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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\centering
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%Walvoort, D. J. J. e Gruijter, J.J. (2001).
%end{flushright}\vspace{0.4cm}
%logotipo

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\rightlogo[0.90]{wiki:figs:leg1}
\vspace{10cm}
\title{\Huge INFERÊNCIA NO MODELO GEOESTATÍSTICO PARA DADOS COMPOSICIONAIS}
\author {\Large 
{Ana Beatriz Tozzo Martins       {\large $^1$}  \hspace{0.2cm} 
 Paulo Justiniano Ribeiro Jr     {\large $^2$}  \hspace{0.2cm} 
 Wagner Hugo Bonat               {\large $^3$}  \hspace{0.2cm} 
 Antônio Carlos Andrade Gonçalves{\large $^4$} }}

 \institute{ \large {$^1$Msc. Eng. Produção e Sistemas,PPGMNE/UFPR-DES/UEM, abtmartins@uem.br;\\ $^2$PhD Estatística, LEG/UFPR, paulojus@leg.ufpr.br; \\
$^3$Estatístico, LEG/UFPR, wbonat@leg.ufpr.br;\\ $^4$Dr. Agronomia, DAG/UEM, acagoncalves@uem.br}}

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%%%%%%%%%%%%%% Begin of Document
\begin{document}
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%\uwave{$x$}

\begin{center}
\includegraphics[width=50cm, height=8cm]{logotipo}
\end{center}

\hyphenation{di-fe-ren-te}

\conference{{\bf SGeA}, Simpósio de Geoestatística Aplicada Em Ciências Agrárias, 14 e 15 de maio de 2009, Faculdade de Ciências Agrárias-FCA-UNESP, Campus de Botucatu/SP}

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\vspace{3cm}
\maketitle

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\begin{multicols}{2}

\section{Resumo}
O problema que motiva este trabalho é o estudo das frações granulométricas do solo. Considerou-se a análise de dados composicionais para tratar todas as frações conjuntamente, ao invés de tratá-las de forma individual como aparece muitas vezes na literatura, porém levando em consideração a espacialização das observações através da geoestatística. Dessa forma, o trabalho consistiu em propor um modelo e desenvolver algoritmos para se fazer inferência via verossimilhança dos parâmetros desse modelo avaliando, inclusive, diferentes métodos de otimização. Como exemplo, aplicou-se a metodologia proposta à análise de um conjunto de dados reais referentes às porcentagens de areia, silte e argila que formam as frações granulométricas. O trabalho é concluído com a interpretação dos valores obtidos para as estimativas dos parâmetros.

