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%\usepackage{setspace} %define o espacamento de linhas

\title{\textbf{UMA INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE DADOS COMPOSICIONAIS}}
%\author[Ana Beatriz Tozzo Martins Orientador: Prof. Dr. Paulo Justiniano Ribeiro Jr.]{Ana Beatriz Tozzo Martins\\ Orientador: Prof. Dr. Paulo Justiniano Ribeiro Jr.}
\author{Ana Beatriz Tozzo Martins\\ Orientador: Prof. PhD Paulo Justiniano Ribeiro Junior.}
%\author{Orientador: Prof. PhD Paulo Justiniano Ribeiro Jr. }

\begin{document}
%\title{\textbf{DADOS COMPOSICIONAIS}}
%\author{Ana Beatriz Tozzo Martins \\
%\small{Orientador: Prof. Dr. Paulo Justiniano Ribeiro Jr. }}

\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

% Os comandos a seguir faz aparecer antes de cada slide um índice com o título do slide em destaque.
%\AtBeginSection[]  % "Beamer, do the following at the start of every section"
%{
%\begin{frame}<beamer> 
%\frametitle{Dados Composicionais} % make a frame titled "Outline"
%\tableofcontents[currentsection]  % show TOC and highlight current section
%\end{frame}
%}	

\begin{frame}
% SLIDE 1: Título
   \titlepage
\end{frame}

\section{Motivação}
\begin{frame}{Motivação}
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
 \item Ciências da Terra: dados expressos como frações ou porcentagens.\vspace{0.4 cm}
 \item Exemplos: \vspace{0.3 cm}
      \begin{itemize}
      \item textura de solos; \vspace{0.3 cm}
      \item composição química de uma rocha; \vspace{0.3 cm}
      \item estruturas de dados resultantes de algoritmos de classificação.
      \end{itemize}
\end{itemize}
\vspace{0.3cm}
\begin{flushright}
Walvoort, D. J. J. e Gruijter, J.J. (2001).
\end{flushright}
\end{frame}

\section{Tratamento Estatístico}
\begin{frame}{Qual o Tratamento Estatístico?}
%SLIDE 4: Qual o Tratamento Estatístico?
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Regressão Multivariada?\\
\vspace{0.5 cm}
\item[$\bullet$] Os componentes das composições somam 1?\\
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Tópicos}
%\begin{frame}{Tópicos}
%SLIDE 4: Tópicos
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] Definição \\
%\vspace{0.5 cm}
%\item[$\bullet$] Análise de dados composicionais\\
%\vspace{0.5 cm}
%\item[$\bullet$] Principais conceitos\\
%\end{itemize}
%\vspace{0.5 cm}
%\begin{flushright}
%Pacote estatístico R (R Development Core Team, 2006) e pacote \textit{compositions} (BOOGAART, K. G. v. d.,2005) - Licença livre.
%\end{flushright}
%\end{frame}

\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
%SLIDE 2: Dados Composicionais
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
\item Butler e Glasbey (2008): Registram informação sobre frequências relativas associadas a diferentes componentes de um sistema. \\ \vspace{0.5cm}
%\item \citeonline{butler:2008}: Registram informação sobre frequências relativas associadas a diferentes componentes de um sistema. \\ \vspace{0.5cm}
\item Aitchison (1986):
        \vspace{0.2 cm}
        \begin{itemize}
	\item a. Vetores cujos elementos são proporções de algum todo.\vspace{0.2 cm}
   	\item b. \textbf{Composição}: Vetor $\b{X}=(X_1,X_2,...,X_D)'$ satisfazendo: \vspace{0.2 cm}
                             \begin{center}
                             \begin{itemize}
                             \item  $X_1 \geqslant 0,\,\dots, \, X_D \geqslant 0$; \vspace{0.2 cm} 
                             \item  $ X_1 +\,X_2 + \, \dots \, + X_D = 1$. 
                             \end{itemize}
                             \end{center}
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Características}
\begin{frame}{Características de Um Conjunto De Dados Composicionais}
%SLIDE 3: Características de Um Conjunto De Dados Composicionais
Reyment e Savazzi (1999) apud Labus (2005): \\
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] representado em forma matricial;         \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] linha: unidade observacional;            \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] coluna: parte ou variável;               \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] elementos não negativos;                 \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] cada linha soma 1 (100\%);               \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] coeficientes de correlação mudam se uma das variáveis é excluída da matriz e as linhas somam 1 (100\%). O mesmo ocorre se um novo componente é adicionado.
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Dados Lago Ártico}
\begin{frame}{Dados Lago Ártico: Aitchison (1986)}
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrr}\hline
n        & Areia    & Silte    & Argila \\ \hline
1        & 77.5     & 19.5     &    3   \\
2        & 71.9     & 24.9     &  3.2   \\
3        & 50.7     & 36.1     & 13.2   \\
4        & 52.2     & 40.9     &  6.6   \\
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\
39       & 2        & 47.8     &     50.2\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

