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\title[]{\textbf{Análise de Dados Composicionais Via Árvores de Regressão}}
\author[]{Ana Beatriz Tozzo Martins - PPGMNE/UFPR-DES/UEM\\ Cesar Augusto Taconeli - DEST/UFPR \\ Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR \\ Antônio Carlos Andrade Gonçalves - DAG/UEM.}
\institute{}
\date{\today}
\subject{alguma coisa}

\begin{document}
\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

% Os comandos a seguir fazem aparecer antes de cada slide um índice com o título do slide em destaque.
%\AtBeginSection[]  % "Beamer, do the following at the start of every section"
%{
%\begin{frame}<beamer> 
%\frametitle{} % make a frame titled "Outline"
%\tableofcontents[currentsection]  % show TOC and highlight current section
%\end{frame}
%}	

\begin{frame}
% SLIDE 1: Título
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Roteiro de Apresentação}
% SLIDE 2: Roteiro de Apresentação
 \begin{itemize}
  \item[1.] Introdução            \vspace{0.3cm}
  \item[2.] Dados Composicionais  \vspace{0.3cm}
  \item[3.] CART                  \vspace{0.3cm}
  \item[4.] Metodologia           \vspace{0.3cm}
  \item[5.] Resultados            \vspace{0.3cm}
  \item[6.] Conclusão
 \end{itemize}
\end{frame}

%\section{Introdução}
\begin{frame}{Introdução}
% SLIDE 3: 
\vspace{0.4cm}
\textbf{Dados composicionais:}
\vspace{0.4cm}
\begin{itemize}
 \item Ciências da Terra: dados expressos como frações ou porcentagens.  \vspace{0.2cm}
\begin{flushright}
Aitchison (1986).
\end{flushright}
 \item Exemplos: \vspace{0.1cm}
      \begin{itemize}
      \item textura de solos; \vspace{0.1cm}
      \item composição química de uma rocha; \vspace{0.1cm}
      \item estruturas de dados resultantes de algoritmos de classificação.
      \end{itemize}\vspace{0.2cm}
\end{itemize}
\begin{flushright}
Walvoort, D. J. J. e Gruijter, J.J. (2001).
\end{flushright}
%\begin{itemize}
% \item Combinar a teoria de dados composicionais com algoritmos de regressão por árvores na caracterização de frações granulométricas de solo.\vspace{0.1cm}
       % \begin{itemize}
       %               \item variáveis resposta são proporções;\vspace{0.1cm}
       %               \item definir grupos e áreas de homogeneidade;
       % \end{itemize}
%\end{itemize}
\end{frame}