\section{Introdução}
\subsection{Dados composicionais}
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item Ciências da Terra: É comum os dados serem expressos como frações ou porcentagens.     
         \begin{flushright}
           Aitchison (1986).
         \end{flushright}
\item Exemplo:
      \begin{itemize}
      \item[-] textura de solos ou granulometria que se refere a proporção de areia, silte e argila do solo; 
%      \item[-] composição química de uma rocha; \vspace{0.1cm}
%      \item[-] estruturas de dados resultantes de algoritmos de classificação.
      \end{itemize}
%         \begin{flushright}
%         Walvoort, D. J. J. e Gruijter, J.J. (2001).
%         \end{flushright}
\item Literatura: \vspace{0.2 cm}
       \begin{itemize}
       \item[] \textit{Dados Composicionais:} Aitchison (1986); \vspace{0.2cm}
       \item[] \textit{Análise Geoestatística de Dados Composicionais:} Pawlowsky-Glahn e Olea (2004); \vspace{0.2cm}
       \item[] \textit{Inferência Bayesiana de Dados Composicionais Sem Efeito Espacial:}     Obage (2007); \vspace{0.2cm}
       \item[] \textit{Inferência Bayesiana Espacial:} Tjelmeland e Lund (2003). 
       \end{itemize}\vspace{0.2 cm}
\item Composição: Vetor $\b{Y}=(Y_1,Y_2,...,Y_B)'$ satisfazendo: \vspace{0.2 cm}
        \begin{itemize}
        \item[]  $Y_1 \geqslant 0,\,\dots, \, Y_B \geqslant 0$; \vspace{0.2 cm} 
        \item[]  $ Y_1 +\,Y_2 + \, \dots \, + Y_B = 1$. \vspace{0.2 cm} 
        \item[]  Espaço Amostral:\hspace{0.3cm} $ \mathbb{S}^B = \{ \b{Y} \in \mathbb{R}^B;\, Y_i > 0, \, i=1,...,B;\,\b{j}'\b{Y}=1 \}$
        \end{itemize}\vspace{0.2 cm}
\item Base: Vetor $\b{W}(\b{x})$, $\b{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ com componentes medidos na mesma escala e positivos.
       \begin{itemize}
       %\item[] Vetor $\b{W}(\b{x})$, $\b{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ com componentes medidos na mesma escala e positivos. \vspace{0.5cm}
       \item[] Espaço Amostral:\hspace{0.3cm} $\mathbb{R}^B_+ = \{ \b{W}(\b{x}) \in \mathbb{R}^B;\,\, W_i(\b{x}) > 0, \,\, i=1,...,B \}$ 
       \end{itemize}\vspace{0.2cm}
%\begin{itemize}
%\item Butler e Glasbey (2008): Registram informação sobre frequências relativas associadas a %diferentes componentes de um sistema.  \vspace{0.2cm}
%\item Aitchison (1986): Vetores cujos elementos são proporções de algum todo. \vspace{0.2cm}

\item Operador fechamento: \,\, Base \, $\Rightarrow$ \, Composição
  $$
   \begin{array}{cccl}
   \mathcal{C} : &  \mathbb{R}^B_+  &  \longrightarrow & \mathbb{S}^B \\ 
                 &  \b{W}(\b{x})    &  \longrightarrow & \mathcal{C}[\b{W}(\b{x})]=\dfrac{\b{W}(\b{x})}{\b{j}'\b{W}(\b{x})},\\
   \end{array} \hspace{0.4cm}\b{j}' \,\,\text{vetor de}\,\, 1^{'s}.
  $$ 
\item Operações que definem uma estrutura de espaço vetorial de dimensão $B-1$ no simplex: Perturbação e Potência. \vspace{0.2cm}
%   \begin{itemize}
%   \item[] \textbf{Perturbação}: Multiplicação de composições componente a componente e divisão de cada componente pela soma de todos.
%   $$
%   \begin{array}{ccl}
%   \b{Y}_1 \oplus \b{Y}_2 & = & (Y_{11},Y_{12},...,Y_{1B}) \oplus (Y_{21},Y_{22},...,Y_{2B})\\ 
%   \\
%                          & = &  \mathcal{C}(Y_{11}Y_{21},Y_{12}Y_{22},...,Y_{1B}Y_{2B})\\
%   \end{array}
%   $$
%   \vspace{0.4 cm}
%   \item[] \textbf{Potência}: Análogo à multiplicação por um escalar no espaço real.
%    $$ \alpha \odot (Y_{11},Y_{12},...,Y_{1B}) = \mathcal{C}(Y_{11}^{\alpha},Y_{12}^{\alpha},...,Y_{1B}^{\alpha}).$$ 
%   \end{itemize}
%\item Centro: \hspace{0.5cm} $ \text{cen}(\b{Y}) =  \dfrac{1}{g_s}\,(g(Y_1) \hspace{0.4cm} g(Y_2) \hspace{0.4cm} \hdots \hspace{0.4cm} g(Y_B))'$
%     \begin{itemize}
%     \item[]$g(Y_i)$: média geométrica do $i$-ésimo componente \vspace{0.3 cm}
%     \item[] $ g_s = g(Y_1) + g(Y_2) + \hdots + g(Y_B).$
%     \end{itemize} \vspace{0.4 cm}
\item Transformação razão log-aditiva (ALR):
  $$
  \begin{array}{cccl}
  \text{ALR} : & \mathbb{S}^B & \longrightarrow & \mathbb{R}^{B-1}        \\ 
               & \b{Y}(\b{x}) & \longrightarrow & \text{ALR} [\b{Y}(\b{x})]=\left(\text{ln}\,\dfrac{Y_1(\b{x})}{Y_B(\b{x})},
                                                \dots,
                                                \text{ln}\,\dfrac{Y_{B-1}(\b{x})}{Y_B(\b{x})}\right)'. \\
  \end{array}
  $$ 
\begin{flushright}
Pawlowsky e Olea (2004).
\end{flushright}
%\vspace{0.4cm}
%\item Distância de Aitchison:
%   $$ d(\b{Y}_1,\b{Y}_2) =\sqrt{\sum_{i=1}^B 
%                \left(\text{ln}
%                     \left(\dfrac{Y_{1i}}{g(\b{Y}_1)}
%                     \right)-
%                     \text{ln}
%                     \left(\dfrac{Y_{2i}}{g(\b{Y}_2)}
%                     \right)^2 
%                \right)}$$
\end{itemize}
\vspace{-0.5cm}
\subsection{Objetivo}
 Combinar características espaciais e composicionais dos dados referentes à areia, silte e argila através da especificação de um modelo paramétrico composicional espacial e da inferência pela verossimilhança.

