%
% trocar para 10pt na compilação final:
%
\documentclass[12pt,twoside]{article}
%\documentclass[10pt,twoside]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage{setspace,calc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[brazil,brazilian]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{RME_p}


%
% remover proximas linhas na compilação final:
%
\setlength{\parindent}{0in}
\setlength{\textheight}{10.2in}
\setlength{\textwidth}{7in}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.5in}
\setlength{\evensidemargin}{-0.5in}
\addtolength{\topmargin}{-1.2in}
\setlength{\parskip}{0.1in}
\setlength{\unitlength}{0.01in}
%
%
%

\unespjournalvolume{25}
\unespjournalnumber{1}
\unespjournalyear{2007}
\unespjournalpages{??-??}
\setcounter{page}{1}

\begin{document}

\title{Modelagem geoestatística utilizando a família de Gneiting de funções de covariância espaço-temporais}

\author{Alexandre Sousa da SILVA \thanks{{Departamento de Ciências Exatas,
Universidade de São Paulo - ESALQ/USP, CEP 13418-900 Piracicaba, SP,
Brasil.  E-mail: {\it assilva@esalq.usp.br }}} \and Paulo Justiniano RIBEIRO~JR\thanks{Laboratório de Estatística e Geoinformação,
Universidade Federal do Paraná, CEP 81531-990 Curitiba, PR, Brasil.
E-mail: {\it paulojus@ufpr.br}} \and Ioannis ELMATZOGLOU\thanks{Laboratório de Estatística e Geoinformação,
Universidade Federal do Paraná, CEP 81531-990 Curitiba, PR, Brasil.}}

\maketitle

\begin{resumo}
A especificação de funções de covariância espaço-temporais é uma das
possíveis estratégias para modelagem de processos dos quais
observações são tomadas em diferentes posições do espaço e do tempo.
Tais funções podem definir processos separáveis ou não separáveis e
na sua especificação deve-se garantir que são funções de covariância
 válidas atendendo a condição de serem positiva definidas.
Entre estratégias para obtenção de tais funções estão a de Cressie
e Huang baseadas transformações inversas de representações espectrais  
e Gneiting que
permite a contrução de famílias de funções de covariância
diretamente no domínio das observações. 
A primeira se baseia na idéia de
obter funções em um espaço de dimensão aumentada a partir de funções
válidas no espaço original e necessita de operações no domínio da
freqüência. Alternativamente, a segunda proposta utiliza combinação
de funções completamente monótonas e estritamente crescentes 
evitando assim a inversão de representações espectrais. Há ainda poucos
relatos de uso e avaliações comparativas das diferentes propostas.
Neste trabalho considerou-se a metodologia proposta por Gneiting,
com diferentes valores do parâmetro que indica a força da interação
entre o espaço e o tempo. Para ilustrar a metodologia 
modelos separáveis e não-separáveis foram ajustados a um conjunto 
de dados referente à armazenagem de água em um solo com cultura de
citros e também usados para obter predições do processo. 
Utilizou-se a implementação no pacote {\normalfont\textsf{RandomFields}} do
programa {\normalfont\textsf{R}}, revisando-se a metodologia e investigando-se a
implementação computacional. Na aplicação o modelo de covariância
separável se mostrou adequado para descrever o comportamento das
observações disponíveis sendo a escolha do modelo determinada por
ajustes de máxima verossimilhança.
\end{resumo}

\begin{palavra:chave}
Funções de Covariância, Geoestatística, Modelos Espaço-Temporais, Campos Aleatórios; 
\end{palavra:chave}

\section{Introdução}
Dados espaço-temporais são caracterizados pela descrição da variabilidade no
tempo e no espaço, e o objetivo da análise estatística deste tipo de
dado está em descrever a incerteza não somente sobre as estimativas
das quantidades de interesse mas, também, estimar valores em locais
e/ou tempos não amostrados. Na literatura estatística existe um
grande número de aplicações e publicações referentes a processos puramente
espaciais ou puramente temporais, e mais recentemente começam a ser
apresentadas propostas para modelagem conjunta no espaço e tempo.
Esta análise conjunta é o interesse dos modelos espaço-temporais
que têm ganho uma crescente popularidade na
última década, o que pode ser explicado por um lado pela 
aplicabilidade, pro exemplo em ciências ambientais e da saúde; e
por outro lado pelo crescente desenvolvimento de recursos
computacionais.

Métodos genéricos para modelagem espaço temporal não são amplamente 
disponíveis como no caso de modelos espaciais e temporais isoladamente
tendendo a ser fortemente ligados à aplicação em questão. Desta forma implementações
computacionais genéricas para tais modelagem também são escassas. 
Portanto a revisão, aplicação e testes de metodologias que veem sendo propostas 
é relevante para identificação de métodos aplicáveis a categorias mais amplas
de problemas. 
Gneiting e Schlather (2002), em uma revisão sobre estratégias de
modelagem espaço-temporal agrupam-nas em duas categorias: 
a abordagem geoestatística e a abordagem baseada em
modelos.

Na abordagem geoestatística, geralmente considerada para campos
aleatórios gaussianos, em que o processo é totalmente especificado
pelo vetor de médias e a matriz de covariância. Em geral o vetor de
médias é facilmente especificado a partir de informações
contextuais, mas o mesmo não acontece com a matriz de covariância,
componente chave desta metodologia. Nesta abordagem,
esta matriz possui elementos dados por uma função de covariância
válida, que assegure a condição de matriz positiva definida (Schlather,~1999).

Na abordagem baseada em modelos é enfatizada a adoção de modelos
estocásticos e nesta metodologia a função de covariância não é a
única estrutura utilizada para especificar o modelo. Sendo assim,
este método pode ir de uma função de covariância de forma analítica 
simples a uma função intratável e 
somente definida implicitamente, induzida pelo modelo adotado.
Neste contexto incluem-se modelos bayesianos flexíveis, dinâmicos
e/ou homogêneos e métodos baseados na técnica do filtro de Kalman.

Neste trabalho considerada-se a abordagem geoestatística para a modelagem 
de campos aleatórios espaço-temporais. 
Além disto assume-se gaussianidade explicitamente uma vez que 
adotam-se métodos de inferência baseados na verossimilhança.
Uma forma intuitiva
de produzir modelos válidos para a função de covariância
espaço-temporal é através da combinação de funções válidas puramente
espacial e puramente temporal. Propriedades de função de covariância 
asseguram que o produto ou a soma de funções de covariâncias válidas tem como
resultado uma função de covariância tmabém válida. As funções de
covariância espaço-temporais obtidas desta forma são ditas
separáveis já que não contemplam a possibilidade de interação entre
o componente espacial e temporal. Por isso, em geral, não são
realísticas já que assumem a independência dos processos espaciais e
temporais.

Alternativamente as funções de covariância espaço-temporais não
separáveis incorporam a interação entre o componente espacial e
temporal, mas apresentam como grande desvantagem a dificuldade em se
construir funções de covariância que sejam válidas e são mais difíceis de serem
estimadas. Métodos de análise
matemática devem ser aplicados para garantir a
validade destas funções e em geral se valem do teorema de Bochner
(BOCHNER, 1959), que utiliza a representação espectral para garantir
a validade das funções de covariância espaço-temporais. Nesta linha,
Cressie e Huang~(1999), Gneiting~(2002) e Stein~(2004, 2005), 
propõem famílias de funções de covariância não separáveis válidas
para processos espaço-temporais gaussianos.

