um evento para o
$i$-ésimo indivíduo, $i=1, \ldots, n$, $\beta_j$ é o $j$-ésimo
parâmetro associado à covariável $x_{j}$, $\gamma_k$ é o $k$-ésimo
parâmetro associado à covariável espacial $z_k, \, k=1, \ldots, q$.
Portanto, a probabilidade de sucesso passa a ser
\begin{eqnarray}
P(Y_i=1|\mbox{vizinhos}) = \frac{\exp \{\beta_0 +
\sum^p_{j=1}\beta_j x_{ij}+\sum^q_{k=1}\gamma_k z_{ik}\}}{1+\exp
\{\beta_0 + \sum^p_{j=1}\beta_j x_{ij} +
\sum^q_{k=1}\gamma_k z_{ik}\}}. \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.85]{vizinho123.eps}
\end{center}
\caption{Representação esquemática de estrutura de vizinhança
sobre um látice regular (primeira, segunda e terceira
ordens).} \label{fig:estviz}
\end{figure}

O número e a forma das covariáveis espaciais $z_k$ fazem
parte da especificação do modelo.
Augustin, Mugglestone e Buckland~(1996)
definem um modelo com  uma única covariável espacial cujo valor para cada
$i$-ésima observação é  dado por uma média ponderada
das observações nos vizinhos,
\begin{equation}\label{eq:pesos}
z_i=\frac{\sum^{v_i}_{r=1}w_{ir} \, y_{ir}}{\sum^{v_i}_{r=1}w_{ir}}
\end{equation}
sendo que $v_i$ é o número de vizinhos da $i$-ésima observação,
$y_{ir}$ é o valor do $r$-ésimo vizinho da $i$-ésima observação,
$w_{ir}=1/h_{ir}$, em que $h_{ir}$ é a distância
euclidiana entre a $i$-ésima observação com seu $r$-ésimo vizinho.
Por exemplo, considerando-se uma configuração espacial conforme a dada na
Figura~\ref{fig:estviz}, estrutura de vizinhança de primeira ordem e
distância unitária entre as unidades e
com observações nos vizinhos dadas
por $y_{ir}$, $r = 1, \ldots, 4$, o valor da covariável $z_i$ da
$i$-ésima observação é dado por
\begin{eqnarray}
z_{i} = \frac{1}{4}(y_{i1} + y_{i2} + y_{i3} + y_{i4}) \; ,
\label{eq:autoc4}
\end{eqnarray}
enquanto que para estrutura de vizinhança de segunda ordem
\begin{eqnarray}
z_{i} & = &
\displaystyle\frac{1}{4+\frac{4}{\sqrt{2}}}\left(y_{i1} + y_{i2}
+ y_{i3} + y_{i4} + \frac{y_{i5}}{\sqrt{2}} +
\frac{y_{i6}}{\sqrt{2}} + \frac{y_{i7}}{\sqrt{2}} +
\frac{y_{i8}}{\sqrt{2}}\right). \label{eq:autoc8}
\end{eqnarray}

Uma forma alternativa adotada por Augustin, Mugglestone e Buckland~(1996)
é definir um conjunto de covariáveis espaciais $z_k$ que
consideram os componentes da estrutura de vizinhança com
possibilidade de especificar efeitos de linhas, colunas e
diagonais separadamente, permitindo assim modelar efeitos
direcionais. Logo, para estrutura de vizinhança de primeira ordem,
o preditor linear dado em (\ref{eq:predlinautolog})
passa a ter
$\gamma_1$ e $\gamma_2$ como parâmetros associados às covariáveis espaciais
dos vizinhos nas linhas e colunas obtidas por $z_{i1}=(y_{i1}+y_{i2})/{2}$ e
$z_{i2}=(y_{i3}+y_{i4})/{2}$, respectivamente.
No caso de estrutura de vizinhança de segunda ordem, acrescentam-se ainda
os parâmetros $\gamma_3$ e $\gamma_4$ associados à informação do
vizinhos nas diagonais sendo que os valores das covariáveis espaciais
obtidos segundo~(\ref{eq:pesos}) para dados dispostos em um látice
regular são
%$z_{i3}=\displaystyle\frac{y_{5_i}/\sqrt{2}+y_{8_i}/\sqrt{2}}{2/\sqrt{2}}$
%e
%$z_{i4}=\displaystyle\frac{y_{6_i}/\sqrt{2}+y_{7_i}/\sqrt{2}}{2/\sqrt{2}}$,
%$z_{i3}= [(y_{i5}/\sqrt{2})+(y_{i8}/\sqrt{2})]/(2/\sqrt{2}) = (y_{i5} + y_{i8})/2$
%e
%$z_{i4}=[(y_{6_i}/\sqrt{2})+(y_{7_i}/\sqrt{2})/(2/\sqrt{2}) = (y_{i6} + y_{i7})/2$,
$z_{i3}= (y_{i5} + y_{i8})/2$
e
$z_{i4}= (y_{i6} + y_{i7})/2$,
respectivamente.
Essa separação de efeitos é interessante, por exemplo, no caso de
observações provenientes de plantios com diferentes espaçamentos
entre e dentro de linhas de plantio e efeitos direcionais.