\section{Representação Gráfica}
\begin{frame}{Diagrama Ternário: Aitchison(1986)}
%SLIDE: Representação Gŕafica: height:altura; width:largura; scale:Percentual do tamanho original da figura(=0.50 reduz figura pela metade);angle:ângulo de rotação em graus.
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=6.5cm,bb= 0 50 350 300,scale=0.4]{Ternario-CH08A}
\caption{Diagrama ternário para dados do Lago Ártico incluindo média geométrica e região 2-sigma.}
\label{fig:digum}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Construindo um Diagrama Ternário}
\begin{frame}{Construindo um Diagrama Ternário}
\begin{itemize}
 \item Triângulo equilátero de lado igual a 7,5 cm. \vspace{0.5cm}
 \item $\b{x}=(0,17;0,33;0,50)$\vspace{0.5cm}
 \item $\begin{array}{ccccc}
        7,5 & \rightarrow & 100 &             &                      \\
        x_1 & \rightarrow & 17  & \Rightarrow & x_1 = 1,28 \text{cm} \\
        \end{array}$
 \item[ ]$\begin{array}{ccccc}
        x_2 & \rightarrow & 33  & \Rightarrow & x_2 = 2,48 \text{cm} \\
        x_3 & \rightarrow & 50  & \Rightarrow & x_3 = 3,75 \text{cm} \\
          \end{array}$
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Construindo um Diagrama Ternário}
\begin{frame}{Construindo um Diagrama Ternário}
\begin{itemize}
 \item $(0,17^{-1};0,33^{-1};0,50^{-1})\Rightarrow (0,54;0,28;0,18)\Rightarrow$
       $$\left\{\begin{array}{ccc}
             x_1 &=& 4,05\\
             x_2 &=& 2,10\\
             x_3 &=& 1,35\\
       \end{array}\right.
       $$ \vspace{0.5cm}
 \item $\left. \begin{array}{ccc}
                     \b{x} & = & (0,17;0,33;0,50)\\
                     \b{y} & = & (0,56;0,33;0,11)\\
               \end{array}
        \right\} \Rightarrow (0,36;0,43;0,21)\Rightarrow$
        $$\left\{\begin{array}{ccc}
             x_1 &=& 2,70\\
             x_2 &=& 3,23\\
             x_3 &=& 1,60\\
        \end{array}\right.$$
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Interpretando um Diagrama Ternário 1}
\begin{frame}{Interpretando um Diagrama Ternário}
\begin{itemize}
 \item Para qualquer ponto no diagrama, as perpendiculares aos eixos satisfazem a restrição soma 1.\vspace{0.4cm}
 \item Qualquer ponto numa linha paralela ao eixo oposto à um vértice tem a mesma proporção daquele componente correspondente a este vértice.\\ \vspace{0.4cm}
 \textbf{Proporção}: distância relativa da linha ao eixo sobre a distância do vértice ao eixo.
\end{itemize}
\begin{flushright}
Boogaart (2005)
\end{flushright}
\end{frame}

\section{Interpretando um Diagrama Ternário 2}
\begin{frame}{Interpretando um Diagrama Ternário}
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
\item Pontos em uma linha reta partindo de um dos vértices tem proporções relativas iguais dos outros dois componentes.\\ \vspace{0.4cm}
\textbf{Proporção}: proporções relativas representadas pelo ponto onde a linha cruza o eixo oposto.
\begin{flushright}
Boogaart (2005)
\end{flushright}\vspace{0.4cm}
\item \textbf{Extensão da variabilidade da razão de 2 componentes}: extensão da intersecção das linhas retas partindo de cada um dos vértices e passando por todos os pontos com o eixo oposto.
\end{itemize}
\begin{flushright}
Aitchison (1986)
\end{flushright}
\end{frame}


\section{Dados Gener1Mod-1}
\begin{frame}{Dados Gener1Mod}
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrrrrrrr}\hline
n  &    X &  Y & AMG &  AM  &  AF  & AMF & Silte & Argila \\ \hline
1  &    0 &  0 & 2.1 & 10.4 & 11.4 & 5.9 &  12.8 &    57  \\
2  &   50 &  0 & 1.1 & 12.0 & 9.8  & 4.6 &  13.0 &    58  \\
3  &  100 &  0 & 1.1 & 7.9  & 6.9  & 4.0 &  15.7 &    64  \\
$\vdots$ & $\vdots$  & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$  & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\
412& 2800 &300 &2.5  & 5.3  & 31.2 & 13.5&  12.4 &    35  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

\section{Dados Gener1Mod-2}
\begin{frame}{Dados Gener1Mod}
Areia = AMG+AM+AF+AMF\\
Silte = 100-Areia-Argila
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrrrrrrr}\hline
n        &      X    &   Y      &  Areia   & Silte    & Argila   &  Soma    &  Altim.  & Sup \\ \hline
1        &      0    &   0      &  29.8    & 13.2     &   57     &  100     &  641.37  & 1   \\
2        &     50    &   0      &  27.5    & 14.5     &   58     &  100     &  640.84  & 1   \\
3        &    100    &   0      &  19.9    & 16.1     &   64     &  100     &  640.00  & 1   \\
$\vdots$ & $\vdots$  & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\
412      &   2800    & 300      &  52.5    & 12.5     &   35     &  100     &  520.00  & 0   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

\section{Dados Bassoi1}
\begin{frame}{Dados Bassoi}
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrrr}\hline
n        & AGrossa   & Silte    & Argila   & Soma    \\ \hline
1        &     9     &   26     &  43      &   78    \\
2        &     9     &   26     &  42      &   77    \\
3        &     9     &   25     &  41      &   75    \\
$\vdots$ & $\vdots$  & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\
250      &    10     &   27     &  37      &   74    \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

