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\begin{document}

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\noindent{PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES DOS PARÂMETROS

DO MODELO AUTOLOGÍSTICO ESPACIAL}

\vspace{1cm}

\noindent Denise N. Viola (LCE - ESALQ/USP - DES/UFBa), Clarice G.
B. Demétrio (LCE - ESALQ/USP), Bryan F. Manly (Western EcoSystems
Technology), Paulo J. Ribeiro Júnior (DES-UFPR)

\begin{chapsummary}
\begin{singlespace}
Neste artigo é feito um estudo de simulação para verificar o
comportamento dos estimadores de pseudo-verossimilhança dos
parâmetros do modelo autologístico, considerando diferentes
estruturas de covariáveis e de vizinhança, três intensidades de
infestação de uma praga e cinco  valores para o parâmetro de
correlação entre os vizinhos. Uma aplicação dos modelos
considerados no estudo de simulação é feita a um conjunto de dados
provenientes de um experimento com pimenta do sino, utilizado por
Gumpertz, Graham e Ristino (1997). Mostra-se que o método de
estimação por pseudo-verossimilhança pode ser usado, com certa
cautela, quando o interesse está na contribuição das covariáveis,
mas não deve ser usado quando o interesse está na estimação da
correlação espacial.

\hspace{0.3cm}

Palavras chaves: Modelo autologístico, dependência espacial, dados
binários, distribuição Bernoulli
\end{singlespace}
\end{chapsummary}

\begin{chapabstract}
Properties of the spatial autologistic model parameters - A
simulation study

In this paper a simulation study is performed in order to verify
the effect of different covariate and neighbouring structures,
three pest infestation levels and five different spatial
correlation coefficient values on the pseudo-likelihood estimators
of the autologistic model parameters. An application of the
metodology is presented using the bell pepper data from Gumpertz,
Graham e Ristino (1997). It is shown that the pseudo-likelihood
method can be used when the researcher is interested on the
covariate contributions but should not be used when he is
interested on the estimation of the spatial correlation.

 Keywords: autologistic model, spatial correlation, binary data,
 Bernoulli distribution

\end{chapabstract}

\section{\bf Introdução}

\noindent\hspace{1cm} Variáveis respostas binárias, isto é, do
tipo sucesso/fracasso são muito comuns na Experimentação
Agronômica. Assim, por exemplo, em Fitopatologia, o pesquisador
pode estar interessado no estudo da presença ou ausência de uma
determinada doença e sua distribuição espacial. Nesse tipo de
estudo, espera-se, em geral, que as observações sejam
correlacionadas no espaço e/ou no tempo.

\noindent\hspace{1cm} O modelo padrão para a análise de respostas
binárias tem sido o modelo logístico de regressão que tem como uma
de suas pressuposições a independência das observações. Assim
sendo, no caso de existir dependência espacial ou temporal esse
modelo não é indicado e modelos que levam em consideração a
correlação existente entre as observações têm sido propostos na
literatura.

\noindent\hspace{1cm} Com a finalidade de incorporar a informação
da vizinhança como covariável foram propostos os modelos
autologísticos (BESAG,~1972, AUGUSTIN; MUGGLESTONE;
BUCKLAND,~1996, GUMPERTZ; GRAHAM; RISTANO, 1997). As áreas de
aplicação são diversas e incluem estudos sobre fauna aquática de
macro invertebrados em 76 lagoas inglesas (SANDERSON; EYRE;
RUSHTON, 2005), comportamento de clientes em relação a políticas
de seguro (MOON; RUSSEL 2005), rupturas causadas por besouros em
pinus nos Estados Unidos (WU et al., 2005), mapeamento de pobreza
em países em desenvolvimento (PETRUCCI; SALVATI; SEGHIERI 2004),
distribuição espacial de renas na Suécia (TETERUKOVSKIY; EDEMIRS,
2003), distribuição de vegetação em florestas, considerando
covariáveis climáticas (HE; ZHOU; ZHU 2003), distribuição da
epidemia do {\it Phytophthora} em pimenta do sino considerando
efeitos de variáveis do solo (GUMPERTZ; GRAHAM; RISTAINO, 1997),
distribuição de espécies de plantas considerando covariáveis
climáticas (WU; HUFFER, 1997), distribuição espacial de alces em
uma região da Escócia (AUGUSTIN; MUGGLESTONE; BUCKLAND, 1996),
análise genética de características familiares (ABEL; GLOLMARD;
MALLET, 1993), dentre outros. Uma comparação entre o modelo
autologístico e o modelo logístico regressivo é apresentada em
Abel, Golmard, Mallet,~(1993).

\noindent\hspace{1cm} Entretanto, esses tipos de modelos ainda
necessitam de estudos mais detalhados em relação às propriedades
dos métodos de estimação e dos estimadores propostos. O método de
pseudo-verossimilhança é relativamente simples quando comparado
com métodos alternativos, porém suas propriedades não têm sido
extensivamente estudadas (PETRUCCI; SALVATI; SEGHIERI, 2004). Com
o grande desenvolvimento dos recursos computacionais o uso de
simulações tem sido muito comum para o estudo de propriedades
estatísticas de interesse. Esses estudos são baseados em
informações reais e utilizados como repetições de um experimento,
sendo indicado para respostas contínuas e discretas.

 \noindent\hspace{1cm} Neste artigo é feito um estudo
de simulação para verificar o comportamento dos estimadores de
pseudo-verossimilhança dos parâmetros do modelo autologístico,
considerando diferentes estruturas de covariáveis e de vizinhança,
três intensidades de infestação de uma praga e cinco  valores para
o parâmetro de correlação entre os vizinhos. Uma aplicação dos
modelos considerados no estudo de simulação é feita a um conjunto
de dados provenientes de um experimento com pimenta do sino,
utilizado por Gumpertz, Graham e Ristino (1997).

\noindent\hspace{1cm} O restante do artigo está organizado como se
segue. A Seção \ref{sec:logit} descreve o modelo logístico
enquanto que a Seção \ref{sec:autolog}, o modelo autologístico com
a estimação dos parâmetros descrita na \ref{sec:est}. Na Seção
\ref{sec:simu} é feita a descrição da simulação cujos resultados
são apresentados e discutidos na Seção \ref{sec:simuresult}. Uma
aplicação do modelo autologístico é mostrada na Seção
\ref{sec:aplic}. Finalmente, algumas considerações finais aparecem
na Seção \ref{sec:consid}.