%\section{ntrodução}
\begin{frame}{Introdução}
% SLIDE 6: 
\begin{itemize}
 \item \textbf{Dados Composicionais:} Aitchison (1986); \vspace{0.4cm}
 \item \textbf{Análise Geoestatística de Dados Composicionais:} Pawlowsky-Glahn e Olea (2004); \vspace{0.4cm}
 \item \textbf{Inferência Bayesiana de Dados Composicionais Sem Efeito Espacial:} Obage (2007); \vspace{0.4cm}
\item \textbf{Inferência Bayesiana Espacial:} Tjelmeland e Lund (2003); \vspace{0.2cm}
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{ntrodução}
\begin{frame}{Introdução}
\vspace{0.5 cm}
% SLIDE 17: 
 \textbf{CART -\textit{Classification and Regression Trees:}} \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Modelagem não paramétrica de uma variável resposta categorizada (classificação) ou numérica (regressão) com base em um conjunto de covariáveis e interações entre as mesmas; \vspace{0.5 cm}
\begin{flushright}
Breiman et al. (1984).
\end{flushright}
   %\item[$\bullet$] Não imposição de restrições paramétricas às variáveis;
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Tratamento Estatístico}
\begin{frame}{Introdução}
% SLIDE 6: 
\begin{itemize}
\item \textbf{Árvores de Classificação e Regressão - CART:} Breiman et al. (1984);  \vspace{0.5cm}
\item \textbf{CART para Análise de Dados Multivariados:} Segal (1992), Zhang (1998), De'Ath (2002) e Lee (2005), Taconeli (2008).
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Objetivo}
\begin{frame}{Introdução}
% SLIDE 7: 
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
 \item Modelar dados composicionais via CART \vspace{0.5cm}
   \begin{itemize}
       \item extensão da proposta apresentada em Taconeli (2008);\vspace{0.3cm}
       \item a distância de Aitchison, no lugar dos coeficientes de dissimilaridades.
   \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
%SLIDE 4: Dados Composicionais
\begin{itemize}
%\item Dados de solo: areia, silte e argila. \\ \vspace{0.2cm}
\item Butler e Glasbey (2008): Registram informação sobre frequências relativas associadas a diferentes componentes de um sistema. \\ \vspace{0.2cm}
\item Aitchison (1986):
        \vspace{0.1 cm}
        \begin{itemize}
	\item a. Vetores cujos elementos são proporções de algum todo. \vspace{0.2cm}
   	\item b. \textbf{Composição}: Vetor $\b{Y}=(Y_1,Y_2,...,Y_B)'$ satisfazendo: \vspace{0.1 cm}
                             \begin{center}
                             \begin{itemize}
                             \item  $Y_1 \geqslant 0,\,\dots, \, Y_B \geqslant 0$; \vspace{0.2 cm} 
                             \item  $ Y_1 +\,Y_2 + \, \dots \, + Y_B = 1$. 
                             \end{itemize}
                             \end{center}\vspace{0.1 cm}
        \item c. \textbf{Espaço Amostral}:\vspace{0.1 cm} $ \mathbb{S}^B = \{ \b{Y} \in \mathbb{R}^B;\, Y_i > 0, \, i=1,...,B;\,\b{j}'\b{Y}=1 \}$
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
% SLIDE 5: 
 \begin{figure}[!htbp] % width=1.5cm, bb= 100 100 200 200,bb= 400 400 500 500, 
   %  \includegraphics[totalheight=0.70\textheight, viewport=100 310 550 550,clip]{digter}
     \includegraphics[width=6cm, height=6cm]{digter.pdf}
     \vspace{-0.5cm}
     \caption{Diagrama ternário das porcentagens de areia, silte e argila.}
 \end{figure}
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
% SLIDE 8: 
\textbf{Base}: Vetor $\b{W}(\b{x})$, $\b{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ cujos componentes são todos medidos na mesma escala e positivos. \\ \vspace{0.5cm}
\textbf{Espaço Amostral:} $\mathbb{R}^B_+ = \{ \b{W}(\b{x}) \in \mathbb{R}^B;\,\, W_i(\b{x}) > 0, \,\, i=1,...,B \}$ \\   \vspace{0.5cm}
\textbf{Operador fechamento:}\,\, Base \, $\Rightarrow$ \, Composição \\
$$
   \begin{array}{cccl}
 \mathcal{C} : &  \mathbb{R}^B_+  &  \longrightarrow & \mathbb{S}^B \\ 
               &  \b{W}(\b{x})    &  \longrightarrow & \mathcal{C}[\b{W}(\b{x})]=\dfrac{\b{W}(\b{x})}{\b{j}'\b{W}(\b{x})},\\
   \end{array} \hspace{0.4cm}\b{j}' \,\,\text{vetor de}\,\, 1^{'s}.
$$
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
%SLIDE 9: Perturbação
\vspace{0.5 cm}
Aitchison (1986), Aitchison e Egozcue (2005), Tolosana-Delgado et al. (2005):\\ \vspace{0.4 cm}
     \begin{center} 
     Operações que definem uma estrutura de espaço vetorial de dimensão $B-1$ no simplex.
     \end{center}
\begin{itemize}
   \item 1. \textbf{Perturbação} ($\oplus$) : operação comutativa;\vspace{0.4 cm}
   \item 2. \textbf{Potência} ($\odot$)     : produto externo.
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
%SLIDE 10: Perturbação
\vspace{1.0 cm}
\begin{tabular}{cl}
\textbf{Perturbação}: &  Multiplicação de composições componente a     \\
                      &  componente e divisão de cada componente       \\
                      &  pela soma de todos. \\
\end{tabular}\\\vspace{0.5 cm}
$$
\begin{array}{ccl}
 \b{Y}_1 \oplus \b{Y}_2 & = & (Y_{11},Y_{12},...,Y_{1B}) \oplus (Y_{21},Y_{22},...,Y_{2B}) \\ 
                                                                      \\
                    & = &  \mathcal{C}(Y_{11}Y_{21},Y_{12}Y_{22},...,Y_{1B}Y_{2B}).    \\
\end{array}
$$
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
%SLIDE 11: Potência
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\textbf{Potência}: análogo à multiplicação por um escalar no espaço real. \vspace{0.2 cm}
$$ \alpha \odot (Y_{11},Y_{12},...,Y_{1B}) = \mathcal{C}(Y_{11}^{\alpha},Y_{12}^{\alpha},...,Y_{1B}^{\alpha}).$$ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] Vetor de \textbf{diferenças} composicionais: \vspace{0.2 cm}
$$ \b{Y}_1 \ominus \b{Y}_2 = \b{Y}_1 \oplus (-1 \odot \b{Y}_2).$$
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
%SLIDE 12: Estatísticas Descritivas
\begin{itemize}
\item \textbf{Centro}:
$$ \text{cen}(\b{Y}) =  \dfrac{1}{g_s}\,(g(Y_1) \hspace{0.4cm} g(Y_2) \hspace{0.4cm} \hdots \hspace{0.4cm} g(Y_B))'$$
\begin{itemize}
     \item $g(Y_i)$ - média geométrica do $i$-ésimo componente \vspace{0.3 cm}