\medskip

\section{Campos aleatórios}
Um campo ou função aleatória é um processo estocástico
definido no espaço $G\subset\textbf{R}^d$, ou seja, uma função cujos
valores são realizações de variáveis aleatórias em qualquer ponto do
domínio (SCHMIDT; SANSÓ, 2006), ou em outras palavras, uma família
ou coleção de variáveis aleatórias, em que cada um dos seus membros
podem ser identificados ou localizados de acordo com a mesma métrica
(SCHABENBERGER; GOTWAY, 2005). Um campo aleatório pode ser denoado por:

\begin{equation}\label{equ:chave}
\{Z(\textbf{s}):\textbf{s}\in G \subset \textbf{R}^d \}\nonumber,
\end{equation}em que $Z(\textbf{s})$ é o valor do atributo $Z$ na
localização $\textbf{s}$ e $d = 1, 2, \ldots$ é a dimensão do campo
aleatório. Segundo Schmidt e Sansó~(2006) e Le e Zidek~(2006), a
descrição de um campo aleatório é obtida através das distribuições
acumuladas finito-dimensionais $F$ se, para qualquer conjunto de
pontos nas localizações
$\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2},\ldots,\textbf{s}_{n}$ pertencentes à
região $G$ e qualquer inteiro n,

$F_{\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2},\ldots,\textbf{s}_n}(z_{1},z_{2},\ldots,z_{n})\equiv
P\{Z(\textbf{s}_{1})\leq z_{1}, Z(\textbf{s}_{2})\leq
z_{2},\ldots,Z(\textbf{s}_{n})\leq z_{n}\}$.

Um campo aleatório gaussiano corresponde ao caso particular em que
tais distribuições finito-dimensionais são gaussianas, ou seja, um
campo aleatório é gaussiano se a distribuição para qualquer conjunto
de índices $i=1,2,\ldots,n$ é uma gaussiana n-variada.
Conseqüentemente, por propriedades da distribuição gaussiana
multivariada, cada $Z(\textbf{s}_{i})$ é uma variável aleatória
gaussiana univariada.

O processo gaussiano é particularmente importante na análise de
campos aleatórios, já que estes são completamente especificados pelo
vetor de médias e sua matriz de covariância (GNEITING; SCHLATHER, 2002). 
O vetor de médias é especificado pelo conhecimento de
covariáveis, isto é, efeitos fixos, que influenciam a variável de
interesse. A matriz de covariância precisa ser positiva definida
para ser considerada válida. Para tanto cada um de seus elementos
pode ser dado por uma função de covariância tal que 
para $(Z(\textbf{s}_{1}),Z(\textbf{s}_{2}),\ldots,Z(\textbf{s}_{n}))$,
com matriz de covariância $\Sigma$ com dimensão $n \times n$ e
simétrica, em que $\Sigma_{ij}=C(\textbf{s}_{i}-\textbf{s}_{j})$, ou
seja, cada valor de $\Sigma$ é igual a covariância entre respostas
em duas localizações correspondentes, 
é necessário e suficiente que $C$ satisfaça a condição de
ser positiva definida, em outras palavras, para qualquer vetor não
zero $\textbf{a}$, a forma quadrática $\textbf{a}'\Sigma \textbf{a}$
deve ser maior igual a zero. Sendo assim esta condição pode ser
escrita nas seguintes formas:
\begin{eqnarray}
{\textbf{a}}'\Sigma
\textbf{a}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}\textbf{a}_{i}\textbf{a}_{j}C(\textbf{s}_{i}-\textbf{s}_{j})
\geq 0
=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}\textbf{a}_{i}\textbf{a}_{j}C(\textbf{h}_{ij})
\geq 0 \nonumber,
\end{eqnarray}
em que $\textbf{a}_{i}$ e $\textbf{a}_{j}$ são elementos do vetor
$\textbf{a}$ e $\textbf{h}_{ij}$ denota o vetor de separação entre
$\textbf{s}_{i}$ e $\textbf{s}_{j}$.
Sendo a função de covariância positiva definida, e portanto válida, 
é garantido que a matriz de covariâncias também o será.
Entretanto determinar se esta função é
positiva definida é, em geral, não trivial. Uma forma freqüentemente
utilizada para verificar a validade de uma função de covariância é
verificar se a representação espectral desta função satisfaz o
teorema de Bochner (BOCHNER, 1959).

\medskip

\subsection{Propriedades da função de covariância}\label{sec:propriedades}
A função de covariância $C(\textbf{h})$ de um campo aleatório
estacionário de segunda ordem deve satisfazer as seguintes
propriedades :\\
(i) $Cov[Z(\textbf{s}),Z(\textbf{s}+\textbf{0})]=Var[Z(\textbf{s})]=C(\textbf{0})\geq0;$\\
(ii) $C(\textbf{h})=C(\textbf{-h});$ \\
(iii) $C(\textbf{0})\geq\mid C(\textbf{h})\mid;$\\
(iv) $C(\textbf{h})=Cov[Z(\textbf{s}),Z(\textbf{s+h})]=Cov[Z(\textbf{0}),Z(\textbf{h})];$\\
(v) Se $C_{j}(\textbf{h})$ com $j=1,2,\ldots,k$, são funções de
covariância válidas, então
$\sum^{k}_{j=1}\textbf{b}_{j}C_{j}(\textbf{h})$ é
uma função de covariância válida, se $\textbf{b}_{j}\geq 0 \; \forall j;$ \\
(vi) Se $C_{j}(\textbf{h})$ com $j=1,2,\ldots,k$, são funções de
covariância válidas, então $\prod^{k}_{j=1}C_{j}(\textbf{h})$ é uma
função de covariância válida;\\
(vii) Se $C(\textbf{h})$ é uma função válida no $R^d$, então ela
também será uma função de covariância válida em $R^p$, com $p<d$.

De acordo com Schabenberger e Gotway (2005), as propriedades (i) e
(ii) são imediatas, (iii) segue a forma da inequação de
Cauchy-Schwarz, (iv) caracteriza a falta de importância da
coordenada absoluta, (v) assegura que combinações lineares de
funções de covariância válidas são também funções de covariância
válidas e (vi) assegura que o produto de funções de covariância
válidas tem como resultado uma função de covariância válida.

Em campos aleatórios espaço-temporais a propriedade (ii) nem sempre
é satisfeita, o que dá origem aos modelos de covariância
espaço-temporais assimétricos. Já as propriedades (v) e (vi) dão
suporte à construção de modelos de covariância espaço-temporais
separáveis.