\section{\bf Modelo logístico} \label{sec:logit}

\noindent\hspace{1cm} Modelos lineares generalizados (MLG)
envolvem três componentes, a saber um componente sistemático, um
aleatório e uma função de ligação. O componente sistemático é
definido durante o planejamento do experimento e as variáveis
explicativas entram na forma de soma linear dos efeitos, isto é,
com preditor linear $\beeta = {\bf X\bbeta}$, em que ${\bf X}$ é a
matriz do modelo, ${\bf \bbeta}$ é o vetor de parâmetros. O
componente aleatório é estabelecido após definidas as medidas que
serão realizadas, em que o conjunto de variáveis aleatórias $Y_i,
i=1, 2, \ldots, n$ são mutuamente independentes com distribuição
pertencente à família exponencial na forma canônica e
$E(Y_i)=\mu_i$. A função de li\-ga\-ção relaciona o componente
aleatório ao componenete sistemático, ou seja, a média da
distribuição ao preditor linear. Logo, na seleção de modelos a
serem ajustados a um conjunto de dados, é importante escolher a
distribuição da variável resposta, a matriz do modelo e a função
de ligação (DEMÉTRIO, 2001). Um caso particular dos MLG é o modelo
de regressão logística que pode ser usado para a análise de
variáveis binárias independentes.

\noindent\hspace{1cm} Sejam $Y_i$, $i=1, 2, \ldots, n$, variáveis
aleatórias com distribuição de Bernoulli com probabilidade de
sucesso $\pi_i$, sendo que $y_i$ assume os valores zero (fracasso)
ou um (sucesso). Tem-se que $E(Y_i)= \pi_i$ e $Var(Y_i)= \pi_i(1-
\pi_i)$. Então, um modelo linear generalizado permite que as
probabilidades de sucesso $\pi_i$ sejam modeladas em termos de $p$
variáveis explanatórias $x_{ik}$, $k=1, \ldots, p$, através de

$$g(\pi_i)=\bbeta^T \bx_i$$
em que $g$ é uma função de ligação adequada e $\bbeta$ é o vetor
de parâmetros des\-co\-nhe\-ci\-dos. Considerando-se a função de
ligação logística, tem-se
\begin{eqnarray}
\nonumber \mbox{logit}(\pi_i)& = & \log \frac{\pi_i}{1-\pi_i} =
\beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2x_{i2} + \ldots +
              \beta_px_{ip} \nonumber
\end{eqnarray}
e, portanto,
\begin{eqnarray}
\theta_i = P(Y=1|x) = \frac{\exp\{\beta_0 +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik}\}}{1 + \exp\{\beta_0 +
\sum^p_{k=1}\beta_jx_{ik}\}}.   \nonumber
\end{eqnarray}

\section{\bf Modelo autologístico} \label{sec:autolog}

\noindent\hspace{1cm} O modelo autologístico teve impulso na área
de Estatística Espacial com os artigos de Besag (1972, 1974) e é
uma generalização do modelo logístico, considerando dependência
espacial entre as respostas. A autocorrelação pode ser induzida
por funções das respostas dos vizinhos como covariáveis no modelo
e podem ser consideradas diversas estruturas de vizinhança
chamadas de primeira, segunda e terceira ordens, respectivamente,
com quatro, oito e doze vizinhos, conforme Figura
\ref{fig:estviz}. De uma forma geral, tem como preditor linear

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{C:/ESALQ/TeseTEX/Simulações/Graficos/estviz.eps}\\
\caption{Representação esquemática de estrutura de vizinhança
sobre um látice regular (primeira, segunda e terceira ordens).}
\label{fig:estviz}
\end{figure}

\begin{eqnarray}
\mbox{logit}(\pi_i)& = & \log  \frac{\pi_i}{1-\pi_i}
           =  \beta_0 + \beta_1x_{i1} + \beta_2x_{i2} +
\ldots + \beta_px_{ip} + \gamma^T \bz_i \nonumber
\end{eqnarray}
em que $\pi_i$ é a probabilidade de sucesso de um evento para o
$i$-ésimo indivíduo, $i=1, \ldots, n$, $\beta_k$ é o $k$-ésimo
parâmetro associado à covariável $x_{ik}$, $\bgamma$ é o vetor
parâmetros associado ao vetor $\bz_i$ das informações da
vizinhança. Portanto, a probabilidade de um sucesso é dada por

\begin{eqnarray}
P(Y_i=1|\mbox{vizinhos}) = \frac{\exp \{\beta_0 + \beta_1x_{i1} +
 \ldots + \beta_px_{ip} + \gamma^T \bz_i \}}{1+\exp
\{\beta_0 + \beta_1x_{i1} +\ldots + \beta_px_{ip} + \bgamma^T
\bz_i\}}. \nonumber
\end{eqnarray}

\noindent\hspace{1cm} A covariável $\bz_i=z_i$ foi definida, por
Augustin, Mugglestone e Buckland~(1996), como o peso médio
ponderado dos $k_i$ vizinhos do $i$-ésimo indivíduo, isto é,
$$z_i=\frac{\sum^{k_i}_{j=1}w_{ij}y_{j}}{\sum^{k_i}_{j=1}w_{ij}}$$
sendo que $w_{ij}=\frac{1}{h_{ij}}$, em que $h_{ij}$ é a distância
euclidiana entre as observações $i$ e $j$. Considerando-se a
distância entre indivíduos de uma unidade, no caso de estrutura de
vizinhança de primeira ordem, tem-se que

\begin{eqnarray}
z_{i} = \frac{1}{4}(y_{i_1} + y_{i_2} + y_{i_3} + y_{i_4}).
\label{eq:autoc4}
\end{eqnarray}

\noindent\hspace{1cm} Uma forma alternativa para definir a
covariável $\bz_i$, usada por Gumpertz, Grahan e Ristino (1997)
considera a estrutura de vizinhança separadamente, isto é, efeitos
de linhas, colunas e dia\-go\-nais (diagonal A e diagonal B),
fornecendo assim, informações de efeitos direcionais. Logo, para
estrutura de vizinhança de primeira ordem,

\begin{eqnarray}\nonumber \mbox{logit}(\pi_i) = \beta_{0} +
\beta_1x_{i_1} + \ldots +
\beta_px_{i_p} + \gamma_1L_i + \gamma_2C_i, \\
\nonumber
\end{eqnarray}
em que $\bgamma^T=(\gamma_1~ \gamma_2)$, $\bz^T_i=(L_i~C_i)$,
$\gamma_1$ e $\gamma_2$ são os parâmetros associados à informação
dos vizinhos nas linhas
$L_i=\displaystyle\frac{y_{i_1}+y_{i_2}}{2}$ e colunas
$C_i=\displaystyle\frac{y_{i_3}+y_{i_4}}{2}$.