%\vspace{0.4cm}
\section{Material e Métodos}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Modelo geoestatístico bivariado composicional proposto:
$$\left\{
\begin{array}{cccccccl}
Y_1(\b{x}_i)       & = & \mu_1(\b{x}_i)       &+& S_1(\b{x}_i)        &+& Z_1(\b{x}_i)        & \\
Y_2(\b{x}_{i^{'}}) & = & \mu_2(\b{x}_{i^{'}}) &+& S_2(\b{x}_{i^{'}}) &+& Z_2(\b{x}_{i^{'}})  & \hspace{1cm}i,i^{'}=1,...,76 \\
\end{array}
\right.
$$\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
 \item[$\star$] $Y_1=ln(\text{areia/argila})$, $Y_2=ln(\text{silte/argila})$,
 \item[$\star$] $S_j(\b{x}) \sim N(0;\,\sigma_j^2),$\,\,efeitos espaciais com função de correlação comum $\rho_U(\b{x};\phi),$ \,\, $j=1,2$,
 \item[$\star$] $Z_j(\b{x}) \sim N(0;\,\tau_j^2)$,\,\, efeitos composicionais no modelo. 
\end{itemize}
Este pode ser reescrito como
$$\left\{
\begin{array}{ccccccc}
Y_1(\b{x}_i)     & = & \mu_1(\b{x}_i)   &+& \sigma_1 U(\b{x}_i;\phi)    &+& Z_1(\b{x}_i)\\
Y_2(\b{x}_{i^{'}}) & = & \mu_2(\b{x}_{i^{'}}) &+& \sigma_2 U(\b{x}_{i^{'}};\phi)&+&Z_2(\b{x}_{i^{'}})\\
\end{array}
\right.
$$
%com 
%\begin{itemize}
%  \item[] $\text{Cov}\left(Y_1(\b{x}_i);Y_1(\b{x}_i) \right)= \sigma_j^2+\tau_j^2$
%  \item[] $\text{Cov}\left(Y_1(\b{x}_i);Y_1(\b{x}_{i^{'}}) \right)= \sigma_j^2\rho_U(\b{x}_i;\b{x}_{i^{'}})$
%  \item[] $\text{Cov}\left(Y_1(\b{x}_i);Y_2(\b{x}_{i^{'}}) \right)=\sigma_1\sigma_2 I_2(i,i^{'})+\tau_1\tau_2I_3(i,i^{'})$
%\end{itemize}
\vspace{0.2cm}
A inferência sobre $\b{$\theta$}=(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\tau_1,\tau_2,\phi,\rho)'$ é feita através da teoria de verossimilhança. Ao considerar $\mathbf{\Sigma}=\sigma_1^2\textbf{R}+\tau_1^2\textbf{I}_b=\sigma_1^2\textbf{V}$, em que $\textbf{R}$ é a matriz de covariâncias relacionadas aos efeitos espaciais e $\textbf{I}_b$ é a matriz bloco diagonal com elementos relacionados às covariâncias entre as composições tem-se a função de log verossimilhança dada por:
%$$
%L(\b{$Y$}) = (2\pi)^{-n/2}|\mathbf{\Sigma}|^{-1/2} \text{exp}\left\{-\frac{1}{2}
%                                     \left(\b{$Y$}-\b{$\mu$}_{\b{$Y$}}\right)'
%                                     \left(\mathbf{\Sigma}\right)^{-1}
%                                     \left(\b{$Y$}-\b{$\mu$}_{\b{$Y$}}\right)\right\} 
%$$
$$
l(\b{$\theta$}) = -0,5[n log(2\pi)+2nlog(\sigma_1)+log(|\textbf{V}|)+(1/\sigma_1^2)Qe] 
$$
\vspace{0.2cm}
em que $Qe=(\b{$Y$}-\b{$\mu$}_{\b{$Y$}})'
           \mathbf{\Sigma}^{-1}
           (\b{$Y$}-\b{$\mu$}_{\b{$Y$}})$,
$\b{$\mu$}_{\b{$Y$}}=\textbf{X}\b{$\mu$}$\,\, e \textbf{X} é a matriz associada às médias das variáveis.\vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] Estimadores de máxima verossimilhança de $\sigma_1$ e $\b{$\mu$}$
\begin{center} 
$\hat{\sigma}_1=\sqrt{Qe/n}$ \hspace{0.5cm} e \hspace{0.5cm} $\hat{\mu}=(\textbf{X}'\textbf{V}^{-1}\textbf{X})^{-1}(\textbf{X}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$})$
\end{center}
Com a reparametrização $\eta=\sigma_2/\sigma_1$, $\nu_1=\tau_1/\sigma_1$ e $\nu_2=\tau_2/\sigma_2$ (DIGGLE e RIBEIRO JR, 2007) obtém-se
$$
l(\b{$\theta$}) = -0,5[log(|\textbf{V}|)+n (log(2\pi)+log(\hat{Q}e)-log(n)+1)] 
$$
em que $\b{$\theta$}'=(\eta,\nu_2,\nu_2,\phi,\rho)'$ é maximizado numericamente pelos métodos "L-BFGS-B", "Nelder-Mead", "Gradiente Conjugado" e "BFGS", implementados no \textbf{R} (R development Core Team, 2008).
\item[$\bullet$]Os erros padrão na escala original dos parâmetros são obtidos através do método delta em que
$$\text{Var}_{\b{$\theta$}}(g(\b{$\theta$}))\geq \left(\dfrac{\partial g(\b{$\theta$}) }{\partial \b{$\theta$}} \right)'\textbf{I}_E(\b{$\theta$})^{-1}\left(\dfrac{\partial g(\b{$\theta$}) }{\partial \b{$\theta$}} \right),$$ 
em que $\partial g(\b{$\theta$})/\partial \b{$\theta$}$ é matriz diagonal com elementos $\partial l(\b{$\theta$})/\partial \b{$\theta$}_i^{*}$, $i^{*}=1,...,5$ e $\textbf{I}_E(\b{$\theta$})$ é a matriz informação esperada de Fisher para $\b{$\theta$}$ baseada nos dados $\b{$Y$}$ que é substituída pela matriz hessiana obtida no processo de maximização.
\item[$\bullet$] Dados de 152 amostras de solo com percentuais de areia, silte e argila, provenientes de Gonçalves(1997).
\end{itemize}

