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\noindent{PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES DOS PARÂMETROS

DO MODELO AUTOLOGÍSTICO ESPACIAL}

\vspace{1cm}

\noindent Denise N. Viola (LCE - ESALQ/USP - DES/UFBa), Clarice G.
B. Demétrio (LCE - ESALQ/USP), Bryan F. Manly (Western EcoSystems
Technology), Paulo J. Ribeiro Júnior (DES-UFPR)

\begin{chapsummary}
\begin{singlespace}
Neste artigo é feito um estudo de simulação para verificar o
comportamento dos estimadores de pseudo-verossimilhança dos
parâmetros do modelo autologístico, considerando diferentes
estruturas de covariáveis e de vizinhança, três intensidades de
infestação de uma praga e cinco  valores para o parâmetro de
correlação entre os vizinhos. Uma aplicação dos modelos
considerados no estudo de simulação é feita a um conjunto de dados
provenientes de um experimento com pimenta do sino, utilizado por
Gumpertz, Graham e Ristino (1997). Mostra-se que o método de
estimação por pseudo-verossimilhança pode ser usado, com certa
cautela, quando o interesse está na contribuição das covariáveis,
mas não deve ser usado quando o interesse está na estimação da
correlação espacial.

\hspace{0.3cm}

Palavras chaves: Modelo autologístico, dependência espacial, dados
binários, distribuição Bernoulli
\end{singlespace}
\end{chapsummary}

\begin{chapabstract}
Properties of the spatial autologistic model parameters - A
simulation study

In this paper a simulation study is performed in order to verify
the effect of different covariate and neighbouring structures,
three pest infestation levels and five different spatial
correlation coefficient values on the pseudo-likelihood estimators
of the autologistic model parameters. An application of the
metodology is presented using the bell pepper data from Gumpertz,
Graham e Ristino (1997). It is shown that the pseudo-likelihood
method can be used when the researcher is interested on the
covariate contributions but should not be used when he is
interested on the estimation of the spatial correlation.

 Keywords: autologistic model, spatial correlation, binary data,
 Bernoulli distribution

\end{chapabstract}

\section{\bf Introdução}

\noindent\hspace{1cm} Variáveis respostas binárias, isto é, do
tipo sucesso/fracasso são muito comuns na experimentação
agronômica. Por exemplo, em estudos de fitopatologia, o pesquisador
pode anotar estudo da presença ou ausência de uma
determinada doença visando associar a probabilidade de occorência com
covariáveis de interesse e/ou estudar  padrões espaciais da distribuição da doença. 
Nesse tipo de estudo, espera-se, em geral, que as observações sejam
correlacionadas no espaço e/ou no tempo.
O modelo usualmente adotado para a análise de respostas
binárias é o modelo de regressão logística que tem como uma
de suas pressuposições a independência das observações. Assim
sendo, extensões ou modelos alternativos são necessários
para acomodar a estrutura de correlação induzida pela 
dependência espacial e/ou temporal e têm sido propostos na
literatura.


Uma das propostas apresentadas na literatura são  os modelos
autologísticos (BESAG,~1972, AUGUSTIN; MUGGLESTONE;
BUCKLAND,~1996, GUMPERTZ; GRAHAM; RISTANO, 1997) em que se controem covariáveis
com a finalidade de incorporar a informação
do status da doenças na vizinhança de cada observação. 
 As áreas de
aplicação são diversas e incluem estudos sobre fauna aquática de
macro invertebrados em 76 lagoas inglesas (SANDERSON; EYRE;
RUSHTON, 2005), comportamento de clientes em relação a políticas
de seguro (MOON; RUSSEL 2005), rupturas causadas por besouros em
pinus nos Estados Unidos (WU et al., 2005), mapeamento de pobreza
em países em desenvolvimento (PETRUCCI; SALVATI; SEGHIERI 2004),
distribuição espacial de renas na Suécia (TETERUKOVSKIY; EDEMIRS,
2003), distribuição de vegetação em florestas, considerando
covariáveis climáticas (HE; ZHOU; ZHU 2003), distribuição da
epidemia do {\it Phytophthora} em pimenta do sino considerando
efeitos de variáveis do solo (GUMPERTZ; GRAHAM; RISTAINO, 1997),
distribuição de espécies de plantas considerando covariáveis
climáticas (WU; HUFFER, 1997), distribuição espacial de alces em
uma região da Escócia (AUGUSTIN; MUGGLESTONE; BUCKLAND, 1996),
análise genética de características familiares (ABEL; GLOLMARD;
MALLET, 1993), dentre outros. Uma comparação entre o modelo
autologístico e um modelo logístico regressivo é apresentada em
Abel, Golmard, Mallet~(1993).