\section{\bf Estimação}\label{sec:est}

\noindent\hspace{1cm} A estimação dos parâmetros do modelo
logístico de regressão, considerando que as observações são
independentes, é feita, geralmente, pelo método da máxima
verossimilhança, ML.

\noindent\hspace{1cm} No caso da modelagem de observações
correlacionadas espacialmente com o uso do modelo de regressão
autologístico não é possível escrever a função de verossimilhança
de forma fechada, sendo, portanto, em geral, desconhecida uma
expressão analítica para a constante de normalização. Diversos
métodos aproximados foram, então, propostos para estimação dos
parâmetros desse mo\-de\-lo, tais como máxima
pseudo-verossimlhança, MPL, e ``coding'', COD, (BESAG, 1972),
``bootstrap'' (BESAG, 1977), equações de estimação (BESAG, 1986),
máxima verossimilhança com si\-mu\-la\-ção Monte Carlo, MCL,
(GEYER, 1991, GEYER, 1992, GEYER, 1994, WU; HUFFER, 1997, HUFFER;
WU, 1998, GRIFFITH,~2002, SHERMAN, APANOSOVICH, CARROLL, 2006),
má\-xi\-ma verossimilhança com simulação Monte Carlo via cadeias
de Markov, MCMC (GU; KONG, 1998, GU; ZHU, 2001, WARD; GLEDITSCH,
2002), máxima pseudo-verossimlhança ge\-ne\-ra\-li\-za\-da, MGPL,
(HUANG; OGATA, 2002), dentre outros. Um método computacional
estatisticamente eficiente foi desenvolvido para o cálculo da
constante de normalização por Pettitt, Friel, Reeves (2003).

\noindent\hspace{1cm} A estimativa da máxima
pseudo-verossimilhança para um vetor de parâmetros
des\-co\-nhe\-ci\-dos $\btheta=(\beta_0, \beta_1, \ldots,
\bgamma)^T$ é definida como um vetor $\hat{\btheta}$ que maximize
a função de pseudo-verossimilhança (PETRUCCI; SALVATI; SEGHIERI,
2004)

\begin{eqnarray}
L(\bpi)=\prod^n_{i=1}P(Y_i=1|\mbox{vizinhos}) =
\prod^n_{i=1}\pi^{y_i}_i(1-\pi_i)^{(1-y_i)}  \label{eq:al1}
\end{eqnarray}
ou o seu logaritmo

\begin{eqnarray}\nonumber
\ell(\bpi)=\sum^n_{i=1}y_i \log \pi_i +\sum^n_{i=1}(1-y_i) \log
(1-\pi_i).
\end{eqnarray}

\noindent\hspace{1cm} Para o modelo autologístico, essa
aproximação é computacionalmente simples, pois necessita apenas de
algum ``software'' que tenha regressão logística. Entretanto, os
erros padrões das estimativas dos pa\-râ\-me\-tros são calculados,
como se as observações fossem independentes (PETRUCCI; SALVATI;
SEGHIERI, 2004). Uma proposta feita por Gumpertz, Grahan e Ristino
(1997) é usar o método de reamostragem ``bootstrap'' paramétrico
com amostrador de Gibbs que gera estimativas consistentes com boa
precisão. A fim de preservar a dependência espacial  dos dados
originais, gera-se um determinado número de látices, pelo
amostrador de Gibbs, usando-se como parâmetros as estimativas dos
parâmetros obtidas a partir de um conjunto de observações. A
seguir, é usado o método ``bootstrap'' para a obtenção de uma
seqüência de estimativas MPL e, então, os erros padrões das
estimativas dos parâmetros.

\noindent\hspace{1cm} O método de pseudo-verossimilhança, de
acordo com Ward; Gleiditsch (2002) é fácil de implementar, mais
eficiente do que COD e mostra propriedades assintóticas razoáveis.
Entretanto, tende a ser ineficiente quando há forte correlação
espacial.

\section{Um estudo de simulação}\label{sec:simu}

 \noindent\hspace{1cm} A fim de verificar o efeito
causado por diferentes estruturas de covariáveis e dependência
espacial sobre os estimadores de pseudo-verossimilhança dos
parâmetros do modelo autologístico, é proposto um estudo de
simulação, considerando-se um látice de $20$ por $20$ com
distância de uma unidade entre pontos. Foram feitas 1.000
simulações, usando-se os pacotes estatísticos GeoR (RIBEIRO JR.;
DIGGLE, 2001) e Rcitrus (KRAINSKI; RIBEIRO JR., 2006), do R. Para
cada simulação foram seguidos os passos que se seguem.

\noindent\hspace{1cm} Inicialmente, foram gerados valores para
duas covariáveis $X_1$ e $X_2$, para três situações, a saber
independendentes, com dependência espacial e não correlacionadas e
com dependência espacial e correlacionadas. Os valores para $X_1$
e $X_2$ foram gerados a partir de uma distribuição normal de média
0 e variância 1. No segundo caso, também foi suposta distribuição
normal de média 0 e variância 1, para ambas as variáveis e para a
dependência espacial foram usados, respectivamente, para gerar
$X_1$ e $X_2$, os valores 5 e 7 unidades para o parâmetro
referente a alcance. Na terceira situação, $X_1$ foi gerada com
distribuição normal de média 0 e variância 1 e parâmetro de
alcance igual a 6 unidades enquanto que $X_2=0,9 X_1+0,3
\epsilon$, com $\epsilon$ gerado a partir de uma distribuição
normal de média zero e variância 1. Isso faz com que a correlação
entre $X_1$ e $X_2$ esteja em torno de $0,9$.

\noindent\hspace{1cm} Em uma segunda etapa, foram calculados
valores para $p$, usando-se
$$p=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2)}
{1+\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2)}.$$

\noindent\hspace{1cm} A fim de se terem porcentagens de infestação
em torno de $10\%$ (baixa), $30\%$ (média) e $50\%$ (alta), os
valores usados para os parâmetros ($\beta_0$, $\beta_1$,
$\beta_2$) foram, respectivamente, (0, 1, 1), (-1, 0,25, 0,25) e
(-3, -1, -1).

\noindent\hspace{1cm} Em uma terceira etapa, foram calculados
valores para a covariável $z$, usando-se a expressão
(\ref{eq:autoc4}) com os valores de $y_{i_r}$, $r=1, \ldots,8$,
substituídos por valores de $p$ obtidos na segunda etapa.