\subsection{Inferência}

Uma ferramenta de uso comum para investigação da dependência
espacial em geoestatística é o semivariograma que  para campos
aleatórios intrinsecamente estacionários é definido por
$2\gamma(\textbf{h})=E\{[\textbf{Z}(s_{i})-\textbf{Z}(s_{j})]^{2}\}$.
Portanto, uma estimativa empírica do semivariograma é dada pelo
estimador de momentos:
\begin{equation}
{\hat{\gamma}( \textbf{h})=
\frac{1}{2|N(\textbf{h})|}\sum_{|N(\textbf{h})|}
\{Z(\textbf{s}_{i})-Z(\textbf{s}_{j})\}^{2}},
\label{eq:variograma}
\end{equation}
em que $|N(\textbf{h})|$ é a quantidade de pontos separados pela
distância $\textbf{h}$ de separação entre $s_{i}$ e $s_{j}$. De
acordo com Schabenberger e Gotway (2005), o estimador
$\hat{\gamma}(\textbf{h})$ é não viesado para $\gamma(\textbf{h})$
se $Z(\textbf{s})$ for intrinsecamente estacionário. No caso do
processo em que assume-se a estacionariedade de segunda ordem, o
variograma informa também sobre a função de correlação.

Isto justifica uma prática comum em geoestatística de se utilizar o
semivariograma empírico para inferir sobre parâmetros do modelo,
através do ajuste de uma função válida para o semivariograma
teórico.

Um outro paradigma para estimação de parâmetros, sob a pressuposição
de estacionariedade forte, é dado pelo método de máxima
verossimilhança. A estimação dos parâmetros de campos aleatórios
pelo método de máxima verossimilhança requer pressuposições sobre a
distribuição do processo. Dado
$\textbf{Z}=[Z(\textbf{s}_{1}),Z(\textbf{s}_{2}),\ldots,Z(\textbf{s}_{n})]^{'}$,
que denota o vetor de observações e assumindo
$\textbf{Z}(\textbf{s})\sim G(\mu\textbf{1},\Sigma(\theta))$, o
método da máxima verossimilhança consiste em maximizar o logaritmo
da distribuição gaussiana n-variada:
\begin{equation}
L(\mu,\theta; z_{1},z_{2},\ldots,z_{n})=-\frac{1}{2}\{\ln(|\Sigma(\theta)|)
+ n \ln (2\pi)+(z(\textbf{s})-\textbf{1}\mu)'
\Sigma(\theta)^{-1}(z(\textbf{s})-\textbf{1}\mu)\}.
\label{eq:verossimilhanca}
\end{equation}

Estimadores de máxima verossimilhança são largamente utilizados em
estatística, por assegurarem uma série de propriedades, já que sob
condições usuais de regularidade estes estimadores são
assintoticamente não viesados e eficientes. Entrentanto, na prática em
aplicações geoestatísticas, este método de estimação pode requerer muito tempo
computacional, ou até mesmo ser proibitivo, devido à dimensão da
matriz de covariância. 
Tais problemas tendem a ser ainda frequentes em modelagem espaço temporal.

Diggle, Ribeiro e Christensen~(2003) e Diggle e Ribeiro~(2007)
discutem em detalhes métodos baseados na verossimilhança para
estimação de parâmetros do processos geoestatísticos espaciais,
incluindo métodos bayesianos.

\medskip

\subsection{Campos aleatórios espaço-temporais}

Processos ambientais e geofísicos como concentração de poluentes,
precipitação e superfície do vento são exemplos de fenômenos que
podem ser modelados por campos aleatórios espaço-temporais. 
Processos deste tipo são caracterizado pela descrição da 
variabilidade do atributo de interesse na dimensão do espaço e do tempo.
Segundo Schabenberger e Gotway (2005)  existem três possibilidades para o estudo desta
variabilidade:
(i) análise espacial para cada processo temporal;
(ii) análise temporal para cada processo espacial;
(iii) análise espacial e temporal conjunta.
As duas primeiras possibilidades isolam a parte temporal ou a
espacial e aplicam técnicas de análise espacial ou 
de séries temporais para o tipo de processo
resultante. A terceira possibilidade considera o processo espacial e
temporal conjuntamente e é a considerada neste trabalho. No processo
de construção desta análise conjunta, a aplicação das técnicas
usuais para estudo da variabilidade espacial e temporal separadamente
pode ser utilizada como uma ferramenta exploratória e auxiliar na
construção de modelos adequados. Entretanto a modelagem espaço-temporal 
vai além de tias técnicas, podendo requerer modelos e métodos específicos 
para análise de dados. Isto também justifica a estratégia adotada aqui de 
assumir explicitamente um modelo gaussiano, mesmo considerando que 
na análise geoestatística puramente espacial alguns autores optam 
por não assumir tal pressuposto.

Um campo aleatório espaço-temporal é definido como
\begin{eqnarray}
\{Z(\textbf{s},t),\textbf{s} \in {R}^d, t \in R \}\nonumber,
\end{eqnarray}
em que  $Z(\textbf{s},t)$ é valor de atributo $Z$ no espaço
$\textbf{s} \in {R}^d$ e no tempo $t \in R $.
Através desta definição, percebe-se intuitivamente que o domínio
natural do processo é $R^{d}\times R$. Neste trabalho o componente
espacial será considerado bidimensional, ou seja, $d=2$, por ser a
situação comum na prática, entretanto ressalta-se que a dimensão do
processo pode ser qualquer número finito positivo.

Tempo e espaço não são diretamente comparáveis, já que as
unidades das coordenadas dos dois processos apresentam grandezas
diferentes e o tempo exibe uma ordenação natural. 
Fisicamente existe uma clara diferença entre as
dimensões espaciais e temporais e os modelos precisam considerá-las.
Segundo Gneiting et.~al~(2006) funções de covariância ou mesmo a
interpolação espacial por krigagem se utilizam de espaços 
euclidianos e são diretamente
aplicados à problemas espaço-temporais. Sendo assim a simples
separação vetorial do domínio espacial e temporal tem importantes
implicações.

De acordo com Gneiting e Schlather (2002), na modelagem de processos
espaço-temporais duas formas para especificação do modelo podem ser
consideradas.
A primeira é a \emph{Especificação geoestatística} na qual é
necessário a ressuposto de uma distribuição, geralmente gaussiana,
para função aleatória $Z(\textbf{s},t)$ que é definida em toda
coordenada espaço-temporal. A função de covariância é definida  na
dimensão espaço-temporal contínua, caracterizando o modelo da função
aleatória, que pode ser utilizada na predição de qualquer
localização espacial e em qualquer instante de tempo. O ajuste da
função de covariância é de importância central nesta metodologia, e
portanto expressões com forma fechada para função de covariância são
essenciais.
A segunda é a \emph{especificação baseada em modelos}. Esta técnica
enfatiza a adoção de modelos estocásticos para solução de problemas
práticos nos quais a função de covariância não é especificada
explicitamente, mas sim induzida pelo modelo. Esta forma de
especificação espaço-temporal pode entretanto ir de uma função com
forma analítica simples até uma forma não fechada,  definida somente implicitamente,
induzida pelo modelo adotado. Esta metodologia engloba de modelos hierárquicos
bayesianos espaço-temporais a técnicas baseadas no filtro de Kalman, com a
característica de apresentar predições 
baseadas em métodos computacionalmente eficientes.

