{\setlength{\baselineskip}{1.0\baselineskip}

\section{RESULTADOS E DISCUSSÃO}

\subsection{Estudo de simulação}

Este estudo teve o objetivo de avaliar a qualidade das estimativas dos parâmetros 
por máxima verossimilhança e das  predições espaciais 
obtidas com os modelos geoestatísticos bivariados considerados nesse estudo.

\subsubsection{Modelos bivariados com dados co-locados e balanceados}

Sob as duas abordagens de modelos bivariados, foram simuladas 1000 amostras do vetor $Y=(Y_{1},Y_{2})$. 
Cada amostra foi dividida em uma subamostra de modelagem e uma subamostra de controle. 
A subamostra de modelagem foi utilizada para estimatição paramétrica e a subamostra de controle, 
que possui 20 valores simulados de cada resposta e suas respectivas localizações, 
foi utilizada para avaliar a qualidade preditiva das metodologias de modelagem.   
No que se segue usa-se o termo "amostragem balanceada'' quando a número de observações é o mesmo
para duas variáveis. O termo "co-locada" é utilizado quando as amostras das duas variáveis são tomadas nas 
mesmas localizações.

As Tabelas 1 e 2 mostram as estatísticas descritivas das estimativas paramétricas por máxima verossimilhança 
do BGCCM e do BCRM, respectivamente. As estimativas dos parâmetros de média se comportaram bem, 
uma vez que os valores de média e mediana se aproximam muito dos valores utilizados na simulação e 
existe uma pequena amplitude nas estimativas. 
Com relação aos parâmetros de variabilidade e de correlação, 
nas duas abordagens as estimativas possuem uma maior amplitude e em sua maioria ocorre 
uma pequena subestimação em média.

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$137,03$&$ 147,39$&$ 150,01$&$ 149,99$&$ 152,48$&$ 161,82$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$ 52,18$&$  58,56$&$  60,02$&$  59,98$&$  61,43$&$  66,32$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{01}$&$ 4,13 $&$   6,24$&$   7,22$&$   7,41$&$   8,35$&$  16,47$\\%&$(7,27;9,61)$\\
$\sigma_{1} $&$>0,001$&$   2,14$&$   3,58$&$   3,18$&$   4,29$&$   7,81$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{02}$&$  2,12$&$   3,82$&$   4,44$&$   4,58$&$   5,17$&$   9,11$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{2} $&$>0.001$&$   0,38$&$   1,65$&$   1,54$&$   2,40$&$   5,20$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{0}   $&$ 0,05 $&$   0,14$&$   0,19$&$   0,22$&$   0,27$&$   1,00$\\%&$(0,08;0,28)$\\
$\phi_{1}   $&$>0.001$&$   0,11$&$   0,15$&$   0,19$&$   0,22$&$   1,00$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$>0.001$&$   0,11$&$   0,17$&$   0,21$&$   0,28$&$   1,00$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\vspace{-0.5cm}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$138,39$&$ 147,67$&$ 150,07$&$ 149,99$&$ 152,45$&$ 162,05$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$ 53,86$&$  58,63$&$  60,03$&$  59,98$&$  61,37$&$  67,17$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{11}$&$5,19  $&$   7,40$&$   8,16$&$   8,41$&$   9,12$&$  16,00$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{12}$&$  2,69$&$   4,10$&$   4,54$&$   4,68$&$   5,14$&$   9,55$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{22}$&$1,22  $&$   1,66$&$   1,84$&$   1,88$&$   2,05$&$   3,21$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{1}   $&$0,07  $&$   0,16$&$   0,20$&$   0,22$&$   0,26$&$   0,79$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$0,06  $&$   0,13$&$   0,16$&$   0,18$&$   0,22$&$   0,58$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

As Tabelas 3 e 4 mostram as estatísticas descritivas das variâncias das estimativas dos parâmetros. 
De forma geral, as variâncias das estimativas são relativamente pequenas. 
As variâncias das estimativas apresentaram menor amplitude para o BCRM.

\begin{table}[!ht]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$  0,78$&$ 4,97  $&$ 8,58  $&$  12,03$&$  15,10$&$ 137,48$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$  0,40$&$  1,81 $&$  3,06 $&$  4,40$&$    5,55$&$  43,38$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{01}$&$  0,04$&$   0,10$&$   0,13$&$   0,14$&$   0,17$&$  0,68 $\\%&$(7,27;9,61)$\\
$\sigma_{1} $&$>0,001$&$   0,04$&$   1,93$&$  28,97$&$   9,63$&$2467,42$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{02}$&$  0,01$&$   0,07$&$   0,33$&$   4,78$&$   1,67$&$ 386,51$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{2} $&$>0.001$&$   0,12$&$   0,42$&$   6,93$&$   1,92$&$ 797,07$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{0}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,002$&$   0,01$&$  0,009$&$   2,48$\\%&$(0,08;0,28)$\\
$\phi_{1}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,003$&$   0,04$&$   0,01$&$   2,56$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,002$&$   0,07$&$   0,02$&$   7,70$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$  0,96$&$ 5,42  $&$ 8,55  $&$  12,36$&$  14,22$&$ 106,43$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$  0,59$&$  2,07 $&$  3,10 $&$  4,31 $&$   5,03$&$  36,35$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{11}$&$  0,07$&$   0,14$&$   0,17$&$  0,18 $&$   0,21$&$  0,64 $\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{12}$&$  0,04$&$   0,08$&$   0,09$&$   0,10$&$   0,11$&$ 0,37  $\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{22}$&$  0,04$&$   0,13$&$   0,19$&$   0,23$&$   0,29$&$ 1,41  $\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{1}   $&$>0,001$&$  0,003$&$  0,005$&$   0,02$&$   0,01$&$   0,48$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$>0,001$&$  0,002$&$  0,003$&$  0,007$&$   0,07$&$   0,15$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

A partir da obtenção  das variâncias das estimativas calculadas, 
pode-se pensar em obter intervalos de confiança marginais ou conjuntos para os parâmetros. 
Entretanto a obtenção dos intervalos apresenta
 algumas dificuldades em modelos geoestatísticos onde geralmente existe apenas uma observação de um campo aleatório. Resultados assintóticos usuais para os estimadores de máxima verossimilhança não são adequados. 
A distribuição  $\widehat{\theta}$ não apresenta independência entre os parâmetros que são estimados 
com  uso fórmulas analíticas e  por métodos numéricos. 
A matriz de covariâncias dos parâmetros associados a função de verossimilhança concentrada é estimada através da matriz de informação observada de Fisher, que nesse caso é estimada através da matriz hessiana resultante do método numérico. 
Não é incomum encontrar valores absurdos ou incompatíveis com os dados, possivelmente devido a instabilidade computacional.

Para contornar os problemas com os intervalos de confiança, pode-se adotar a abordagem com funções de verossimilhança perfilhadas. Entretanto essa técnica demanda muito tempo computacional
o que inviabiliza sua utilização em estudos de simulação inviabilisou sua utilização.

As Tabelas 5 e 6 trazem os erros absolutos e quadráticos médios dos parâmetros nas 1000 estimações paramétricas de cada abordagem. As estimativas são próximas aos valores verdadeiros dos parâmetros utilizados na simulação, sendo que, o BCRM estima os parâmetros com um pouco mais de precisão.