\noindent\hspace{1cm} Em uma quarta etapa, foram recalculados os
valores de $p$, considerando-se

$$p=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma
z)} {1+\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma z)}$$ em que
o parâmetro $\gamma$ assumiu os valores 0,00, 0,25, 0,50, 0,75 e
1,00.

\noindent\hspace{1cm} Em uma quinta etapa, foram calculados novos
valores para $z$ e valores de $\pi$ dados por
$$\pi=\displaystyle\frac{\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma
z)} {1+\exp(\beta_0 +\beta_1 X_1 +\beta_2 X_2+\gamma z)}.$$

\noindent\hspace{1cm} Em uma sexta etapa, foram gerados valores
para a variável resposta $Y$ a partir de uma distribuição
Bernoulli com probabilidade de sucesso $\pi$.

\noindent\hspace{1cm} A cada conjunto de dados gerados nas 90
situações, foram ajustados três modelos, considerando

\vspace{0.5 cm}

M1: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 +
\gamma z $

\vspace{0.5 cm}

M2: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \gamma z $

\vspace{0.5 cm}

M3: $\mbox{logit}(\pi) =  \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 $

\vspace{0.5 cm}

\noindent\hspace{1cm} Note que M1 é o modelo usado na geração dos
dados, enquanto que M2 e M3 estão sendo u\-sa\-dos para verificar
o efeito do uso de modelos incompletos. Modelos semelhantes foram
ajustados aos dados, considerando estrutura espacial de segunda
ordem, mostrando resultados semelhantes aos de primeira ordem.

\noindent\hspace{1cm} Foram, então, obtidas médias e erros padrões
e médias dos erros padrões fornecidos pelo ajuste das 1000
estimativas de cada parâmetro.

\section{Resultados e discussão do estudo de
simulação}\label{sec:simuresult}

\noindent\hspace{1cm} As médias das estimativas de cada parâmetro
(Est), os erros padrões (EPC) e as médias dos erros padrões
fornecidos pelo ajuste das 1000 simulações (EP) estão apresentados
nas Tabelas 1 a 3.

\noindent\hspace{1cm} De uma forma geral, nota-se que as médias
das estimativas dos parâmetros $\beta_1$ e $\beta_2$ têm valores
não muito distantes dos valores verdadeiros, mas com variações
dependendo da correlação espacial $\gamma$ verdadeira, e da forma
como as covariáveis foram geradas. Ainda, nota-se que os erros
padrões de suas estimativas são muito próximos da média dos erros
padrões fornecidos pelo mo\-de\-lo. Observa-se, ainda uma
influência pequena nas médias das estimativas dos parâmetros
$\beta_1$ e $\beta_2$ obtidas pelos diferentes modelos mostrando
uma robustez no processo de estimação. Entretanto, as médias das
estimativas do parâmetro $\gamma$ têm uma disparidade muito grande
em relação ao valor $\gamma$ com o qual foram gerados os dados. De
forma semelhante existem disparidades entre ECP e EP. A seguir são
feitos comentários mais específicos.

\noindent\hspace{1cm} Observa-se que quando as covariáveis foram
geradas sem correlação e sem dependência espacial, de uma forma
geral, as médias das estimativas dos parâmetros $\beta_1$ e
$\beta_2$ são muito próximas dos valores verdadeiros para todos os
casos. Observa-se ainda, que a média das estimativas de $\gamma$
aumentam à medida em que aumenta a correlação entre os vizinhos.
Verifica-se ainda que os erros padrões das estimativas têm valores
muito próximos da média das estimativas dos erros padrões dados
pelo mo\-de\-lo, embora aumentem à medida que aumenta o valor da
correlação espacial usada na geração dos dados.

\noindent\hspace{1cm} Quando as covariáveis foram geradas sem
correlação e com dependência espacial, observa-se que, de uma
forma geral, as médias das estimativas dos parâmetros $\beta_0$,
$\beta_1$, $\beta_2$ e $\gamma$ aumentam à medida que aumenta o
valor da correlação espacial. Nota-se ainda que, no modelo
completo, as médias das estimativas de $\beta_0$ são mais próximas
dos valores verdadeiros, para o caso de baixa infestação, quando a
correlação entre vizinhos é maior e são mais próximas dos valores
verdadeiros quando a correlação entre vizinhos é menor para média
e alta infestação. Verifica-se também, que os erros padrões das
estimativas têm valores muito próximos da média das estimativas
dos erros padrões dados pelo modelo.

\noindent\hspace{1cm} Observa-se que quando as covariáveis foram
geradas com correlação e com dependência espacial, de uma forma
geral, as médias das estimativas dos parâmetros $\beta_1$ e
$\gamma$ aumentam à medida em que aumenta a correlação entre
vizinhos, já as médias das estimativas de $\beta_2$ são muito
próximas dos valores verdadeiros. Observa-se ainda, que a média
das estimativas de $\beta_0$ não alteram muito no caso de baixa
infestação e aumentam à medida em que aumenta a correlação entre
os vizinhos para o caso de média e alta infestação. Verifica-se
ainda que os erros padrões das estimativas têm valores próximos da
média das estimativas dos erros padrões dados pelo modelo.