\medskip

\section{Estimação}\label{sec:est}

No modelo de regressão logística com observações independentes, a
estimação dos parâmetros é, tipicamente, feita pelo método da
máxima verossimilhança. Entretanto, no caso do modelo autologístico
em que as covariáveis espaciais associadas a cada observação
são construídas a partir das observações nas localizações vizinhas,
não é possível escrever a função de verossimilhança de forma fechada.
A intratabilidade da função de verossimilhança decorre do fato de a variável resposta
ser condicionalmente dependente entre as diferentes localizações e, assim,
 a expressão analítica
para a constante de normalização da função de verossimilhança não pode ser obtida.
Diversos métodos aproximados de inferência foram propostos
para estimação dos parâmetros desse modelo, tais como máxima
pseudo-verossimilhança e codificação -- COD (Besag,~1972),
utilizando técnicas \textit{bootstrap} (Besag,~1977), equações de estimação (Besag,~1986),
máxima verossimilhança com simulação Monte Carlo
(Geyer,~1991, Geyer,~1992, Geyer,~1994, Wu e Huffer,~1997,
Huffer e Wu,~1998, Griffith,~2002, Sherman, Apanosovich e Carroll,~2006),
máxima verossimilhança com simulação Monte Carlo via cadeias de Markov,
MCMC (Gu e Kong,~1998, Gu e Zhu,~2001, Ward e Gleditsch,~2002),
máxima pseudo-verossimilhança generalizada (Huang e Ogata,~2002).
Biggeri et al.~(2003), no contexto de mapeamento de doenças,
mostram o uso da estimação por máxima pseudo-verossimilhança transicional não paramétrica
baseada no algoritmo EM modificado
na tentativa de evitar problemas de máximos locais e
estimar componentes de misturas. No entanto, tal abordagem torna
difícil a estimação dos erros padrões das estimativas.
Johansson~(2001), em análise de texturas, obtém resultados semelhantes na comparação dos
métodos de codificação e de pseudo verossimilhança utilizando, no último caso
algoritmos de Newton-Rapson e recozimento simulado (\textit{simulated annealing}).
Pettitt, Friel e Reeves~(2003) propõem um método computacional
para o cálculo aproximado da constante normalizadora resgatando a possibilidade de obter
inferências baseadas nas propriedades da função de verossimilhança.
Baddeley e Turner~(2000) propõem
a computação de estimativas de parâmetros de processos pontuais por
maximização de  pseudo-verossimilhança aproximada e mostram ser equivalente
à verossimilhança ponderada de modelos log-lineares com respostas Poisson
e, portanto, com a possibilidade de usar programas computacionais padrão
para o ajuste de modelos generalizados aditivos ou lineares.
Propriedades assintóticas dos estimadores de máxima pseudo-verossimilhança são estudadas
por Jensen e K{\"u}nsch~(1991) e Jensen e M{\o}ller~(1994)

A estimativa da máxima pseudo-verossimilhança para os parâmetros
$(\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_p, \gamma_1, \ldots, \gamma_q)$
é definida como o conjunto de valores para os parâmetros
que maximiza o logaritmo da função de pseudo-verossimilhança
\begin{eqnarray}\nonumber
\ell(\bpi)=\sum^n_{i=1}y_i \log \pi_i +\sum^n_{i=1}(1-y_i) \log (1-\pi_i)
\end{eqnarray}
sendo que (\ref{eq:predlinautolog}) relaciona $\pi$ com os parâmetros do modelo.
Portanto, a função de pseudo-verossimilhança trata as covariáveis espaciais como
covariáveis usuais assumindo valores fixos e, conseqüentemente,
as observações como sendo independentes.

Para o modelo autologístico, essa aproximação é computacionalmente
simples, pois necessita apenas de alguma rotina que construa as
covariáveis espaciais a partir dos dados originais e suas
localizações e alguma implementação computacional com método de
otimização numérica capaz de ajustar o modelo de regressão
logística, comum, por exemplo,
em implementações computacionais para modelos lineares generalizados.
As estimativas pontuais obtidas dessa forma são consistentes.
Entretanto, os erros padrões das estimativas dos
parâmetros são inacurados por serem calculados assumindo independência
(Petrucci, Salvati e Seghieri,~2004).
Uma proposta feita por
Gumpertz, Graham e Ristaino~(1997)
é usar um método de \textit{bootstrap} paramétrico
para o qual, na reamostragem, utiliza-se o amostrador de Gibbs
para a obtenção de amostras com padrão espacial compatível com o observado.
Para cada amostra \textit{bootstrap}, obtêm-se, então, as estimativas de máxima
pseudo-verossimilhança dos parâmetros dos modelos, a partir
das quais podem-se obter os erros padrões para as estimativas
iniciais.

O método de pseudo-verossimilhança, de acordo com Ward e Gleiditsch~(2002),
é de implementação mais fácil e mais eficiente do que o método COD e mostra
propriedades assintóticas razoáveis. Entretanto,
segundo esses autores, tende a ser ineficiente, produzindo
estimativas com maior erro padrão comparadas com outros métodos de inferência
como os baseados em Markov Chain Monte Carlo (MCMC), especialmente
no caso de forte correlação espacial. Tais características
também são mencionadas por Besag e Moran~(1975), Besag~(1977), Huffer e Hu~(1998) e
Biggeri, et al~(2003).
Há, portanto, necessidade de avaliações sobre a qualidade das inferências
produzidas em diferentes condições.

\medskip

\section{Um estudo de simulação}\label{sec:simu}

Um estudo de simulação foi conduzido
a fim de verificar o efeito causado por diferentes estruturas de
covariáveis e dependência espacial sobre os estimadores de
pseudo-verossimilhança dos parâmetros do modelo autologístico.
Considerou-se um látice de $20~\times~20$
localizações com distância unitária entre unidades vizinhas.
Foram geradas 1.000 amostras,
utilizando o ambiente computacional estatístico
\textsf{R} (R Development Core Team,~2006)
e recursos dos pacotes \textsf{geoR}
(Ribeiro Jr. e Diggle,~2001) para gerar amostras de campos aleatórios Gaussianos
e \textsf{Rcitrus} (Krainski e Ribeiro Jr.,~2006) para o ajuste de
modelos autologísticos.
As simulações foram conduzidas conforme os passos descritos a seguir.

Inicialmente, foram simulados valores para duas covariáveis $X_1$ e
$X_2$, para três situações: (i) independentes entre si e sem padrão espacial,
(ii) independentes entre si e com padrão espacial
(iii) correlacionadas entre si e com padrão espacial.
No primeiro caso, os valores simulados $x_1$ e $x_2$ foram obtidos a
partir de realizações independentes da uma distribuição
normal de média zero e variância unitária.
No segundo caso, os valores das duas covariáveis
foram obtidos por duas simulações independentes
de um processo Gaussiano (Diggle e Ribeiro Jr,~2007)
com média zero, variância unitária e
valores de alcance prático da função de covariância
exponencial de 5 e 7 unidades para $X_1$ e $X_2$, respectivamente.
O alcance prático em modelos geoestatísticos reflete a extensão da dependência espacial.
No último caso, $X_1$ foi gerada
como no caso anterior, porém, com alcance prático de 6 unidades e
a segunda covariável obtida por
$X_2=0,9 X_1+0,3 \epsilon$, com $\epsilon$ gerado a partir de uma
distribuição normal de média zero e variância unitária.
Dessa forma, a correlação entre as covariáveis é de $0,9$
e, portanto, gerando valores simulados $x_1$ e $x_2$ altamente correlacionados.