     \item $ g_s = g(Y_1) + g(Y_2) + \hdots + g(Y_B).$
\end{itemize} 
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
%SLIDE 13: Problema - Dados Composicionais
Efeito de \textbf{correlação espúria} (Pawlowsky e Olea, 2004):    \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Covariâncias sujeitas à controles não estocásticos \\
 \begin{center}
          $\Downarrow$      \\
\end{center}
       interpretação errônea da estrutura de covariância espacial;  \vspace{0.5 cm}
\item[$\bullet$] Singularidade da matriz de covariância de uma composição.
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
%SLIDE 14: Transformação
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\textbf{Graf (2006):}\,\, Soma constante\,\, $\Rightarrow$ \,\,correlação negativa entre os componentes.
                                  \\ \vspace{0.4 cm}
\item[$\bullet$]\textbf{Aitchison (1986):} \\ \vspace{0.2 cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Propõe transformação que generaliza a transformação logística $\text{ln}\,\dfrac{Y}{1-Y}$ para um vetor composicional de $2$ partes;      \\ \vspace{0.3 cm}
\item[$\bullet$] Magnitudes relativas ou razões \,\, $\Rightarrow$\,\, tratabilidade e interpretação estatística.
                                  \\ \vspace{0.2 cm}
\end{itemize}
\item[$\bullet$]\textbf{Transformações logísticas:} Aitchison (1982), Aitchison et al. (2000), Odeh et al. (2003).
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
%SLIDE 15:  Transformação ALR
\textbf{Transformação razão log-aditiva} (ALR): \\ 
$$
\begin{array}{cccl}
\text{ALR} : & \mathbb{S}^B & \longrightarrow & \mathbb{R}^{B-1}        \\ 
            & \b{Y}(\b{x}) & \longrightarrow & \text{ALR} [\b{Y}(\b{x})]=\left(\text{ln}\,\dfrac{Y_1(\b{x})}{Y_B(\b{x})},
                                                \dots,
                                                \text{ln}\,\dfrac{Y_{B-1}(\b{x})}{Y_B(\b{x})}\right)'. \\
\end{array}
$$ \\ \vspace{0.5 cm}
\begin{flushright}
Pawlowsky et al. (1995), Pawlowsky e Olea (2004).
\end{flushright}
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Dados Composicionais}
%SLIDE 16: Geometria de Aitchison do Simplex
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{Produto interno}: \vspace{0.1 cm}
$$<\b{Y}_1,\b{Y}_2 > =  \sum_{i=1}^{B} \text{ln}\left(\dfrac{Y_{1i}}{g(\b{Y}_1)}\right)\text{ln}\left( \dfrac{Y_{2i}}{g(\b{Y}_2)}\right).$$\vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] \textbf{Distância de Aitchison}:\vspace{0.1 cm}
$$ d(\b{Y}_1,\b{Y}_2) =\sqrt{\sum_{i=1}^B \left(
\text{ln}\left(
               \dfrac{Y_{1i}}{g(\b{Y}_1)}
        \right)-
\text{ln}\left(
               \dfrac{Y_{2i}}{g(\b{Y}_2)}
        \right)^2
                                         \right)}$$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{CART}
%\vspace{0.5 cm}
% SLIDE 17: 
 \textbf{CART -\textit{Classification and Regression Trees:}} \vspace{0.3 cm}
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Modelagem não paramétrica; \vspace{0.2 cm}
   \item[$\bullet$] Execução de sucessivas partições binárias de uma amostra, buscando a constituição de sub-amostras menos heterogêneas.\vspace{0.2 cm}
   \item[$\bullet$] Variável dependente:\vspace{0.2 cm}
             \begin{itemize}
                 \item[$\bullet$] Numérica – Árvore de Regressão\vspace{0.2 cm}
                 \item[$\bullet$] Categórica – Árvore de Classificação\vspace{0.2 cm}
             \end{itemize}\vspace{0.2 cm}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{CART}
%\vspace{0.5 cm}
% SLIDE 17: 
 \textbf{Atrativos}   \vspace{0.3 cm}
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Procedimento de simples aplicação; \vspace{0.2 cm}
   \item[$\bullet$] Possibilidade de modelar dados com estruturas complexas: \vspace{0.2 cm}
             \begin{itemize}
                 \item[$\bullet$] Dados desbalanceados;\vspace{0.2 cm}
                 \item[$\bullet$] Dados faltantes;\vspace{0.2 cm}
                 \item[$\bullet$] Grande número de variáveis independentes.
             \end{itemize}\vspace{0.2 cm}
   \item[$\bullet$] Detecção de interações de ordens elevadas;
   \item[$\bullet$] Ausência de pressuposições paramétricas;
   \item[$\bullet$] Produção de resultados facilmente interpretáveis.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{CART}
%\vspace{0.5 cm}
% SLIDE 17: 
 \textbf{Representação}  \vspace{0.3 cm}
\begin{figure}[!htb]
\centering
\vspace{-1.5cm}
%\includegraphics[height=6.2cm,width=10cm,scale=0.3,viewport=60 70 500 590 ]{arvore}
\includegraphics[height=11cm,width=10cm]{Reparvore.pdf}
\vspace{-2.5cm}
%\caption{Árvore de regressão.}
\label{fig:reparvore}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{CART}
\vspace{-0.2 cm}
% SLIDE 17: 
 \textbf{Construção do Modelo}\vspace{0.3 cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Partição dos nós;
                \begin{itemize}
                    \item[$\bullet$] Minimizar a heterogeneidade dos nós produzidos;
                    \item[$\bullet$] Baseada em uma medida de impureza.
                 \end{itemize}\vspace{0.3 cm}
\item[$\bullet$] Poda;
                \begin{itemize}
                    \item[$\bullet$] Obtenção de uma seqüência aninhada de árvores.
                 \end{itemize}\vspace{0.3 cm}
\item[$\bullet$] Seleção do modelo;
                \begin{itemize}
                    \item[$\bullet$] Baseada em alguma medida de qualidade preditiva.
                 \end{itemize}\vspace{0.3 cm}
\item[$\bullet$] Caracterização dos nós finais.
                \begin{itemize}
                    \item[$\bullet$] Segundo a distribuição dos resultados em cada nó. 
                 \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Metodologia}
% SLIDE 18: 
 \vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Dados: Gonçalves (1997) \\ \vspace{0.5cm}
 \item[$\bullet$] CART - Extensão multivariada: Taconeli (2008).
\end{itemize} \vspace{0.4cm}
\begin{flushright}
  ESALQ-USP
\end{flushright}
\end{frame}