\newpage
\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[h]
\caption{Valores obtidos para a média das estimativas dos
parâmetros a partir de 1000 simulações, supondo duas covariáveis
independentes e sem dependência espacial, para baixa
($\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$), média
($\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$) e alta
($\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$) infestação e
$\gamma$ v = 0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 considerando quatro
vizinhos}
\end{table}
\vspace{-0.5cm} \small{
\begin{tabular}{l l|r r r r r r r r r r r r r r r}
\hline  & & & & & & & & &  $\gamma$ v & & & & & &  & \\
 & & & 0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
 Mod1&Par &Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP\\
\hline
M1&$\beta_0$&-3,10&0,41&0,36&-3,08&0,41&0,35&-3,05&0,41&0,35&-3,03&0,40&0,35&-3,01&0,39&0,34\\
&$\beta_1$&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,03&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,22\\
&$\beta_2$&-1,05&0,25&0,24&-1,05&0,25&0,24&-1,05&0,24&0,24&-1,05&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,24\\
&$\gamma$&-0,87&6,34&47,45&-0,62&4,90&25,83&-0,69&5,84&36,28&-0,50&4,89&25,06&-0,41&4,96&27,34\\
M2&$\beta_0$&-2,23&0,24&0,23&-2,22&0,24&0,22&-2,20&0,24&0,22&-2,19&0,24&0,22&-2,17&0,24&0,22\\
&$\gamma$&-1,14&5,93&32,36&-0,88&4,65&19,51&-0,91&5,51&26,95&-0,70&4,63&19,07&-0,59&4,64&18,84\\
M3&$\beta_0$&-3,10&0,36&0,32&-3,07&0,35&0,32&-3,04&0,35&0,31&-3,01&0,34&0,31&-2,98&0,33&0,31\\
&$\beta_1$&-1,03&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,23&-1,02&0,24&0,23&-1,02&0,23&0,22&-1,01&0,23&0,22\\
&$\beta_2$&-1,04&0,25&0,24&-1,04&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,24&-1,04&0,24&0,23&-1,04&0,24&0,23\\
\hline
M1&$\beta_0$&-1,02&0,26&0,20&-0,94&0,26&0,21&-0,87&0,26&0,21&-0,78&0,26&0,21&-0,69&0,26&0,21\\
&$\beta_1$&0,26&0,12&0,12&0,25&0,12&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,11\\
&$\beta_2$&0,26&0,14&0,14&0,25&0,14&0,13&0,25&0,14&0,13&0,25&0,13&0,13&0,25&0,13&0,13\\
&$\gamma$&-0,04&0,83&0,59&-0,05&0,78&0,57&-0,03&0,75&0,55&-0,02&0,71&0,53&-0,02&0,70&0,52\\
M2&$\beta_0$&-0,98&0,26&0,20&-0,91&0,25&0,20&-0,84&0,25&0,20&-0,76&0,25&0,20&-0,67&0,26&0,21\\
&$\gamma$&-0,06&0,82&0,57&-0,06&0,77&0,56&-0,03&0,74&0,54&-0,01&0,71&0,52&0,00&0,70&0,51\\
M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,95&0,13&0,13&-0,87&0,13&0,12&-0,78&0,13&0,12&-0,69&0,12&0,12\\
&$\beta_1$&0,26&0,12&0,12&0,25&0,12&0,12&0,25&0,11&0,12&0,25&0,11&0,11&0,25&0,11&0,11\\
&$\beta_2$&0,26&0,14&0,14&0,25&0,14&0,13&0,25&0,14&0,13&0,25&0,13&0,13&0,25&0,13&0,13\\
\hline
M1&$\beta_0$&0,05&0,36&0,30&0,13&0,37&0,31&0,22&0,39&0,32&0,33&0,43&0,34&0,45&0,47&0,36\\
&$\beta_1$&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,04&0,16&0,16\\
&$\beta_2$&1,03&0,17&0,17&1,03&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,18&0,17\\
&$\gamma$&-0,09&0,67&0,54&0,00&0,67&0,54&0,10&0,68&0,54&0,18&0,71&0,54&0,24&0,75&0,55\\
M1&$\beta_0$&0,08&0,31&0,25&0,12&0,33&0,26&0,15&0,34&0,27&0,21&0,37&0,29&0,27&0,41&0,30\\
&$\gamma$&-0,17&0,59&0,45&-0,06&0,59&0,45&0,07&0,60&0,45&0,17&0,62&0,46&0,25&0,66&0,47\\
M3&$\beta_0$&0,00&0,13&0,13&0,13&0,13&0,13&0,27&0,13&0,13&0,43&0,14&0,14&0,59&0,14&0,14\\
&$\beta_1$&1,03&0,16&0,15&1,03&0,16&0,15&1,03&0,15&0,15&1,03&0,16&0,15&1,04&0,16&0,16\\
&$\beta_2$&1,02&0,17&0,16&1,02&0,17&0,16&1,02&0,17&0,17&1,02&0,17&0,17&1,02&0,18&0,17\\
\hline
\end{tabular}
}