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Erros absolutos médios e erros quadráticos médios das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Estatística}&\multicolumn{1}{c}{$\beta_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{02} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{1} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{02}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{2} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{0}   $}& \multicolumn{1}{c}{$\phi_{1}   $}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{2}   $}\\
\hline
$EAM        $&$2,98 $&$1,71$&$1,44$&$1,41$&$0,93$&$1,01$&$0,094$&$0,102$&$0,116$\\
$EQM        $&$14,04$&$4,79$&$3,17$&$3,65$&$1,27$&$1,52$&$0,015$&$0,021$&$0,024$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!h]
 \hangcaptionL{Erros absolutos médios e erros quadráticos médios das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Estatística}&\multicolumn{1}{c}{$\beta_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{02} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{11} $}&\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{12}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{22}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{1}   $}&\multicolumn{1}{c}{$\phi_{2}   $}\\
\hline
$EAM        $&$2,89 $&$1,67$&$1,33$&$0,76$&$0,26$&$0,08$&$0,06 $\\
$EQM        $&$13,17$&$4,46$&$2,66$&$0,88$&$0,10$&$0,01$&$0,005$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Sob o BGCCM e o BCRM foi estimado, em cada subamostra, o vetor de parâmetros, 
o qual foi substituído na fórmula de krigagem para fazer predição espacial das duas variáveis nas 
localizações da subamostra de controle. Ou seja, para cada amostra de $Y$ existem 20 valores simulados 
de cada resposta, que não foram utilizados para ajuste de modelo, e suas respectivas predições espaciais. 
Em cada processo de krigagem foram calculados os erros absolutos e quadráticos médios de predição das variáveis. 
As Tabelas 7 e 8 apresentam as estatísticas descritivas das medidas de erro de predição de todas as amostras 
simuladas de cada abordagem. Os dois modelos se mostraram muito eficientes para predição espacial, uma vez que, 
os erros são relativamente pequenos em comparação com os valores médios das respostas.

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas dos erros de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$EAM_{Y_{1}}$&$ 1,79 $&$ 3,29 $&$ 3,78 $&$ 3,83 $&$ 4,30 $&$ 6,21 $\\
$EAM_{Y_{2}}$&$ 1,14 $&$ 2,00 $&$ 2,30 $&$ 2,31 $&$ 2,58 $&$ 4,06 $\\
$EQM_{Y_{1}}$&$ 5,67 $&$ 17,29$&$ 22,24$&$ 23,56$&$ 28,55$&$ 54,45$\\
$EQM_{Y_{2}}$&$ 2,05 $&$ 6,32 $&$ 8,13 $&$ 8,50 $&$ 10,20$&$ 21,95$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas dos erros de krigagens com as estimativas paramétricas do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$EAM_{Y_{1}}$&$ 1,35 $&$3,24 $&$ 3,71 $&$ 3,76 $&$ 4,21 $&$ 6,87 $\\
$EAM_{Y_{2}}$&$ 1,00 $&$2,00 $&$ 2,27 $&$ 2,29 $&$ 2,58 $&$ 3,75 $\\
$EQM_{Y_{1}}$&$ 3,06 $&$16,52$&$ 21,40$&$ 22,68$&$ 27,33$&$ 57,87$\\
$EQM_{Y_{2}}$&$ 1,64 $&$6,22 $&$ 7,97 $&$ 8,38 $&$ 10,04$&$ 21,09$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Com cada subamostra de controle, além da krigagem, foi calculado o desvio padrão marginal de cada valor predito das respostas. Em cada processo de krigagem foi calculada a média dos vinte desvios padrões preditivos de cada variável. As Tabelas 9 e 10 mostram boa precisão das predições pois os desvios padrões de predição são pequenos. 
Também foram construídos intervalos de confiança marginais para as krigagens.
Em ambas abordagens mais de $95\%$ de todos os intervalos de confiança contemplam os valores simulados das duas respostas dos grupos de controle.

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das médias dos erros padrões de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\overline{EP}_{Y_{1}}$&$ 3,70 $&$ 4,52 $&$ 4,74 $&$ 4,75 $&$ 4,99 $&$ 5,83 $\\
$\overline{EP}_{Y_{2}}$&$ 2,21 $&$ 2,71 $&$ 2,84 $&$ 2,85 $&$ 2,98 $&$ 3,68 $\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das médias dos erros padrões de krigagens com as estimativas paramétricas do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\overline{EP}_{Y_{1}}$&$ 3,80 $&$4,46$&$4,68$&$4,70$&$4,93$&$5,93  $\\
$\overline{EP}_{Y_{2}}$&$ 2,26 $&$2,71$&$2,86$&$2,86$&$3,00$&$3,54  $\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\newpage

\subsubsection{Modelos bivariados com dados co-locados e desbalanceados}

As Tabelas 11 e 12 mostram as estísticas descritivas das estimativas para essa configuração amostral. Os resultados são bem parecidos com os da configurção do tópico anterior.
As Tabelas 13 e 14 apresentam os resultados das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança, os resultados também são similares aos da configuração com dados co-locados e balanceados.
As Tabelas 15 e 16 apresentam as estatísticas descritivas das medidas de erro de estimação das duas abordagens de modelos bivariados. Embora ambos modelos tenham boa performance preditiva, 
 o BCRM se mostrou um pouco mais eficiente do que o BGCCM.

Com relação as predições espaciais, os resultados são bem parecidos aos da última configuração analisada. Os dois modelos são eficientes para fazer krigagem. As Tabelas de 17 à 20 apresentam os resultados.