A especificação geoestatística é conceitualmente simples,
particularmente quando combinado com a adoção do modelo gaussiano,
que é completamente especificado por sua média e estrutura de
covariância. Além disto, a predição espacial por algorítmos
genericamente conhecidos como \textit{krigagem}, que geralmente é o objetivo da
análise de campos aleatórios, requer a especificação apropriada da
função de covariância. Por outro lado esta forma de especificação assume
estacionariedade espaço-temporal da estrutura de covariância, que
portanto não permite formas flexíveis como as induzidas pela
especificação baseada em modelos. Neste trabalho adota-se
especificação geoestatística aplicada a processos espaço-temporais
gaussianos.

Assumindo as condições de regularidade do campo aleatório
espaço-temporal, $Var(Z(\textbf{s},t))<\infty$ para todo
$\textbf{s}\in\textbf{R}^2, t\geq 0$, (CRESSIE; HUANG, 1999),
define-se a média e a função de covariância por:
\begin{eqnarray}
\mu(\textbf{s},t)&=&E(Z(\textbf{s},t))\nonumber \\
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))&=&C(\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2},t_{1},t_{2})\nonumber.
\end{eqnarray}

De acordo com Gneiting et.al (2006), o interesse inicial
das análises é em geral o de verificar a plausibilidade de três
características simplificadoras da descrição  
do processo: estacionariedade, simetria completa e
separabilidade. Após este estudo será possível decidir sobre a
complexidade da modelagem.

Um campo aleatório espaço-temporal é estacionário se sua esperança
não depende das coordenadas espaço-temporais e sua função de
covariância depende somente de um vetor de separação dos pontos em $R^{d}
\times R$. Portanto um campo aleatório espaço-temporal apresenta
covariância estacionária no espaço se
$Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1},\textbf{s}_{2},t_{2}))$ depende somente
do vetor de separação $\textbf{h}=\textbf{s}_{1}-\textbf{s}_{2}$, e
apresenta estacionariedade temporal se
$Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1},\textbf{s}_{2},t_{2}))$ depende somente
do vetor de separação $u=t_{1}-t_{2}$. Desta forma se o campo
aleatório espaço-temporal possui covariância estacionária 
esta é dada por:
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=c(\textbf{h},u)\nonumber
\end{eqnarray}

O campo aleatório espaço-temporal apresenta simetria completa se
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{2}),Z(\textbf{s}_{2},t_{1})),\nonumber
\end{eqnarray}
para todas as coordenadas espaço-temporais $\textbf{s}_{1},t_{1}$ e
$\textbf{s}_{2},t_{2}$ em $R^2\times R$. No caso da covariância ser
estacionária e completamente simétrica tem-se:
\begin{eqnarray}
C(\textbf{h},u)=C(\textbf{h},-u)=C(-\textbf{h},u)=C(-\textbf{h},-u),\nonumber
\end{eqnarray}
para todo $(\textbf{h},u)\in R^{2}\times R$.

A classe mais simples de funções de covariância espaço-temporal é
dada pelos modelos separáveis. Funções de covariância
espaço-temporais separáveis podem ser definidas com base nas
propriedades de aditividade e multiplicabilidade (\ref{sec:propriedades}, vi e vii).
Desta forma a função de covariância pode ser decomposta entre uma função de covariância
puramente espacial e outra puramente temporal, que no caso aditivo
pode ser escrita como:
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=
Cov(Z(\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2}))+ Cov (Z(t_{1},t_{2}))\nonumber
\end{eqnarray}
e no caso multiplicativo por:
\begin{equation}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=Cov(Z(\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2}))
Cov (Z(t_{1},t_{2})),
\end{equation}
em que em ambos os casos $\textbf{s}_{1},t_{1}$ e
$\textbf{s}_{2},t_{2} \in \textbf{R}^2\times\textbf{R}$ .

Esta classe de modelos de covariância espaço-temporal, embora simplista por 
não considerar
a interação entre o espaço e o tempo, é muito utilizada na
prática por ser computacionalmente tratável e pela forma intuitiva e
simples de obtenção de funções de covariância válidas.

Todos os modelos separáveis são também completamente simétricos.
Para a demonstração desta relação considere a eq.(2), considere
também as variáveis aleatória espaço-temporais
$Z(\textbf{s}_{1},t_{2})$ e $Z(\textbf{s}_{2},t_{1})$. A função de
covariância separável será dada por:
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{2}),Z(\textbf{s}_{2},t_{1}))=
Cov(Z(\textbf{s}_{1},\textbf{s}_{2}))Cov (Z(t_{2},t_{1})),\nonumber
\end{eqnarray}
desta forma concluí-se que:
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))=
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{2}),Z(\textbf{s}_{2},t_{1})),\nonumber
\end{eqnarray}
que é a definição da propriedade de campos aleatórios
espaço-temporais completamente simétricos.

Um exemplo simples de especificação de 
uma função de covariância espaço-temporal
separável dado pela combinação de modelos de covariância
exponenciais é:
\begin{eqnarray}
Cov(Z(\textbf{s}_{1},t_{1}),Z(\textbf{s}_{2},t_{2}))= \sigma^{2}_{1}
\exp(-||A_{1}(\textbf{s}_{1}-\textbf{s}_{2})||)+\sigma^{2}_{2}
\exp(-||A_{2}(t_{1}-t_{2})||),\nonumber
\end{eqnarray}
em que $A_{1}$ e $A_{2}$ são denominadas \textit{matrizes de
anisotropia} e $||\cdot||$ a norma euclidiana. 
Tais matrizes expandem a idéia de anisotropia geométrica
utilizada em modelos geoestatísticos puramente espaciais (ISAAKS; SRISVASTAVA, 1989)  
permitindo a representação combinada das dimensões espaciais e temporais. 
Por exemplo, supondo um processo isotrópico no espaço, e separabilidade entre
 espaço e tempo, as matrizes são dadas por:
$$ A_{1} = \left(
\begin{array}{ccc}
 \phi_{1} & 0 & 0 \\
 0 &  \phi_{1}  & 0 \\
 0 &  0  & 0 \\
\end{array}
\right), \hspace{1cm} A_{2} = \left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
 0 &  0  & 0 \\
 0 &  0  & \phi_{2} \\
\end{array}
\right) \;
$$
em que $\phi_1$ e $\phi_2$ são parâmetros que descrevem o decaimento 
das funções de correlação exponencial nas dimensões espacial e temporal, respectivamente.
Modelos espacialmente não isotrópicos, não separáveis e não simétricos podem
ser então especificados considerando-se formas mais genéricas para tais matrizes de anisotropia.

Qualquer função de covariância espaço-temporal que não puder ser escrita
em uma das duas formas separáveis anteriormente mencionadas e nem
combinações destas, será dita uma função não separável. As funções
de covariância separáveis, embora facilmente obtidas, são em geral
insatisfatórias para descrever processos naturais, o que gera a
necessidade de se especificar funções não separáveis. Kyriakidis e
Journel~(1999), revisam e discutem abordagens para especificação de
processos geoestatísticos espaço-temporais. Cressie e Huang (1999),
propõem classes de funções de covariância não separáveis válidas
cuja obtenção não se baseia no domínio das observações, mas sim no
domínio da freqüência, uma vez que a representação espectral e a
densidade espectral podem ser utilizadas para descrever as
propriedades do processo. Gneiting (2002), em uma abordagem
alternativa, obtém modelos válidos de função de covariância através
da definição de funções monótonas e positivas.