\section{Dados Bassoi2}
\begin{frame}{Dados Bassoi}
Formando composições
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrrr}\hline
n        &  AGrossa   &  Silte    &   Argila     &  Soma   \\ \hline
1        & 11.53846   & 33.33333  &  55.12821    &   100   \\
2        & 11.68831   & 33.76623  &  54.54545    &   100   \\
3        & 12.00000   & 33.33333  &  54.66667    &   100   \\
$\vdots$ & $\vdots$   & $\vdots$  & $\vdots$     & $\vdots$\\
250      & 13.513514  & 36.48649  &  50.00000    &  100    \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

\section{Dados Bassoi3}
\begin{frame}{Dados Bassoi}
Diferença = Areia Fina
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrrr}\hline
n        &  Areia   &  Silte   & Argila   &  Soma   \\ \hline
1        &    31    &   26     &  43      &   100   \\
2        &    32    &   26     &  42      &   100   \\
3        &    34    &   25     &  41      &   100   \\
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\
250      &    36    &   27     &  37      &   100   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

\section{Composição}
\begin{frame}{Composição Regionalizada}
%SLIDE 5: Composição Regionalizada
\vspace{0.3cm}
Seja $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ domínio espacial, $\mathbb{R}^n$ espaço real de dimensão $n$.    \vspace{0.4cm}
\begin{itemize}
\item \textbf{Composição Regionalizada}:\\ \vspace{0.4cm}
 $\b{X}(\b{u})=[X_1(\b{u}),X_2(\b{u}),...,X_D(\b{u})]'$, $\b{u} \in \Omega$, satisfazendo:          \vspace{0.5cm}
                             \begin{itemize}
                             \item 1. $X_1(\b{u})\geqslant 0,\,\dots, \, X_D(\b{u}) \geqslant 0$;   \vspace{0.5cm}
                             \item 2. $ X_1(\b{u}) +\,X_2(\b{u}) + \, \dots \, + X_D(\b{u}) = 1$. 
                             \end{itemize}   \vspace{0.4cm}
\item \textbf{Espaço Amostral}:\\                                                             \vspace{0.4cm}
$ \mathbb{S}^D = \{ \b{X}(\b{u}) \in \mathbb{R}^D;\,\, X_i(\b{u}) > 0, \,\, i=1,...,D;\,\, \b{j}'\b{X}(\b{u})=1 \}$
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Base}
\begin{frame}{Base Regionalizada}
%SLIDE 6: Base Regionalizada
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Vetor $\b{W}(\b{u})$, $\b{u} \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ cujos componentes são todos medidos na mesma escala e positivos. \\     \vspace{0.4cm}
\item[$\bullet$] \textbf{Espaço Amostral:} \\
   \begin{center}
    $\mathbb{R}^D_+ = \{ \b{W}(\b{u}) \in \mathbb{R}^D;\,\, W_i(\b{u}) > 0, \,\, i=1,...,D \}$ \\ 
   \end{center}                   \vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] \textbf{Operador fechamento:}\,\, Base \, $\Rightarrow$ \, Composição \\
$$
   \begin{array}{cccl}
 \mathcal{C} : &  \mathbb{R}^D_+  &  \longrightarrow & \mathbb{S}^D \\ 
               &  \b{W}(\b{u})    &  \longrightarrow & \mathcal{C}[\b{W}(\b{u})]=\dfrac{\b{W}(\b{u})}{\b{j}'\b{W}(\b{u})},\\
   \end{array}
$$
\item[] $\b{j}'$ vetor de $1^{'s}$.
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Subcomposição}
\begin{frame}{Subcomposição Regionalizada}
%SLIDE 7: Subcomposição Regionalizada
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Seja $\b{X}(\b{u})$ composição regionalizada de $D$ partes;        \\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] $ s \subset \{1,2,...,D\}$ tal que $\b{X}_s(\b{u})$ é subvetor cujos elementos são os componentes de $\b{X}(\b{u})$ correspondentes às partes em $s$;                                    \\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$]\textbf{Subcomposição Regionalizada}: \\
$$ \mathcal{C}[\b{X}_s(\b{u})]=\dfrac{\b{X}_s(\b{u})}{\b{j}'\b{X}_s(\b{u})}; $$     \\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] Se \hspace{0.2 cm}
 $\b{s}(\b{u}) = \mathcal{C}[\b{X}_s(\b{u})]$\hspace{0.1 cm} $\Rightarrow$\hspace{0.1 cm} $\dfrac{s_i(\b{u})}{s_j(\b{u})}=\dfrac{X_i(\b{u})}{X_j(\b{u})}$, \hspace{0.1 cm} \, $i,\,j \in s.$
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Amalgamação e Partição}
\begin{frame}{Amalgamação}
%SLIDE 8: Amalgamação 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\b{X}(\b{u})=[X_1(\b{u}),X_2(\b{u}),...,X_D(\b{u})]'$ uma composição regionalizada de $D$ partes;\\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] $\b{X}(\b{u})$ dividida em $C$ ($C \leq D$) subconjuntos mutuamente exclusivos;\\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] $\b{X}_i(\b{u})$,\, $i=1,...,C$, \,\, vetor cujos componentes são os elementos do $i$-ésimo subconjunto.\\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] \textbf{Amalgamação Regionalizada}: composição regionalizada de $C$ partes \\ 
\begin{center}
 $\b{A}(\b{u}) = [A_1(\b{u}),A_2(\b{u}),...,A_C(\b{u})]',$
\end{center}
em que $A_i(\b{u})= \b{j}'\b{X}_i(\b{u}),  \hspace{0.4cm} \b{j}'$ vetor de $1^{'s}.$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Partição}
%SLIDE 9: Partição
\textbf{Partição Regionalizada}:\,\,\,  Amalgamação juntamente com subcomposições. \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $ P_C [\b{X}(\b{u})]=[\b{s}_1(\b{u}),\b{s}_2(\b{u}),...\b{s}_C(\b{u});\b{A}(\b{u})]$\\ \vspace{0.4 cm}
em que $\b{s}_i(\b{u})=\mathcal{C}[\b{X}_i(\b{u})]$,\, $i=1,...,C$.\\ \vspace{0.4 cm}
\item[$\bullet$] Preserva informações contidas nos subvetores.
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Problema}
\begin{frame}{Problema - Dados Composicionais}
%SLIDE 4: Problema - Dados Composicionais
Efeito de \textbf{correlação espúria} (Pawlowsky e Olea, 2004):    \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Covariâncias sujeitas à controles não estocásticos \\
 \begin{center}
          $\Downarrow$      \\
\end{center}