\vspace{-1cm}
\section{Resultados}
{\small
\begin{table}[htb]
\begin{center}
\caption{Estimativas dos parâmetros de acordo com os métodos de otimização e intervalo de confiança para o método L-BFGS-B.}
\label{tab:estimativa}
\begin{tabular}{l|rrrrrrrr}\hline
Parâmetro & Iniciais & Nelder & Gradiente & BFGS & L-BFGS-B & Erro   & Limite  & Limite \\
          &          & Mead   & Conjugado &      &          & Padrão &  Inferior &  Superior\\\hline
$\mu_1$    &$0,5625$&$-0,7688$&$-0,7599$&$0,7686$&$-0,7599$&$0,4403$&$-1,2002$&$-0,3196$   \\
$\mu_2$
&$0,7436$&$-0,7963$&$-0,7941$&$-0,7963$&$-0,7941$&$0,2286$&$-0,0227$&$-0,5655$   \\
$\sigma_1$
&$0,1007$&$0,4581$&$0,4505$&$0,4580$&$0,4505$&$0,1208$&$0,3297$&$0,5713$   
\\
$\sigma_2$ 
&$0,0399$&$0,1171$&$0,1153$&$0,1170$&$0,1153$&$0,0515$&$0,0638$&$0,1668$   
\\
$\tau_1$
&$0,1007$&$0,2887$&$0,2870$&$0,2886$&$0,2870$&$0,0451$&$0,2419$&$0,3321$   
\\
$\tau_2$
&$0,0399$&$0,2672$&$0,2670$&$0,2671$&$0,2670$&$0,0314$&$0,2356$&$0,2984$   
\\ 
$\phi$
&$66,9117$&$71,0890$&$66,9113$&$71,0057$&$66,9085$&$42,5565$&$24,3520$&$109,4649$ \\
$\rho$
&$0,8219$&$0,9522$&$0,9544$&$0,9522$&$0,9544$&$0,0680$&$0,8864$&$1,0225$
\\\hline
log.vero 
&$42,5541$&$-0,8273$&$-0,8292$&$-0,8273$&  &   &    &   \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}}

