

\section{\bf Estimação}\label{sec:est}

\noindent\hspace{1cm} No modelo de regressão logística com observações 
independentes, 
a estimação dos parâmetros é feita, geralmente, pelo método da máxima
verossimilhança (ML).
Entretanto, no caso da modelagem de observações espacialmente 
correlacionadas com o uso do modelo de regressão
autologístico não é possível escrever a função de verossimilhança
de forma fechada, sendo, portanto, em geral, desconhecida uma
expressão analítica para a constante de normalização. Diversos
métodos aproximados foram, então, propostos para estimação dos
parâmetros desse modelo, tais como máxima
pseudo-verossimlhança, MPL, e ``coding'', COD, (BESAG, 1972),
``bootstrap'' (BESAG, 1977), equações de estimação (BESAG, 1986),
máxima verossimilhança com simulação Monte Carlo, MCL,
(GEYER, 1991, GEYER, 1992, GEYER, 1994, WU; HUFFER, 1997, HUFFER;
WU, 1998, GRIFFITH,~2002, SHERMAN, APANOSOVICH, CARROLL, 2006),
máxima verossimilhança com simulação Monte Carlo via cadeias
de Markov, MCMC (GU; KONG, 1998, GU; ZHU, 2001, WARD; GLEDITSCH,
2002), máxima pseudo-verossimlhança generalizada, MGPL,
(HUANG; OGATA, 2002), dentre outros. Um método computacional
estatisticamente eficiente foi desenvolvido para o cálculo da
constante de normalização por Pettitt, Friel, Reeves (2003).

\noindent\hspace{1cm} A estimativa da máxima
pseudo-verossimilhança para um vetor de parâmetros
desconhecidos $\btheta=(\beta_0, \beta_1, \ldots,
\bgamma)^T$ é definida como um vetor $\hat{\btheta}$ que maximize
a função de pseudo-verossimilhança (PETRUCCI; SALVATI; SEGHIERI,
2004)
\begin{eqnarray}
L(\bpi)=\prod^n_{i=1}P(Y_i=1|\mbox{vizinhos}) =
\prod^n_{i=1}\pi^{y_i}_i(1-\pi_i)^{(1-y_i)}  \label{eq:al1}
\end{eqnarray}
ou, equivalentemente,  o seu logaritmo
\begin{eqnarray}\nonumber
\ell(\bpi)=\sum^n_{i=1}y_i \log \pi_i +\sum^n_{i=1}(1-y_i) \log
(1-\pi_i).
\end{eqnarray}

\noindent\hspace{1cm} Para o modelo autologístico, essa
aproximação é computacionalmente simples, pois necessita apenas
de alguma rotina que contrua as covariáveis espaciais a partir dos dados 
originais e suas localizações e 
e alguma implementação computacional com método de optimização numérica capaz de 
ajustar o modelo de regressão logística. 
As estimativas pontuais obtidas desta forma são consistentes.   Entretanto, os
erros padrões das estimativas dos parâmetros são inacurados por serem calculados,
como se as observações fossem independentes (PETRUCCI; SALVATI;
SEGHIERI, 2004). 
Uma proposta feita por Gumpertz, Grahan e Ristino
(1997) é obter usar um método de reamostragem 
baseado em um \textit{bootstrap} paramétrico no qual o 
amostrador de Gibbs garante a obtenção de amostras com padrão espacial
compatível com o observado a partir das quais pode-se obter 
os erros padrões para as estimativas iniciais.
% A fim de preservar a dependência espacial  dos dados
%originais, gera-se um determinado número de látices, pelo
%amostrador de Gibbs, usando-se como parâmetros as estimativas dos
%parâmetros obtidas a partir de um conjunto de observações. 
%O método \textit{bootstrap} é usado a seguir para a obtenção de uma
%seqüência de estimativas MPL e, então, os erros padrões das
%estimativas dos parâmetros.

\noindent\hspace{1cm} O método de pseudo-verossimilhança, de
acordo com Ward; Gleiditsch (2002) é fácil de implementar, mais
eficiente do que COD e mostra propriedades assintóticas razoáveis.
Entretanto, suspeita-se que seja ineficiente quando há forte correlação
espacial. Portanto há a necessidade de avaliações sobre a qualidade das inferêncas
produzidas em diferentes condições. 
 

