\documentclass{beamer}  % For use with beamer v 2.20
%  options  [handout]

%  There is a VERY rich set of possible
%  styles of presentations and color themes.  See the
%  beamer documentation for a full list of possibilities.
\usetheme{Madrid}  % JuanLesPins  Rochester
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           % Goettingen  Marburg     with sidebar
           %  Copenhagen  Luebeck  Warsaw
\useinnertheme{rounded}
\usecolortheme{crane}
\usefonttheme{structuresmallcapsserif}


\usepackage{pgfarrows}
%  Don't need to load the pgf package, but it has
%  has itself some packages you might want, such as
%  pgfarrows,,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps
%  See the pgf documentation.
\usepackage{graphicx}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage[portuges]{babel}                % Para transformar o \today em datas em PORTUGUÊS
\usepackage{color}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb,amscd,amssymb,fancybox,array}
\usepackage{here}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{epsfig}
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% \beamertemplatetransparentcovereddynamic
        % overlays that are upcoming are transparent, in
        % a manner that depends upon how far ahead  they are.


\institute[ESALQ/USP]

\author{Bruno H F Fonseca}



\begin{document}

\def\zc#1 {\textcolor{#1}{#1}}


\def\softness{0.4}
\definecolor{softred}{rgb}{1,\softness,\softness}
\definecolor{softgreen}{rgb}{\softness,1,\softness}
\definecolor{softblue}{rgb}{\softness,\softness,1}

\definecolor{softrg}{rgb}{1,1,\softness}
\definecolor{softrb}{rgb}{1,\softness,1}
\definecolor{softgb}{rgb}{\softness,1,1}

\frame{
\begin{center}
{\LARGE Escola Superior de Agricultura ``Luiz de
Queiroz"\\Universidade de São Paulo}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{block}<+->{Dissertação de Mestrado}
\end{block}

\vspace{0.5cm}

\hfill{Bruno H F Fonseca - {\small\emph{bhffonse@esalq.usp.br}}}\\
\hfill{{\tiny Estatística e Experimentação Agronômica ESALQ/USP}}

\hfill{Orientador: Paulo Justiniano Ribeiro Jr.}\\
\hfill{{\tiny Laboratório de Estatística e Geoinformação LEG/UFPR}}

\vspace{1cm}
\begin{center}
\ Piracicaba/2009
\end{center}
}

\frame{\frametitle{}
\begin{block}<+->{Um estudo sobre estimação e predição em modelos geoestatísticos bivariados}
\end{block}
}

\frame{\frametitle{Motivação}

Modelos lineares:

\begin{center}
$Y= X\beta + \epsilon,$
\end{center}

\begin{figure}

  \includegraphics[scale=0.4]{lm}\\

\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Motivação}

Modelos geoestatísticos univariados:

\begin{center}
$Y = X\beta + Z + \epsilon,$
\end{center}

\begin{figure}

  \includegraphics[scale=0.4]{geom}\\

\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Motivação}
Modelos geoestatísticos bivariados:
\vspace{1cm}
 \begin{itemize}
  \item Duas respostas de interesse
  \item Padrão espacial
  \item Forte correlação entre respostas
  \item Justificativa prática
 \end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Objetivos}
\begin{itemize}
  \item Revisão bibliográfica sobre modelos geoestatísticos bivariados
  \item Estudar a estimabilidade paramétrica dos modelos geoestatísticos bivariados
  \item Estudar a capacidade de predição espacial dos modelos geoestatísticos bivariados
  \item Avaliar a aplicabilidade de modelos geoestatísticos bivariados em dados observacionais
  \item Desenvolver computacionalmente a teoria dos modelos geoestatísticos bivariados
\end{itemize}
}


\frame{\frametitle{Campos Aleatórios}
Uma notação para um campo aleatório $Z$ na localização $s_{i}$ pertecente ao espaço sob estudo $G$ é:

\begin{center}
  $(Z(s_{i}):s_{i}\in G \subset R^{d})$
\end{center}

\vspace{0.5cm}

Segundo Schmidt e Sansó (2006) e Le e Zidek (2006), a descrição de
um campo aleatório é obtida através da distribuição acumulada conjunta finita dimensional de $Z(s)$:
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
$F_{s_{1},s_{2},...,s_{n}}(z_{1},z_{2},...,z_{n}) \equiv
P(Z(s_{1})\leq z_{1},Z(s_{2})\leq z_{2},...,Z(s_{n})\leq z_{n})$
\end{center}
\vspace{0.5cm}
sendo $s=(s_{1},s_{2},...,s_{n})$ um conjunto de localizações pertencentes a $G$.
}

\frame{\frametitle{Campos Aleatórios Gaussianos}
Assumindo que o campo aleatório é gaussiano, o processo aleatório é completamente especificado por:

\begin{itemize}
 \item Vetor de média $\mu = (\mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n})^{t}$
 \item Matriz de covariâncias \[ \Sigma = \left[\begin{array}{cccc}
 \sigma_{1}^{2} & \sigma_{1,2}   & \cdots & \sigma_{1,n} \\
 \sigma_{1,2}   & \sigma_{2}^{2} & \cdots & \sigma_{2,n} \\
 \vdots         & \vdots         & \ddots & \vdots \\
 \sigma_{1,n}    & \sigma_{2,n}    & \cdots & \sigma_{n}^{2} \end{array} \right] \]
\end{itemize}

\vspace{0.7cm}
Sendo assim a distribuição conjunta de $Z(s)$ é:
\begin{center}
 $f_{Z}(z(s)) = (2\pi)^{-0.5n}|\Sigma|^{-0.5}exp(-0.5(z(s)-\mu)^{t}\Sigma^{-1}(z(s)-\mu))$
\end{center}
}

\frame{\frametitle{Campos Aleatórios Gaussianos}
Em geral não é possível ter mais de uma realização do processo, sendo assim, outras suposições devem ser impostas sobre os campos aleatórios para análises inferenciais:
\vspace{0.7cm}
 \begin{itemize}

  \item Estacionariedade Forte
   \begin{itemize}
   \item $f_{s}(z(s)) = f_{s+h}(z(s+h))$, para qualquer incremento $h$
   \end{itemize}
  \item Isotropia
\end{itemize}
\vspace{0.7cm}
Dessa forma o campo aleatório é dito ser homogêneo.
}