\begin{frame}{Metodologia}
% SLIDE 19: 
\vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Integração das metodologias: \vspace{0.2cm}
    \begin{itemize}
      \item[$\bullet$] Modelagem dos dados composicionais por meio de árvores de regressão considerando a distância de Aitchison como medida de impureza e de qualidade preditiva na construção dos modelos.\vspace{0.3cm}
    \end{itemize}
\item[$\bullet$] Seja $d(\b{Y}_k,\b{Y}_{k'})$ a distância de Aitchison calculada para duas composições $k$ e $k'$. \vspace{0.3cm}
      \item[$\bullet$] \textbf{Medida de impureza} de um nó $t (\phi_{Dis}(t))$: \\ \vspace{0.2cm} $\phi_{Dis}(t)=\left( \dfrac{n_t(n_t-1)}{2} \right)^{-1}\sum_{k=1}^{n_t}\sum_{k<k'}d(\b{Y}_k,\b{Y}_{k^{'}})$ \\\vspace{0.2cm}
sendo $n_t$ o número de composições em $t$.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Metodologia}
% SLIDE 20: 
\begin{itemize}
  \item[$\bullet$] \textbf{Medida de qualidade de predição}: \\ \vspace{0.2cm} $ \phi_{Dis}(\b{Y}^{*})=\sum_{k \subset t} \dfrac{d(\b{Y}^{*},\b{Y}_{k})}{n_t}.$ \\\vspace{0.3cm}
  \item[$\bullet$] \textbf{Análise Fatorial}: estimação das cargas fatorais e escores por componentes principais - mínimos quadrados ordinários com rotação varimax. \\\vspace{0.3cm}
  \item[$\bullet$] Estimativas dos escores fatoriais considerados \textbf{covariáveis} no modelo de regressão por árvores.
\end{itemize}
\end{frame}