Em uma segunda etapa, foram obtidos valores iniciais
para as probabilidades $\pi_i$, a partir de
$$\pi^0_i=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 x_{i1} +\beta_2 x_{i2})}
{1+\exp(\beta_0 +\beta_1 x_{i1} +\beta_2 x_{i2})}.$$
\noindent\hspace{1cm} Para se obterem diferentes valores de níveis
de incidência da doença, em torno de $10\%$ (baixa), $30\%$
(média) e $50\%$ (alta), os valores usados para os parâmetros
($\beta_0$, $\beta_1$, $\beta_2$) foram, respectivamente, (0, 1,
1), (-1, 0,25, 0,25) e (-3, -1, -1).

Em uma terceira etapa, foram calculados os valores da
covariável espacial $Z$, adotando-se vizinhança de primeira ordem e usando-se a
expressão~(\ref{eq:autoc4}) com os valores de $y_{ir}$, $r=1,
\ldots,4$, sendo substituídos por valores de $\pi^0_i$ obtidos no passo anterior.
A partir destes valores, foram calculados os valores de $\pi_i$ por,
\begin{equation}\pi_i=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 x_{i1} +\beta_2 x_{i2}+\gamma
Z_i)} {1+\exp(\beta_0 +\beta_1 x_{i1} +\beta_2 x_{i2}+\gamma z_i)}
\label{eq:pi}\end{equation}
em que foram consideradas simulações com os valores 0,00, 0,25, 0,50, 0,75 e 1,00
para o parâmetro $\gamma$. A seguir, a fim de melhorar a convergência,
foram calculados novamente os valores $z_i$ e recalculados os valores
de $\pi_i$ com a expressão (\ref{eq:pi}).

No último passo foram gerados valores para a variável resposta $Y_i, i=1, \ldots, n$
a partir de uma distribuição Bernoulli com probabilidade de sucesso
dada pelo correspondente valor de $\pi_i$ obtido anteriormente.

Note-se que esse procedimento de simulação gera dados binários
com estrutura de dependência espacial, de forma
aproximada, embora não exatamente segundo o modelo autologístico,
o que, no contexto
deste trabalho não é considerado um problema pois o objetivo é
verificar a performance dos estimadores de pseudo-verossimilhança
em diferentes contextos dados pelas configurações das covariáveis
nas formas consideradas anteriormente.
Uma possível alternativa seria a combinação do amostrador de Gibbs
com o método COD proposto por Besag (1972), que,
após convergência, gera amostras do modelo autologístico.

O procedimento de simulação  descrito foi repetido para
a estrutura de vizinhança de segunda ordem.
Assim, a combinação
de três tipos de covariáveis, três níveis de incidência, cinco valores para
o coeficiente da covariável e duas estruturas de vizinhança totalizaram
90 situações diferentes, sendo que para cada uma delas
foram geradas as 1000 simulações. Para cada uma delas foram ajustados
três modelos:
\begin{description}
\item{M1: } $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2
+ \gamma z $
\item{M2: } $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \gamma z $
\item{M3: } $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2
$
\end{description}

Note que M1 é o modelo usado na geração dos dados, enquanto que M2
e M3 estão sendo usados para verificar o efeito do uso de modelos
incompletos. Modelos semelhantes foram ajustados aos dados,
considerando estrutura espacial de segunda ordem.



\medskip

\section{Resultados e discussão}\label{sec:simuresult}

As Tabelas~1 a~3 apresentam resumos dos resultados das simulações
obtidas  para cada combinação de incidências, coeficientes do termo espacial
e modelos.
Os resultados referem-se apenas à estrutura de vizinhança de primeira ordem
uma vez que os obtidos para de segunda ordem mostram padrões semelhantes e,
portanto, não são apresentados aqui.
As tabelas mostram médias das estimativas de cada parâmetro
$E$, %($\bar{E}$),
os erros padrões das estimativas ($S_{E}$)
e as médias dos erros padrões fornecidos pelo ajuste das 1000 simulações
$S$.%($\bar{S}$)

De uma forma geral, nota-se que as médias das estimativas dos
parâmetros $\beta_1$ e $\beta_2$ têm valores não muito distantes
dos valores verdadeiros, mas com diferenças que dependem da
intensidade da correlação espacial $\gamma$ e também
da forma como as covariáveis foram geradas. Nota-se que os erros
padrões de suas estimativas são muito próximos da média dos erros
padrões fornecidos pelo ajuste do modelo. Observa-se, ainda uma
influência pequena nas médias das estimativas dos parâmetros
$\beta_1$ e $\beta_2$ obtidas pelos diferentes modelos mostrando
que as estimativas pontuais desses parâmetros são pouco afetadas
pela alternativa de modelagem de dependência espacial. Entretanto,
as médias das estimativas do parâmetro $\gamma$ têm uma
disparidade muito grande em relação ao valor $\gamma$ com o qual
foram gerados os dados. De forma semelhante existem disparidades
entre $S$ e $S_{E}$. A seguir são feitos comentários mais específicos.

Observa-se que quando as covariáveis foram geradas sem correlação
e sem dependência espacial, de uma forma geral, as médias das
estimativas dos parâmetros $\beta_1$ e $\beta_2$ são muito
próximas dos valores verdadeiros para todos os casos. Observa-se
ainda, que a média das estimativas de $\gamma$ aumentam à medida
em que aumenta a correlação entre os vizinhos. Verifica-se ainda
que os erros padrões das estimativas têm valores muito próximos da
média das estimativas dos erros padrões dados pelo modelo, embora
aumentem à medida que aumenta o valor da correlação espacial usada
na geração dos dados.

Quando as covariáveis foram geradas sem correlação e com
dependência espacial, observa-se que, de uma forma geral, as
médias das estimativas dos parâmetros $\beta_0$, $\beta_1$,
$\beta_2$ e $\gamma$ aumentam à medida que aumenta o valor da
correlação espacial. Nota-se ainda que, no modelo completo, as
médias das estimativas de $\beta_0$ são mais próximas dos valores
verdadeiros, para o caso de baixa infestação, quando a correlação
entre vizinhos é maior e são mais próximas dos valores verdadeiros
quando a correlação entre vizinhos é menor para média e alta
infestação. Verifica-se também, que os erros padrões das
estimativas têm valores muito próximos da média das estimativas
dos erros padrões dados pelo modelo.