\noindent\hspace{1cm} Entretanto estudos mais detalhados em relação às propriedades
dos estimadores e métodos de estimação propostos são necessários para 
esta categoria de modelos. Entre os métodfos propostos está o 
de maximização de uma pseudo-verossimilhança. Tal métodos 
é relativamente simples quando comparado
com métodos alternativos e computacionalmente intensivos, 
porém suas propriedades não têm sido extensivamente estudadas 
(PETRUCCI; SALVATI; SEGHIERI, 2004). Os parâmetros que descrevem a 
estrutura de dependência tornam complexa , se não proibitiva 
o estudo análitico das propriedades dos métodos de estimação. Entretanto,  com
o grande desenvolvimento dos recursos computacionais o uso de
simulações consistem um uma alternativa viável  para o estudo de propriedades
estatísticas de interesse. Esses estudos são baseados em
informações reais e utilizados como repetições de um experimento,
sendo igualmente aplicáveis para variáveis respostas contínuas ou discretas.

 \noindent\hspace{1cm} Neste artigo procurou-se estudar comportamento do procedimento
de estimação em diferentes cenários de intensidade do padrão espacial e escolha de 
covariáveis espaciais.  
São relatados os resultados de 
um estudo de simulação para verificar o comportamento dos estimadores de
pseudo-verossimilhança dos parâmetros do modelo autologístico,
considerando (i) diferentes estruturas de covariáveis e de vizinhança,
(ii) três intensidades de infestação de uma praga e (iii) cinco  valores para
o parâmetro de correlação entre os vizinhos. 
Adicionalmente, uma aplicação dos
modelos considerados no estudo de simulação é feita a um conjunto
de dados provenientes de um experimento com pimenta do sino,
utilizado por Gumpertz, Graham e Ristino~(1997).

\noindent\hspace{1cm} O restante do artigo está organizado como se
segue. A Seção~\ref{sec:logit} descreve o modelo autologístico
como uma extensão do modelo logístico usual
e o procedimento de inferência é apresentado na Seção~\ref{sec:est}. 
Na Seção~\ref{sec:simu} é feita a descrição do estudo de simulação 
cujos resultados são apresentados e discutidos na Seção~\ref{sec:simuresult}. 
A aplicação do modelo autologístico a dados reais é mostrada na Seção~\ref{sec:aplic}. 
Finalmente, algumas considerações finais aparecem na Seção~\ref{sec:consid}.

\section{\bf Modelo autologístico} \label{sec:logit}

\noindent\hspace{1cm} Modelos lineares generalizados (MLG)
envolvem três componentes, a saber um componente sistemático, um
aleatório e uma função de ligação. O componente sistemático é
definido durante o planejamento do experimento e as variáveis
explicativas entram na forma de soma linear dos efeitos, isto é,
com preditor linear $\beeta = {\bf X\bbeta}$, em que ${\bf X}$ é a
matriz do modelo, ${\bf \bbeta}$ é o vetor de parâmetros. O
componente aleatório é estabelecido após definidas as medidas que
serão realizadas, em que o conjunto de variáveis aleatórias $Y_i,
i=1, 2, \ldots, n$ são mutuamente independentes com distribuição
pertencente à família exponencial na forma canônica e
$E(Y_i)=\mu_i$. A função de ligação relaciona o componente
aleatório ao componente sistemático, ou seja, a média da
distribuição ao preditor linear. Logo, na seleção de modelos a
serem ajustados a um conjunto de dados, é importante escolher a
distribuição da variável resposta, a matriz do modelo e a função
de ligação (DEMÉTRIO, 2001). Um caso particular dos MLG é o modelo
de regressão logística que pode ser usado para a análise de
variáveis aleatórias binárias independentes.

\noindent\hspace{1cm} Sejam $Y_i$, $i=1, 2, \ldots, n$, variáveis
aleatórias com distribuição de Bernoulli com probabilidade de
sucesso $\pi_i$, sendo que $y_i$ assume os valores zero (fracasso)
ou um (sucesso). Tem-se que $E(Y_i)= \pi_i$ e $Var(Y_i)= \pi_i(1-
\pi_i)$. Então, um modelo linear generalizado permite que as
probabilidades de sucesso $\pi_i$ sejam modeladas em termos de $p$
variáveis explanatórias $x_{ik}$, $k=1, \ldots, p$, através de

$$g(\pi_i)=\bbeta^T \bx_i$$
em que $g$ é uma função de ligação adequada e $\bbeta$ é o vetor
de parâmetros des\-co\-nhe\-ci\-dos. Considerando-se a função de
ligação logística, tem-se
\begin{eqnarray}
\nonumber \mbox{logit}(\pi_i)& = & \log \frac{\pi_i}{1-\pi_i} =
\beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2x_{i2} + \ldots +
              \beta_px_{ip} \nonumber
\end{eqnarray}
e, portanto,
\begin{eqnarray}
\pi_i = P(Y=1|x) = \frac{\exp\{\beta_0 +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik}\}}{1 + \exp\{\beta_0 +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik}\}}.   \nonumber
\end{eqnarray}