\newpage
\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[h]
\caption{Valores obtidos para a média das estimativas dos
parãmetros a partir de 1000 simulações, supondo duas covariáveis
independentes e sem dependência espacial, para baixa
($\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$), média
($\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$) e alta
($\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$) infestação e
$\gamma$ v = 0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 considerando quatro
vizinhos}
\end{table}
\vspace{-0.5cm} \small{
\begin{tabular}{ll | r r r r r r r r r r r r r r r}
\hline  & & & & & & & & &  $\gamma$ v & & & & & &  &\\
\hline & && 0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
\hline
&&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP\\
\hline
M1&$\beta_0$&-3,09&0,38&0,35&-3,07&0,39&0,35&-3,05&0,39&3,45&-3,03&0,38&0,34&-3,02&0,39&0,34\\
&$\beta_1$&-1,08&0,33&0,29&-1,09&0,33&0,29&-1,11&0,33&0,29&-1,12&0,32&0,29&-1,14&0,32&0,29\\
&$\beta_2$&-1,08&0,31&0,29&-1,10&0,31&0,29&-1,12&0,31&0,29&-1,15&0,32&0,29&-1,17&0,32&0,29\\
&$\gamma$&-0,66&2,85&6,10&-0,53&1,78&1,22&-0,53&2,91&8,29&-0,38&1,56&1,14&-0,29&1,54&1,10\\
M2&$\beta_0$&-2,61&0,27&0,25&-2,60&0,27&0,25&-2,58&0,26&0,25&-2,57&0,26&0,24&-2,56&0,26&0,24\\
&$\gamma$&2,33&2,70&6,13&2,50&1,53&1,03&2,53&2,62&5,58&2,71&1,32&0,94&2,83&1,29&0,90\\
M3&$\beta_0$&-3,10&0,36&0,34&-3,08&0,36&0,34&-3,06&0,36&0,33&-3,04&0,37&0,33&-3,02&0,36&0,33\\
&$\beta_1$&-1,04&0,30&0,28&-1,06&0,30&0,27&-1,08&0,29&0,27&-1,10&0,29&0,27&-1,12&0,28&0,27\\
&$\beta_2$&-1,04&0,27&0,27&-1,07&0,27&0,27&-1,09&0,27&0,27&-1,12&0,27&0,27&-1,14&0,27&0,27\\
\hline
M1&$\beta_0$&-0,98&0,25&0,20&-0,91&0,25&0,21&-0,83&0,25&0,21&-0,74&0,26&0,21&-0,65&0,28&0,21\\
&$\beta_1$&0,26&0,14&0,14&0,27&0,14&0,13&0,28&0,14&0,13&0,30&0,14&0,13&0,31&0,14&0,13\\
&$\beta_2$&0,26&0,14&0,13&0,27&0,14&0,13&0,29&0,14&0,13&0,30&0,14&0,13&0,31&0,14&0,13\\
&$\gamma$&-0,18&0,84&0,59&-0,17&0,80&0,58&-0,15&0,77&0,56&-0,14&0,75&0,54&-0,12&0,73&0,53\\
M2&$\beta_0$&-1,09&0,25&0,20&-1,04&0,24&0,20&-0,97&0,24&0,20&-0,91&0,25&0,20&-0,84&0,26&0,20\\
&$\gamma$&0,27&0,82&0,57&0,30&0,77&0,55&0,35&0,74&0,53&0,41&0,71&0,51&0,45&0,70&0,49\\
M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,95&0,13&0,13&-0,87&0,13&0,12&-0,78&0,12&0,12&-0,69&0,12&0,12\\
&$\beta_1$&0,25&0,14&0,13&0,26&0,13&0,13&0,27&0,13&0,13&0,29&0,13&0,13&0,30&0,13&0,13\\
&$\beta_2$&0,25&0,13&0,13&0,26&0,13&0,13&0,28&0,13&0,13&0,30&0,13&0,13&0,31&0,13&0,13\\
\hline
M1&$\beta_0$&0,08&0,40&0,31&0,18&0,42&0,32&0,29&0,43&0,34&0,40&0,45&0,36&0,53&0,47&0,38\\
&$\beta_1$&1,04&0,21&0,18&1,08&0,21&0,18&1,12&0,22&0,19&1,15&0,22&0,19&1,19&0,23&0,20\\
&$\beta_2$&1,06&0,23&0,19&1,09&0,23&0,19&1,12&0,23&0,20&1,16&0,23&0,21&1,20&0,24&0,21\\
&$\gamma$&-0,15&0,74&0,56&-0,08&0,76&0,57&-0,02&0,75&0,57&0,05&0,76&0,58&0,10&0,75&0,59\\
M2&$\beta_0$&-1,30&0,26&0,23&-1,32&0,26&0,24&-1,34&0,26&0,24&-1,36&0,27&0,25&-1,36&0,27&0,26\\
&$\gamma$&2,51&0,52&0,41&2,64&0,51&0,41&2,77&0,51&0,41&2,90&0,51&0,42&3,01&0,51&0,42\\
M3&$\beta_0$&0,00&0,13&0,13&0,13&0,13&0,13&0,28&0,14&0,14&0,42&0,14&0,14&0,59&0,15&0,15\\
&$\beta_1$&1,01&0,15&0,15&1,06&0,15&0,15&1,11&0,16&0,16&1,16&0,16&0,16&1,21&0,18&0,17\\
&$\beta_2$&1,03&0,17&0,16&1,07&0,17&0,16&1,12&0,17&0,17&1,17&0,18&0,17&1,21&0,19&0,18\\
\hline
\end{tabular}
}

\newpage
\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[h]
\caption{Valores obtidos para a média das estimativas dos
parãmetros a partir de 1000 simulações, supondo duas covariáveis
dependentes e com dependência espacial, para baixa
($\beta_0=-3,00$, $\beta_1=-1,00$, $\beta_2=-1,00$), média
($\beta_0=-1,00$, $\beta_1=0,25$, $\beta_2=0,25$) e alta
($\beta_0=0,00$, $\beta_1=1,00$, $\beta_2=1,00$) infestação e
$\gamma$ v =0,00; 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 considerando quatro
vizinhos}
\end{table}
\vspace{-0.5cm} \small{
\begin{tabular}{ll | r r r r r r r r r r r r r r r}
\hline  & & & & & & & & &  $\gamma$ v & & & & & &  &\\
\hline & & &0,00 & & &  0,25 & & &  0,50 & & & 0,75 & & & 1,00 & \\
\hline
&&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP&Est&EPC&EP\\
\hline
M1&$\beta_0$&-3,09&0,38&0,35&-3,07&0,37&0,35&-3,06&0,37&0,34&-3,05&0,38&0,34&-3,03&0,37&0,34\\
&$\beta_1$&-1,12&0,75&0,70&-1,16&0,72&0,69&-1,19&0,73&0,69&-1,22&0,74&0,68&-1,25&0,73&0,68\\
&$\beta_2$&-0,99&0,71&0,69&-0,99&0,69&0,68&-1,00&0,69&0,68&-1,00&0,69&0,67&-1,01&0,68&0,67\\
&$\gamma$&-0,24&1,35&1,00&-0,20&1,33&0,97&-0,09&1,31&0,95&0,03&1,25&0,92&0,11&1,22&0,90\\
M2&$\beta_0$&-2,52&0,24&0,24&-2,51&0,24&0,24&-2,51&0,24&0,24&-2,51&0,23&0,24&-2,51&0,24&0,24\\
&$\gamma$&3,24&1,00&0,76&3,31&0,98&0,74&3,43&0,95&0,72&3,54&0,90&0,70&3,62&0,86&0,68\\
M3&$\beta_0$&-3,08&0,36&0,34&-3,06&0,36&0,34&-3,04&0,36&0,33&-3,03&0,36&0,33&-3,01&0,36&0,33\\
&$\beta_1$&-1,08&0,68&0,66&-1,12&0,66&0,65&-1,17&0,66&0,65&-1,23&0,67&0,65&-1,28&0,65&0,64\\
&$\beta_2$&-0,99&0,70&0,68&-0,99&0,68&0,68&-0,99&0,68&0,67&-0,99&0,68&0,66&-1,00&0,67&0,66\\
\hline
M1&$\beta_0$&-0,99&0,27&0,21&-0,92&0,26&0,21&-0,84&0,27&0,21&-0,75&0,27&0,21&-0,65&0,28&0,22\\
&$\beta_1$&0,24&0,45&0,43&0,26&0,44&0,43&0,29&0,43&0,42&0,33&0,41&0,42&0,36&0,41&0,41\\
&$\beta_2$&0,27&0,46&0,44&0,28&0,46&0,44&0,27&0,44&0,43&0,27&0,43&0,43&0,27&0,42&0,42\\
&$\gamma$&-0,12&0,84&0,59&-0,10&0,78&0,57&-0,09&0,78&0,56&-0,09&0,75&0,55&-0,09&0,72&0,53\\
M2&$\beta_0$&-1,15&0,25&0,20&-1,11&0,25&0,20&-1,06&0,26&0,20&-1,01&0,26&0,20&-0,96&0,26&0,20\\
&$\gamma$&0,57&0,78&0,54&0,64&0,72&0,52&0,71&0,72&0,50&0,77&0,69&0,49&0,84&0,66&0,47\\
M3&$\beta_0$&-1,02&0,13&0,13&-0,94&0,13&0,13&-0,86&0,13&0,13&-0,77&0,13&0,12&-0,68&0,12&0,12\\
&$\beta_1$&0,23&0,44&0,43&0,25&0,43&0,42&0,29&0,42&0,42&0,32&0,40&0,41&0,35&0,40&0,41\\
&$\beta_2$&0,27&0,45&0,44&0,28&0,45&0,43&0,27&0,44&0,43&0,27&0,43&0,42&0,27&0,42&0,42\\
\hline
M1&$\beta_0$&0,04&0,42&0,33&0,15&0,43&0,34&0,26&0,45&0,35&0,36&0,46&0,37&0,48&0,48&0,38\\
&$\beta_1$&1,02&0,51&0,51&1,07&0,52&0,51&1,13&0,54&0,52&1,19&0,54&0,52&1,27&0,54&0,53\\
&$\beta_2$&1,06&0,50&0,50&1,07&0,49&0,50&1,09&0,50&0,51&1,08&0,50&0,51&1,08&0,52&0,52\\
&$\gamma$&-0,08&0,81&0,61&-0,04&0,81&0,61&0,02&0,81&0,61&0,11&0,80&0,61&0,17&0,80&0,61\\
M2&$\beta_0$&-1,63&0,26&0,23&-1,64&0,25&0,24&-1,64&0,25&0,24&-1,66&0,26&0,25&-1,67&0,26&0,25\\
&$\gamma$&3,17&0,51&0,41&3,25&0,50&0,41&3,33&0,50&0,42&3,43&0,49&0,42&3,52&0,50&0,42\\
M3&$\beta_0$&0,00&0,14&0,14&0,02&0,20&0,15&0,27&0,15&0,15&0,41&0,16&0,16&0,57&0,16&0,16\\
&$\beta_1$&0,99&0,46&0,46&1,06&0,46&0,47&1,13&0,47&0,48&1,22&0,48&0,48&1,32&0,49&0,49\\
&$\beta_2$&1,06&0,49&0,50&1,07&0,49&0,50&1,08&0,50&0,51&1,08&0,50&0,51&1,07&0,51&0,52\\
\hline
\end{tabular}
}