%\item[$\bullet$] Performance das metodologias verificadas na análise de dados reais que motivam o trabalho.
%\section{Material e Métodos}
%\begin{frame}{Material e Métodos - Método }
%\begin{itemize}
% \item[$\bullet$] Recursos Computacionais - Fase inicial:  \\ \vspace{0.2cm}
%     \begin{itemize}
%      \item[$\bullet$] Ambiente operacional GNU/Linux; \\ \vspace{0.2cm}
%      \item[$\bullet$] R (R Development Core Team, 2006); \\ \vspace{0.2cm}
%      \item[$\bullet$] Geoestatístico geoR (Ribeiro e Diggle, 20010); \\ \vspace{0.2cm}
%      \item[$\bullet$] Compositions (Boogaart, 2005).
%      \end{itemize}\vspace{0.3cm}
%\item[$\bullet$] Na implementação das propostas de modelagem e inferência será feito desenvolvimento e extensões para o modelo proposto.
%\begin{flushright}
% licença GPL (\textit{General Public Licence})
%\end{flushright}
%\end{itemize}
%\end{frame}

%\section{Resultados}
\begin{frame}{Resultados}
% SLIDE 21:
{\scriptsize
\begin{table}[htb]
\caption{Cargas fatoriais}
\label{tab:cargasfat}
\begin{tabular}{l|rrrc}\hline
Variável               &    F1     &     F2    &    F3    & Comunalidade \\\hline
Ph-CaCl$2$             &  $0,876$  &           &          &    $0,85$ \\   
Matéria orgânica       &           &  $-0,848$ &          &    $0,77$ \\
Fósforo                &           &  $-0,711$ &          &    $0,61$ \\
Potássio               &           &  $-0,531$ &          &    $0,36$ \\
Cálcio                 &  $0,806$  &           &          &    $0,82$ \\
Magnésio               &  $0,783$  &           &          &    $0,83$ \\ 
Hidrogênio+Alumínio    & $-0,873$  &           &          &    $0,79$ \\
Densidade global       &           &           &  $0,765$ &    $0,75$ \\ 
Densidade da partícula &           &           & $-0,807$ &    $0,68$ \\
Porosidade total       &           &           & $-0,965$ &    $0,98$ \\
Altura do terreno      &           &  $-0,681$ &          &    $0,70$ \\ \hline 
Var. Acum              &  $ 0,29$  &    $0,52$ &  $0,74$  &           \\\hline 
\end{tabular}
\end{table}}
\end{frame}

%\section{Resultados} totalheight=0.70\textheight
\begin{frame}{Resultados}
% SLIDE 22:
\begin{figure}[H]%!htb
\centering
%\includegraphics[height=5cm,width=12cm, viewport=70 310 580 580,clip]{graf1}
\includegraphics[height=6.5cm,width=6.5cm]{graf1.pdf}
\vspace{-0.8cm}
\caption{Curva de custo-complexidade.}
\label{fig:custo}
\end{figure}
\end{frame}

%\begin{frame}{Resultados}
% \begin{itemize}
%  \item[$\bullet$] Considera-se a árvore que produziu a menor distância média e estima-se por validação cruzada o erro padrão dessa distância;\vspace{0.5cm}
 % \item[$\bullet$] Limite: Ao valor da distância acrescenta-se 1 erro padrão;\vspace{0.5cm}
%  \item[$\bullet$] Árvore a ser selecionada: Menor árvore que tem distância média abaixo do limite;\vspace{0.5cm}
%  \item[$\bullet$] Árvore selecionada: Árvore com 4 nós finais.
% \end{itemize}
%\end{frame}