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e desbalanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$137,94$&$ 147,31$&$ 149,96$&$ 149,92$&$ 152,32$&$ 161,64$\\
$\beta_{02} $&$ 52,05$&$  58,55$&$  60,01$&$  59,95$&$  61,38$&$  66,44$\\
$\sigma_{01}$&$ 3,68 $&$   6,22$&$   7,22$&$   7,43$&$   8,42$&$  16,46$\\%&$(7,27;9,61)$\\
$\sigma_{1} $&$>0,001$&$   2,09$&$   3,54$&$   3,12$&$   4,18$&$   8,77$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{02}$&$  2,22$&$   3,81$&$   4,42$&$   4,55$&$   5,17$&$   8,50$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{2} $&$>0.001$&$   0,01$&$   1,59$&$   1,47$&$   2,35$&$   5,62$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{0}   $&$ 0,05 $&$   0,14$&$   0,20$&$   0,22$&$   0,27$&$   0,98$\\%&$(0,08;0,28)$\\
$\phi_{1}   $&$>0.001$&$   0,10$&$   0,16$&$   0,20$&$   0,24$&$   1,00$\\
$\phi_{2}   $&$>0.001$&$   0,09$&$   0,16$&$   0,20$&$   0,28$&$   1,00$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e desbalanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$138,39$&$ 147,62$&$ 150,00$&$ 149,99$&$ 152,46$&$ 162,05$\\
$\beta_{02} $&$ 54,00$&$  58,52$&$  60,01$&$  59,97$&$  61,43$&$  67,45$\\
$\sigma_{11}$&$5,00  $&$   7,38$&$   8,16$&$   8,39$&$   9,12$&$  16,00$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{12}$&$  2,76$&$   4,05$&$   4,55$&$   4,68$&$   5,17$&$  10,30$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{22}$&$1,11  $&$   1,62$&$   1,83$&$   1,85$&$   2,04$&$   3,46$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{1}   $&$0,07  $&$   0,16$&$   0,20$&$   0,22$&$   0,26$&$   0,79$\\
$\phi_{2}   $&$0,03  $&$   0,12$&$   0,16$&$   0,17$&$   0,21$&$   0,80$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e desbalanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$  0,78$&$ 4,95  $&$ 8,82  $&$  11,98$&$  14,95$&$ 137,19$\\
$\beta_{02} $&$  0,35$&$  1,78 $&$  3,12 $&$  4,37$&$    5,40$&$  35,87$\\
$\sigma_{01}$&$  0,05$&$   0,13$&$   0,17$&$   0,19$&$   0,24$&$  0,90 $\\%&$(7,27;9,61)$\\
$\sigma_{1} $&$>0,001$&$   0,05$&$   1,46$&$  27,11$&$   8,85$&$2164,17$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{02}$&$  0,02$&$   0,08$&$   0,31$&$   4,51$&$   1,59$&$ 595,88$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{2} $&$>0.001$&$ >0.001$&$   0,30$&$   5,74$&$   1,50$&$ 460,65$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{0}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,001$&$   0,01$&$  0,007$&$   0,80$\\%&$(0,08;0,28)$\\
$\phi_{1}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,002$&$   0,18$&$   0,01$&$  74,62$\\
$\phi_{2}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,001$&$   0,18$&$   0,02$&$  53,89$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\vspace{-0.5cm}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e desbalanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$  0,93$&$ 5,39  $&$ 8,49  $&$  12,31$&$  14,20$&$ 106,45$\\
$\beta_{02} $&$  0,58$&$  2,08 $&$  3,18 $&$  4,32 $&$   5,06$&$  42,01$\\
$\sigma_{11}$&$  0,08$&$   0,18$&$   0,22$&$  0,24 $&$   0,28$&$  0,85 $\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{12}$&$  0,06$&$   0,12$&$   0,15$&$   0,16$&$   0,18$&$ 0,65  $\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{22}$&$  0,05$&$   0,14$&$   0,20$&$   0,25$&$   0,31$&$ 2,69  $\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{1}   $&$>0,001$&$  0,003$&$  0,006$&$   0,02$&$   0,01$&$   0,47$\\
$\phi_{2}   $&$>0,001$&$  0,002$&$  0,004$&$  0,01 $&$   0,01$&$   0,61$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Erros absolutos médios e erros quadráticos médios das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e desbalanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Estatística}&\multicolumn{1}{c}{$\beta_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{02} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{1} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{02}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{2} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{0}   $}& \multicolumn{1}{c}{$\phi_{1}   $}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{2}   $}\\
\hline
$EAM        $&$2,91 $&$1,71$&$1,44$&$1,41$&$0,94$&$1,02$&$0,095$&$0,109$&$0,123$\\
$EQM        $&$13,50$&$4,85$&$3,10$&$3,81$&$1,30$&$1,58$&$0,015$&$0,024$&$0,026$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Erros absolutos médios e erros quadráticos médios das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e desbalanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Estatística}&\multicolumn{1}{c}{$\beta_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{02} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{11} $}&\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{12}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{22}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{1}   $}&\multicolumn{1}{c}{$\phi_{2}   $}\\
\hline
$EAM        $&$2,89 $&$1,67$&$1,34$&$0,78$&$0,29$&$0,08$&$0,07 $\\
$EQM        $&$13,05$&$4,42$&$2,71$&$0,94$&$0,12$&$0,01$&$0,007$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas dos erros de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e desbalanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$EAM_{Y_{1}}$&$ 1,83 $&$ 3,29 $&$ 3,76 $&$ 3,82 $&$ 4,28 $&$ 6,18 $\\
$EAM_{Y_{2}}$&$ 1,22 $&$ 2,09 $&$ 2,40 $&$ 2,41 $&$ 2,70 $&$ 4,04 $\\
$EQM_{Y_{1}}$&$ 5,94 $&$ 17,10$&$ 22,11$&$ 23,40$&$ 28,13$&$ 54,63$\\
$EQM_{Y_{2}}$&$ 2,30 $&$ 6,96 $&$ 8,90 $&$ 9,29 $&$ 11,17$&$ 23,56$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas dos erros de krigagens com as estimativas paramétricas do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e desbalanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$EAM_{Y_{1}}$&$ 1,35 $&$3,23 $&$ 3,71 $&$ 3,76 $&$ 4,21 $&$ 6,87 $\\
$EAM_{Y_{2}}$&$ 1,11 $&$2,03 $&$ 2,31 $&$ 2,34 $&$ 2,60 $&$ 3,91 $\\
$EQM_{Y_{1}}$&$ 3,06 $&$16,52$&$ 21,28$&$ 22,66$&$ 27,33$&$ 57,87$\\
$EQM_{Y_{2}}$&$ 1,81 $&$6,44 $&$ 8,28 $&$ 8,74 $&$ 10,55$&$ 21,09$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das médias dos erros padrões de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e desbalanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\overline{EP}_{Y_{1}}$&$ 3,71 $&$ 4,54 $&$ 4,74 $&$ 4,77 $&$ 5,01 $&$ 6,01 $\\
$\overline{EP}_{Y_{2}}$&$ 2,22 $&$ 2,77 $&$ 2,94 $&$ 2,96 $&$ 3,16 $&$ 3,81 $\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das médias dos erros padrões de krigagens com as estimativas paramétricas do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e desbalanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\overline{EP}_{Y_{1}}$&$ 3,76 $&$4,46$&$4,68$&$4,70$&$4,93$&$5,93  $\\
$\overline{EP}_{Y_{2}}$&$ 2,15 $&$2,76$&$2,91$&$2,92$&$3,08$&$3,76  $\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\newpage

\subsubsection{Modelos bivariados com dados $50\%$ co-locados e balanceados}

As Tabelas de 21 à 30 mostram que os resultados com essa configuração são parecidos com os resultados das demais configurações.
De forma geral, a configuração das localizações amostrais não mostrou influencia nítida 
 na estimação dos parâmetros e na predição espacial.