       interpretação errônea da estrutura de covariância espacial;  \vspace{0.5 cm}
\item[$\bullet$] Singularidade da matriz de covariância de uma composição.
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Transformação}
\begin{frame}{Transformação}
%SLIDE 10: Transformação
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\textbf{Graf (2006):}\,\, Soma constante\,\, $\Rightarrow$ \,\,correlação negativa entre os componentes.
                                  \\ \vspace{0.4 cm}
\item[$\bullet$]\textbf{Aitchison (1986):} \\ \vspace{0.2 cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Propõe transformação que generaliza a transformação logística $\text{ln}\,\dfrac{X}{1-X}$ para um vetor composicional de $2$ partes;      \\ \vspace{0.3 cm}
\item[$\bullet$] Magnitudes relativas ou razões \,\, $\Rightarrow$\,\, tratabilidade e interpretação estatística.
                                  \\ \vspace{0.2 cm}
\end{itemize}
\item[$\bullet$]\textbf{ Transformações logísticas:} Aitchison (1982), Aitchison et al. (2000), Odeh et al. (2003).
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Transformação}
\begin{frame}{Transformação}
%SLIDE 11:  Transformação ALR
\textbf{Transformação razão log-aditiva} (ALR): \\ 
$$
\begin{array}{cccl}
\text{ALR} : & \mathbb{S}^D & \longrightarrow & \mathbb{R}^{D-1}        \\ 
            & \b{X}(\b{u}) & \longrightarrow & \text{ALR} [\b{X}(\b{u})]=\left(\text{ln}\,\dfrac{X_1(\b{u})}{X_D(\b{u})},
                                                \dots,
                                                \text{ln}\,\dfrac{X_{D-1}(\b{u})}{X_D(\b{u})}\right)'. \\
\end{array}
$$ \\ \vspace{0.5 cm}
\begin{flushright}
Pawlowsky et al. (1995), Pawlowsky e Olea (2004).
\end{flushright}
\end{frame}

\section{Transformação}
\begin{frame}{Transformação}
%SLIDE 12: Transformação AGL
\textbf{Transformação logística generalizada aditiva} (AGL):\\
$$
\begin{array}{cccl}
\text{AGL} : & \mathbb{R}^{D-1}          & \longrightarrow & \mathbb{S}^D  \\
             & \text{ALR}[\b{X}(\b{u})]  & \longrightarrow & \text{AGL}\{\text{ALR}[\b{X}(\b{u})]\} = \b{X}(\b{u})
  =\dfrac{\text{exp}[\b{Y}(\b{u})]}{\b{j}'\text{exp}[\b{Y}(\b{u})]}; \\
\end{array}
$$ \\ \vspace{0.3 cm}
$$\b{Y}(\b{u})=\left(X_1(\b{u}),X_2(\b{u}),\,\dots,\,0\right)'.$$\\\vspace{0.3 cm}
\begin{center}
Se $c\neq 0$ \hspace{0.2 cm} $\Rightarrow \hspace{0.2 cm} \b{X}(\b{u}) = c \cdot \text{AGL}\{\text{ALR} [\b{X}(\b{u})]\}.$
\end{center}
\end{frame}

\section{Transformação}
\begin{frame}{Transformação}
%SLIDE 13: Transformação CLR
\textbf{Transformação Razão Log Centrada} (CLR):\\
$$
\begin{array}{cccl}
\text{CLR} : & \mathbb{R}^D_+ & \rightarrow & \mathbb{R}^D \\
             & \b{W}(\b{u})   & \rightarrow & \text{CLR} [\b{W}(\b{u})]=\text{ln}\,\dfrac{\b{W}(\b{u})}{g[\b{W}(\b{u})]}
\end{array}
$$
ou
$$
\begin{array}{cccl}
\text{CLR} : & \mathbb{S}^D & \longrightarrow & \mathbb{R}^D  \\
             & \b{X}(\b{u}) & \longrightarrow & \text{CLR}[\b{X}(\b{u})]=\text{ln}\,\dfrac{\b{X}(\b{u})}{g[\b{X}(\b{u})]}
\end{array}
$$ \\ \vspace{0.2 cm}
$g$: média geométrica.
\end{frame}