\medskip
\subsubsection{Representação de Gneiting}

A representação de Cressie e Huang~(1999) permite a construção de  famílias de
funções de covariância espaço-temporais estacionárias e não
separáveis através da inversão de Fourier, o que
restringe esta família a um pequeno grupo de funções com soluções de
com forma fechada para tal inversão. Gneiting~(2002) propõe uma
flexível e elegante família de funções de covariância
espaço-temporais, cuja obtenção não requer operações no domínio
espectral. A construção de funções de covariância válidas se dá
através de componentes elementares em que sua validade é facilmente
verificada. Tal forma, ainda pouco explorada na literatura e aplicações, 
é a adotada neste trabalho.

A representação de Gneiting~(2002) considera qualquer função
monótona $\phi(x)$, definida em $x\geq 0$ e qualquer função positiva
$\psi(x)$, definida em $x\geq 0$ com derivadas completamente
monótonas, e desta forma,
\begin{equation}
C(\textbf{h},u)=\frac{\sigma^{2}}{(\psi(u)^{2})^{\delta/2}}\phi \Big
(\frac{\textbf{h}^{2}}{\psi(u^{2})}\Big)
\end{equation}
é uma função de covariância espaço-temporal válida em $R^{d}\times
R$, em que $\textbf{h}=||h||$ é a distância espacial, 
$u$ representa o vetor de distâncias
no tempo e $\delta$ deve ser maior ou igual que a genuína dimensão
espacial $d$ e portanto, por simplicidade considera-se aqui $\delta = d$.

De acordo com Gneiting (2002) uma função contínua $\phi(x)$ é
completamente monótona se possui derivadas $\phi ^{(n)}$ de todas as
ordens e $(-1)^{n} \phi^{(n)} (x)\geq 0$, em que $x > 0,
n=0,1,2,\ldots$.

Assim, Gneiting propõe uma família de funções de covariância
espaço-temporal muito geral que não depende da inversão de Fourier
na forma fechada e não necessita de integrabilidade. De acordo com
Elmatzoglou (2006) nesta família os componentes $\phi(x)$ e 
$\psi(x)$ podem ser associados com a estrutura espacial e temporal,
respectivamente. Gneiting~(2002), apresenta possíveis escolhas para
tais funções, que são reproduzidas nas Tabelas 1 e 2.

\def\tablename{Tabela}%
\begin{table}[!htb]
\caption{ Funções completamente monótonas $\phi(x)$,$x\geq 0$ }
\vspace*{0.2cm} \centering
\begin{tabular}{l} \hline\hline
$\phi(x)=\exp(-cx^{\gamma}),c>0,0<\gamma\leq1$\\
$\phi(x)=(1+cx^{\gamma})^{\nu},c>0,0<\gamma\leq1,\nu>0$\\
$\phi(x)=(2^{\nu-1}\Gamma(\nu))^{-1}(cx^{1/2})^{\nu}\textbf{K}_{\nu}(cx^{1/2}),c>0,\nu
>0$\\
$\phi(x)=2^{\nu}(\exp(cx^{1/2})+\exp(-cx^{1/2}))^{\nu}, c>0,\nu>0$\\
\hline
\end{tabular}
\label{Tabe}
\end{table}

\def\tablename{Tabela}%
\begin{table}[!htb]
\caption{ Funções positivas $\psi(x)$, $x\geq 0$ } \vspace*{0.2cm}
\centering
\begin{tabular}{l} \hline\hline
$\psi(x)=(ax^{\alpha}+1)^{\beta},a>0,0<\alpha\leq1,0\leq\beta\leq1$   \\
$\psi(x)=ln(ax^{\alpha}+b)/ln(b), a>0,b>1,0<\alpha\leq1$ \\
$\psi(x)=(ax^{\alpha}+b)/(b(ax^{\alpha}+1)),a>0,0<b\leq1$\\
\hline
\end{tabular}
\label{Tabe}
\end{table}

Um exemplo simples de função de covariância espaço-temporal não
separável é dada como segue:
considere a primeira linha das Tabelas~1~e~2, em que
$\phi(x)=\exp(-cx^{\gamma}),c>0,0<\gamma\leq1$ e
$\psi(x)=(ax^{\alpha}+1)^{\beta},a>0,0<\alpha\leq1,0\leq\beta\leq1$.
Substituindo na eq.(3) tem-se:
\begin{equation}
C(\textbf{h},u)= \frac{\sigma^{2}}{(au^{2\alpha}+1)^{\frac {\beta
d }{2}}}\exp \Big\{ \frac {c\textbf{h}^{2\gamma}}{(au^{2\alpha}+1)^{\beta\gamma}}\Big\}.
\end{equation}

Nesta expressão, nota-se que para $\beta=0$ a função de covariância não mais
depende do tempo. Portanto, usando a propriedade de que o produto
de funções de covariâncias vlálidas é também uma função válida, 
multiplicando-se a eq.(4)  
por uma função de covariância puramente temporal,
$C(u)=(au^{\alpha}+1)^{-\kappa} \; \kappa > 0$, tem-se como resultado:
\begin{eqnarray}
C(\textbf{h},u)= \frac{\sigma^{2}}{(au^{2\alpha}+1)^{\kappa +
\frac {\beta d }{2}}} \exp \Big\{ \frac {c
\textbf{h}^{2\gamma}}{(au^{2\alpha}+1)^{\beta\gamma}}\Big\},
\nonumber
\end{eqnarray}
e para $\beta=0$, a expressão da função de covariância se reduz a
\begin{eqnarray}
C(\textbf{h},u)= \frac{\sigma^{2}}{(au^{2\alpha}+1)^{\kappa}}
\exp \{c\textbf{h}^{2\gamma}\} \nonumber
\end{eqnarray}
que é uma função de covariância separável que pode ser escrita na forma,
\begin{eqnarray}
C(\textbf{h},u)=\sigma^{2}C(u)C(\textbf{h})\nonumber
\end{eqnarray}
em que $C(u)=(au^{2\alpha}+1)^{-\kappa}$ é a função puramente
temporal, enquanto $C(\textbf{h})=\exp \{c\textbf{h}^{2\gamma}\}$
é a função puramente espacial. Esta representação sugere que o
parâmetro $\beta$ pode ser utilizado para testar a hipótese de
separabilidade. Fuentes (2005) discute esta e outras  
formas de verificar a separabilidade e 
propõe um teste simples para separabilidade 
de funções de covariância espaco temporal baseado em uma análise de variância de 
dupla entrada.