\subsection{Aplicação} \label{sec:aplic}

\noindent\hspace{1cm} Uma aplicação da metodologia foi feita
usando-se dados de presença/ausência do patógeno {\it Phytophthora
capsici} em {\it quadrats} de pimenta de sino, tendo como
covariáveis o conteúdo de água no solo e o número de discos de
folhas colonizados pelo patógeno, apresentados em Gumpertz, Graham
e Ristiano (1997). É importante observar que a porcentagem de
infecção nesse caso é de $13,5\%$, o que ser considerado como
baixa. Além disso, a correlação estimada entre $X_1$ e $X_2$ é
apenas 0,27. A esse conjunto de dados, foram ajustados os cinco
modelos usados no estudo de simulação, considerando $X_1$ como a
covariável conteúdo de água no solo e $X_2$ como o número de
discos de folhas colonizados pelo patógeno e o método de
pseudo-verossimilhança para estimação dos parâmetros. Embora, no
artigo original tenha sido considerada borda dupla, usou-se borda
simples aqui. Os valores faltantes da covariável $X_1$ foram
estimados usando-se as expressões (\ref{eq:autoc4}) e
(\ref{eq:autoc8}) para estruturas de vizinhança de primeira e
segunda ordens, respectivamente. A seleção de modelos foi feita
usando-se o critério de informação de Akaike (AIC), dado por:
$-2*LVM + 2*p$, em que $p$ representa o número de parâmetros e
$LVM$ é o logaritmo da função de verossimilhança, considerando-se
como melhor modelo aquele com menor AIC.

\noindent\hspace{1cm} Os resultados obtidos para o ajuste dos
modelos ao conjunto original de dados estão nas Tabelas
\ref{tab:est4V} e \ref{tab:est8V}. Pelo critério de informação de
Akaike, considerando-se estrutura de vizinhança de primeira ordem
foi escolhido o modelo que inclui apenas a constante e o efeito de
linha, enquanto que estrutura de vizinhança de segunda ordem, o
melhor modelo inclui a constante, e os efeitos de linha e da
diagonal B. Verifica-se, portanto, que nenhuma covariável foi
significativa, como obtido por Gumpertz; Graham; Ristaino (1997).
A probabilidade de um ``quadrat'' ter presença da doença é dada
por

\begin{eqnarray}
P(Y_i=1/y_j, j \neq i) = \frac{\exp \{-2,83+1,07dB+1,29L
\}}{1+\exp\{-2,83+1,07dB+1,29L\}} \nonumber
\end{eqnarray}

\newpage

\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[!h]
\caption{Estimativas dos parâmetros e estatísticas dos diversos
modelos ajustados aos dados originais de pimenta do sino, com
estrutura de vizinhança de primeira ordem}\label{tab:est4V}
\end{table}
\vspace{-0.7cm} %
\renewcommand{\baselinestretch}{1.48}
\begin{table}[!h]
\centering %
\begin{tabular}{l|cccccc} \hline
Modelo & Parâmetro & Estimativa & Erro Padrão & Z & $valor-p$ & AIC \\
\hline %
M1 & $\beta_0$ & -3,29 & 1,10 & -3,00 & \textbf{0,003} & 245,16\\%
& $\beta_1$ & -0,05 & 0,13 & -0,35 & 0,73 &  \\%
& $\beta_2$ & 0,08 & 0,10 & 0,75 & 0,454 &  \\%
& $\gamma$ & 3,57 & 0,67 & 5,31 & \textbf{0,000}  & \\ %
M2 & $\beta_0$ & -2,50 & 0,24 & -10,51 & \textbf{0,000} & 241,73 \\%
& $\gamma$ & 3,56 & 0,66 & 5,38 & \textbf{0,000}  & \\  %
M3 & $\beta_0$ & -2,66 & 1,07 & -2,48 & \textbf{0,013} & 272,85\\%
& $\beta_1$ & 0,08 & 0,12 & 0,65 & 0,519 & \\%
& $\beta_2$ & 0,08 & 0,10 & 0,77 & 0,440 & \\ %
M4 & $\beta_0$ & -3,07 & 1,11 & -2,75 & \textbf{0,006} & 243,00 \\%
& $\beta_1$ & -0,04 & 0,14 & -0,262 & 0,793 & \\%
& $\beta_2$ & 0,06 & 0,10 & 0,54 & 0,591 & \\%
& $\gamma_1$ & 1,30 & 0,26 & 4,93 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & 0,36 & 0,32 & 1,12 & 0,26 & \\ %
M5 & $\beta_0$ & -2,49 &0,24 & -10,47 & \textbf{0,000} & 239,30 \\%
& $\gamma_1$ & 1,31 & 0,26 & 5,01 & \textbf{0,000 } & \\%
& $\gamma_2$ & 0,34 & 0,32 & 1,08 & 0,279 & \\ %
M5 & $\beta_0$ & -2,41 & 0,22 & -10,85 & \textbf{0,000} & 238,43 \\%
& $\beta_1$ & 1,41 & 0,25 & 5,73 & \textbf{0,000} & \\%
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\newpage