\begin{table}[http!]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados $50\%$ co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$137,86$&$ 147,60$&$ 150,17$&$ 150,12$&$ 152,54$&$ 163,84$\\
$\beta_{02} $&$ 52,90$&$  58,57$&$  60,15$&$  60,09$&$  61,52$&$  66,54$\\
$\sigma_{01}$&$ 4,02 $&$   6,22$&$   7,21$&$   7,42$&$   8,30$&$  16,64$\\%&$(7,27;9,61)$\\
$\sigma_{1} $&$>0,001$&$   2,21$&$   3,56$&$   3,13$&$   4,24$&$   8,18$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{02}$&$  2,30$&$   3,92$&$   4,49$&$   4,59$&$   5,20$&$   9,21$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{2} $&$>0.001$&$   0,01$&$   1,62$&$   1,50$&$   2,45$&$   4,82$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{0}   $&$ 0,06 $&$   0,15$&$   0,20$&$   0,22$&$   0,27$&$   1,00$\\%&$(0,08;0,28)$\\
$\phi_{1}   $&$>0.001$&$   0,10$&$   0,15$&$   0,18$&$   0,23$&$   1,00$\\
$\phi_{2}   $&$>0.001$&$   0,10$&$   0,18$&$   0,22$&$   0,30$&$   1,00$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados $50\%$ co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$135,74$&$ 147,46$&$ 149,67$&$ 149,81$&$ 152,10$&$ 163,08$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$ 52,13$&$  58,58$&$  59,79$&$  59,82$&$  61,16$&$  67,26$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{11}$&$5,34  $&$   7,45$&$   8,20$&$   8,42$&$   9,21$&$  15,77$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{12}$&$  2,75$&$   4,12$&$   4,56$&$   4,68$&$   5,15$&$   8,63$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{22}$&$1,19  $&$   1,63$&$   1,81$&$   1,85$&$   2,01$&$   3,27$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{1}   $&$0,08  $&$   0,17$&$   0,20$&$   0,22$&$   0,26$&$   0,75$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$0,004 $&$   0,12$&$   0,16$&$   0,17$&$   0,21$&$   0,69$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados $50\%$ co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$  0,67$&$ 4,85  $&$ 8,32  $&$  11,06$&$  13,27$&$ 140,18$\\
$\beta_{02} $&$  0,30$&$  1,84 $&$  2,95 $&$  4,04$&$    5,01$&$  42,79$\\
$\sigma_{01}$&$  0,04$&$   0,10$&$   0,13$&$   0,14$&$   0,17$&$  0,70 $\\%&$(7,27;9,61)$\\
$\sigma_{1} $&$>0,001$&$   0,04$&$   1,54$&$  25,95$&$   7,18$&$3974,537$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{02}$&$  0,01$&$   0,06$&$   0,32$&$   4,26$&$   1,30$&$ 500,87$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{2} $&$>0.001$&$ >0.001$&$   0,31$&$  11,50$&$   1,52$&$3236.42$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{0}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,001$&$   0,01$&$  0,007$&$   1,59$\\%&$(0,08;0,28)$\\
$\phi_{1}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,002$&$   0,13$&$   0,01$&$  28,20$\\
$\phi_{2}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,001$&$   0,19$&$   0,02$&$  47,58$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados $50\%$ co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$  1,04$&$ 5,40  $&$ 8,08  $&$  11,06$&$  13,76$&$ 102,51$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$  0,63$&$  1,96 $&$  2,86 $&$  3,77 $&$   4,69$&$  30,74$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{11}$&$  0,07$&$   0,14$&$   0,17$&$  0,18 $&$   0,21$&$  0,62 $\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{12}$&$  0,05$&$   0,10$&$   0,12$&$   0,12$&$   0,14$&$ 0,41  $\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{22}$&$  0,05$&$   0,13$&$   0,18$&$   0,24$&$   0,27$&$ 2,22  $\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{1}   $&$>0,001$&$  0,003$&$  0,005$&$   0,01$&$   0,01$&$   0,38$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$>0,001$&$  0,002$&$  0,004$&$  0,009$&$   0,008$&$   0,31$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Erros absolutos médios e erros quadráticos médios das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados $50\%$ co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Estatística}&\multicolumn{1}{c}{$\beta_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{02} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{1} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{02}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{2} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{0}   $}& \multicolumn{1}{c}{$\phi_{1}   $}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{2}   $}\\
\hline
$EAM        $&$2,90 $&$1,71$&$1,41$&$1,37$&$0,88$&$1,06$&$0,087$&$0,103$&$0,125$\\
$EQM        $&$13,41$&$4,47$&$3,03$&$3,63$&$1,18$&$1,63$&$0,013$&$0,019$&$0,029$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Erros absolutos médios e erros quadráticos médios das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados $50\%$ co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Estatística}&\multicolumn{1}{c}{$\beta_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{02} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{11} $}&\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{12}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{22}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{1}   $}&\multicolumn{1}{c}{$\phi_{2}   $}\\
\hline
$EAM        $&$2,70 $&$1,57$&$1,24$&$0,71$&$0,29$&$0,07 $&$0,07 $\\
$EQM        $&$11,41$&$3,95$&$2,28$&$0,74$&$0,12$&$0,008$&$0,007$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas dos erros de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados $50\%$ co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$EAM_{Y_{1}}$&$ 1,78 $&$ 3,12 $&$ 3,55 $&$ 3,59 $&$ 4,06 $&$ 5,94 $\\
$EAM_{Y_{2}}$&$ 0,91 $&$ 1,78 $&$ 2,02 $&$ 2,04 $&$ 2,30 $&$ 3,29 $\\
$EQM_{Y_{1}}$&$ 4,90 $&$ 15,05$&$ 19,53$&$ 20,60$&$ 25,46$&$ 51,98$\\
$EQM_{Y_{2}}$&$ 1,25 $&$ 5,00 $&$ 6,47 $&$ 6,83 $&$ 8,26$&$ 17,96$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas dos erros de krigagens com as estimativas paramétricas do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados $50\%$ co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$EAM_{Y_{1}}$&$ 1,72 $&$2,97 $&$ 3,36 $&$ 3,40 $&$ 3,78 $&$ 5,82 $\\
$EAM_{Y_{2}}$&$ 0,99 $&$1,77 $&$ 2,01 $&$ 2,03 $&$ 2,28 $&$ 3,88 $\\
$EQM_{Y_{1}}$&$ 4,77 $&$13,86$&$ 17,86$&$ 18,68$&$ 22,16$&$ 50,21$\\
$EQM_{Y_{2}}$&$ 1,73 $&$4,83 $&$ 6,35 $&$ 6,74 $&$  8,01$&$ 23,04$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das médias dos erros padrões de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados $50\%$ co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\overline{EP}_{Y_{1}}$&$ 3,55 $&$ 4,25 $&$ 4,45 $&$ 4,45 $&$ 4,65 $&$ 5,50 $\\
$\overline{EP}_{Y_{2}}$&$ 2,03 $&$ 2,45 $&$ 2,57 $&$ 2,57 $&$ 2,70 $&$ 3,13 $\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das médias dos erros padrões de krigagens com as estimativas paramétricas do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados $50\%$ co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\overline{EP}_{Y_{1}}$&$ 3,38 $&$4,07$&$4,26$&$4,26$&$4,44$&$5,14  $\\
$\overline{EP}_{Y_{2}}$&$ 1,97 $&$2,44$&$2,55$&$2,55$&$2,66$&$3,06  $\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\newpage

\subsubsection{Estudo cruzado dos modelos bivariados com dados co-locados e balanceados}

Nas seções anteriores foram expostos os resultados das estimações paramétricas e das predições espaciais utilizando o mesmo modelo do qual os dados foram simulados. Esta seção se dedica a investigar se cada uma das abordagens de modelos bivariados é robusto para estimar parâmetros e fazer krigagem com dados provenientes da abordagem concorrente.

As Tabelas 31 e 32 apresentam as estatísticas descritivas das estimativas paramétricas. Os parâmetros de variância estimados pelo BGCCM mostraram que a maior parte das variabilidades das respostas está sendo explicada pelos parâmetros $\sigma_{01}$ e $\sigma_{02}$, além disso, em média a estimativa do parâmetro $\sigma_{2}$ foi muito pequena, fato que inflacionou as estimativas de $\phi_{2}$.
As Tabelas 33 e 34 mostram que as variâncias das estimativas são relativamente pequenas. Cabe ressaltar que não foi possível calcular as medidas de erro das estimativas, pois os parâmetros estimados são da abordagem concorrente da utilizada na simulação dos dados.

Como em estudos com dados georeferenciados o maior interesse é na predição espacial, foram conduzidas krigagens nas localizações dos grupos controles do processo de simulação. Os dois modelos bivariados se mostraram robustos para fazer predição com a utilização de modelos diferentes nos processos de simulação e estimação, no entanto, o BGCCM apresentou resultados um pouco melhores. As Tabelas de 35 à 38 resumem os resultados.