\medskip

\section{Aplicação}

A água é um dos mais importantes fatores para o adequado
desenvolvimento de qualquer cultura agrícola e o conhecimento da sua
dinâmica no solo é indispensável para o aprimoramento de práticas de
manejo que visem à otimização da produtividade da cultura (MORETI,2006).
Moreti~(2006) desenvolve um estudo da capacidade de armazenagem de água
em um Latossolo Vermelho Amarelo Argissólico cultivado com citros,
em uma parcela experimental na qual foram coletados dados em duas
transeções com 20 pontos de observação cada, com espaçamento de 4,0
m entre os pontos amostrados e 7,0 m entre as transeções. Para
quantificar a armazenagem de água no solo foi instalado, em cada
ponto amostral, um tubo de acesso à sonda de neutrons até a
profundidade de 1,20~m, localizado no centro da distância entre duas
plantas ao longo da linha.

A cultura de citros foi implantada em março de 1991, e as amostras
foram coletadas de 2001 a 2004, totalizando 98 coletas de dados não
eqüidistantes no tempo. Neste trabalho utilizou-se dados de 25
momentos de tempo tomados um em cada quatro, aos quais ajustou-se
modelos espaço-temporais. A restrição de tomar apenas 25 dentre os
98 períodos de tempo para os quais dados eram disponíveis 
visou contornar problemas computacionais uma
vez que o objetivo aqui é investigar e explorar o uso da metodologia de modelagem 
através de uma análise ilustrativa, e
não necessariamente fornecer resultados definitivos de análise destes dados.

Muitos modelos tem sido sugeridos na literatura e o fato de
terem sido adotados em determinados problemas  
não significa necessariamente que estes melhor
representem  a realidade. A escolha de uma determinada classe
de modelos para processos espaço temporais 
é uma tarefa difícil  uma vez que não há replicações do processo.
O conhecimento do problema em questão por parte dos pesquisadores
é portanto fundamental para guiar a avaliar as escolhas de modelos.

Neste trabalho, o interesse não é ajustar um modelo definitivo aos
dados em questão, e sim verificar a possibilidade de aplicação e 
o comportamento de alguns dos modelos 
discutidos anteriormente. Para tanto, será considerado um conjunto
referente a capacidade de armazenagem de água em um solo com citros.

\medskip
\subsection{Modelos de covariância espaço-temporais }

A partir da representação de Gneiting e escolhas das funções $\phi(x)$ e $\psi(x)$
tem-se a seguinte função de covariância espaço-temporal separável
ajustada, com os parâmetros estimados pelo método da máxima
verossimilhança:
\begin{equation}
C(\textbf{h},u)=\frac{44.12}{(0.76 u^{1.65}+1)^{0.08}} \exp \{
-0.001 \textbf{h}^{0.85} \} +  \frac{0.25}{(0.76
u^{1.65}+1)^{0.08}}.
\end{equation}

Já para a função de covariância espaço-temporal não separável, com
os parâmetros também estimados pelo método de máxima
verossimilhança, tem-se que o modelo ajustado é dado por:
\begin{eqnarray}
 C(\textbf{h},u)& = & \frac{1}{(0.76
u^{1.65}+1)^{0.12}}\Big(\frac{44.12}{(0.76
u^{3.3}+1)^{0.04}} 
\exp \Big\{ -0.001 \Big[ \frac{\textbf{h}}{(0.76
u^{3.3}+1)^{0.04}}\Big]^{1.65} \Big\} \Big) + \nonumber \\ 
& & + \; \frac{0.25}{(0.76
u^{1.65}+1)^{0.08}} \; .
\end{eqnarray}

A distinção entre os dois modelos ajustados anteriormente é dada
pelo parâmetro $\beta$ que determina se existe ou não interação
entre os componentes puramente espacial e puramente temporal, ou
seja, se a correlação espacial independe do tempo e vice-versa.
Então o valor do parâmetro $\beta$ pode ser visto como o grau de
interação espaço-temporal, em que valores grandes, próximos de 1,
induzem um forte efeito de interação espaço-temporal, enquanto que
valores pequenos, próximo de zero, induzem um efeito fraco de
interação espaço-temporal. Isto sugere, ao menos a princípio, 
uma forma de testar a separabilidade da função de covariância, além de quantificar a
intensidade da interação espaço-temporal. 
Na prática tal teste pode apresentar dificuldades na estimação do 
parâmetro, com a função de verossimilhança 
apresentando curvatura suave na direção deste parâmetro, 
combinada ao fato de que o valor de interesse no teste  ($\beta=0$) 
está na borda do espaço paramétrico.

No exemplo considadrado aqui o 
valor estimado para o parâmetro $\beta=0.04$ é muito próximo de
zero, o que indica que o modelo separável se ajusta bem aos
dados, em outras palavras, não há evidência clara de interação entre
o espaço e o tempo. Ressaltando aqui novamente que a estimação deste
parâmetro pode ser numericamente instável o que requer 
cuidadosa calibragem dos algorítmos numéricos.

Para verificar o efeito da suposição de separabilidade
espaço-temporal, foi considerado também o erro médio de predição,
para tanto foi realizada a krigagem simples para diferentes valores
de $\beta$. Os valores preditos para o tempo 26 foram comparados com
os verdadeiros valores observados para este tempo. A Figura~1,
ilustra estas predições sinalizando que o modelo com
$\beta=0$ é o que fornece predições mais próximas dos valores observados 
e ainda percebe-se
que o aumento do valor de $\beta$, causa um diminuição na média e na
variância. A Tabela~3 apresenta os erros quadráticos médios, as médias
e variâncias da predição, e através dela é possível verificar que o
menor valor do erro quadrático médio ocorre quando $\beta=0$, ou
seja, o modelo separável é o mais indicado para o conjunto de dados
considerado.

Na Figura~2, são ilustrados os mapas de krigagem simples com
parâmetros $\beta = 0, 0.25, 0.95$. As predições foram realizados
para o tempo 26, cujos dados não foram utilizados na estimação. 
Estes mapas de valores preditos 
ilustram uma pequena diferença no comportamento das "manchas", mas
uma diferença um pouco maior nas escalas. Através das legendas
percebe a clara diminuição do valor médio considerado.

As análises foram efetuadas no programa {\normalfont\textsf{R}} de computação estatística
(R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2007) utilizando ainda os pacotes adicionais 
{\normalfont\textsf{geoR}} (RIBEIRO~Jr; DIGGLE, 2001) para 
análises exploratórias e iniciais puramente espaciais
e {\normalfont\textsf{RandomFields}} (SCHLATHER,~2006) para modelagem espaço temporal.

\begin{table}
\caption{ Erro quadrático médio, média e variância de predição para funções de
covariância espaço-temporais com diferentes valores do parâmetro
$\beta$ }
\[ \begin{tabular}{l|l|l|l} \hline
  & EQM & Média &Variância   \\
\hline
Modelo separável $\beta=0$ & 5.561 & 17.114 & 0.753\\
Modelo não separável $\beta=0.25$ & 12.674 & 15.913 & 0.494\\
Modelo não separável $\beta=0.5$ &  26.060 & 14.371 & 0.309\\
Modelo não separável $\beta=0.75$ & 45.661 & 12.720 & 0.191\\
Modelo não separável $\beta=0.95$ & 64.436 & 11.451 & 0.132\\
\hline
\end{tabular}\]
\end{table}


\begin{figure}[h!tb]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{predd}
\caption {Distribuição das predições para o tempo 26 e do verdadeiro valor amostrado}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!tb]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{krig1d}
\end{center}
\caption {Mapas de predição espacial por krigagem para modelos com $\beta=0$, $\beta=0.25$, $\beta=0.95$.}
\end{figure}

\medskip
{\noindent \bf \large Discussão} \vspace{.5cm}

Processos ambientais e geofísicos como concentração de poluentes,
campos de precipitação e superfície do vento são caracterizados pela
variabilidade contínua no espaço e no tempo. Tais campos
espaço-temporais são geralmente tratados como aleatórios, uma vez
que as leis que governam seu comportamento não são completamente
compreendidas e sua complexidade não segue uma descrição
determinística precisa. Modelos estocásticos, por sua vez, são
baseados tipicamente em um pequeno número de parâmetros que devem
ser inferidos tipicamente a partir de uma única 
observação parcial do processo.