Observa-se que quando as covariáveis foram geradas com correlação
e com dependência espacial, de uma forma geral, as médias das
estimativas dos parâmetros $\beta_1$ e $\gamma$ aumentam à medida
em que aumenta a correlação entre vizinhos, já as médias das
estimativas de $\beta_2$ são muito próximas dos valores
verdadeiros. Observa-se ainda, que a média das estimativas de
$\beta_0$ não alteram muito no caso de baixa infestação e aumentam
à medida em que aumenta a correlação entre os vizinhos para o caso
de média e alta infestação. Verifica-se ainda que os erros padrões
das estimativas têm valores próximos da média das estimativas dos
erros padrões dados pelo modelo.

\newpage
\setlength{\tabcolsep}{0.8pt}
\begin{table}
\caption{Resumos das estimativas dos parâmetros
obtidas de 1000 simulações com duas covariáveis
independentes e sem padrão espacial,
para incidências
baixa (B: $\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$),
média (M: $\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$)
e alta (A: $\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$)
$\gamma$ verdadeiro = 0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00.}
\[ \begin{tabular} {lll | r r r| r r r |r r r |r r r |r r r}
\hline
&&& \multicolumn{15}{c}{$\gamma$ verdadeiro} \\
\cline{4-18}
Inf&Mod&Par & &0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
\cline{4-18}
&&&
$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-3,10&0,41&0,36&-3,08&0,41&0,35&-3,05&0,41&0,35&-3,03&0,40&0,35&-3,01&0,39&0,34\\
&&$\beta_1$&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,22\\
&&$\beta_2$&-1,05&0,25&0,24&-1,05&0,25&0,24&-1,05&0,24&0,24&-1,05&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,24\\
&&$\gamma$&-0,87&6,34&47,45&-0,62&4,90&25,83&-0,69&5,84&36,28&-0,50&4,89&25,06&-0,41&4,96&27,34\\
B&M2&$\beta_0$&-2,23&0,24&0,23&-2,22&0,24&0,22&-2,20&0,24&0,22&-2,19&0,24&0,22&-2,17&0,24&0,22\\
&&$\gamma$&-1,14&5,93&32,36&-0,88&4,65&19,51&-0,91&5,51&26,95&-0,70&4,63&19,07&-0,59&4,64&18,84\\
&M3&$\beta_0$&-3,10&0,36&0,32&-3,07&0,35&0,32&-3,04&0,35&0,31&-3,01&0,34&0,31&-2,98&0,33&0,31\\
&&$\beta_1$&-1,03&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,23&-1,02&0,23&0,22&-1,01&0,23&0,22\\
&&$\beta_2$&-1,04&0,25&0,24&-1,04&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,23&-1,04&0,24&0,23\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-1,02&0,26&0,20&-0,94&0,26&0,21&-0,87&0,26&0,21&-0,78&0,26&0,21&-0,69&0,26&0,21\\
&&$\beta_1$&0,26&0,12&0,12&0,25&0,12&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,11\\
&&$\beta_2$&0,26&0,14&0,14&0,25&0,14&0,13&0,25&0,14&0,13&0,25&0,13&0,13&0,25&0,13&0,13\\
&&$\gamma$&-0,04&0,83&0,59&-0,05&0,78&0,57&-0,03&0,75&0,55&-0,02&0,71&0,53&-0,02&0,70&0,52\\
M &M2&$\beta_0$&-0,98&0,26&0,20&-0,91&0,25&0,20&-0,84&0,25&0,20&-0,76&0,25&0,20&-0,67&0,26&0,21\\
&&$\gamma$&-0,06&0,82&0,57&-0,06&0,77&0,56&-0,03&0,74&0,54&-0,01&0,71&0,52&0,00&0,70&0,51\\
&M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,95&0,13&0,13&-0,87&0,13&0,12&-0,78&0,13&0,12&-0,69&0,12&0,12\\
&&$\beta_1$&0,26&0,12&0,12&0,25&0,12&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,11&0,25&0,11&0,11\\
&&$\beta_2$&0,26&0,14&0,14&0,25&0,14&0,13&0,25&0,14&0,13&0,25&0,13&0,13&0,25&0,13&0,13\\
\hline
&M1&$\beta_0$&0,05&0,36&0,30&0,13&0,37&0,31&0,22&0,39&0,32&0,33&0,43&0,34&0,45&0,47&0,36\\
&&$\beta_1$&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,04&0,16&0,16\\
&&$\beta_2$&1,03&0,17&0,17&1,03&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,18&0,17\\
&&$\gamma$&-0,09&0,67&0,54&0,00&0,67&0,54&0,10&0,68&0,54&0,18&0,71&0,54&0,24&0,75&0,55\\
A &M2&$\beta_0$&0,08&0,31&0,25&0,12&0,33&0,26&0,15&0,34&0,27&0,21&0,37&0,29&0,27&0,41&0,30\\
&&$\gamma$&-0,17&0,59&0,45&-0,06&0,59&0,45&0,07&0,60&0,45&0,17&0,62&0,46&0,25&0,66&0,47\\
&M3&$\beta_0$&0,00&0,13&0,13&0,13&0,13&0,13&0,27&0,13&0,13&0,43&0,14&0,14&0,59&0,14&0,14\\
&&$\beta_1$&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,15&0,15&1,03&0,16&0,15&1,04&0,16&0,16\\
&&$\beta_2$&1,02&0,17&0,16&1,02&0,17&0,16&1,02&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,18&0,17\\
\hline
\end{tabular} \]
\end{table}