\section{Um estudo de simulação}\label{sec:simu}

 \noindent\hspace{1cm} A fim de verificar o efeito
causado por diferentes estruturas de covariáveis e dependência
espacial sobre os estimadores de pseudo-verossimilhança dos
parâmetros do modelo autologístico, é proposto um estudo de
simulação, considerando-se um látice de $20 \times 20$ 
localizações com
distância de uma unidade entre pontos. Foram feitas 1.000
simulações, usando-se os pacotes \textsf{geoR} (RIBEIRO JR.;
DIGGLE, 2001) para gerar simulações 
e \textsf{Rcitrus} (KRAINSKI; RIBEIRO JR., 2006) para o ajuste de modelo
autologístico, ambos 
do ambiente computacional estatístico \textsf{R} (R Core Team, 2006). Para
cada simulação foram seguidos os passos que se seguem.

\noindent\hspace{1cm} Inicialmente, foram gerados valores para
duas covariáveis $X_1$ e $X_2$, para três situações: (i)
independendentes espacialmente e entre si, (ii) com dependência espacial e 
e não correlacionadas entre si e (iii)
com dependência espacial e correlacionadas entre si. 
Nos três casos os valores para $X_1$ e $X_2$ foram gerados a partir de uma distribuição normal de média zero
e variância unitária. Entretanto, no primeiro caso as obserções foram geradas 
independentemente enquanto que no segundo e terceiro simulou-se de um modelo linear generalizado geoestatístico 
(DIGGLE E RIBEIRO, 2007) que, no segundo caso possuiam valores de alcance prático de 
5 e 7 unidades, respectivamente e, 6 unidades para o terceiro caso.
O alcance prático em modelos geoestatísticos reflete a extensão da dependência espacial.  
% INCLUIR REFERÊNCIA NO FINAL!!!!
A relação entre as covariávels no terceiro caso é dada por $X_2=0,9 X_1+0,3
\epsilon$, com $\epsilon$ gerado a partir de uma distribuição
normal de média zero e variância unitária, definindo a correlação em torno de $0,9$
entre $X_1$ e $X_2$.

\noindent\hspace{1cm} Em uma segunda etapa, foi ajustado o modelo logístico 
a partir do qual foram obtidos os
valores para as probabilidades $p$, a partir de
$$p=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2)}
{1+\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2)}.$$
\noindent\hspace{1cm} Para se obter diferentes valores de níveis de incidência 
da doença, em torno de $10\%$ (baixa), $30\%$ (média) e $50\%$ (alta), os
valores usados para os parâmetros ($\beta_0$, $\beta_1$,
$\beta_2$) foram, respectivamente, (0, 1, 1), (-1, 0,25, 0,25) e
(-3, -1, -1).

\noindent\hspace{1cm} Em uma terceira etapa, 
após a construção da variável
espacial definidas no modelo autologístico~(\ref{eq:predlinautolog})
foram calculados
valores para a covariável $z$, usando-se a expressão~(\ref{eq:autoc4}) 
com os valores de $y_{i_r}$, $r=1, \ldots,8$,
substituídos por valores de $p$ obtidos na segunda etapa.

\noindent\hspace{1cm} Em uma quarta etapa, foram recalculados os
valores de $p$, considerando-se
$$p=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma
z)} {1+\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma z)}$$ em que
foram avaliadas simulações com os valores 0,00, 0,25, 0,50, 0,75 e
1,00 para o parâmetro $\gamma$ e a seguir, foram calculados novos
valores para $z$ e valores de $\pi$ dados por
$$\pi=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma
z)} {1+\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma z)}.$$
A partir destes foram gerados valores
para a variável resposta $Y$ a partir de uma distribuição
Bernoulli com probabilidade de sucesso $\pi$.

\noindent\hspace{1cm} A cada conjunto de dados gerados nas 90
situações, foram ajustados três modelos:
\begin{enumerate}
\item M1: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 +
\gamma z $
\item M2: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \gamma z $
\item M3: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 $
\end{enumerate}

\noindent\hspace{1cm} Note que M1 é o modelo usado na geração dos
dados, enquanto que M2 e M3 estão sendo usados para verificar
o efeito do uso de modelos incompletos. Modelos semelhantes foram
ajustados aos dados, considerando estrutura espacial de segunda
ordem. Entretanto tais modelos 
mostram  resultados semelhantes aos de primeira ordem e que, portanto, não
serão relatados aqui.

\noindent\hspace{1cm} Para cada combinação de incidências e modelos considerados 
na simulação os resultados foram avaliados e resumidos por médias, erros padrões
e médias dos erros padrões das estimativas fornecidas pelo ajuste das 1000
sumulações obtidas em cada caso.