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$137,13$&$ 147,52$&$ 150,01$&$ 150,08$&$ 152,71$&$ 162,00$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$ 53,05$&$  58,55$&$  60,07$&$  60,04$&$  61,53$&$  67,17$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{01}$&$ 4,45 $&$   6,56$&$   7,40$&$   7,67$&$   8,41$&$  16,28$\\%&$(7,27;9,61)$\\
$\sigma_{1} $&$>0,001$&$   2,34$&$   2,79$&$   2,50$&$   3,15$&$   5,47$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{02}$&$  2,70$&$   4,22$&$   4,75$&$   4,88$&$   5,44$&$  11,06$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{2} $&$>0.001$&$ >0.001$&$  0,005$&$   0,54$&$   1,19$&$   3,30$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{0}   $&$ 0,05 $&$   0,14$&$   0,19$&$   0,21$&$   0,25$&$   0,77$\\%&$(0,08;0,28)$\\
$\phi_{1}   $&$>0.001$&$   0,12$&$   0,16$&$   0,20$&$   0,23$&$   1,00$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$>0.001$&$   0,21$&$   0,36$&$   0,38$&$   0,50$&$   1,00$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$137,99$&$ 147,68$&$ 149,99$&$ 149,96$&$ 152,19$&$ 161,53$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$ 52,06$&$  58,70$&$  60,00$&$  59,96$&$  61,22$&$  66,38$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{11}$&$4,89  $&$   7,46$&$   8,24$&$   8,40$&$   9,17$&$  16,43$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{12}$&$  2,12$&$   3,56$&$   3,96$&$   4,05$&$   4,45$&$   7,99$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{22}$&$1,78  $&$   2,46$&$   2,72$&$   2,78$&$   3,02$&$   5,16$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{1}   $&$0,07  $&$   0,16$&$   0,20$&$   0,21$&$   0,25$&$   0,93$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$0,06  $&$   0,13$&$   0,17$&$   0,18$&$   0,21$&$   0,69$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$  0,76$&$ 4,79  $&$ 7,83  $&$  11,34$&$  13,28$&$ 120,41$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$  0,38$&$  1,76 $&$  2,88 $&$  4,28 $&$   4,97$&$  55,20$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{01}$&$  0,05$&$   0,11$&$   0,14$&$   0,15$&$   0,18$&$  0,66 $\\%&$(7,27;9,61)$\\
$\sigma_{1} $&$>0,001$&$   0,02$&$   0,02$&$   3,44$&$   0,36$&$ 510,80$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{02}$&$  0,02$&$   0,05$&$   0,07$&$   0,41$&$   0,11$&$  62,36$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{2} $&$>0.001$&$>0.001 $&$>0.001 $&$   2,85$&$   0,07$&$ 859,72$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{0}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,00 $&$  0,005$&$ >0.001$&$   0,94$\\%&$(0,08;0,28)$\\
$\phi_{1}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,00 $&$   0,04$&$  0,001$&$   6,75$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,00 $&$   0,15$&$ >0.001$&$  42,84$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$  0,75$&$ 5,43  $&$ 8,72  $&$  11,47$&$  14,04$&$ 136,50$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$  0,51$&$  2,08 $&$  3,02 $&$  3,73 $&$   4,53$&$  32,92$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{11}$&$  0,06$&$   0,14$&$   0,17$&$  0,18 $&$   0,21$&$  0,67 $\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{12}$&$  0,05$&$   0,10$&$   0,12$&$   0,13$&$   0,15$&$ 0,50  $\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{22}$&$  0,11$&$   0,28$&$   0,40$&$   0,51$&$   0,61$&$ 5,24  $\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{1}   $&$>0,001$&$  0,003$&$  0,005$&$   0,01$&$   0,01$&$   0,81$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$>0,001$&$  0,002$&$  0,003$&$  0,008$&$  0,007$&$   0,30$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas dos erros de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$EAM_{Y_{1}}$&$ 1,35 $&$ 3,25 $&$ 3,71 $&$ 3,75 $&$ 4,22 $&$ 6,87 $\\
$EAM_{Y_{2}}$&$ 1,01 $&$ 2,00 $&$ 2,27 $&$ 2,28 $&$ 2,57 $&$ 3,78 $\\
$EQM_{Y_{1}}$&$ 3,05 $&$ 16,42$&$ 21,46$&$ 22,61$&$ 27,36$&$ 57,87$\\
$EQM_{Y_{2}}$&$ 1,64 $&$ 6,23 $&$ 7,98 $&$ 8,36 $&$ 10,03$&$ 21,13$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas dos erros de krigagens com as estimativas paramétricas do BCRM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$EAM_{Y_{1}}$&$ 1,79 $&$3,28 $&$ 3,75 $&$ 3,80 $&$ 4,29 $&$ 6,21 $\\
$EAM_{Y_{2}}$&$ 1,13 $&$2,00 $&$ 2,28 $&$ 2,30 $&$ 2,57 $&$ 4,06 $\\
$EQM_{Y_{1}}$&$ 5,80 $&$17,32$&$ 22,04$&$ 23,37$&$ 28,21$&$ 54,42$\\
$EQM_{Y_{2}}$&$ 1,92 $&$6,33 $&$ 8,07 $&$ 8,45 $&$ 10,10$&$ 22,09$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das médias dos erros padrões de krigagens com as estimativas paramétricas do BCRM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\overline{EP}_{Y_{1}}$&$ 3,69 $&$4,53$&$4,76$&$4,77$&$5,02$&$5,96$\\
$\overline{EP}_{Y_{2}}$&$ 2,21 $&$2,73$&$2,86$&$2,87$&$3,00$&$3,70$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estatísticas descritivas das médias dos erros padrões de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\overline{EP}_{Y_{1}}$&$ 3,76 $&$ 4,46 $&$ 4,69 $&$ 4,70 $&$ 4,94 $&$ 5,93 $\\
$\overline{EP}_{Y_{2}}$&$ 2,24 $&$ 2,70 $&$ 2,86 $&$ 2,85 $&$ 2,99 $&$ 3,56 $\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\newpage

\subsection{Análise de  dados de atributos químicos de um solo}

Com o intuito de apresentar a metodologia geoestatística aplicada à agricultura de precisão, 
essa sessão mostra os resultados de 
uma análise geoestatística detalhada do conjunto de dados provinientes da fazenda Tupã.

\subsubsection{Análise exploratória}
A Figura 1 mostra os gráficos de círculos das variáveis sob estudo, onde os círculos representam os valores mensurados dos atributos nas 67 localizações amostradas da propriedade agrícola. 
Quanto maior o círculo mais elevado é o valor observado do atributo. 
Essa primeira análise gráfica evidencia que existe um possível padrão espacial nas variáveis, 
onde há uma suavidade dos processos ao longo da fazenda. 
A linha no meio dos gráficos separa as áreas com históricos de manejo distintos: cultivo de soja e pastagem, 
para as regiões a direita e a esquerda, respectivamente. 
A primeira área possui valores mais elevados, o que leva a possibilidade de ser considerada essa 
informação como covariável no processo de modelagem. 
Além disso, os gráficos são bem parecidos para as duas variáveis, 
o que corrobora a idéia de que os dados são fortemente correlacionados.

\begin{figure}[http!]
\begin{center}
 \includegraphics[width=3in]{points_ph} \quad
 \includegraphics[width=3in]{points_sat}
  \hangcaptionL{Gráficos de círculos - o gráfico a esquerda é para a variável pH e o da direita é da saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}


A Tabela 39 mostra as estatísticas descritivas do pH e da saturação por bases. 
Nos dois casos a mediana é próxima da média e existe uma variabilidade relativamente pequena dos dados. 
De uma maneira geral os atributos de solo não mostram nítidos desvios de Gaussianidade
 havendo uma simetria dos dados com relação a média amostral e não existem valores observados muito discrepantes. 
Não existe muita variabilidade nas duas variáveis químicas o que pode ser atribuido  ao tamanho da área 
da fazenda Tupã, que é relativamente pequena e homogênea. 
Mesmo assim parece existir padrão espacial de varibilidade nos atributos de solo.