\frame{\frametitle{Campos Aleatórios Gaussianos}
Em alguns casos a suposição de homogeneidade não é válida:
\vspace{0.7cm}
\begin{itemize}
 \item Problemas com a estacionariedade da média
  \begin{itemize}
   \item Inclusão de efeito fixo no modelo
  \end{itemize}
 \item Problemas com a estacionariedade da variância
  \begin{itemize}
   \item Transformação de variáveis
  \end{itemize}
 \item Problemas com a isotropia
  \begin{itemize}
   \item Transformação do sistema de coordenadas
  \end{itemize}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Campos Aleatórios Gaussianos}
Se o campo aleatório é gaussiano e homogêneo, $\Sigma$ deve:

\begin{itemize}
 \item ser positiva definida
 \item assegurar o comportamento empírico utilizado em geoestatística
\end{itemize}

\vspace{0.7cm}

Estruturar $\Sigma$ dessa forma não é trivial, no entanto:

\begin{itemize}
 \item $Cov(Z(s_{l}),Z(s_{k})) = \sigma^{2} \rho(Z(s_{l}),Z(s_{k}))$, para todo $(s_{l},s_{k}) \in s$
 \item existem funções de correlação que asseguram a validade de $\Sigma$
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Campos Aleatórios Gaussianos}
Funções de correlação válidas:

\begin{itemize}
 \item Família Matérn
\end{itemize}
   \begin{center}
   $\rho(h)={2^{\kappa}-\Gamma(\kappa)}^{-1}(h/\phi)^{\kappa}K_{\kappa}(h/\phi)$
   \end{center}
 \noindent os parâmetros dessa função são $\phi > 0$ e $\kappa > 0$,
que são vinculados a escala com a dimensão de distância e suavidade
do processo e $K_{\kappa}(.)$ é a função Bessel de ordem $\kappa$.
 \vspace{0.7cm}
 \begin{itemize}
  \item Família Exponencial Potência
 \end{itemize}
   \begin{center}
   $\rho(h)=\exp{(h/\phi)^{\kappa}}$
   \end{center}
  \noindent essa família também possui dois parâmetros, com as mesmas
interpretações da família Matérn, no entanto agora $\kappa$ limitado
no intervalo $[0,2]$.
}

\frame{\frametitle{Modelo Geoestatístico Univariado}
Com as estruturas paramétricas definidas, pode-se pensar na modelagem:

\begin{eqnarray}
Y(s)= X\beta + Z(s)+ \epsilon,\ \ s=(s_{1},s_{2},...,s_{n}),
\end{eqnarray}

\vspace{0.7cm}

\begin{itemize}
 \item $Y(s)$ é o vetor dos valores observados da variável de interesse
 \item $X$ é a matriz de delineamento
 \item $\beta$ é o vetor de parâmetros associados a média da resposta
 \item $Z(s)$ é um campo gaussiano com vetor de médias nulo e $\Sigma$ válida
 \item $\epsilon$ é o vetor dos ruídos brancos que são $i.i.d.$ de uma $N(0,\tau^{2})$
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Modelo Geoestatístico Univariado}
Definida a modelagem, tem-se que:

\begin{center}
$Y(s) \sim N_{n}(\mu;\Sigma_{Y})$,
\end{center}

\begin{itemize}
 \item $\mu=X\beta$
 \item $\Sigma_{Y}=\Sigma + \tau^{2}I$, $I$ é uma matriz identidade. \\
\end{itemize}
\vspace{0.7cm}
Logo $\theta=(\beta,\sigma^{2},\phi^{*},\tau^{2})^{t}$ é o vetor paramétrico associado a (1). Sendo $\phi^{*}$ o vetor de parâmetros associado a função de correlação adotada.
}

\frame{\frametitle{Estimação em modelo Geoestatístico Univariado}
O método da máxima verossimilhança é uma abordagem para estimar $\theta$ e consiste em encontrar $\widehat{\theta}$ que maximize a função:

\begin{center}
$l(\theta;Y(s)) = -0.5[\ln(|\Sigma_{Y}|)+n\ln(2\pi)+(Y(s)-\mu)^{t}{\Sigma_{Y}}^{-1}(Y(s)-\mu)]$
\end{center}

Diggle e Ribeiro Jr (2007) adotam a utilização da reparametrização $\nu=\tau/\sigma$, sendo assim:
\begin{itemize}
 \item $\theta^{*}=(\beta,\sigma^{2},\phi^{*},\nu^{2})^{t}$
 \item $\Sigma_{Y}=\sigma^{2}V$
\end{itemize}
sendo $V$ uma matriz que depende apenas de $\theta_{c}=(\phi^{*},\nu^{2})^{t}$.
}

\frame{\frametitle{Estimação em modelo Geoestatístico Univariado}
Estimadores de máxima verossimilhança com forma analítica:

\begin{itemize}
 \item $\widehat{\beta} = (X^{t}V^{-1}X)^{-1}(X^{t}V^{-1}Y(s))$
 \item $\widehat{\sigma^{2}}= n^{-1}(Y(s)-X\beta)^{t}V^{-1}(Y(s)-X\beta)$
\end{itemize}
\vspace{0.7cm}
As expressões de $\widehat{\beta}$ e $\widehat{\sigma^{2}}$ são funções de $\theta_{c}$, além das formas
fechadas para os estimadores, é possível encontrar a matriz de informação de Fisher observada
para os mesmos e portanto a matriz de covariâncias associada a $(\widehat{\beta}; \widehat{\sigma^{2}})^{t}$ (DIGGLE; RIBEIRO Jr.,
2007).
}

\frame{\frametitle{Estimação em modelo Geoestatístico Univariado}
Utilizando $\widehat{\beta}$ e $\widehat{\sigma^{2}}$ na função de verossimilhança, encontra-se a função de verossimilhança concentrada, que depende apenas de $\theta_{c}$. Os métodos numéricos de estimação podem ser utilizados para encontar:

\begin{itemize}
 \item Estimativa de $\theta_{c}$
 \item Estimativa da matriz Hessiana, denotada por $H$
\end{itemize}

\vspace{0.7cm}

Logo, utilizando a propriedade de invariância dos estimadores de máxima verossimilhança pode-se encontrar $\widehat{\beta}$, $\widehat{\sigma^{2}}$ e $\widehat{\tau^{2}}$.
}