\newpage
\setlength{\tabcolsep}{0.8pt}
\begin{table}
\caption{Resumos das estimativas dos parâmetros
obtidas de 1000 simulações com duas covariáveis
independentes e com padrão espacial, para incidências
baixa (B: $\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$),
média (M: $\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$)
e alta (A: $\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$)
e $\gamma$ verdadeiro = 0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00}
\[ \begin{tabular} {lll | r r r| r r r |r r r |r r r |r r r}
\hline
&&& \multicolumn{15}{c}{$\gamma$ verdadeiro} \\
\cline{4-18}
Inf&Mod&Par & &0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
\cline{4-18}
&&&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-3,09&0,38&0,35&-3,07&0,39&0,35&-3,05&0,39&3,45&-3,03&0,38&0,34&-3,02&0,39&0,34\\
&&$\beta_1$&-1,08&0,33&0,29&-1,09&0,33&0,29&-1,11&0,33&0,29&-1,12&0,32&0,29&-1,14&0,32&0,29\\
&&$\beta_2$&-1,08&0,31&0,29&-1,10&0,31&0,29&-1,12&0,31&0,29&-1,15&0,32&0,29&-1,17&0,32&0,29\\
&&$\gamma$&-0,66&2,85&6,10&-0,53&1,78&1,22&-0,53&2,91&8,29&-0,38&1,56&1,14&-0,29&1,54&1,10\\
B&M2&$\beta_0$&-2,61&0,27&0,25&-2,60&0,27&0,25&-2,58&0,26&0,25&-2,57&0,26&0,24&-2,56&0,26&0,24\\
&&$\gamma$&2,33&2,70&6,13&2,50&1,53&1,03&2,53&2,62&5,58&2,71&1,32&0,94&2,83&1,29&0,90\\
&M3&$\beta_0$&-3,10&0,36&0,34&-3,08&0,36&0,34&-3,06&0,36&0,33&-3,04&0,37&0,33&-3,02&0,36&0,33\\
&&$\beta_1$&-1,04&0,30&0,28&-1,06&0,30&0,27&-1,08&0,29&0,27&-1,10&0,29&0,27&-1,12&0,28&0,27\\
&&$\beta_2$&-1,04&0,27&0,27&-1,07&0,27&0,27&-1,09&0,27&0,27&-1,12&0,27&0,27&-1,14&0,27&0,27\\
\hline

&M1&$\beta_0$&-0,98&0,25&0,20&-0,91&0,25&0,21&-0,83&0,25&0,21&-0,74&0,26&0,21&-0,65&0,28&0,21\\
&&$\beta_1$&0,26&0,14&0,14&0,27&0,14&0,13&0,28&0,14&0,13&0,30&0,14&0,13&0,31&0,14&0,13\\
&&$\beta_2$&0,26&0,14&0,13&0,27&0,14&0,13&0,29&0,14&0,13&0,30&0,14&0,13&0,31&0,14&0,13\\
&&$\gamma$&-0,18&0,84&0,59&-0,17&0,80&0,58&-0,15&0,77&0,56&-0,14&0,75&0,54&-0,12&0,73&0,53\\
M &M2&$\beta_0$&-1,09&0,25&0,20&-1,04&0,24&0,20&-0,97&0,24&0,20&-0,91&0,25&0,20&-0,84&0,26&0,20\\
&&$\gamma$&0,27&0,82&0,57&0,30&0,77&0,55&0,35&0,74&0,53&0,41&0,71&0,51&0,45&0,70&0,49\\
&M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,95&0,13&0,13&-0,87&0,13&0,12&-0,78&0,12&0,12&-0,69&0,12&0,12\\
&&$\beta_1$&0,25&0,14&0,13&0,26&0,13&0,13&0,27&0,13&0,13&0,29&0,13&0,13&0,30&0,13&0,13\\
&&$\beta_2$&0,25&0,13&0,13&0,26&0,13&0,13&0,28&0,13&0,13&0,30&0,13&0,13&0,31&0,13&0,13\\
\hline
&M1&$\beta_0$&0,08&0,40&0,31&0,18&0,42&0,32&0,29&0,43&0,34&0,40&0,45&0,36&0,53&0,47&0,38\\
&&$\beta_1$&1,04&0,21&0,18&1,08&0,21&0,18&1,12&0,22&0,19&1,15&0,22&0,19&1,19&0,23&0,20\\
&&$\beta_2$&1,06&0,23&0,19&1,09&0,23&0,19&1,12&0,23&0,20&1,16&0,23&0,21&1,20&0,24&0,21\\
&&$\gamma$&-0,15&0,74&0,56&-0,08&0,76&0,57&-0,02&0,75&0,57&0,05&0,76&0,58&0,10&0,75&0,59\\
A &M2&$\beta_0$&-1,30&0,26&0,23&-1,32&0,26&0,24&-1,34&0,26&0,24&-1,36&0,27&0,25&-1,36&0,27&0,26\\
&&$\gamma$&2,51&0,52&0,41&2,64&0,51&0,41&2,77&0,51&0,41&2,90&0,51&0,42&3,01&0,51&0,42\\
&M3&$\beta_0$&0,00&0,13&0,13&0,13&0,13&0,13&0,28&0,14&0,14&0,42&0,14&0,14&0,59&0,15&0,15\\
&&$\beta_1$&1,01&0,15&0,15&1,06&0,15&0,15&1,11&0,16&0,16&1,16&0,16&0,16&1,21&0,18&0,17\\
&&$\beta_2$&1,03&0,17&0,16&1,07&0,17&0,16&1,12&0,17&0,17&1,17&0,18&0,17&1,21&0,19&0,18\\
\hline
\end{tabular} \]
\end{table}