\begin{table}[http!]
\hangcaptionL{Médias, medianas e desvios padrões do pH e da saturação por bases}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Variável}&
\multicolumn{1}{c}{Mediana}& \multicolumn{1}{c}{Média}&
\multicolumn{1}{c}{D.P.}\\
\hline
Saturação&$56,00$&$53,27$&$10,05$\\
pH&$5,00$&$4,94$&$0,42$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Os gráficos dos cantos superiores esquerdos das Figuras 2 e 3 categorizam os dados nos quartis amostrais das observações, onde os símbolos "+","$\triangle$","o","x", nesta ordem,  incicam os quartis amostral, essas imagens corroboram a idéia que de existe padrão espacial nos dados, uma vez que, existem conglomerados das categorias.
Os gráficos dos cantos inferiores esquerdos das Figuras 2 e 3 mostram que quanto maior o valor da coordenada $x$, oeste-leste, maior os valores observados dos atributos. Logo, essas coordenadas foram consideradas como possível covariável no processo de modelagem.

Para análise exploratória do pressuposto de gaussianidade das respostas foram análisados os gráficos dos cantos inferiores direitos da Figuras 2 e 3, os quais mostram as densidades amostrais dos dados desconsiderando o possível padrão espacial. Esta inspeção não garante o tal pressuposto mas serve para mostrar desvios óbvios caso existam.
Como existe uma pequena fuga da distribuição gaussiana, análises de possíveis transformações de variáveis foram conduzidas. A Figura 4 mostra qual o valor do parâmetro da transformação de Box-Cox que mais aproxima os dados à 
distribuição normal. Como os intervalos de confiança para $\lambda$ contemplam o valor 1, 
não foi utilizada nenhuma transformação das variáveis e a suposição de campos aleatórios gaussianos homogêneos 
foi considerada como válida.

Essa análise descritiva dos dados evidenciou que as variáveis químicas do solo aparentemente possuem padrão espacial de variabilidade e indicou que as coordenadas oeste-leste e a área de manejo são possíveis covariáveis associadas as respostas.

\begin{figure}[http!]
\begin{center}
 \includegraphics[width=3.5in]{plot_ph}
   %\includegraphics[width=3in]{plot_sat}
  \hangcaptionL{Gráficos descritivos do padrão espacial do pH}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[http!]
\begin{center}
 \includegraphics[width=3.5in]{plot_sat}
  \hangcaptionL{Gráficos descritivos do padrão espacial da saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[http!]
\begin{center}
 \includegraphics[width=3in]{boxcox_ph} \quad
 \includegraphics[width=3in]{boxcox_sat}
  \hangcaptionL{Gráficos de possíveis transformações de variáveis de Box-Cox, o gráfico da esquerda é relativo ao pH e o gráfico da direita é relativo à saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}

\newpage

\subsubsection{Modelagem univariada do pH}

As Tabelas 40, 41 e 42 mostram as estimativas por máxima verossimilhança para os parâmetros dos modelos univariados ajustados para o pH
considerando as três possíveis formas para a matriz de delineamento $X$: média constante, média com tendência induzida pela área de manejo e média induzida pela coordenada oeste-leste. Utilizando as diferentes abordagens para a média, as diferentes escolhas para $\kappa$ não produzem muita diferença nas estimativas dos parâmetros de média e de variabilidade, no entanto o parâmetro $\phi$ é mais afetado, o que é esperado, uma vez que, os parâmetros provinientes da função de correlação Matèrn não são ortogonais. No entanto, os alcances práticos das correlações são parecidos para essas estimativas. Com a inclusão de covariáveis no modelo muda um pouco a relação entre $\sigma^{2}$ e $\tau^{2}$, onde os dois valores estimados ficaram bem próximos e a estimativa $\phi$ indica que o alcance das correlações é menor, ou seja, as covariáveis estão explicando, aparentemente, uma parte significativa da variabilidade dos dados. O próximo passo é selecionar o melhor modelo geoestatístico univariado para o pH. Cabe ressaltar que os valores estimados dos máximos dos logaritmos das funções de verossimilhança concentrada não são diretamente comparáveis, pois existem números diferentes de parâmetros associados aos modelos conforme a escolha de $X$.

\begin{table}[!ht]
 \hangcaptionL{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para o pH com média constantes}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta$}& \multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\phi$}&
\multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$4,907$&$0,077$&$0,163$&$560  $&$0,5$&$-25,49$&$58,98$\\
$4,905$&$0,101$&$0,149$&$510,6$&$1  $&$-25,69$&$59,38$\\
$4,904$&$0,106$&$0,251$&$650,5$&$1,5$&$-25,57$&$59,15$\\
$4,903$&$0,106$&$0,288$&$569,7$&$2  $&$-25,45$&$58,90$\\
$4,903$&$0,106$&$0,297$&$491,1$&$2,5$&$-25,36$&$58,73$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
\hangcaptionL{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para o pH com tendência na média induzida pela área de manejo}
\begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta_{0}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{1}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi$}& \multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$4,725$&$0,397$&$0    $&$0,125$&$49,19$&$0,5$&$-23,44$&$56,89$\\
$4,723$&$0,402$&$0    $&$0,125$&$33,42$&$1  $&$-23,35$&$56,70$\\
$4,723$&$0,403$&$0,014$&$0,111$&$28,43$&$1,5$&$-23,33$&$56,66$\\
$4,779$&$0,227$&$0,110$&$0,061$&$349,3$&$2  $&$-24,86$&$59,73$\\
$4,786$&$0,204$&$0,109$&$0,086$&$353,1$&$2,5$&$-24,83$&$59,65$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
\hangcaptionL{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para o pH com tendência na média induzida pelas coordenadas oeste-leste}
\begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta_{0}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{1}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi$}& \multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$-607,48$&$0,001$&$ 0   $&$0,111$&$49,32$&$0,5$&$-19,66$&$49,31$\\
$-608,51$&$0,001$&$ 0   $&$0,112$&$34,28$&$1  $&$-19,44$&$48,89$\\
$-608,33$&$0,001$&$ 0   $&$0,112$&$27,58$&$1,5$&$-19,39$&$48,77$\\
$-608,36$&$0,001$&$0,008$&$0,104$&$24,53$&$2  $&$-19,36$&$48,73$\\
$-608,46$&$0,001$&$0,015$&$0,097$&$22,46$&$2,5$&$-19,35$&$48,70$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Analisando os valores maximizados do logaritmo da função de verossimilhança e os seus respectivos AIC, 
foi selecionado o modelo final, 
que é o com tendência induzida pela coordenada oeste-leste e $\kappa=2,5$.
Esse ajuste gerou o maior máximo da função alvo e o menor valor do critério de 
penalidade por número de parâmetros associado ao modelo.

Além de selecionar o modelo final dentre os que consideram o padrão espacial, foi conduzida uma regressão linear simples considerando a coordenada oeste-leste como covariável, ou seja, considerando o padrão dos dados é completamente aleatório. Sobre esse enfoque o AIC ficou igual a 49,8, o que afirma a idéia de que o pH possui variabilidade espacial significativa.