%\section{Resultados} 
\begin{frame}{Resultados}
% SLIDE 23:
\begin{figure}[!htb]
\centering
\vspace{-1cm}
\includegraphics[height=9cm,width=10cm]{arvoreOpe.pdf}
\vspace{-2.5cm}
\caption{Árvore de regressão.}
\label{fig:arvore}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Resultados}
 \begin{itemize}
  \item[$\bullet$] Fatores considerados na construção da árvore: 2 e 3;\vspace{0.5cm}
  \item[$\bullet$] Associação das variáveis matéria orgânica, fósforo, potássio, altura do terreno (Fator 2), densidade global, densidade da partícula e porosidade total (Fator 3) com a composição do solo;\vspace{0.5cm}
  \item[$\bullet$] Variáveis do Fator 1: Ph-Cacl2, cálcio, magnésio, hidrogênio+alumínio não estão associadas à composição do solo.\vspace{0.5cm}
 \end{itemize}
\end{frame}

%\section{Resultados} 
\begin{frame}{Resultados}
% SLIDE 24:
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=6cm,width=6cm]{graf3.pdf}
\vspace{-1cm}
\caption{Gráfico de dispersão dos escores fatoriais para o segundo e terceiro fatores.}
\label{fig:digdis}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Resultados}
\textbf{Caracterização dos nós quanto às covariáveis:}\vspace{0.3cm}
 \begin{itemize}
%Valores positivos para o Fator 2 e valores negativos para os escores fatoriais
  \item[$\bullet$] \textbf{Pontos verdes - nó 3:} Matéria orgânica, fósforo, potássio e altura do terreno em quantidade pequena nas amostras de solo; \vspace{0.2cm}
%Valores negativos pra o Fator 2 e negativos para o Fator 3 - 
  \item[$\bullet$] \textbf{Pontos azuis - nó 6:} Elevados teores de matéria orgânica, fósforo, potássio, elevada altura do terreno em detrimento a baixa densidade global e altas densidade de partícula e porosidade total;\vspace{0.2cm} 
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Resultados}
\textbf{Caracterização dos nós quanto às covariáveis:}\vspace{0.3cm}
 \begin{itemize}
% Valores positivos para Fator 2 e negativos para Fator 3 
  \item[$\bullet$] \textbf{Pontos vermelhos - nó 7:} Baixas quantidades de matéria orgânica fósforo, potássio e baixa altura do terreno em relação à altas dendidade de partículas e porosidade total mas elevada densidade global;\vspace{0.2cm} 
% Valores positivos para o Fator 3 e não tão altos para o Fator 2 
\item[$\bullet$] \textbf{Pontos pretos - nó 5:} Alta densidade global em detrimento à baixas densidade de partícula e porosidade total.
 \end{itemize}
\end{frame}

%\section{Resultados}
\begin{frame}{Resultados}
% SLIDE 25:
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=6cm, height=6cm]{graf4.pdf}
\vspace{-0.5cm}
\caption{Diagrama ternário das porcentagens de areia, silte e argila.}
\label{fig:ternario}
\end{figure}
\end{frame}

%\section{Resultados}
\begin{frame}{Resultados}
% SLIDE 25:
\vspace{-1cm}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=7cm, height=7.5cm]{graf5.pdf}
\vspace{-1cm}
\caption{Distribuição da composição média segundo os nós.}
\label{fig:barras}
\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}{Resultados}
\textbf{Caracterização dos nós finais quanto à composição:}
\begin{itemize}
 \item [$\bullet$] Nó 3, pontos verdes, representam composições com maiores teores de argila  e mais silte do que areia dentre todos os nós;\vspace{0.2cm}
\item [$\bullet$] Nó 5, pontos pretos, representam composições com maior equilíbrio entre os componentes. Nó com composições menos argilosas em relação aos outros;\vspace{0.2cm}
\item [$\bullet$] Nó 6, pontos azuis, não se destaca, exceto por grande quantidade de argila. Seria uma composição intermediária;\vspace{0.2cm}
\item [$\bullet$] Nó 7, pontos vermelhos, com exceção do nó 3 é composto por composições mais argilosas.
\end{itemize}
\end{frame}