\newpage
\setlength{\tabcolsep}{0.8pt}
\begin{table}
\caption{Resumos das estimativas dos parâmetros
obtidas de 1000 simulações com duas covariáveis
correlacionadas e com padrão espacial,
para incidências
baixa (B: $\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$),
média (M: $\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$)
e alta (A: $\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$)
$\gamma$ verdadeiro = 0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00.}
\[ \begin{tabular} {lll | r r r| r r r |r r r |r r r |r r r}
\hline
&&& \multicolumn{15}{c}{$\gamma$ verdadeiro} \\
\cline{4-18}
Inf&Mod&Par & &0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
\cline{4-18}
&&&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$&$\bar{E}$&$S_{E}$&$\bar{S}$\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-3,09&0,38&0,35&-3,07&0,37&0,35&-3,06&0,37&0,34&-3,05&0,38&0,34&-3,03&0,37&0,34\\
&&$\beta_1$&-1,12&0,75&0,70&-1,16&0,72&0,69&-1,19&0,73&0,69&-1,22&0,74&0,68&-1,25&0,73&0,68\\
&&$\beta_2$&-0,99&0,71&0,69&-0,99&0,69&0,68&-1,00&0,69&0,68&-1,00&0,69&0,67&-1,01&0,68&0,67\\
&&$\gamma$&-0,24&1,35&1,00&-0,20&1,33&0,97&-0,09&1,31&0,95&0,03&1,25&0,92&0,11&1,22&0,90\\
B&M2&$\beta_0$&-2,52&0,24&0,24&-2,51&0,24&0,24&-2,51&0,24&0,24&-2,51&0,23&0,24&-2,51&0,24&0,24\\
&&$\gamma$&3,24&1,00&0,76&3,31&0,98&0,74&3,43&0,95&0,72&3,54&0,90&0,70&3,62&0,86&0,68\\
&M3&$\beta_0$&-3,08&0,36&0,34&-3,06&0,36&0,34&-3,04&0,36&0,33&-3,03&0,36&0,33&-3,01&0,36&0,33\\
&&$\beta_1$&-1,08&0,68&0,66&-1,12&0,66&0,65&-1,17&0,66&0,65&-1,23&0,67&0,65&-1,28&0,65&0,64\\
&&$\beta_2$&-0,99&0,70&0,68&-0,99&0,68&0,68&-0,99&0,68&0,67&-0,99&0,68&0,66&-1,00&0,67&0,66\\
\hline
&M1&$\beta_0$&-0,99&0,27&0,21&-0,92&0,26&0,21&-0,84&0,27&0,21&-0,75&0,27&0,21&-0,65&0,28&0,22\\
&&$\beta_1$&0,24&0,45&0,43&0,26&0,44&0,43&0,29&0,43&0,42&0,33&0,41&0,42&0,36&0,41&0,41\\
&&$\beta_2$&0,27&0,46&0,44&0,28&0,46&0,44&0,27&0,44&0,43&0,27&0,43&0,43&0,27&0,42&0,42\\
&&$\gamma$&-0,12&0,84&0,59&-0,10&0,78&0,57&-0,09&0,78&0,56&-0,09&0,75&0,55&-0,09&0,72&0,53\\
M &M2&$\beta_0$&-1,15&0,25&0,20&-1,11&0,25&0,20&-1,06&0,26&0,20&-1,01&0,26&0,20&-0,96&0,26&0,20\\
&&$\gamma$&0,57&0,78&0,54&0,64&0,72&0,52&0,71&0,72&0,50&0,77&0,69&0,49&0,84&0,66&0,47\\
&M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,94&0,13&0,13&-0,86&0,13&0,13&-0,77&0,13&0,12&-0,68&0,12&0,12\\
&&$\beta_1$&0,23&0,44&0,43&0,25&0,43&0,42&0,29&0,42&0,42&0,32&0,40&0,41&0,35&0,40&0,41\\
&&$\beta_2$&0,27&0,45&0,44&0,28&0,45&0,43&0,27&0,44&0,43&0,27&0,43&0,42&0,27&0,42&0,42\\
\hline
&M1&$\beta_0$&0,04&0,42&0,33&0,15&0,43&0,34&0,26&0,45&0,35&0,36&0,46&0,37&0,48&0,48&0,38\\
&&$\beta_1$&1,02&0,51&0,51&1,07&0,52&0,51&1,13&0,54&0,52&1,19&0,54&0,52&1,27&0,54&0,53\\
&&$\beta_2$&1,06&0,50&0,50&1,07&0,49&0,50&1,09&0,50&0,51&1,08&0,50&0,51&1,08&0,52&0,52\\
&&$\gamma$&-0,08&0,81&0,61&-0,04&0,81&0,61&0,02&0,81&0,61&0,11&0,80&0,61&0,17&0,80&0,61\\
A &M2&$\beta_0$&-1,63&0,26&0,23&-1,64&0,25&0,24&-1,64&0,25&0,24&-1,66&0,26&0,25&-1,67&0,26&0,25\\
&&$\gamma$&3,17&0,51&0,41&3,25&0,50&0,41&3,33&0,50&0,42&3,43&0,49&0,42&3,52&0,50&0,42\\
&M3&$\beta_0$&0,00&0,14&0,14&0,02&0,20&0,15&0,27&0,15&0,15&0,41&0,16&0,16&0,57&0,16&0,16\\
&&$\beta_1$&0,99&0,46&0,46&1,06&0,46&0,47&1,13&0,47&0,48&1,22&0,48&0,48&1,32&0,49&0,49\\
&&$\beta_2$&1,06&0,49&0,50&1,07&0,49&0,50&1,08&0,50&0,51&1,08&0,50&0,51&1,07&0,51&0,52\\
\hline
\end{tabular} \]
\end{table}

\medskip

\section{Aplicação} \label{sec:aplic}

Uma aplicação da metodologia foi feita usando-se dados
apresentados em Gumpertz, Graham e Ristaino~(1997)
que consistem na presença/ausência do patógeno {\it Phytophthora capsici} em
unidades que consistiam em grupos de plantas de pimentão,
tendo como covariáveis o conteúdo de água no solo
e o número de discos de folhas colonizadas pelo patógeno.
É importante observar que a porcentagem de infecção é de
$13,5\%$, que pode ser considerada baixa. Além disso, a
correlação entre as duas covariáveis medidas é de apenas 0,27.

Definiu-se por $x_1$ os valores da covariável conteúdo
de água no solo e $x_2$ os do número de discos de folhas
colonizados pelo patógeno.
Os valores faltantes de $x_1$ foram estimados usando-se as
expressões~(\ref{eq:autoc4}) e~(\ref{eq:autoc8}) para estruturas
de vizinhança de primeira e segunda ordens, respectivamente.
Para o cálculo dos valores das covariáveis espaciais é necessário
o uso de informações em unidades vizinhas e isto pode causar dificuldades
nas unidades na parte limítrofe da área de estudo por não haver a vizinhança completa
para estas unidades.
Uma forma de contornar o problema é o uso de \textit{bordas},
considerando-se como dados apenas os de unidades interiores na área que
possuem vizinhança completa.
No artigo original foi adotada borda dupla para ambas estruturas de vizinhança
enquanto que aqui adotou-se borda simples para vizinhança de
primeira ordem e dupla para de segunda.