\frame{\frametitle{Estimação em modelo Geoestatístico Univariado}
Utilizando as propriedades assintóticas dos estimadores de máxima verossimilhança e o método delta tem-se que:

\begin{itemize}
 \item $\widehat{\theta} \sim N( \theta ; \Sigma_{\theta} )$
\end{itemize}
sendo $\Sigma_{\theta} = \Delta^{t} \Sigma_{\theta^{*}} \Delta$, onde a $i$-ésima coluna de $\Delta$ é o vetor $\frac{\partial f(\theta_{i})}{\partial \theta^{*}}$ e:

\[ \Sigma_{\theta^{*}} = \left[\begin{array}{cc}
        \Sigma_{\beta,\sigma^{2}}   & O     \\
        O^{t} & \Sigma_{\theta_{c}} \end{array} \right] \]

sendo $\Sigma_{\beta,\sigma^{2}}$ a matriz de covariâncias de $(\widehat{\beta},\widehat{\sigma^{2}})$, que possui forma analítica, $\Sigma_{\theta_{c}}= -H^{-1}$ é a matriz de covariâncias de $\widehat{\theta_{c}}$, e $O$ uma matriz de zeros, pois não é possível recuperar as covariâncias entre $(\hat{\beta},\hat{\sigma}^{2})^{t}$ e $\hat{\theta}_{c}$.
}

\frame{\frametitle{Krigagem em modelo Geoestatístico Univariado}
Processo de predição do campo aleatório em localizações não amostradas, supondo que o interesse seja fazer predição de $Z$ em $s^{*}$, tem-se que a distribuição de $(Z(s^{*})|Y(s))$ gera as predições com melhor precisão:
\vspace{0.7cm}
\begin{itemize}
 \item $E(Z(s^{*})|Y(s)) = \mu_{Z} + \Sigma_{Z,Y} \Sigma_{Y}^{-1} (Y(s)-X\beta)$
 \vspace{0.3cm}
 \item $Var(Z(s^{*})|Y(s)) = \Sigma_{Z} - \Sigma_{Z,Y} \Sigma_{Y}^{-1} \Sigma_{Z,Y}^{t}$
\end{itemize}
\vspace{0.7cm}
sendo $\mu_{Z}$ a média de $Z(s^{*})$, $\Sigma_{Z,Y}$ é a matriz de covariâncias cruzadas entre $Z(s^{*})$ e $Y(s)$ e $\Sigma_{Z}$ a matriz de covariâncias de $Z(s^{*})$.
}

\frame{\frametitle{Modelos Geoestatísticos Bivariados}
Quando existem dois campos aleatórios de interesse, pode-se pensar na modelagem:

\begin{eqnarray}
Y_{i}= \mu_{i} + Z_{i},\ \ i=1,2
\end{eqnarray}

\vspace{0.7cm}

\begin{itemize}
 \item $Y_{1}$ e $Y_{2}$ são os vetores dos valores observados das respostas
 \item $\mu_{i}$ é o vetor de médias associado a $Y_{i}$ e pode incluir covariáveis
 \item $Z_{i}$ é um campo gaussiano com vetor de médias nulo e $\Sigma_{i}$ válida
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Modelos Geoestatísticos Bivariados}
A distribuição de $Y=(Y_{1},Y_{2})^{t}$ é de interesse, $Y \sim N(\mu,\Sigma_{Y})$, sendo $\mu = (\mu_{1},\mu_{2})^{t}$ e:

\[ \Sigma_{Y} = \left[\begin{array}{cc}
\Sigma_{1}   & \Sigma_{1,2}     \\
\Sigma_{1,2}^{t} & \Sigma_{2} \end{array} \right] \]

sendo $\Sigma_{i}$ a matriz de covariância de $Y_{i}$, $i=1,2$ e $\Sigma_{1,2}$ a matriz de covariâncias cruzadas entre as respostas. \\
\vspace{0.5cm}
A especificação do modelo deve assegurar que $\Sigma_{Y}$ seja válida:

\begin{itemize}
 \item Modelo gaussiano bivariado com componente de correlação parcialmente comum - \emph{BGCCM}
 \item Modelo bivariado de co-regionalização - \emph{BCRM}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{BGCCM}
Diggle e Ribeiro Jr. (2007) propuseram um modelo que decompõe os termos latentes de (2):

\begin{eqnarray}
Z_{i}=\sigma_{0i}S_{0}+\sigma{i}S_{i}, \ i=1,2,
\end{eqnarray}

\begin{itemize}
 \item $\sigma^{*}=(\sigma_{01},\sigma_{1},\sigma_{02},\sigma_{2})^{t}$ um vetor de parâmetros de dispersão
 \item  $S_{0}$, $S_{1}$ e $S_{2}$ são campos aleatórios gaussianos mutuamente independentes, com vetores de médias nulos, variâncias unitárias e correlações determinadas por funções de correlação válidas
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{BGCCM}
Com as decomposições (3) tem-se que (2) fica na forma:

\[ \left\{ \begin{array}{l}
Y_{1}=\mu_{1}+\sigma_{01}S_{0}+\sigma_{1}S_{1} \\
Y_{2}=\mu_{2}+\sigma_{02}S_{0}+\sigma_{2}S_{2} \end{array}\right.\]

Utilizando propriedades básicas de covariância tem-se:

\begin{itemize}
 \item $Var(Y_{1}) = \sigma_{01}^{2}+\sigma_{1}^{2}$
 \item $Var(Y_{2}) = \sigma_{02}^{2}+\sigma_{2}^{2}$
 \item $Cov(Y_{1,l},Y_{1,k})=\sigma_{01}^{2}\rho_{0}(h) +\sigma_{1}^{2}\rho_{1}(h)$
 \item $Cov(Y_{2,l},Y_{2,k})=\sigma_{02}^{2}\rho_{0}(h) +\sigma_{2}^{2}\rho_{2}(h)$
 \item $Cov(Y_{1,l},Y_{2,k})=\sigma_{01}\sigma_{02}\rho_{0}(h)$
\end{itemize}

sendo que os índices $l$ e $k$ referessem à duas localizações espaciais quaisquer sepradas pela distância $h$.
}

\frame{\frametitle{BGCCM}
Sendo assim, a distribuição de probabilidade de $Y=(Y_{1},Y_{2})^{t}$ está completamente estruturada e depende de:

\begin{center}
$\theta=(\beta^{*},\sigma^{*},\phi_{0}^{*},\phi_{1}^{*},\phi_{2}^{*})^{t}$
\end{center}

\begin{itemize}
 \item $\beta^{*}=(\beta_{1},\beta_{2})^{t}$
 \item $\phi_{0}^{*}$, $\phi_{1}^{*}$ e $\phi_{2}^{*}$ parâmetros associados as escolhas das funções de correlação para $S_{0}$, $S_{1}$ e $S_{2}$, respectivamente.
\end{itemize}