%\section{Resultados}
\begin{frame}{Resultados}
% SLIDE 25:
\vspace{-1cm}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=7cm, height=7cm]{graf6}
\vspace{-1cm}
\caption{Localização espacial dos pontos amostrais em que os símbolos representam os grupos de frações granulométricas identificados pela análise}
\label{fig:localização}
\end{figure}
\end{frame}

%%\section{Resultados}
%\begin{frame}{Resultados}
%% SLIDE 25:
%\vspace{-0.4cm}
%\begin{table}[htb]
%%\caption{Resultados}
%%\label{tab:conclusao}
%\vspace{-0.2cm}
%\begin{tabular}{l|ll}\hline
%Nó  \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} Técnica             &\hspace{-0.3cm} Descrição do %nó \\\hline
%$3$ \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} AF    &\hspace{-0.3cm} Menor matéria orgânica, %fósforo e potássio e áreas\\ 
%    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm}       &\hspace{-0.3cm}  com menores alturas. \\
%   \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} CART  &\hspace{-0.3cm} Solos argilosos, mais silte %o que areia.\\\hline
%
%$5$ \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} AF    &\hspace{-0.3cm} Elevada densidade global, reduzidas densidade de\\
%    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm}       &\hspace{-0.3cm} partícula e porosidade total.\\
%    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} CART  &\hspace{-0.3cm} Solos pouco argilosos, areia, silte e argila equilibrados\\\hline

%$6$ \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} AF    &\hspace{-0.3cm} Maior matéria orgânica, fósforo, potássio e áreas com\\
%    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm}       &\hspace{-0.3cm}  maiores alturas. Reduzida densidade global,  \\
%    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm}       &\hspace{-0.3cm} elevadas densidade de partícula e porosidade total. \\
%    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} CART  &\hspace{-0.3cm} Composição intermediária. \\\hline

%$7$ \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} AF    &\hspace{-0.3cm} Menor 
%matéria orgânica, fósforo, potássio e áreas \\
%    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm}       &\hspace{-0.3cm} com menores alturas.\\
%    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} CART  &\hspace{-0.3cm} Mais argila e menos areia que nó $6$.\\\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%\end{frame}

%\section{Conclusão}
\begin{frame}{Conclusão}
% SLIDE 25:
Resultados produzidos permitiram identificar propriedades do solo associadas às composições, estabelecendo hierarquia entre as variáveis físico-químicas na explicação das frações granulométricas.
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
% SLIDE 62: 
%\bibliographystyle{abnt-alf}
%\bibliography{./ProjetoTese}
%\end{frame}
%-----------------------
\beamertemplatearticlebibitems
%	\begin{thebibliography}{1}  enumerate
%	\bibitem{et-all}
\begin{footnotesize}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] AITCHISON, J. The statistical analysis of compositional data. \textbf{Journal of the Royal Statistical Society}, \textbf{Series B}, v. 44, n.2, p. 139-177, $1982$.\\ \vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] AITCHISON, J. \textbf{The statistical analysis of compositional data}. New Jersey: The Blackburn Press, $1986$.\\ \vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] BREIMAN, L.; FRIEDMAN, J. H.; OLSHEN, R. A.; STONE, C. J. \textbf{Classification and regression trees}. California: Wadsworth International Group, $1984$. $358$p. \vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] BUTLER, A.; GLASBEY, C. A latent Gaussian model for compositional data with zeros. \textbf{Journal of the Royal Statistical Society}, \textbf{Series C}, v.$57$, n.$5$, p.$505$-$520$, $2008$.\\ \vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] DE’ATH, G. Multivariate Regression Trees: A New Technique for Modeling Species-Environment Relationships. \textbf{Ecology}, Brooklin, v.$83$, n.$4$, p.$1105$–$1117$, $2002$. \\ \vspace{0.2cm}
\end{itemize}
\end{footnotesize}
%	\end{thebibliography}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
% SLIDE 63: 
%\bibliographystyle{abnt-alf}
%\bibliography{./ProjetoTese}
%\end{frame}
%-----------------------
\beamertemplatearticlebibitems
%	\begin{thebibliography}{1}  enumerate
%	\bibitem{et-all}
\begin{footnotesize}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] GONÇALVES, A. C. A. \textbf{Variabilidade espacial de propriedades físicas do solo para fins de manejo da irrigação}. 1997. $119$p. Tese (Doutorado em Agronomia) - Escola Superior de Agricultura ``Luiz de Queiroz"\,. Universidade de São Paulo, Piracicaba.\\ \vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] GRAF, M. Precision of compositional data in a stratified two-Stage cluster sample: comparison of the swiss earnings structure survey $2002$ and $2004$. \textbf{Survey Research Methods Section, ASA }, Session $415$: Sample Survey Quality V, p.$3066$–$3072$, $2006$. Disponível em: $<$http:$//$www. amstat.org$/$sections$/$SRMS$/$proceedings$/$y2006$/$Files$/$JSM2006-000771.pdf$>$. Acesso em: $18/05/08$.\\\vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] JOHNSON, R. A.; WICHERN, D. W. \textbf{Applied statistical analysis}. Fourth. USA: Prentice Hall, $1998$. \\\vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] LEE, S. K. On generalized multivariate decision tree by using GEE. \textbf{Computational Statistics \& Data Analysis}, Amsterdan, v.$49$, n.$4$, p.$1105$–$1119$, $2005$. \\
\end{itemize}
\end{footnotesize}
%	\end{thebibliography}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
% SLIDE 64: 
\beamertemplatearticlebibitems
\begin{footnotesize}
%\setcounter{enumi}{0} Comando (Gledson) para colocar a numeração de forma continuada.
% deve ser colocada antes do \begin{enumerate}
\begin{itemize} 