A esse conjunto de dados, foram ajustados os modelos equivalentes os
considerados no estudo de simulação,
sendo ajustados para vizinhança de primeira e segunda ordem.
Os modelos $M1$ e $M2$ consideram uma única variável espacial
enquanto que os modelos $M1^\prime$ e $M2^\prime$ são os modelos
equivalentes a estes considerando covariáveis espaciais distintas para
efeitos de linhas e colunas,
e ainda efeitos das diagonais no caso de vizinhança de segunda ordem.
O modelo $M2^\prime$ foi ajustado removendo
as covariáveis indicadas como não significativas ao nível de 5\%
no ajuste de $M2^\prime$.

Foi utilizada a estimação pelo
método de maximização da pseudo-verossimilhança.
A seleção de modelos foi feita usando-se o critério de informação de
Akaike, calculado para cada modelo por
$AIC = -2*LVM + 2* n_p$, em que $n_p$ representa o
número de parâmetros de modelo e $LVM$ é o logaritmo do valor maximizado da
função de verossimilhança. Segundo este critério
elege-se como o melhor modelo aquele que apresenta o menor valor de AIC.


Os resultados obtidos para o ajuste dos modelos ao conjunto
original de dados estão nas Tabelas~\ref{tab:est4V}
e~\ref{tab:est8V}.
O melhor modelo para estrutura de vizinhança de primeira ordem foi
o que inclui apenas a constante e o efeito de
linha. Para estrutura de vizinhança de segunda ordem o
melhor modelo inclui a constante, efeito de linha e da
diagonal~B. Nenhum efeito de covariável foi significativo,
em concordância com resultados obtidos por
Gumpertz, Graham e Ristaino~(1997).
Globamente, o melhor modelo foi $M2^{\prime*}$
para vizinhança de segunda ordem e neste ajuste
a probabilidade de um unidade ter a doença é estimada por
\begin{eqnarray}
P(Y_i=1 | y_j, j \neq i) =
\frac{\exp \{-2,83+1,07dB+1,29L\}}{1+\exp\{-2,83+1,07dB+1,29L\}}. \nonumber
\end{eqnarray}

\newpage

\begin{table}
\caption{Estimativas dos parâmetros e estatísticas dos diversos
modelos ajustados aos dados originais de pimentão, com estrutura
de vizinhança de primeira ordem}\label{tab:est4V}
\[ \begin{tabular} {l|cccccc} \hline
Modelo & Parâmetro & Estimativa & Erro Padrão & Z & $valor-p$ & AIC \\
\hline
$M1$ & $\beta_0$ & -3,29 & 1,10 & -3,00 & \textbf{0,003} & 245,16\\%
& $\beta_1$ & -0,05 & 0,13 & -0,35 & 0,73 &  \\%
& $\beta_2$ & 0,08 & 0,10 & 0,75 & 0,454 &  \\%
& $\gamma$ & 3,57 & 0,67 & 5,31 & \textbf{0,000}  & \\ %
$M2$ & $\beta_0$ & -2,50 & 0,24 & -10,51 & \textbf{0,000} & 241,73 \\%
& $\gamma$ & 3,56 & 0,66 & 5,38 & \textbf{0,000}  & \\  %
$M3\prime$ & $\beta_0$ & -2,66 & 1,07 & -2,48 & \textbf{0,013} & 272,85\\%
& $\beta_1$ & 0,08 & 0,12 & 0,65 & 0,519 & \\%
& $\beta_2$ & 0,08 & 0,10 & 0,77 & 0,440 & \\ %
$M1^\prime$ & $\beta_0$ & -3,07 & 1,11 & -2,75 & \textbf{0,006} & 243,00 \\%
& $\beta_1$ & -0,04 & 0,14 & -0,262 & 0,793 & \\%
& $\beta_2$ & 0,06 & 0,10 & 0,54 & 0,591 & \\%
& $\gamma_1$ & 1,30 & 0,26 & 4,93 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & 0,36 & 0,32 & 1,12 & 0,26 & \\ %
$M2^\prime$ & $\beta_0$ & -2,49 &0,24 & -10,47 & \textbf{0,000} & 239,30 \\%
& $\gamma_1$ & 1,31 & 0,26 & 5,01 & \textbf{0,000 } & \\%
& $\gamma_2$ & 0,34 & 0,32 & 1,08 & 0,279 & \\ %
$M2^{\prime*} $ & $\beta_0$ & -2,41 & 0,22 & -10,85 & \textbf{0,000} & 238,43 \\%
& $\gamma_1$ & 1,41 & 0,25 & 5,73 & \textbf{0,000} & \\%
\hline
\end{tabular} \]
\end{table}