Os processos de estimação e predição seguem a mesma tecnicalidade aplicada nos modelos univariados, porém existe a necessidade de um número maior de reparametrizações.
}

\frame{\frametitle{BCRM}
Gelfand et al. (2004) propôs outra abordagem para decompor os termos latentes de (2):

\[ \left\{ \begin{array}{l}
Z_{1}=\sigma_{11}S_{1} \\
Z_{2}=\sigma_{12}S_{1} + \sigma_{22}S_{2} \end{array}\right.\]

\begin{itemize}
 \item $\sigma^{*}=(\sigma_{11},\sigma_{12},\sigma_{22})^{t}$ um vetor de parâmetros de dispersão
 \item $S_{1}$ e $S_{2}$ são campos aleatórios gaussianos mutuamente independentes, com vetores de médias nulos, variâncias unitárias e correlações determinadas por funções de correlação válidas
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{BCRM}
Com as decomposições utilizadas no BCRM tem-se:

\[ \left\{ \begin{array}{l}
Y_{1}=\mu_{1}+\sigma_{11}S_{1}\\
Y_{2}=\mu_{2}+\sigma_{12}S_{1}+\sigma_{22}S_{2} \end{array}\right.\]

Utilizando propriedades básicas de covariância tem-se:

\begin{itemize}
 \item $Var(Y_{1}) = \sigma_{11}^{2}$
 \item $Var(Y_{2}) = \sigma_{12}^{2}+\sigma_{22}^{2}$
 \item $Cov(Y_{1,l},Y_{1,k})=\sigma_{11}^{2}\rho_{1}(h)$
 \item $Cov(Y_{2,l},Y_{2,k})=\sigma_{12}^{2}\rho_{1}(h) +\sigma_{22}^{2}\rho_{2}(h)$
 \item $Cov(Y_{1,l},Y_{2,k})=\sigma_{11}\sigma_{12}\rho_{1}(h)$
\end{itemize}

sendo que os índices $l$ e $k$ referessem à duas localizações espaciais quaisquer sepradas pela distância $h$.
}

\frame{\frametitle{BCRM}
Sendo assim, a distribuição de probabilidade de $Y=(Y_{1},Y_{2})^{t}$ está completamente estruturada e depende de:

\begin{center}
$\theta=(\beta^{*},\sigma^{*},\phi_{1}^{*},\phi_{2}^{*})^{t}$
\end{center}

Os processos de estimação e predição seguem a mesma tecnicalidade aplicada nos modelos univariados, porém existe a necessidade de um número maior de reparametrizações.
}

\frame{\frametitle{Material e Métodos}

Com intuito de comparar as capacidades de estimação sob o enfoque frequentista e de predição dos modelos bivariados, a pesquisa foi dividida em duas etapas:
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
 \item Estudo de Simulação
 \item Análise de Dados de Solos
\end{itemize}
\vspace{0.5cm}
Cabe ressaltar que todas análises foram conduzidas no ambiente R de programação ($R$ Development Core Team, 2006), utilizando o pacote $geoR$ (Ribeiro Jr. e Diggle, 2001). No entanto, para os modelos bivariados a maioria dos métodos utilizados não está implementada nos pacotes do R.
}

\frame{\frametitle{Material e Métodos - Simulação}
No estudo de simulação foi lançado mão das seguintes características nas duas abordagens de modelos bivariados:
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
 \item Três configurações amostrais de localizações espaciais
  \begin{itemize}
   \item $n_{1}=n_{2}=100$ e dados completamente co-locados
   \item $n_{1}=100$ e $n_{2}=50$ e dados completamente co-locados
   \item $n_{1}$=$n_{2}=100$ e apenas metade dos dados co-locados
  \end{itemize}
 \item Simulação de 1000 conjuntos de dados em cada configuração
 \item Divisão dos dados simulados em um grupo de controle e um grupo de modelagem
\end{itemize}
\vspace{0.5cm}
}

\frame{\frametitle{Material e Métodos - Simulação}
Na simulação do BGCCM foram utilizadas as seguintes configurações paramétricas:
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
 \item $\mu_{1}=150$ e $\mu_{2}=60$
 \item $\sigma_{01}=8$, $\sigma_{1}=4$, $\sigma_{02}=5$ e $\sigma_{2}=2$
\vspace{0.5cm}
 \item Função de Matèrn foi adotada para as três funções de correlação
  \begin{itemize}
   \item $\phi_{0}=0,25$, $\phi_{1}=0,2$ e $\phi_{2}=0,2$
   \item $\kappa_{0}=0,5$, $\kappa_{1}=0,5$ e $\kappa_{2}=0,5$
  \end{itemize}
\end{itemize}
\vspace{0.5cm}
}

\frame{\frametitle{Material e Métodos - Simulação}
Na simulação do BCRM foram levadas em consideração características de variabilidade e correlação parecidas com as do BGCCM:
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
 \item $\mu_{1}=150$ e $\mu_{2}=60$
 \item $\sigma_{11}=9$, $\sigma_{12}=5$ e $\sigma_{22}=2$
 \vspace{0.5cm}
 \item Função de Matèrn foi adotada para as três funções de correlação
  \begin{itemize}
   \item $\phi_{1}=0,25$ e $\phi_{2}=0,2$
   \item $\kappa_{1}=0,5$ e $\kappa_{2}=0,5$
  \end{itemize}
\end{itemize}
\vspace{0.5cm}
}

\frame{\frametitle{Material e Métodos - Simulação}
Para calcular as estimativas por máxima verossimilhança utilizou-se as seguintes reparametrizações:
\begin{itemize}
 \item BGCCM
  \begin{itemize}
   \item $\sigma=\sigma_{01}$
   \item $\eta=\sigma_{02}/\sigma_{01}$
   \item $\nu_{1}=\sigma_{1}/\sigma_{01}$
   \item $\nu_{2}=\sigma_{2}/\sigma_{01}$
  \end{itemize}
 \item BCRM
  \begin{itemize}
   \item $\sigma=\sigma_{11}$
   \item $\nu_{1}=\sigma_{12}/\sigma_{11}$
   \item $\nu_{2}=\sigma_{22}/\sigma_{11}$
  \end{itemize}
\end{itemize}
Com essas reparametrizações é possível encontrar a função de máxima verossimilhança concentrada. Logo existe forma analítica para os parâmetros de média e para $\sigma$, os demais parâmetros foram estimados pelo método de Nelder e Mead (1965). E novamente as propriedades assintóticas e de invariância foram utilizadas para encontrar a distribuição de probabilidade do vetor de parâmetros.
}