O objetivo primário da modelagem de tais processos é informar sobre padrões
do comportamento espaço-temporal. Parte-se do princípio de que não
existe um modelo que se ajuste perfeitamente aos dados e o que
ocorre, é que alguns modelos são mais capazes, que outros, de
descrever certas situações. Através da modelagem é possível resumir
de forma simples um conjunto de dados complexo, testar hipóteses
cientificamente relevantes e fazer predições dos processos em
posições não observadas do espaço e/ou tempo.

Fenômenos espaciais e temporais são caracterizados por suas
unicidade e não reproducibilidade e  assume-se então que 
os dados contituem uma amostra parcial única da 
realização de um particular mecanismo
estocástico. Conseqüentemente, inferências só podem ser feitas a
partir da adoção de simplificações e suposições. A princípio a
estratégia de análise espaço-temporal apresentada aqui poderia ser
tratada simplesmente como uma extensão da análise puramente
espacial, por acrescentar uma dimensão referente ao
tempo. Entretanto, a diferença física entre espaço e tempo e a
ordenação natural dos tempos induzem características particulares e
dificuldades adicionais.

O tempo e o espaço são duas dimensões completamente diferentes, o que
dificulta a especificação de funções de covariância espaço-temporais
que precisam satisfazer condições para serem consideradas válidas. 
Uma especificação conveniente para a
função de covariância espaço-temporal é assegurada por propriedades
que dão suporte à família de funções de covariância separáveis.
Estas podem ser obtidas através da soma e/ou produto de funções de
covariância válidas. A grande desvantagem deste método é que ele não
considera na modelagem a interação entre o espaço e o tempo.

Uma alternativa às funções de covariância separáveis são as funções
de covariância espaço-temporais não separáveis e neste caso a
interação entre o espaço e o tempo é incluida na modelagem. 
Dentre as propostas  existentes na literatura para modelagem
que assumem a estacionariedade da estrutura de covariâncias, 
optou-se aqui pela a família de Gneting considerando a sua generalidade, 
flexibilidade de especificação e simplicidade de obtenção, características que 
também favorecem implementações computacionais.
Especificamente, na aplicação considerada neste trabalho, adotou-se funções de
covariância espaço-temporais estacionárias e completamente simétricas.

Para os dados aqui considerados foi ajustado inicialmente um modelo
com estrutura de covariância separável, composta pelo produto entre
uma função \emph{cauchy generalizada}, para o componente puramente
temporal, e uma função \emph{stable}, para o componente espacial.
Ainda para a covariância separável foi adicionado um efeito pepita
composto pelo produto entre uma constante e uma função \emph{cauchy
generalizada}. Depois de estimados todos os valores para os
parâmetros do modelo separável, foi ajustado um modelo de
covariância não separável mas com a mesma estrutura de anisotropia
estimada para o modelo separável. O modelo não separável considerado
é composto pelo produto entre uma função de covariância \emph{cauchy
generalizada}, que depende apenas do tempo, e uma função não
separável proposta por Gneiting, que depende do tempo e do espaço
conjuntamente. Para o efeito pepita foi considerada a mesma
estrutura estimada para o modelo separável. 
Tais escolhas permitem que 
o modelo separável proposto seja uma caso particular do modelo não
separável para o caso em que $\beta=0$.

A utilização de conjunto de dados reais levantou dificuldades
práticas na condução das análises. A primeira foi o exame das possibilidades 
de análise implementadas  no pacote {\normalfont\textsf{RandomFields}},
que ainda se encontra em desenvolvimento recente nos algorítmos 
para modelagem espaço temporal, com documentação  restrita e poucas são as publicações
que se utilizam desta implementação computacional. Um problema
computacional é a demanda por computadores com
grande capacidade de memória e processamento, já que o número de
observações para análise espaço-temporal cresce muito rapidamente
com o aumento de observações nas coordenadas do tempo e/ou espaço.

Para a análise do conjunto de dados foram considerados os mesmos
pontos em todos os tempos, sendo isto uma obrigatoriedade da
implementação disponível no pacote, já que não existe a
possibilidade de se especificar coordenadas diferentes para cada
tempo. Por conta destas limitações, algumas observações tiveram de
ser descartadas da estimação e predição para as análises apresentadas aqui.

Foram encontradas dificuldades de converg6encia numárica
na obtenção de estimativas para parâmetro $\beta$ da
função de covariância proposta por Gneiting, e portanto neste
trabalho foram considerados outras formas de assegurar a validade
dos valores estimados para este parâmetro. O resultado final 
na análise considerada aqui foi o de uma estimativa
com valor próximo de zero, 
sinalizando para uma fraca interação entre o espaço e o tempo.

Foi obtida a predição espacial para um tempo futuro e comparado
com os valores observados. O interesse neste
caso foi verificar através do erro quadrático médio de predição a
qualidade do ajuste da função de covariância. A Tabela~3 mostra uma
diferença nos valores do erro quadrático médio, média e variância
de predição para diferentes modelos. 
Os resultados desta tabela indicam  que a estrutura
de covariância separável é a que fornece valores preditos 
mais próximos dos valores observados.
Percebe-se também  a diminuição da
média e da variância de predição à medida que o valor do parâmetro
$\beta$ se aproxima de 1.

No desenvolvimento deste trabalho foram feitas ainda várias
simulações e análises que serviram para a melhor compreensão do
uso pacote e do comportamento das realizações do processo sob diferentes modelos.
Em uma destas simulações foi estimado um campo
espaço-temporal com um determinado valor do parâmetro $\beta$; em
seguida foi realizada a estimação dos parâmetros, e verificou-se que
a estimativa de verossimilhança não se aproximou de forma
satisfatória do valor estimado. Estes resultados são preliminares, e
considera-se que estudos desta natureza devem ser efetuados de forma
mais detalhada e portanto optou-se por não reportar aqui os
resultados. Uma condição que poderia ser
considerada é a realização de várias estimações e então seria
calculada a média das estimativas. Espera-se que a média dos
parâmetros estimados se aproxime do valor dos parâmetros simulados.
Com um número suficientemente grande de valores estimados pode-se
ter uma melhor idéia da variabilidade de cada parâmetro e com isto a
determinação de intervalos de confiança e cobertura poderiam ser
obtidos, assim como poderia se avaliar o impacto em predições.