\section{Operações}
\begin{frame}{Perturbação e Potência}
%SLIDE 14: Perturbação
\vspace{0.5 cm}
Aitchison (1986), Aitchison e Egozcue(2005), Tolosana-Delgado et al.(2005):\\ \vspace{0.4 cm}
     \begin{center} 
     Operações que definem uma estrutura de espaço vetorial de dimensão $D-1$ no simplex.
     \end{center}
\begin{itemize}
   \item 1. \textbf{Perturbação} ($\oplus$) : operação comutativa;\vspace{0.4 cm}
   \item 2. \textbf{Potência} ($\odot$)     : produto externo.
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Operações}
\begin{frame}{Perturbação}
%SLIDE 15: Perturbação
\vspace{1.0 cm}
\begin{tabular}{cl}
\textbf{Perturbação}: &  Multiplicação de composições componente a     \\
                      &  componente e divisão de cada componente       \\
                      &  pela soma de todos. \\
\end{tabular}\\\vspace{0.5 cm}
$$
\begin{array}{ccl}
 \b{X} \oplus \b{Y} & = & (X_1,X_2,...,X_D) \oplus (Y_1,Y_2,...,Y_D) \\ 
                                                                      \\
                    & = &  \mathcal{C}(X_1Y_1,X_2Y_2,...,X_DY_D).    \\
\end{array}
$$
\end{frame}

\section{Operações}
\begin{frame}{Potência}
%SLIDE 16: Potência
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\textbf{Potência}: análogo à multiplicação por um escalar no espaço real. \vspace{0.2 cm}
$$ \alpha \odot (X_1,X_2,...,X_D) = \mathcal{C}(X_1^{\alpha},X_2^{\alpha},...,X_D^{\alpha}).$$ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] Vetor de \textbf{diferenças} composicionais: \vspace{0.2 cm}
$$ \b{X} \ominus \b{Y} = \b{X} \oplus (-1 \odot \b{Y}).$$
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Geometria de Aitchison do Simplex}
\begin{frame}{Geometria de Aitchison do Simplex}
%SLIDE 17: Geometria de Aitchison do Simplex
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{Produto interno}: \vspace{0.1 cm}
$$<\b{X},\b{Y}> =  \sum_{i=1}^{D} \text{ln}\dfrac{X_i}{g(\b{X})}\,\text{ln} \dfrac{Y_i}{g(\b{Y})}.$$\vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] \textbf{Distância de Aitchison}:\vspace{0.1 cm}
$$ d(\b{X},\b{Y})=\sqrt{\sum_{i=1}^D \left( \text{ln}\dfrac{X_i}{g(\b{X})}-\text{ln} \dfrac{Y_i}{g(\b{Y})}\right)^2}$$
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Estatísticas Descritivas}
\begin{frame}{Estatísticas Descritivas}
%SLIDE 18: Estatísticas Descritivas
\begin{itemize}
\item \textbf{Centro}: 
$$ \text{cen}(\b{X}) =  \dfrac{1}{g_s}\,[g(X_1) \hspace{0.4cm} g(X_2) \hspace{0.4cm} \hdots \hspace{0.4cm} g(X_D)]'$$ 
\begin{itemize}
     \item $g(X_i)$ - média geométrica do $i$-ésimo componente \vspace{0.3 cm}
     \item $ g_s = g(X_1) + g(X_2) + \hdots + g(X_D).$
\end{itemize} \vspace{0.4 cm}
\item \textbf{Medida de dispersão}:
$$ \text{Totvar}(\b{X}) = \dfrac{1}{D}\, \sum_{i<j}\,\text{var}\left[\text{ln}\left(\dfrac{X_i}{X_j}\right)\right]=
\text{tr}(\Sigma)-\dfrac{1}{D}\textbf{1}_{d}'\Sigma \textbf{1}_d$$
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Domínio de Confiança}
\begin{frame}{Domínio de Confiança}

  $$D_{1-\alpha}'(\b{X})=\left\{ \b{X} \in S^D / \left(\text{ln}\frac{\b{X}_{-D}}{\b{X}_D} -\mu \right)'\Sigma^{-1}
\left(\text{ln}\frac{\b{X}_{-D}}{\b{X}_D} -\mu \right) \leq \chi^2_{d;1-\alpha}
  \right\}$$
\end{frame}