%\section{\bf Modelo autologístico} \label{sec:autolog}

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{C:/ESALQ/TeseTEX/Simulações/Graficos/estviz.eps}\\
\caption{Representação esquemática de estrutura de vizinhança
sobre um látice regular (primeira, segunda e terceira ordens).}
\label{fig:estviz}
\end{figure}

\noindent\hspace{1cm} O modelo autologístico foi motivado
por problemas  na área
de estatística espacial e introduzido pelos artigos de Besag~(1972, 1974)
e consiste em uma generalização do modelo logístico, considerando dependência
espacial entre as respostas. A autocorrelação é induzida
por funções das respostas dos vizinhos como covariáveis do modelo
 diferentes estruturas de vizinhança podem ser consideradas, usualmente
chamadas de primeira, segunda e terceira ordens
com quatro, oito e doze vizinhos, respectivamente, conforme Figura~\ref{fig:estviz}. 
O preditor linear passa a ter a forma
\begin{eqnarray}
\mbox{logit}(\pi_i)& = & \log  \frac{\pi_i}{1-\pi_i}
           =  \beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2x_{i2} +
\ldots + \beta_px_{ip} + \gamma^T \bz_i \nonumber
\end{eqnarray}
em que $\pi_i$ é a probabilidade de sucesso de um evento para o
$i$-ésimo indivíduo, $i=1, \ldots, n$, $\beta_k$ é o $k$-ésimo
parâmetro associado à covariável $x_{ik}$, $\bgamma$ é o vetor
parâmetros associado ao vetor $\bz_i$ das covariáveis contruídas
a partir das observações na vizinhança da $i$-ésima observação. 
Portanto, a probabilidade de um sucesso é dada por

\begin{eqnarray}
P(Y_i=1|\mbox{vizinhos}) = \frac{\exp \{\beta_0 + \beta_1x_{i1} +
 \ldots + \beta_px_{ip} + \gamma^T \bz_i \}}{1+\exp
\{\beta_0 + \beta_1x_{i1} +\ldots + \beta_px_{ip} + \bgamma^T
\bz_i\}}. \nonumber
\end{eqnarray}

\noindent\hspace{1cm} A forma da covariável $\bz_i=z_i$ faz parte da especificação 
do modelo. 
Augustin, Mugglestone e Buckland~(1996) definem como  dada pelo peso médio
ponderado dos $k_i$ vizinhos do $i$-ésimo indivíduo, isto é,
$$z_i=\frac{\sum^{k_i}_{j=1}w_{ij}y_{j}}{\sum^{k_i}_{j=1}w_{ij}}$$
sendo que $w_{ij}=\frac{1}{h_{ij}}$, em que $h_{ij}$ é a distância
euclidiana entre as observações $i$ e $j$. Por exemplo, 
considerando-se  distância unitária aos vizinhos e estrutura de
vizinhança de primeira ordem, 
com observações nos vizinhos dadas por $y_{ij}, j = 1, \ldots, 4$,
o valor da covariável $z_i$ da $i$-ésima observação 
é dado por: 
\begin{eqnarray}
z_{i} = \frac{1}{4}(y_{i_1} + y_{i_2} + y_{i_3} + y_{i_4}).
\label{eq:autoc4}
\end{eqnarray}

\noindent\hspace{1cm} Uma forma alternativa é adotada 
por Gumpertz, Grahan e Ristino~(1997)
que definem um conjunto de covariáveis $\bz_i$
que consideram os componentes da estrutura de vizinhança
com posibilidade de especificar efeitos de linhas, colunas e diagonais
separadamente, permitindo assim modelar efeitos direcionais. Logo, para
estrutura de vizinhança de primeira ordem, o preditor linear pode ser escrito da forma:
\begin{eqnarray}\nonumber \mbox{logit}(\pi_i) = \beta_{0} +
\beta_1x_{i_1} + \ldots +
\beta_px_{i_p} + \gamma_1L_i + \gamma_2C_i, \\
\nonumber
\end{eqnarray}
em que $\bgamma^T=(\gamma_1~ \gamma_2)$, $\bz^T_i=(L_i~C_i)$,
$\gamma_1$ e $\gamma_2$ são os parâmetros associados à informação
dos vizinhos nas linhas
$L_i=(y_{i_1}+y_{i_2})/{2}$ e colunas
$C_i=(y_{i_3}+y_{i_4})/{2}$. 
Esta separação de efeitos é interessante, por exemplo, no caso de observações 
provenientes de plantios com diferentes espaçamentos entre e dentro de linhas de plantio.