\item[$\bullet$] OBAGE, S. C. \textbf{Uma análise bayesiana para dados composicionais}. $2007$. $69$p. Dissertação (Mestrado em Estatística) - Universidade Federal de São Carlos, São Carlos. \\\vspace{0.1cm}

\item[$\bullet$] PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R. A. \textbf{Geostatistical analysis of compositional data}. New York: Oxford University Press, Inc., $2004$.\\

\item[$\bullet$] R DEVELOPMENT CORE TEAM. \textbf{R: A language and environment for statistical computing}. Vienna, Austria, $2008$. Disponível em: http://www.R-project.org. Acesso em: $28$ nov. $2008$.\\\vspace{0.1cm}

\item[$\bullet$] SEGAL, M. R. Tree-structured methods for longitudinal data. \textbf{Journal of the American Statistical Association}, Boston, v.$87$, p.$407$–$418$, $1992$. \\\vspace{0.1cm}
\end{itemize}
\end{footnotesize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
% SLIDE 65: 
\beamertemplatearticlebibitems
\begin{footnotesize}
%\setcounter{enumi}{5} Comando (Gledson) para colocar a numeração de forma continuada. 5 implica que a 1a numeração %será 5+1=6
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] TACONELI, C. A. \textbf{Árvores de classificação multivariadas fundamentadas em coeficientes de dissimilaridade e entropia}. $2008$. $99$p. Tese (Doutorado em Estatística e Experimentação Agronômica) – Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”, Universidade de São Paulo, Piracicaba.

\item[$\bullet$] TJELMELAND, H.; LUND, K. V. Bayesian modelling of spatial compositional data. \textbf{Journal of Applied Statistics}, v.$30$, n.$1$, p.$87$–$100$, $2003$. \\

\item[$\bullet$] ZHANG, H. P. Classification trees for multiple binary responses, \textbf{Journal of the American Statistical Association}, Boston, v.$93$, p.$180$–$193$, $1998$. \\

\item[$\bullet$] WALVOORT, D. J. J.; GRUIJTER, J. J. Compositional kriging: A spatial interpolation method for compositional data. \textbf{Mathematical Geology}, v.33, n.8, p. 951-966, nov $2001$.
\end{itemize}
\end{footnotesize}
\end{frame}

\begin{frame}
% SLIDE 66: 
\begin{center}
\textbf{OBRIGADA PELA ATENÇÃO!}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Agradecimentos}
% SLIDE 67: 
\begin{itemize}
\item UEM/DES - Universidade Estadual de Maringá/Departamento de Estatística \vspace{0.3cm}
\item PPGMNE - Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia \vspace{0.3cm}
\item LEG - Laboratório de Estatística e Geoinformação  \vspace{0.3cm}
\item CNPQ - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico 
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}