\section{Representação Gráfica -TM - 1}
\begin{frame}{Diagrama Ternário: Aitchison(1986)}
%SLIDE: Representação Gŕafica: height:altura; width:largura; scale:Percentual do tamanho original da figura(=0.50 reduz figura pela metade);angle:ângulo de rotação em graus.
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=6.5cm,bb= 0 50 350 300,scale=0.4]{Ternario-CH08A}
\caption{Diagrama ternário para dados do Lago Ártico incluindo média geométrica e região 2-sigma.}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Representação Gráfica - DD - 2}
\begin{frame}{Matriz Diagrama de Dispersão}
%SLIDE : Representação Gŕafica: height:altura; width:largura; scale:Percentual do tamanho original da figura(=0.50 reduz figura pela metade);angle:ângulo de rotação em graus.
\vspace{1.5 cm}
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=5.0cm,bb= 0 50 350 300,scale=0.4]{Ternario-CH07A}\\
\vspace{0.4cm}
\caption{Areia vs Silte, Areia vs Argila e Silte vs Argila - Lago Ártico.}
\label{fig:dois}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Representação Gráfica -TM - 3}
\begin{frame}{Dados reais: Gener - Silte}
\vspace{1.5 cm}
\begin{figure}[htbp]
 \includegraphics[width=5.5cm,bb= 0 50 350 300,scale=0.4]{Gener-CH33a}
\caption{Diagrama ternário para dados de Gener com Silte obtido pelo complementar, incluindo média geométrica e região 2,4-sigma.}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Representação Gráfica -TM - 4}
\begin{frame}{Dados reais: Gener - Areia}
\vspace{1.5 cm}
\begin{figure}[htbp]
 \includegraphics[width=5.5cm,bb= 0 50 350 300,scale=0.4]{Gener-CH13a}
\caption{Diagrama ternário para dados de Gener com Areia obtida pelo complementar, incluindo média geométrica e região 2,4-sigma.}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Representação Gráfica -DD - 5}
\begin{frame}{Matriz Diagrama de Dispersão: Gener - Silte.}
 \vspace{1.5 cm}
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=5.0 cm, bb= 0 50 350 300]{Gener-CH32a}
\vspace{0.4cm}
\caption{Areia vs Silte, Areia vs Argila e Silte vs Argila - Silte obtido pelo complementar.}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Representação Gráfica -DD - 6}
\begin{frame}{Matriz Diagrama de Dispersão: Gener - Areia.}
 \vspace{1.5 cm}
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=5.0 cm, bb= 0 50 350 300]{Gener-CH12a}
\vspace{0.4cm}
\caption{Areia vs Silte, Areia vs Argila e Silte vs Argila - Areia obtida pelo complementar.}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Representação Gráfica -TM - 7}
\begin{frame}{Dados reais: Bassoi - Composições.}
\vspace{1.5 cm}
\begin{figure}[htbp]
 \includegraphics[width=5.5cm,bb= 0 50 350 300,scale=0.4]{Bassoi-CH14a}
\caption{Diagrama ternário para dados de Bassoi incluindo média geométrica e região 2,4-sigma-Formando composições.}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Representação Gráfica - TM - 8}
\begin{frame}{Dados reais: Bassoi - Areia Fina.}
\vspace{1.5 cm}
\begin{figure}[htbp]
 \includegraphics[width=5.5cm,bb= 0 50 350 300,scale=0.4]{Bassoi1-CH14a}
\caption{Diagrama ternário para dados de Bassoi com Areia Fina como complementar, incluindo média geométrica e região 2,4-sigma.}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Representação Gráfica - DD - 9}
\begin{frame}{Matriz Diagrama de Dispersão: Bassoi - Composições.}
 \vspace{1.5 cm}
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=5.0cm,bb= 0 50 350 300]{Bassoi-CH13a}
\vspace{0.4cm}
\caption{AGrossa vs Silte, AGrossa vs Argila e Silte vs AGrossa; Formando composições.}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Representação Gráfica - DD - 10}
\begin{frame}{Matriz Diagrama de Dispersão: Bassoi - Areia Fina.}
 \vspace{1.5 cm}
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=5.0cm,bb= 0 50 350 300]{Bassoi1-CH13a}
\vspace{0.4cm}
\caption{Areia vs Silte, Areia vs Argila e Silte vs Areia - Areia Fina como complementar.}
\end{figure}
\end{frame}