\newpage

\subsubsection{Modelagem univariada da saturação por bases}

Para essa variável foram consideradas as mesmas análises conduzidas na seção anterior. As Tabelas 43, 44 e 45 mostram os resultados. Novamente o melhor modelo foi o que considera tendência na média induzida pela coordenada oeste-leste e $\kappa=2,5$. O modelo de regressão linear simples com a coordenada oeste-leste como covariável gerou um AIC de 480,2, sendo assim, para essa variável também existe padrão espacial de variabilidade significativo.

\begin{table}[!ht]
 \hangcaptionL{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para a saturação por bases com média constantes}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta$}& \multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\phi$}&
\multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$49,53$&$47,66$&$105,33$&$700,00$&$0,5$&$-239,53$&$487,05$\\
$48,53$&$59,57$&$120,62$&$625,58$&$1  $&$-239,76$&$487,51$\\
$47,98$&$62,40$&$124,31$&$516,78$&$1,5$&$-239,79$&$487,57$\\
$47,27$&$63,29$&$149,69$&$489,58$&$2  $&$-239,75$&$487,50$\\
$47,18$&$63,51$&$139,18$&$400,00$&$2,5$&$-239,70$&$487,40$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
\hangcaptionL{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para a saturação por bases com tendência na média induzida pela área de manejo}
\begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta_{0}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{1}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi$}& \multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$47,91$&$8,80$&$24,35$&$53,68$&$73,68$&$0,5$&$-238,05$&$486,10$\\
$47,92$&$8,83$&$38,78$&$39,28$&$59,18$&$1  $&$-238,01$&$486,01$\\
$47,92$&$8,86$&$43,35$&$34,69$&$50,33$&$1,5$&$-237,98$&$485,96$\\
$47,92$&$8,88$&$45,53$&$32,47$&$44,34$&$2  $&$-237,96$&$485,92$\\
$47,93$&$8,89$&$46,79$&$31,18$&$39,98$&$2,5$&$-237,95$&$485,90$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
\hangcaptionL{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para a saturação por bases com tendência na média induzida pelas coordenadas oeste-leste}
\begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta_{0}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{1}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi$}& \multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$-14297,01$&$0,025$&$ 8,98$&$59,98$&$54,51$&$0,5$&$-234,75$&$479,50$\\
$-14300,66$&$0,025$&$27,56$&$41,46$&$45,42$&$1  $&$-234,72$&$479,44$\\
$-14300,92$&$0,025$&$33,53$&$35,53$&$39,51$&$1,5$&$-234,70$&$479,39$\\
$-14300,17$&$0,025$&$36,39$&$32,68$&$35,33$&$2  $&$-234,68$&$479,36$\\
$-14298,98$&$0,025$&$38,06$&$31,03$&$32,19$&$2,5$&$-234,67$&$479,34$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\newpage

\subsubsection{Krigagem}

Com os modelos finais estabelecidos, foram calculadas as predições espaciais para as duas variáveis químicas do solo em uma malha de 10000 localizações espaciais, sendo que, as estimativas paramétricas foram substituídas nas fórmulas de krigagem e variância preditiva. A Figura 5 mostra os mapas preditivos dos campos aleatórios. As imagens ficaram condizentes com os dados observados, ou seja, localizações com menores valores para a coordenada oeste-leste possuem, em sua maioria, valores preditos menores. Além disso, as variâncias preditivas da saturação por bases estão todas no intervalo $[12,35;30,21]$, já para o pH os valores máximo e mínimo das variâncias de krigagens ficaram iguais a 0,10 e 0,01, respectivamente. Esses valores das variâncias preditivas são relativamenete pequenos com relação a grandeza de escala das variáveis, sendo assim, a precisão das krigagens ficaram em um patamar aceitável.

\begin{figure}[!http]
\begin{center}
 \includegraphics[width=3in]{krig_ph} \quad
 \includegraphics[width=3in]{krig_sar}
  \hangcaptionL{Gráficos de predições espacias, o gráfico da esquerda é relativo ao pH e o gráfico da direita é relativo à saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}

\newpage

\subsubsection{Análise de resíduos}
A Figura 6 mostra que o comportamento dos resíduos do modelo ajustado para o pH aparentemente foge um pouco da suposição de gaussianiedade, no entanto, o teste de normalidade de Shapiro-Wilk resultou em um p-valor de 0,22, ou seja, não existe evidências suficientes contra a suposição feita.
A Figura 7 mostra que para a saturação por bases os resíduos do modelos final estão bem próximos da suposição imposta, característica corroborada pelo teste de normalidade de Shapiro-Wilk, que gerou um p-valor de 0,97.

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=2.2in]{dens_res_ph}\quad
  \includegraphics[width=2.2in]{qqplot_res_ph}
  \hangcaptionL{Densidade e gráfico de quartis dos resdíduos para o modelo final do pH}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=2.2in]{um}\quad
  \includegraphics[width=2.2in]{dois}
  \hangcaptionL{Densidade e gráfico de quartis dos resdíduos para o modelo final da saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection{Modelagem bivariada para o pH e a saturação por bases}
Concluída a modelagem univariada, o próximo passo foi ajustar modelos bivariados para as respostas. A correlação de Pearson entre os atributos é  0,92, o que indica uma correlação positiva e quase perfeita entre as duas variáveis químicas em questão.

Para ajustar o BGCCM e o BCRM, foram utilizadas as estimativas dos modelos univariados para atribuir valores iniciais ao método numérico de maximização. Três abordagens para modelar as médias dos campos aleatórios foram consideradas: médias constantes, médias com tendências induzidas pelas coordenadas oeste-leste e médias com tendências induzidas pela área de manejo do solo. Tais possibilidades combinadas com diversas escolhas para os parâmetros de suavidade das correlações geraram diversas estimativas diferentes para os parâmetros dos modelos. Inicialmente, foram selecionadas as melhores estimativas em cada abordagem para a média. A Tabela 46 mostra os resultados do BGCCM, onde não há muita diferença entre os parâmetros de variabilidade e correlação estimados para cada abordagem de tendência, exceto para o parâmetro $\phi_{0}$, que para a tendência na área de manejo ficou bem menor do que as demais. Esse fato pode ser explicado pela adoção de um $\kappa_{0}$ maior, logo, combinando essas duas informações, tem-se que os alcances de correlações são bem parecidos para as três abordagens de média.

A Tabela 47 mostra os resultados da estimação por máxima verossimilhança utilizando o BCRM. Com esse modelo, a inclusão da covariável coordenada leste-oeste gerou inflacionamento dos parâmetros de variabilidade. Com relação as demais estimativas, os resultados são parecidos com os do BGCCM.
As duas abordagens de modelos bivariados se mostraram estáveis para fazer estimação dos parâmetros, uma vez que, as estimativas dos parâmetros de variabilidade e de correlação apresentaram resultados que geram características similares às encontradas nos modelos univariados.
Nas duas abordagens, o melhor ajuste foi o que considera a área de manejo da propriedade como covariável, os quais geraram AIC iguais a 437,35 e 432,96 para o BGCCM e BCRM, respectivamente. Com as estimativas finais estabelecidas é possível pensar na krigagem ordinária, para tal, foi utilizada uma mesma malha  de pontos de predição para 
a krigagem da modelagem univariada.

O processo de krigagem utilizando as estimativas do BGCCM gerou variâncias preditivas relativamente pequenas, para a saturação por bases os valores mínimos e máximos são 0,47 e 58,40, respectivamente. Já para o pH esses valores ficaram iguais a 0,0001 e 0,096. Utilizando o BCRM as variâncias preditivas da saturação por bases e do pH ficaram dentro dos intervalos (2;60,35) e (0,002;0,098), respectivamente. As Figuras 8 e 9 ilustram os mapas preditivos utilizando os valores estimados em cada abordagem de modelos bivariados. Não existe muita diferença entre as predições espaciais utilizando modelos univariados ou bivariados, mas o BGCCM gerou menores variâncias de krigagem.