\frame{\frametitle{Material e Métodos - Simulação}
Para avaliar a qualidade das estimativas foram analisados:
\begin{itemize}
 \item erros absolutos médios
 \item erros quadráticos médios
\end{itemize}
\vspace{1cm}
Cada vetor de parâmetros estimados foram utilizados para fazer a predição nas localizações do grupo de controle:
\begin{itemize}
  \item intervalos de confiança marginais de predição
  \item erros absolutos médios
  \item erros quadráticos médios
  \end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Material e Métodos - Dados de Solos}
\begin{itemize}
  \item Pesquisa realizada em 2006
  \item Propriedade agrícola com 51,8 ha
  \item Solo argissolo com textura média
  \item Dois históricos de manejo
  \item 67 localizações amostradas com grid regular
  \item Coordenadas no sistema UTM
  \item Variáveis químicas analisadas: pH e saturação por bases
  \item Forte correlação positiva entre respostas
  \item Justificativa prática para modelos bivariados
  \end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Simulação}

\begin{table}[http!]
  \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$137,03$&$ 147,39$&$ 150,01$&$ 149,99$&$ 152,48$&$ 161,82$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$ 52,18$&$  58,56$&$  60,02$&$  59,98$&$  61,43$&$  66,32$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{01}$&$ 4,13 $&$   6,24$&$   7,22$&$   7,41$&$   8,35$&$  16,47$\\%&$(7,27;9,61)$\\
$\sigma_{1} $&$>0,001$&$   2,14$&$   3,58$&$   3,18$&$   4,29$&$   7,81$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{02}$&$  2,12$&$   3,82$&$   4,44$&$   4,58$&$   5,17$&$   9,11$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{2} $&$>0.001$&$   0,38$&$   1,65$&$   1,54$&$   2,40$&$   5,20$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{0}   $&$ 0,05 $&$   0,14$&$   0,19$&$   0,22$&$   0,27$&$   1,00$\\%&$(0,08;0,28)$\\
$\phi_{1}   $&$>0.001$&$   0,11$&$   0,15$&$   0,19$&$   0,22$&$   1,00$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$>0.001$&$   0,11$&$   0,17$&$   0,21$&$   0,28$&$   1,00$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estatísticas descritivas das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Simulação}
\begin{table}[http!]
  \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$138,39$&$ 147,67$&$ 150,07$&$ 149,99$&$ 152,45$&$ 162,05$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$ 53,86$&$  58,63$&$  60,03$&$  59,98$&$  61,37$&$  67,17$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{11}$&$5,19  $&$   7,40$&$   8,16$&$   8,41$&$   9,12$&$  16,00$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{12}$&$  2,69$&$   4,10$&$   4,54$&$   4,68$&$   5,14$&$   9,55$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{22}$&$1,22  $&$   1,66$&$   1,84$&$   1,88$&$   2,05$&$   3,21$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{1}   $&$0,07  $&$   0,16$&$   0,20$&$   0,22$&$   0,26$&$   0,79$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$0,06  $&$   0,13$&$   0,16$&$   0,18$&$   0,22$&$   0,58$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estatísticas descritivas das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Simulação}
\begin{table}[http!]
  \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$  0,78$&$ 4,97  $&$ 8,58  $&$  12,03$&$  15,10$&$ 137,48$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$  0,40$&$  1,81 $&$  3,06 $&$  4,40$&$    5,55$&$  43,38$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{01}$&$  0,04$&$   0,10$&$   0,13$&$   0,14$&$   0,17$&$  0,68 $\\%&$(7,27;9,61)$\\
$\sigma_{1} $&$>0,001$&$   0,04$&$   1,93$&$  28,97$&$   9,63$&$2467,42$\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{02}$&$  0,01$&$   0,07$&$   0,33$&$   4,78$&$   1,67$&$ 386,51$\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{2} $&$>0.001$&$   0,12$&$   0,42$&$   6,93$&$   1,92$&$ 797,07$\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{0}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,002$&$   0,01$&$  0,009$&$   2,48$\\%&$(0,08;0,28)$\\
$\phi_{1}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,003$&$   0,04$&$   0,01$&$   2,56$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$0,00  $&$   0,00$&$  0,002$&$   0,07$&$   0,02$&$   7,70$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estatísticas descritivas das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Simulação}
\begin{table}[http!]
  \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$  0,96$&$ 5,42  $&$ 8,55  $&$  12,36$&$  14,22$&$ 106,43$\\%&$(137,53;154,27)$\\
$\beta_{02} $&$  0,59$&$  2,07 $&$  3,10 $&$  4,31 $&$   5,03$&$  36,35$\\%&$(52,48;62,51)$\\
$\sigma_{11}$&$  0,07$&$   0,14$&$   0,17$&$  0,18 $&$   0,21$&$  0,64 $\\%&$(0,74;5,39)$\\
$\sigma_{12}$&$  0,04$&$   0,08$&$   0,09$&$   0,10$&$   0,11$&$ 0,37  $\\%&$(3,47;6,65)$\\
$\sigma_{22}$&$  0,04$&$   0,13$&$   0,19$&$   0,23$&$   0,29$&$ 1,41  $\\%&$(0,62;3,18)$\\
$\phi_{1}   $&$>0,001$&$  0,003$&$  0,005$&$   0,02$&$   0,01$&$   0,48$\\%&$(0,005;0,23)$\\
$\phi_{2}   $&$>0,001$&$  0,002$&$  0,003$&$  0,007$&$   0,07$&$   0,15$\\%&$(0,002;0,21)$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estatísticas descritivas das variâncias das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Simulação}
\begin{table}[http!]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Erro}&\multicolumn{1}{c}{$\beta_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{02} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{1} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{02}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{2} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{0}   $}& \multicolumn{1}{c}{$\phi_{1}   $}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi_{2}   $}\\
\hline
$AM        $&$2,98 $&$1,71$&$1,44$&$1,41$&$0,93$&$1,01$&$0,094$&$0,102$&$0,116$\\
$QM        $&$14,04$&$4,79$&$3,17$&$3,65$&$1,27$&$1,52$&$0,015$&$0,021$&$0,024$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Erros absolutos médios e erros quadráticos médios das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Erro}&\multicolumn{1}{c}{$\beta_{01}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{02} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{11}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma_{12} $}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma_{22}$}& \multicolumn{1}{c}{$\phi_{0}   $}& \multicolumn{1}{c}{$\phi_{1}   $}\\
\hline
$AM        $&$2,89 $&$1,67$&$1,33$&$0,76$&$0,26$&$0,08$&$0,06 $\\
$QM        $&$13,17$&$4,46$&$2,66$&$0,88$&$0,10$&$0,01$&$0,005$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Erros absolutos médios e erros quadráticos médios das estimativas por máxima verossimilhança dos paramêtros do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Simulação}
\vspace{-0.2cm}
\begin{table}[http!]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$EAM_{Y_{1}}$&$ 1,79 $&$ 3,29 $&$ 3,78 $&$ 3,83 $&$ 4,30 $&$ 6,21 $\\
$EAM_{Y_{2}}$&$ 1,14 $&$ 2,00 $&$ 2,30 $&$ 2,31 $&$ 2,58 $&$ 4,06 $\\
$EQM_{Y_{1}}$&$ 5,67 $&$ 17,29$&$ 22,24$&$ 23,56$&$ 28,55$&$ 54,45$\\
$EQM_{Y_{2}}$&$ 2,05 $&$ 6,32 $&$ 8,13 $&$ 8,50 $&$ 10,20$&$ 21,95$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estatísticas descritivas dos erros de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
\end{table}
\vspace{-0.5cm}
\begin{table}[http!]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$EAM_{Y_{1}}$&$ 1,35 $&$3,24 $&$ 3,71 $&$ 3,76 $&$ 4,21 $&$ 6,87 $\\
$EAM_{Y_{2}}$&$ 1,00 $&$2,00 $&$ 2,27 $&$ 2,29 $&$ 2,58 $&$ 3,75 $\\
$EQM_{Y_{1}}$&$ 3,06 $&$16,52$&$ 21,40$&$ 22,68$&$ 27,33$&$ 57,87$\\
$EQM_{Y_{2}}$&$ 1,64 $&$6,22 $&$ 7,97 $&$ 8,38 $&$ 10,04$&$ 21,09$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estatísticas descritivas dos erros de krigagens com as estimativas paramétricas do BCRM, usando as amostras simuladas do BCRM com dados co-locados e balanceados}
\end{table}