\section{Estacionariedade}
\begin{frame}{Estacionariedade}
%SLIDE 20: Estacionariedade
 Segundo Pawlowsky-Glahn e Olea (2004)\\ \vspace{0.5 cm} 
$\b{X}(\b{u})$\,\,é \textbf{Estacionária de $2^{a}$ ordem} se  $f[\b{X}(\b{u})]$ satisfaz: \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] $E[f(\b{X}(\b{u}))]= \mu$\,\,  existe e não depende de $\b{u}$; \vspace{0.5 cm}
   \item[$\bullet$] $\text{Cov}[f(\b{X}(\b{u}_2)),f(\b{X}(\b{u}_1))]$ = $\mathbf{\Sigma}(\b{u}_2-\b{u}_1)$ existe e não depende de\\ \vspace{0.3 cm}
  $\b{u}_1$,\, $\b{u}_2$, mas somente da diferença $\b{h}=\b{u}_2-\b{u}_1.$ \vspace{0.3 cm}
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Função Intrínsica}
\begin{frame}{Função Intrínsica}
%SLIDE 21: Função Intrínsica
$\b{X}(\b{u})$\,\, é \textbf{função intrínsica} se $f[\b{X}(\b{u})]$ satisfaz: \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] $E[f(\b{X}(\b{u}))]= \mu$  existe e não depende de $\b{u}$; \vspace{0.5 cm}
   \item[$\bullet$] $\text{Cov}[f(\b{X}(\b{u}_2))-f(\b{X}(\b{u}_1))]$ = $\mathbf{\Gamma}(\b{u}_2-\b{u}_1)$\\ \vspace{0.3 cm}
existe e não depende de $\b{u}_1$,\, $\b{u}_2$, mas somente da diferença $\b{h}=\b{u}_2-\b{u}_1.$ \vspace{0.3 cm}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Função Intrínsica}
%SLIDE 22: Função Intrínsica
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] \textbf{LR estacionária}: $\b{X}(\b{u})$ é log razão estacionária de $2^{a}$ ordem se o conjunto das log razão entre todos os pares é estacionário de $2^{a}$ ordem; \vspace{0.4 cm}
   \item[$\bullet$] \textbf{LR intrínsica}: $\b{X}(\b{u})$ é log razão intrínsica se o conjunto das log razão entre todos os pares é intrínsica; \vspace{0.3 cm}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Estrutura de Covariância Espacial}
%SLIDE 23: Estrutura de Covariância Espacial
\textbf{Estrutura de Covariância Espacial}: conjunto de funções $D^4$ \\ \vspace{0.7cm}
$$ \sigma_{ij\cdot kl}(\b{h}) = \text{Cov}\left[ \text{ln}\, \dfrac{\b{X}_i(\b{u})}{\b{X}_k(\b{u})}  \, ,\, 
                                                 \text{ln}\, \dfrac{\b{X}_j(\b{u}+\b{h})}{\b{X}_l(\b{u}+\b{h})}
                                         \right],$$\\
\vspace{0.7cm}
 $i,j,k,l \in \{1,2,...,D \}$,\,\,\, para \,\,$\b{u}$,\,$\b{u}+\b{h} \in \Omega$.\vspace{0.7cm}
\begin{flushright}
Pawlowsky e Olea (2004).
\end{flushright}
\end{frame}

\section{Estrutura de Covariância Espacial}
\begin{frame}{Estrutura de Covariância Espacial}
%SLIDE 24: Estrutura de Covariância Espacial
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{LR autocovariâncias} (Matriz Variação) \\
$$\textbf{T}(\b{h})_{D \times D}= \left(\tau_{i\cdot j}(\b{h})\right) = \left(\sigma_{ii\cdot jj}(\b{h})\right)$$ \\\vspace{0.1 cm}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{ALR covariâncias cruzadas} \\ 
$$\mathbf{\Sigma}(\b{h})_{D-1 \times D-1}=\left(\sigma_{ij}(\b{h})\right) = \left(\sigma_{ij\cdot DD}(\b{h})\right)$$ \\\vspace{0.1 cm}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{CLR covariâncias cruzadas}, $\mathbf{\Xi}(\b{h})$ com elementos 
$$\xi_{ij}(\b{h}) = \text{Cov}\left[ \text{ln}\, \dfrac{X_i(\b{u})}{g[\b{X}(\b{u})]}  \, ,\, 
                                      \text{ln}\, \dfrac{X_j(\b{u}+\b{h})}{g[\b{X}(\b{u}+\b{h})]} \right],$$
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Estrutura de Covariância Espacial Intrínsica}
\begin{frame}{Estrutura de Covariância Espacial Intrínsica}
%SLIDE 25: Estrutura de Covariância Espacial Intrínsica
\begin{center}
\textbf{Estrutura de Cov. Espacial Intrínsica}: conjunto de funções $D^4$ 
\end{center} \vspace{0.8cm}
$$
V_{ij\cdot kl}(\b{h}) 
= \dfrac{1}{2}\, \text{Cov} 
    \left[ \text{ln}\,\dfrac{\b{X}_i(\b{u})}{\b{X}_k(\b{u})}-\text{ln}\,\dfrac{\b{X}_i(\b{u}+\b{h})}{\b{X}_k(\b{u}+\b{h})}
                                      ,
 \text{ln}\,\dfrac{\b{X}_j(\b{u})}{\b{X}_l(\b{u})}-\text{ln}\,\dfrac{\b{X}_j(\b{u}+\b{h})}{\b{X}_l(\b{u}+\b{h})}
    \right]
$$ \\ \vspace{0.8 cm}
$ i,j,k,l \in \{1,2,...,D \}$\,\,para \,\, $\b{u}$,\,$\b{u}+\b{h} \in \Omega$.
\end{frame}