Estas são apenas algumas entre as muitas possibilidades em se
aprofundar os estudos nesta área. Neste trabalho procurou-se revisar
e compilar novas metodologias de análise espaço-temporal a partir da especificação
de funções de covariâncias espaço temporais.
Com o avanço de recursos computacionais e o forte apelo prático dado pela 
diversidade de possíveis aplicações é possível prever que os métodos permitirão
descrições mais realísticas de fenômenos espaço temporais. Ressalte-se que
modelos que utilizam a especificação da função de covariância,
embora promissores e com fácil interpretação intuitiva, apresentam
fortes pressuposições sobre o processo, 
dificuldades de estimação e restrições para uso em dados reais. 
Estudos complementares são ainda necessários para auxiliar na compreensão das
características de identificabilidade e aplicabilidade, 
bem como as exigências e restrições de implementação.

 \vspace{.5cm}

%Agradecimentos (se houverem)
{\noindent \bf \large Agradecimentos}\vspace{.5cm}

Este trabalho é parte da dissertação de mestrado do primeiro autor
do Departmento de Ciências Exatas, Escola Superior de Agricultura
``Luiz de Queiroz'', Universidade de São Paulo, Piracicaba.
Registramos agradecimentos a Dolorice Moreti e o Profº Dr. Paulo Leonel Libardi do
Departamento de Física de Solos, por ter gentilmente cedido os dados
da aplicação, a Martin Schlather pelos esclarecimentos sobre o uso do
pacote {\normalfont\textsf{RandomFields}} e aos revisores anônimos
pelas correções e sugestões para o texto. \vspace{.5cm}

%citação do artigo
\info{SILVA, A. S.; RIBEIRO~JR, P. J.; ELMATZOGLOU I. Geostatistical modelling using the Gneiting's family of space-time covariance functions. \textit{Rev. Mat. Estat.,} São Paulo, v.xx, n.x, p.xx-xx, 2007.}
\medskip

\begin{abstract}
The specification of space-time covariance functions is one of the
possible strategies to model processes observed at different
locations and time points. Such functions can define separable and
non-separable processes and must attend the condition of
positive-definiteness. Among the strategies to obtain such valid
functions are the ones suggested by Cressie and Huang (1999) and by
Gneiting (2002). The former is based on the idea of obtaining valid
functions in a space of increased dimension from valid functions on
the primary dimension and requires operations in the frequency
domain. Alternatively, the latter combines increasing monotone
functions avoiding the inversion of spectral representations. There
are still few reports of usage and comparisons of the strategies.
This work follows Gneiting's proposals with different values for the
space-time interaction parameter. Models were applied for the
analysis of two real data sets, one about fish stocks in the
Portuguese coast and a second on soil water storage. The
implementation on the R package \textit{RandomFields} was used, with
methodology and computational implementation being reviewed. For
both case the separable model provided a satisfactory fit, based on
maximum likelihood estimation.
\end{abstract}

\begin{keyword}
Keywords: Covariance functions, Geostatistics, Space-Time Models, Random Fields;
\emph{RandomFields} Package
\end{keyword}

\begin{thebibliography}{}
\bibitem[]{}

BOCHNER, S. \textit{Lectures on Fourier Integrals}. Princeton, N.J.:
Princeton University Press, 1959.


CRESSIE, N.; HUANG, H-C. \textit{Classes of Non-Separable,
Spatio-temporal stationary covariance functions}. Journal of the
American Statistical Association, v.94, p.1330-1340, 1999.


DIGGLE, P.J.; RIBEIRO Jr., P.J.; CHRISTENSEN, O.F. \textit{Spatial
Statistics and Computational Methods}, Springer, New York, 2003.


DIGGLE, P.J.; RIBEIRO Jr., P.J. \textit{Model-Based Geoestatistics},
Springer, New York, 2007.

ELMATZOGLOU, I. \textit{Spatio-temporal geoestatistical models,with
an aplication in fish stock}, Submited for the degree of master in
statistics at Lancaster University, Lancaster, 2006.


FUENTES, M.  Testing for separability of spatial-temporal covariance functions.  Journal of Statistical Planning and Inference, 136, p.447-466. 2005.


GNEITING, T. Nonseparable, \textit{Stationary Covariance Functions
for Space-Time Data}. Journal of the American Statistical
Association, v.97, No.458, 2002.


GNEITING, T.; SCHLATHER, M. Stochastic models wich separate fractral
dimension and Hurst effect. Technical Report Series, NRCSE-TRS no.
069, 2001.


GNEITING, T.; SCHLATHER, M. \textit{Space-time covariance models}.
Encyclopedia of Environmetrics, Columbia, v.4, p.2041-2045, 2002.


GNEITING, T.; GENTON, M.G.; GUTTORP, P. Geostatistical Space-Time
Models, Stationarity, Separability and Full Symmetry. Technical
Report no.475 Department of Statistics University of Washington,
2006.

ISAAKS, E.H.; SRISVASTAVA, R. M. \textit{An Introduction to Applied Geostatistics}.
Oxford University Press, New York, 1989.


KYRIAKIDIS, P.C.; JOURNEL, A.G. \textit{Geostatistical Space-Time
Models: a review}. Mathematical Geology, v.31, p.651-684, 1999.


LE, D.N.; ZIDEK, J.V. \textit{Statistical Analysis of Environmental
Space-time processes}, Springer, New York, 2006.


MORETI, D. \textit{Avaliação espaço-temporal de processos do balanço
de água em solo com citros}, 2006. 138p. Tese Doutorado -
Universidade de São Paulo, Piracicaba, 2006.


R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: A language and environment for statistical
computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0,
URL: http://www.R-project.org. 2007.

RIBEIRO~JR, P.J, DIGGLE, P.J. {geoR}: a package for geostatistical analysis
R-NEWS, 1(2):15-18. June, 2001

SCHABENBERGER, O.; GOTWAY, C.A. \textit{Statistical Methods for
Spatial Data Analysis}, Chapman $\&$ Hall / CRC, 2005.

SCHMIDT, A.M.; SANSÓ, B. Modelagem Bayesiana da Estrutura de
Covariância de Processos Espaciais e Espaço-Temporais. In: SINAPE,
17., Caxambu, 2006.

SCHLATHER, M. RandomFields: Simulation and Analysis of Random Fields. R package
version~1.3.29. http://www2.hsu-hh.de/schlath. 2006.

SCHLATHER, M. \textit{Introduction to positive definite functions and to unconditional simulation of random fields}. Lancaster: Dept. Maths and Stats, Lancaster University, 1999. 48p. (Technical Report, ST-99-10)


STEIN, M.L. Space-time covariance functions. Technical Report No.~4,
University of Chicago, 2004.


STEIN, M.L. \textit{Nonstationary spatial covariance functions}.
Chicago: University of Chicago, 2005. 57 p. (Technical Report, 21)


\end{thebibliography}

%%% a ser usado pelo editor

\unespreceived{01.01.2007}

\unespapproved{01.01.2007}


\end{document}