}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Simulação}
\begin{table}[http!]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\overline{EP}_{Y_{1}}$&$ 3,70 $&$ 4,52 $&$ 4,74 $&$ 4,75 $&$ 4,99 $&$ 5,83 $\\
$\overline{EP}_{Y_{2}}$&$ 2,21 $&$ 2,71 $&$ 2,84 $&$ 2,85 $&$ 2,98 $&$ 3,68 $\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estatísticas descritivas das médias dos erros padrões de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
\end{table}

\begin{table}[http!]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{mínimo}&\multicolumn{1}{c}{$1^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{mediana}&\multicolumn{1}{c}{média}& \multicolumn{1}{c}{$3^{o}$ quartil}&\multicolumn{1}{c}{máximo}\\
\hline
$\overline{EP}_{Y_{1}}$&$ 3,80 $&$4,46$&$4,68$&$4,70$&$4,93$&$5,93  $\\
$\overline{EP}_{Y_{2}}$&$ 2,26 $&$2,71$&$2,86$&$2,86$&$3,00$&$3,54  $\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estatísticas descritivas das médias dos erros padrões de krigagens com as estimativas paramétricas do BGCCM, usando as amostras simuladas do BGCCM com dados co-locados e balanceados}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Simulação}
\begin{itemize}
 \item As configurações das localizações não afeta muito
 \item O BCRM se mostrou um pouco mais eficiente
 \item o BGCCM se mostrou um pouco mais robusto
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{figure}[http]
\begin{center}
 \includegraphics[width=2in]{ph_points} \quad
 \includegraphics[width=2in]{sat_points}
  \caption{Gráficos de círculos - o gráfico a esquerda é para a variável pH e o da direita é da saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{table}[http]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Variável}&
\multicolumn{1}{c}{Mediana}& \multicolumn{1}{c}{Média}&
\multicolumn{1}{c}{D.P.}\\
\hline
Saturação&$56,00$&$53,27$&$10,05$\\
pH&$5,00$&$4,94$&$0,42$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Médias, medianas e desvios padrões do pH e da saturação por bases}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{figure}[http!]
\begin{center}
 \includegraphics[width=2in]{boxcox_ph} \quad
 \includegraphics[width=2in]{boxcox_sat}
  \caption{Gráficos de possíveis transformações de variáveis de Box-Cox, o gráfico da esquerda é relativo ao pH e o gráfico da direita é relativo à saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{table}[!ht]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta$}& \multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\phi$}&
\multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$4,907$&$0,077$&$0,163$&$560  $&$0,5$&$-25,49$&$58,98$\\
$4,905$&$0,101$&$0,149$&$510,6$&$1  $&$-25,69$&$59,38$\\
$4,904$&$0,106$&$0,251$&$650,5$&$1,5$&$-25,57$&$59,15$\\
$4,903$&$0,106$&$0,288$&$569,7$&$2  $&$-25,45$&$58,90$\\
$4,903$&$0,106$&$0,297$&$491,1$&$2,5$&$-25,36$&$58,73$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para o pH com média constantes}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{table}[!ht]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta_{0}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{1}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi$}& \multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$4,725$&$0,397$&$0    $&$0,125$&$49,19$&$0,5$&$-23,44$&$56,89$\\
$4,723$&$0,402$&$0    $&$0,125$&$33,42$&$1  $&$-23,35$&$56,70$\\
$4,723$&$0,403$&$0,014$&$0,111$&$28,43$&$1,5$&$-23,33$&$56,66$\\
$4,779$&$0,227$&$0,110$&$0,061$&$349,3$&$2  $&$-24,86$&$59,73$\\
$4,786$&$0,204$&$0,109$&$0,086$&$353,1$&$2,5$&$-24,83$&$59,65$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para o pH com média induzida pela área de manejo}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{table}[!ht]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta_{0}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{1}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi$}& \multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$-607,48$&$0,001$&$ 0   $&$0,111$&$49,32$&$0,5$&$-19,66$&$49,31$\\
$-608,51$&$0,001$&$ 0   $&$0,112$&$34,28$&$1  $&$-19,44$&$48,89$\\
$-608,33$&$0,001$&$ 0   $&$0,112$&$27,58$&$1,5$&$-19,39$&$48,77$\\
$-608,36$&$0,001$&$0,008$&$0,104$&$24,53$&$2  $&$-19,36$&$48,73$\\
$-608,46$&$0,001$&$0,015$&$0,097$&$22,46$&$2,5$&$-19,35$&$48,70$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para o pH com média induzida pelas coordenadas oeste-leste}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{table}[!ht]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta$}& \multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\phi$}&
\multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$49,53$&$47,66$&$105,33$&$700,00$&$0,5$&$-239,53$&$487,05$\\
$48,53$&$59,57$&$120,62$&$625,58$&$1  $&$-239,76$&$487,51$\\
$47,98$&$62,40$&$124,31$&$516,78$&$1,5$&$-239,79$&$487,57$\\
$47,27$&$63,29$&$149,69$&$489,58$&$2  $&$-239,75$&$487,50$\\
$47,18$&$63,51$&$139,18$&$400,00$&$2,5$&$-239,70$&$487,40$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para a saturação por bases com média constantes}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{table}[!ht]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta_{0}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{1}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi$}& \multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$47,91$&$8,80$&$24,35$&$53,68$&$73,68$&$0,5$&$-238,05$&$486,10$\\
$47,92$&$8,83$&$38,78$&$39,28$&$59,18$&$1  $&$-238,01$&$486,01$\\
$47,92$&$8,86$&$43,35$&$34,69$&$50,33$&$1,5$&$-237,98$&$485,96$\\
$47,92$&$8,88$&$45,53$&$32,47$&$44,34$&$2  $&$-237,96$&$485,92$\\
$47,93$&$8,89$&$46,79$&$31,18$&$39,98$&$2,5$&$-237,95$&$485,90$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para a saturação por bases com média induzida pela área de manejo}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{table}[!ht]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\beta_{0}$}& \multicolumn{1}{c}{$\beta_{1}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\tau^{2}$}& \multicolumn{1}{c}{$\sigma^{2}$}&
\multicolumn{1}{c}{$\phi$}& \multicolumn{1}{c}{$\kappa$}&\multicolumn{1}{c}{$l(\theta)$}&\multicolumn{1}{c}{AIC}\\
\hline
$-14297,01$&$0,025$&$ 8,98$&$59,98$&$54,51$&$0,5$&$-234,75$&$479,50$\\
$-14300,66$&$0,025$&$27,56$&$41,46$&$45,42$&$1  $&$-234,72$&$479,44$\\
$-14300,92$&$0,025$&$33,53$&$35,53$&$39,51$&$1,5$&$-234,70$&$479,39$\\
$-14300,17$&$0,025$&$36,39$&$32,68$&$35,33$&$2  $&$-234,68$&$479,36$\\
$-14298,98$&$0,025$&$38,06$&$31,03$&$32,19$&$2,5$&$-234,67$&$479,34$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para a saturação por bases com média induzida pelas coordenadas oeste-leste}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
Utilizando o AIC e os máximos estimados das funções de vereossimilhança tem-se os modelos univariados finais:

\begin{itemize}
 \item Média induzida pelas coordenadas oeste-leste
 \item parâmetros de suavidade da função de correlação igual a 2,5
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{figure}[!http]
\begin{center}
 \includegraphics[width=2in]{krig_ph} \quad
 \includegraphics[width=2in]{krig_sar}
  \caption{Gráficos de predições espacias, o gráfico da esquerda é relativo ao pH e o gráfico da direita é relativo à saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=2in]{dens_res_ph}\quad
  \includegraphics[width=2in]{qqplot_res_ph}
  \caption{Densidade e gráfico de quartis dos resdíduos para o modelo final do pH}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
  \includegraphics[width=2in]{dens_res_sat}\quad
  \includegraphics[width=2in]{qqplot_res_sat}
  \caption{Densidade e gráfico de quartis dos resdíduos para o modelo final da saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\vspace{-0.5cm}
\begin{table}[!http]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{Constantes}& \multicolumn{1}{c}{Oeste-leste}&
\multicolumn{1}{c}{Área de manejo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$52,57$&$1,54e-6$&$47,83$\\
$\beta_{02} $&$ 4,92$&$1,45e-7$&$ 4,72$\\
$\beta_{1}  $&$  -  $&$8,98e-5$&$ 9,46$\\
$\beta_{2}  $&$  -  $&$8,41e-6$&$ 0,40$\\
$\sigma_{01}$&$ 8,51$&$   8,35$&$ 6,85$\\
$\sigma_{1} $&$ 3,47$&$   3,46$&$ 3,44$\\
$\sigma_{02}$&$ 0,38$&$   0,38$&$ 0,31$\\
$\sigma_{2} $&$ 7e-5$&$   5e-4$&$ 1e-5$\\
$\phi_{0}   $&$59,37$&$  57,79$&$26,73$\\
$\phi_{1}   $&$46,35$&$  48,15$&$49,08$\\
$\phi_{2}   $&$66,82$&$  71,59$&$86,95$\\
$\kappa_{0} $&$    1$&$      1$&$  1,5$\\
$\kappa_{1} $&$  0,5$&$    0,5$&$  0,5$\\
$\kappa_{2} $&$  0,5$&$    0,5$&$  0,5$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao BGCCM para a saturação por bases e o pH}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{table}[!http]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{$\theta$}& \multicolumn{1}{c}{Constantes}& \multicolumn{1}{c}{Oeste-leste}&
\multicolumn{1}{c}{Área de Manejo}\\
\hline
$\beta_{01} $&$51,76 $&$1,51e-6$&$47,93$\\
$\beta_{02} $&$ 4,89 $&$1,43e-7$&$ 4,72$\\
$\beta_{1}  $&$  -   $&$8,85e-5$&$ 9,12$\\
$\beta_{2}  $&$  -   $&$8,36e-6$&$ 0,40$\\
$\sigma_{11}$&$ 8,26 $&$  99,53$&$ 7,82$\\
$\sigma_{12}$&$ 0,31 $&$   3,67$&$ 0,28$\\
$\sigma_{22}$&$ 0,13 $&$   1,54$&$ 0,14$\\
$\phi_{1}   $&$100,63$&$ 100,21$&$53,32$\\
$\phi_{2}   $&$ 21,43$&$  21,38$&$19,34$\\
$\kappa_{1} $&$  0,5$&$    0,5$&$  0,5$\\
$\kappa_{2} $&$  2,5$&$    2,5$&$  2,5$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao BCRM para a saturação por bases e o pH}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{figure}[!http]
\begin{center}
  \includegraphics[width=2in]{krig_ph_bgccm}\quad
  \includegraphics[width=2in]{krig_sat_bgccm}
  \caption{Gráficos de predições espacias com o BGCCM, o gráfico da esquerda é relativo ao pH e o gráfico da direita é relativo à saturação por bases}
  \end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{figure}[!http]
\begin{center}
  \includegraphics[width=2in]{krig_ph_bcrm}\quad
  \includegraphics[width=2in]{krig_sat_bcrm}
  \caption{Gráficos de predições espacias com o BCRM, o gráfico da esquerda é relativo ao pH e o gráfico da direita é relativo à saturação por bases}
\end{center}
\end{figure}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{table}[!h]
\begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccc}\hline
\multicolumn{1}{c}{Obs.}&\multicolumn{1}{c}{Univ.}& \multicolumn{1}{c}{BGCCM}& \multicolumn{1}{c}{BCRM}&
\multicolumn{1}{c}{Obs.}&\multicolumn{1}{c}{Univ.}& \multicolumn{1}{c}{BGCCM}& \multicolumn{1}{c}{BCRM}\\
\hline
$31$&$37,98$&$36,70$&$36,41$&$47$&$46,37$&$47,39$&$46,98$\\
$52$&$50,32$&$48,47$&$48,75$&$67$&$58,89$&$70,08$&$69,86$\\
$41$&$38,73$&$43,29$&$42,70$&$57$&$54,88$&$59,06$&$58,96$\\
$51$&$42,33$&$50,60$&$50,67$&$56$&$57,62$&$52,66$&$52,93$\\
$41$&$56,76$&$39,96$&$40,90$&$59$&$60,97$&$54,68$&$55,20$\\
$43$&$53,04$&$46,20$&$46,51$&$57$&$56,83$&$56,93$&$57,17$\\
$39$&$44,37$&$43,18$&$42,65$&$52$&$57,79$&$52,64$&$52,95$\\