\section{Estrutura de Covariância Espacial Intrínsica}
\begin{frame}{Estrutura de Covariância Espacial Intrínsica}
%SLIDE 26:Estrutura de Covariância Espacial Intrínsica
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{LR variogramas} (Matriz Variação Intrínsica) \\
$$\mathbf{\Gamma}(\b{h})_{D \times D}= \left(V_{i\cdot j}(\b{h})\right) = \left(V_{ii\cdot jj}(\b{h})\right)$$ 
\\ \vspace{0.1 cm}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{ALR variograma cruzado} \\ 
$$\mathbf{\Psi}(\b{h})_{D-1 \times D-1}=\left(\psi_{ij}(\b{h})\right) = \left(V_{ii\cdot DD}(\b{h})\right)$$
\\ \vspace{0.1 cm}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{CLR covariâncias cruzadas}, $\mathbf{\Delta}(\b{h})$ com elementos \\ 
$$ \delta_{ij}(\b{h}) = \text{Cov}\left[ \text{ln}\, \dfrac{X_i(\b{u})}{g[\b{X}(\b{u})]}  \, ,\, 
                                      \text{ln}\, \dfrac{X_j(\b{u}+\b{h})}{g[\b{X}(\b{u}+\b{h})]}
                                 \right]$$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
%\bibliographystyle{abnt-alf}
%\bibliography{./ProjetoTese}
%\end{frame}
%-----------------------
\beamertemplatearticlebibitems
%	\begin{thebibliography}{1}  enumerate
%	\bibitem{et-all}
\begin{footnotesize}
\begin{itemize}
	\item[$\bullet$] AITCHISON, J. The statistical analysis of compositional data. \textbf{Journal of the Royal Statistical Society}, \textbf{Series B}, v. 44, n.2, p. 139-177, $1982$.\\
	\item[$\bullet$] AITCHISON, J. \textbf{The statistical analysis of compositional data}. New Jersey: The Blackburn Press, $1986$.\\
        \item[$\bullet$] AITCHISON, J.; BARCELÓ-VIDAL, C.; MARTÍN-FERNANDÉZ, J. A.; PAWLOWSKY-GLAHN, V. Logratios analysis and compositional distance. \textbf{Mathematical Geology}, v. 32, n.3, p. 563-580, $2000$.\\
        \item[$\bullet$] AITCHISON, J.; EGOZCUE, J. J. Compositional date analysis: where are we and where should we be hesding?. \textbf{Mathematical Geology}, v. 37, n.7, p. 829-850, oct. $2005$.\\
        \item[$\bullet$] BOOGAART, K.G.v.d.  Using the R package "compositions",v. 0.9, $2005$. Disponível em: {\scriptsize $<$http:$//$www.stat.boogaart.de$/$compositions$/$UsingCompositions.pdf$>$}.\\ Acesso em: $09/02/08$.\\
	\end{itemize}
\end{footnotesize}
%	\end{thebibliography}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
\beamertemplatearticlebibitems
\begin{footnotesize}
%\setcounter{enumi}{0} Comando (Gledson) para colocar a numeração de forma continuada.
% deve ser colocada antes do \begin{enumerate}
\begin{itemize} 
       \item[$\bullet$] BUTLER, A.; GLASBEY, C. A latent Gaussian model for compositional data with zeros. \textbf{Journal of the Royal Statistical Society}, \textbf{Series C} (in press), $2008$. Disponível em: {\scriptsize                           $<$http:$//$www.bioss.ac.uk$/$staff$/$adam$/$documents$/$ButlerGlasbey\_resubmit.pdf$>$}.\\ Acesso em: $13/02/08$.\\
       \item[$\bullet$] LABUS, M. Compositional data analysis as a toll for interpretation of rock porosity parameters. \textbf{Geological Quarterly}, v. 49, n.3, p. 347-354, $2005$.
       \item[$\bullet$] PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R. A.; DAVIS, J. C. Estimation of regionalized compositions: a comparison of three methods. \textbf{Mathematical Geology}, v.27, n.1, p. 105-127. $1995$.\\
       \item[$\bullet$] PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R. A. \textbf{Geostatistical analysis of compositional data}. New York: Oxford University Press, Inc., $2004$.\\
       \item[$\bullet$] REYMENT, R. A. and SAVAZZI E. \textbf{Aspects of multivariate statistical analysis in geology}. Amsterdam: Elsevier, $1999$.\\
       \end{itemize}
\end{footnotesize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
\beamertemplatearticlebibitems
\begin{footnotesize}
%\setcounter{enumi}{5} Comando (Gledson) para colocar a numeração de forma continuada. 5 implica que a 1a numeração %será 5+1=6
\begin{itemize}
        \item[$\bullet$] GRAF, M. Precision of compositional data in a stratified two-Stage cluster sample: comparison of the swiss earnings structure survey 2002 and 2004.\textbf{Survey Research Methods Section, ASA }, Session 415: Sample Survey Quality V, 3066-3072, $2006$. Disponível em: {\scriptsize                 $<$http:$//$www.amstat.org$/$sections$/$SRMS$/$proceedings$/$y2006$/$Files$/$JSM2006-000771.pdf$>$}. Acesso em: $18/05/08$.
       \item[$\bullet$] ODEH, I. O. A.; TOOD, A. J.; TRIANTAFILIS, J. Spatial prediction of soil particle-size fractions as compositional data. \textbf{Soil Science}, v. 168, n.7, p. 501-515, July $2003$.\\
       \item[$\bullet$] TOLOSANA-DELGADO, R.; OTERO, N.; PAWLOWSKY-GLAHN, V. Some Basic Concepts of Compositional Geometry. \textbf{Mathematical Geology}, v. 37, n.7, p. 563-580, oct $2005$.\\
       \item[$\bullet$] WALVOORT, D. J. J.; GRUIJTER, J. J. Compositional kriging: A spatial interpolation method for compositional data. \textbf{Mathematical Geology}, v.33, n.8, p. 951-966, nov $2001$.\\
\end{itemize}
\end{footnotesize}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\textbf{OBRIGADA PELA ATENÇÃO!}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Agradecimentos}
\begin{itemize}
\item PhD Paulo Justiniano Ribeiro Junior \\ \vspace{1cm}
\item Laboratório de Estatística e Geoinformação - LEG
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}