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao BGCCM para a saturação por bases e o pH}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{Constantes}& \multicolumn{1}{c}{Oeste-leste}&
\multicolumn{1}{c}{Área de manejo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$52,57$&$1,54e-6$&$47,83$\\
$\beta_{02} $&$ 4,92$&$1,45e-7$&$ 4,72$\\
$\beta_{1}  $&$  -  $&$8,98e-5$&$ 9,46$\\
$\beta_{2}  $&$  -  $&$8,41e-6$&$ 0,40$\\
$\sigma_{01}$&$ 8,51$&$   8,35$&$ 6,85$\\
$\sigma_{1} $&$ 3,47$&$   3,46$&$ 3,44$\\
$\sigma_{02}$&$ 0,38$&$   0,38$&$ 0,31$\\
$\sigma_{2} $&$ 7e-5$&$   5e-4$&$ 1e-5$\\
$\phi_{0}   $&$59,37$&$  57,79$&$26,73$\\
$\phi_{1}   $&$46,35$&$  48,15$&$49,08$\\
$\phi_{2}   $&$66,82$&$  71,59$&$86,95$\\
$\kappa_{0} $&$    1$&$      1$&$  1,5$\\
$\kappa_{1} $&$  0,5$&$    0,5$&$  0,5$\\
$\kappa_{2} $&$  0,5$&$    0,5$&$  0,5$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{table}[!http]
 \hangcaptionL{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao BCRM para a saturação por bases e o pH}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{Constantes}& \multicolumn{1}{c}{Oeste-leste}&
\multicolumn{1}{c}{Área de Manejo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$51,76 $&$1,51e-6$&$47,93$\\
$\beta_{02} $&$ 4,89 $&$1,43e-7$&$ 4,72$\\
$\beta_{1}  $&$  -   $&$8,85e-5$&$ 9,12$\\
$\beta_{2}  $&$  -   $&$8,36e-6$&$ 0,40$\\
$\sigma_{11}$&$ 8,26 $&$  99,53$&$ 7,82$\\
$\sigma_{12}$&$ 0,31 $&$   3,67$&$ 0,28$\\
$\sigma_{22}$&$ 0,13 $&$   1,54$&$ 0,14$\\
$\phi_{1}   $&$100,63$&$ 100,21$&$53,32$\\
$\phi_{2}   $&$ 21,43$&$  21,38$&$19,34$\\
$\kappa_{1} $&$  0,5$&$    0,5$&$  0,5$\\
$\kappa_{2} $&$  2,5$&$    2,5$&$  2,5$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\begin{figure}[!http]
\begin{center}
  \includegraphics[width=3in]{krig_ph_bgccm}\quad
  \includegraphics[width=3in]{krig_sat_bgccm}
  \hangcaptionL{Gráficos de predições espacias com o BGCCM, o gráfico da esquerda é relativo ao pH e o gráfico da direita é relativo à saturação por bases}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[!http]
\begin{center}
  \includegraphics[width=3in]{krig_ph_bcrm}\quad
  \includegraphics[width=3in]{krig_sat_bcrm}
  \hangcaptionL{Gráficos de predições espacias com o BCRM, o gráfico da esquerda é relativo ao pH e o gráfico da direita é relativo à saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}

\newpage

\subsubsection{Comparação entre as abordagens univariada e bivariadas}

Além da fundamentação estatística para considerar modelos bivariados para o problema dos dados do solo, existe a justificativa prática para adoção de tal abordagem. A coleta de informação da saturação por bases é mais dispendiosa e como a propriedade agrícola continuará sendo monitorada futuramente, é possível que nas próximas avaliações do solo seja amostrado um número menor de localizações espaciais para observação da saturação por bases, pois pode-se utilizar a informação contida no pH para fazer inferências sobre a saturação por bases. Ou seja, é possível diminuir gastos em monitoramentos de solos se forem utilizados os modelos geoestatísticos bivariados para problemas com dados de solos, onde existem variáveis químicas correlacionadas.

Para ilustrar essa fato, foram omitidas do conjunto de dados 20 localizações espaciais da saturação por bases. Foram estimados novamente, em todas as abordagens, os parâmetros dos modelos finais selecionados. Ocorreu uma diferença moderada entre os resultados das estimativas calculadas com a omissão de localizações e os das calculadas com a informação completa da saturação por bases. No entanto, o objetivo dessa seção é avaliar a qualidade preditiva dos modelos univariados e bivariados.

Para verificar o ganho com a utilização de modelos bivariados, foi conduzida a krigagem ordinária da saturação por bases nas 20 localizações retiradas do conjunto de dados sob os três modelos reajustados. A Tabela 48 mostra os resultados de predição.

\begin{table}[!h]
\hangcaptionL{Valores observados da saturação por bases e não utilizados na modelagem e suas respectivas predições utilizando os modelo univariado, o BGCCM e o BCRM}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Observado}&\multicolumn{1}{c}{Univariado}& \multicolumn{1}{c}{BGCCM}& \multicolumn{1}{c}{BCRM}\\
\hline
$31$&$37,97514$&$36,70374$&$36,41034$\\
$52$&$50,31664$&$48,47015$&$48,75127$\\
$41$&$38,73410$&$43,28838$&$42,69730$\\
$51$&$42,32669$&$50,60234$&$50,66902$\\
$41$&$56,75724$&$39,95526$&$40,90431$\\
$43$&$53,03821$&$46,20176$&$46,51603$\\
$39$&$44,36711$&$43,17711$&$42,64546$\\
$51$&$56,26729$&$48,47547$&$48,79987$\\
$64$&$46,88141$&$68,33242$&$68,03238$\\
$53$&$47,06461$&$53,68137$&$52,71941$\\
$47$&$46,36761$&$47,39061$&$46,98018$\\
$67$&$58,88574$&$70,07791$&$69,85622$\\
$57$&$54,87683$&$59,06358$&$58,93524$\\
$56$&$57,61760$&$52,66449$&$52,93289$\\
$59$&$60,95767$&$54,67692$&$55,20092$\\
$57$&$56,82567$&$56,92622$&$57,16953$\\
$52$&$57,78833$&$52,64306$&$52,94522$\\
$61$&$56,38470$&$61,31782$&$61,35151$\\
$59$&$56,07022$&$54,45870$&$54,30496$\\
$54$&$62,32295$&$56,91067$&$57,15702$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

A Tabela 49 apresenta os resultados descritivos das diferenças entre os valores observados e os valores preditos nas três abordagens de modelagem. Os modelos bivariados se mostraram mais eficientes para fazer a krigagem, uma vez que, os desvios padrões dos erros de krigagem são menores do que o valor gerado pela abordagem univariada, ou seja, há evidências de que é melhor utilizar a informação do pH para fazer as inferências sobre a saturação por bases com menos observações.

\begin{table}[!h]
\hangcaptionL{Médias e desvios padrões dos erros de krigagem da saturação por bases nas 20 localizações omitidas no processo de estimação}
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Estatística}&\multicolumn{1}{c}{Univariado}& \multicolumn{1}{c}{BGCCM}& \multicolumn{1}{c}{BCRM}\\
\hline
Média&$-0,34$&$-0,50$&$-0,50$\\
Desvio Padrão&$7,52$&$3,02$&$2,84$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

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