$51$&$56,27$&$48,48$&$48,80$&$61$&$56,38$&$61,32$&$61,35$\\
$64$&$46,88$&$68,33$&$68,03$&$59$&$56,07$&$54,46$&$54,30$\\
$53$&$47,06$&$53,68$&$52,72$&$54$&$62,32$&$56,91$&$57,16$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Valores observados da saturação por bases e não utilizados na modelagem e suas respectivas predições utilizando os modelo univariado, o BGCCM e o BCRM}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Resultados e Discussões - Dados de Solos}
\begin{table}[!h]
 \begin{center}
 \begin{tabular}{lccc}\hline
\multicolumn{1}{l}{Estatística}&\multicolumn{1}{c}{Univariado}& \multicolumn{1}{c}{BGCCM}& \multicolumn{1}{c}{BCRM}\\
\hline
Média&$-0,34$&$-0,50$&$-0,50$\\
Desvio Padrão&$7,52$&$3,02$&$2,84$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Médias e desvios padrões dos erros de krigagem da saturação por bases nas 20 localizações omitidas no processo de estimação}
\end{table}
}

\frame{\frametitle{Considerações Finais}

\begin{itemize}
\item Estudo de simulação
 \begin{itemize}
  \item Estimativas precisas nas três configurações amostrais
  \item Subestimação moderada dos parâmetros de variabilidade e correlação
  \item Alta eficiência para predição espacial
  \item Não existe vantagem evidente na escolha do modelo bivariado
  \item Instabilidade computacional para estimação paramétrica 
 \end{itemize} 
\item Análise dos dados de solo
 \begin{itemize}
  \item Os modelos bivariados foram eficientes na estimação e na predição
  \item Possível barateamento de custos em análises futuras
 \end{itemize}
\item Sugestões de trabalhos
 \begin{itemize}
  \item Estudo de simulação com outras configurações paramétricas
  \item Estudo de outras formas para atribuir distribuições conjuntas
  \item Estudo de técnicas bayesianas em conjunto com estimação MCMC  
 \end{itemize}  
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{Referências}
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\noindent DIGGLE, P.J.; RIBEIRO Jr., P.J. \textbf{Model-Based
geostatistics}. New York: Springer, 2007. 230p.
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varying coregionalization. \textbf{Revista Brasileira de Ciências do Solo}, Viçosa, v.32, p.463-476, 2008.

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Federal do Rio de Janeiro, 2006.

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\noindent FINLEY, A.O.; BANERJEE S.; CARLIN B.P. spBayes: an R package for univariate and multivariate hierarchical point-referenced spatial models. \textbf{Journal of Statistical Software}, Alexandria, v. 19, p.1-24, 2007.

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American Statistical Association}, Alexandria, v.87, p.108-119,
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{\bf Minicurso...} São Paulo: Associação Brasileira de Estatística,
2006. 151 p.

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\noindent SCHMIDT, A.M.; O'HAGAN, A. Bayesian inference for
nonstationary spatial covariance structure via spatial deformations,
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\noindent SCHULLER, J.K. A review and integrating analysis of spatially-variable crop control of crop production. \textbf{Fertilizer Research}, Amsterdam, v.33, p.1-34, 1992.

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\frame{\frametitle{Referências}
\noindent SILVA, A.S. \textbf{Modelos gaussianos geoestatísticos
espaço-temporais e aplicações}, 2006. 70 p. Dissertação (Mestrado em
Estatística e Experimentação Agronômica) - Escola Superior de
Agricultura $"$Luiz de Queiroz$"$ da Univeridade de São Paulo, 2006.

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\noindent SUN, W.; LE, N.D.; ZIDEK, J.V.; BURNETT, R. Assessment of
a Bayesian multivariate interpolation approach for health impact
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\noindent R: A Language and Environmental for Statistical Computing, R Development Core Team, R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria, 2006, ISBN 3-900051-07-0. Disponível em: <http://www.R-project.org>. Acesso em 28 maio 2007.

}

\end{document} 