\def\tablename{Tabela}
\setlength{\tabcolsep}{2,2pt}
\renewcommand{\arraystretch}{1,3}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\begin{table}[!h]
\caption{Estimativas dos parâmetros e estatísticas dos diversos
modelos ajustados aos dados originais de pimenta do sino, com
estrutura de vizinhança de segunda ordem}\label{tab:est8V}
\end{table}
\vspace{-0.7cm} %
\renewcommand{\baselinestretch}{1.38}
\begin{table}[!h]
\centering %
\begin{tabular}{l|cccccc} \hline
Modelo & Parâmetro & Estimativa & Erro Padrão & Z & $valor-p$ & AIC \\
\hline M1 & $\beta_0$ & -3,74 & 1,13 & -3,30 & \textbf{0,000} &
233,86
\\%
& $\beta_1$ & -0,11 & 0,14 & -0,79 & 0,433 & \\%
& $\beta_2$ & 0,09 & 0,10 & 0,86 & 0,390 & \\%
& $\gamma$ & 5,22 & 0,88 & 5,96 & \textbf{0,000} & \\ %
M2 & $\beta_0$ & -2,82 & 0,27 & -10,28 & \textbf{0,000} & 230,88 \\%
& $\gamma$ & 5,09 & 0,85 & 6,02 & \textbf{0,000} & \\  %
M3 & $\beta_0$ & -2,68 & 1,08 & -2,49 & \textbf{0,013} & 272,82\\%
& $\beta_1$ & 0,08 & 0,12 & 0,64 & 0,52 & \\
& $\beta_0$ & 0,08 & 0,10 & 0,79 & 0,429 & \\ %
M4 & $\beta_0$ & -3,60 &1,19 & -3,04 & \textbf{0,002} &229,31 \\%
& $\beta_1$ & -0,10 & 0,15 & -0,70 & 0,485 &  \\%
& $\beta_2$ & 0,06 & 0,11  & 0,60 & 0,550 & \\%
& $\gamma_3$ & 0,57 & 0,33 &  1,71 & 0,088 & \\%
& $\gamma_4$ & 1,04 & 0,28 & 3,75 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_1$ & 1,25 & 0,28 & 4,53 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & -0,15 & 0,37 & -0,41 & 0,682 & \\ %
M5 & $\beta_0$ & -2,94 & 0,29 & -10,16 & \textbf{0,000} & 225,94 \\%
& $\gamma_3$ & 0,56 & 0,33 & 1,68 & 0,092 & \\%
& $\gamma_4$ & 1,02 & 0,27 & 3,72 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_1$ & 1,25 & 0,27 & 4,58 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_2$ & -0,19 & 0,37 & -0,51 & 0,61 & \\  %
M5 & $\beta_0$ & -2,83 & 0,27 & -10,48 & \textbf{0,000} & 224,74 \\%
& $\gamma_4$ & 1,07 & 0,27 & 4,00 & \textbf{0,000} & \\%
& $\gamma_1$ & 1,29 & 0,25 & 5,12 & \textbf{0,000} & \\  %
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\section{Considerações finais} \label{sec:consid}

\noindent\hspace{1cm} O estudo de simulação com o objetivo de
verificar o efeito causado por diferentes estruturas de
covariáveis e dependência espacial sobre os estimadores de
pseudo-verossimilhança dos parâmetros do modelo autologístico
permitiu verificar que as médias das estimativas dos parâmetros
associados às covariáveis têm valores não muito distantes dos
valores verdadeiros, mas com variações dependendo da correlação
espacial, e da forma como as covariáveis foram geradas, mostrando
uma robustez no processo de estimação. Os erros padrões de suas
estimativas são muito próximos da média dos erros padrões
fornecidos pelo mo\-de\-lo. Entretanto, as médias das estimativas
do parâmetro de correlação espacial têm uma disparidade muito
grande em relação ao valor verdadeiro com o qual foram gerados os
dados. De forma semelhante existem disparidades entre o erro
padrão obtido a partir das estimativas dos parâmetros e a média
dos erros padrões fornecidos pelo modelo.

\noindent\hspace{1cm} As médias das estimativas dos parâmetros,
geralmente, aumentam com o aumento da correlação espacial,
evidenciando a presença de um pequeno vício, que praticamente
desaparece no caso em que as co\-va\-riá\-veis não são
correlacionadas e não têm dependência espacial.

\noindent\hspace{1cm} O coeficiente de correlação espacial é
estimado com vício muito grande, fazendo com que a correlação
espacial se torne muito maior do que o valor verdadeiro.

\noindent\hspace{1cm} Portanto, o método de estimação por
pseudo-verossimilhança pode ser usado, com certa cautela, quando o
interesse está na contribuição das covariáveis, mas não deve ser
usado quando o interesse está na estimação da correlação espacial.

\noindent\hspace{1cm} Estudos adicionais por simulação são
necessários para verificar o efeito de observações faltantes nas
estimativas dos parâmetros do modelo autologístico.

 \vspace{1cm}

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\end{document}












agradecimentos de artigos resultantes de dissertacoes e teses ha
necessidade de agradecer:

- CAPES (bolsas)

- dizer que e resultado de dissertacao ou tese

- se algum dos autores (no caso, professores for bolsista do CNPq
precisa ser dito) Sao exigencias da CAPES e do CNPq.

Segue um exemplo, em ingles:

This work is part of the MsC dissertation of the first author at
the Departmento de Ci\^encias Exatas, Escola Superior de
Agricultura ``Luiz de Queiroz'', Universidade de S\~ao Paulo,
Piracicaba.  The second and third authors are researchers 1C of
CNPQ, a Brazilian science funding agency.