\newpage

\begin{table}
\caption{Estimativas dos parâmetros e estatísticas dos diversos
modelos ajustados aos dados originais de pimentão, com estrutura
de vizinhança de segunda ordem}\label{tab:est8V}
\[ \begin{tabular}{l|cccccc} \hline
Modelo & Parâmetro & Estimativa & Erro Padrão & Z & $valor-p$ & AIC \\
\hline
$M1$ & $\beta_0$ & -3,74 & 1,13 & -3,30 & \textbf{0,000} &
233,86
\\%
& $\beta_1$ & -0,11 & 0,14 & -0,79 & 0,433 & \\%
& $\beta_2$ & 0,09 & 0,10 & 0,86 & 0,390 & \\%
& $\gamma$ & 5,22 & 0,88 & 5,96 & \textbf{0,000} & \\ %
$M2$ & $\beta_0$ & -2,82 & 0,27 & -10,28 & \textbf{0,000} & 230,88 \\%
& $\gamma$ & 5,09 & 0,85 & 6,02 & \textbf{0,000} & \\  %
$M3$ & $\beta_0$ & -2,68 & 1,08 & -2,49 & \textbf{0,013} & 272,82\\%
& $\beta_1$ & 0,08 & 0,12 & 0,64 & 0,52 & \\
& $\beta_2$ & 0,08 & 0,10 & 0,79 & 0,429 & \\ %
$M1^\prime$ & $\beta_0$ & -3,60 &1,19 & -3,04 & \textbf{0,002} &229,31 \\%
& $\beta_1$ & -0,10 & 0,15 & -0,70 & 0,485 &  \\%
& $\beta_2$ & 0,06 & 0,11  & 0,60 & 0,550 & \\%
& $\gamma_1$ & 1,25 & 0,28 & 4,53 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & -0,15 & 0,37 & -0,41 & 0,682 & \\ %
& $\gamma_3$ & 0,57 & 0,33 &  1,71 & 0,088 & \\%
& $\gamma_4$ & 1,04 & 0,28 & 3,75 & \textbf{0,000} & \\%
$M2^{\prime}$ & $\beta_0$ & -2,94 & 0,29 & -10,16 & \textbf{0,000} & 225,94 \\%
& $\gamma_1$ & 1,25 & 0,27 & 4,58 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & -0,19 & 0,37 & -0,51 & 0,61 & \\  %
& $\gamma_3$ & 0,56 & 0,33 & 1,68 & 0,092 & \\%
& $\gamma_4$ & 1,02 & 0,27 & 3,72 & \textbf{0,000} & \\%
$M2^{\prime*}$ & $\beta_0$ & -2,83 & 0,27 & -10,48 & \textbf{0,000} & 224,74 \\%
& $\gamma_1$ & 1,29 & 0,25 & 5,12 & \textbf{0,000} & \\  %
& $\gamma_4$ & 1,07 & 0,27 & 4,00 & \textbf{0,000} & \\%
\hline
\end{tabular} \]
\end{table}

\medskip

\section{Considerações finais} \label{sec:consid}

O estudo de simulação com o objetivo de verificar o efeito causado
por diferentes estruturas de covariáveis e dependência espacial
sobre os estimadores de pseudo-verossimilhança dos parâmetros do
modelo autologístico permitiu verificar que as médias das
estimativas dos parâmetros associados às covariáveis têm valores
não muito distantes dos valores verdadeiros, mas com variações
dependendo da correlação espacial, e da forma como as covariáveis
foram geradas, mostrando uma robustez quanto à modelagem da
covariância na obtenção das estimativas. Os erros padrões de suas
estimativas são muito próximos da média dos erros padrões
fornecidos pelo modelo. Entretanto, as médias das estimativas do
parâmetro de correlação espacial têm uma disparidade muito grande
em relação ao valor verdadeiro, com o qual foram gerados os dados.
De forma semelhante existem disparidades entre o erro padrão
obtido a partir das estimativas dos parâmetros e a média dos erros
padrões fornecidos pelo modelo.

As médias das estimativas dos parâmetros, geralmente, aumentam com
o aumento da correlação espacial, evidenciando a presença de um
pequeno vício, que praticamente desaparece no caso em que as
covariáveis não são correlacionadas e não têm dependência
espacial. O coeficiente de correlação espacial é estimado com
vício muito grande, fazendo com que a correlação espacial se torne
muito maior do que o valor verdadeiro.

Portanto, a conclusão geral deste estudo é a de que o método de
estimação por pseudo-verossimilhança pode ser usado, com certa
cautela, quando o interesse está na contribuição das covariáveis.
Porém não deve ser usado quando o interesse está na estimação da
correlação espacial. Estudos adicionais por simulação são
necessários para verificar o efeito de observações faltantes nas
estimativas dos parâmetros do modelo autologístico.

\medskip

{\noindent \bf \large Agradecimentos}\vspace{.5cm}

REVISAR O TEXTO E CITAÇÃO A SEGUIR EM FUNÇÃO DA ORDEM DOS AUTORES NO INICIO DO ARTIGO

Esse trabalho é parte da Tese de Doutorado do primeiro autor no
Departamento de Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura
``Luiz de Queiroz'', Universidade de São Paulo, Piracicaba e foi
realizado com o apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal
de Nível Superior - CAPES - através do Programa da Demanda Social.
O segundo autor é Pesquisador 1C do CNPq. O quarto autor foi
Professor Visitante Estrangeiro pela CAPES no Departamento de
Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura ``Luiz de
Queiroz'', Universidade de São Paulo, Piracicaba, no período
maio/2004 a abril/2006.
Os autores agradecem a dois revisores anônimos por diversas sugestões que
muito contribuíram para a versão final do texto.


%citação do artigo
\info{VIOLA, D. N., DEMÉTRIO, C. G. B., RIBEIRO Jr, P. J., MANLY, B. F.
{\bf An assessment of the pseudo-likelihood estimators for the spatial autologistic model}.
\textit{Revista Brasileira de Biometria},
São Paulo, v.xx, n.x, p.xx-xx,~2008.}

\medskip

\begin{abstract}
REVISAR AQUI AO FINAL EM COMPARAÇÃO COM O RESUMO
In this paper a simulation study on pseudo-likelihood estimators
of autologistic parameters to verify the effect of different
covariate and neighbouring structures is described, with three
pest infestation levels and five different spatial correlation
coefficient values. An application of the methodology is presented
using bell pepper data from
Gumpertz, Graham and Ristaino~(1997).
It is shown that the pseudo-likelihood method can be used when a
researcher is interested in the effect of covariates, but should
not be used for the estimation of the spatial correlation.
\end{abstract}

\begin{keyword}
autologistic model, spatial correlation, binary data, pseudo-likelihood, bootstrap.
\end{keyword}

\begin{thebibliography}{}
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\end{thebibliography}

%%% a ser usado pelo editor

\unespreceived{00.00.0000}

\unespapproved{00.00.0000}


\end{document}

% Siga os exemplos a seguir:

%Livro
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%Capítulo de Livro,
ARNOLD, B. C. Multivariate logistic distributions. In: BALAKRISHNAN,
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Marcel Dekker}, 1992. p.237-261. (Statistics, textbook and
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%Dissertação ou tese
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%Artigo em periódico
BARRETO, M. C. M.; DEMÉTRIO, C. G. B. \textit{An extension of the
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%Artigo em congresso
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Csiro, 2002. p.614-619.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



Ações da revisão:


- 5 referências sugeridas foram incorporadas ao texto e à lista de referências

- Formatação e padronização de citações e referências

- consistência emtre título, resumo e palavras chaves entre versões em português e inglês

- formulas revisadas para consistência e notação vetorial/matricial for eliminada 