\vspace{-0.5cm}
%$\phi=\text{distância}_{\text{min}}+0.2(\text{distância}_{\text{max}}-\text{distância}_{\text{min}})$ e $\rho$ é a correlação linear de Pearson.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=16cm, height=16cm]{DiTerMalhaQuadrada}
\caption{Diagrama ternário das porcentagens de areia, silte e argila.}
\label{fig:ternario}
\end{figure}

\vspace{-2cm}
\section{Conclusão}\vspace{0.1cm}
A análise composicional revela que as amostras de solo apresentam maior conteúdo de argila do que de areia o que permite a classificação como solo argiloso. Os métodos de otimização considerados convergiram e as estimativas pelos quatro métodos são coincidentes com precisão de uma casa decimal com excessão do parâmetro $\phi$ cujos valores são próximos. A análise do modelo indica que existe dependência espacial quanto a $Y_1$ devido à razão $(\sigma_1/\tau1)>1$, mas não com relação a $Y_2$, onde $(\sigma_2/\tau2)<1$.
Próximos passos incluem propostas para modelagem conjunta espacial com implementações de predição bayesianas permitindo obter incertezas associadas às classificações. A metodologia deve ser testada para a verificação da aplicabilidade e generalidade da proposta.

%%% References
%% Note: use of BibTeX als works!!
\vspace{0cm}
\section*{Referências Bibliográficas}
\begin{flushleft}
{\small
{AITCHISON, J. \textbf{The statistical analysis of compositional data}. New Jersey: The Blackburn Press, $1986$, $416$~p.}
\vskip 5mm

{DIGGLE, P. J.; RIBEIRO JR, P. J. \textbf{Model-based geostatistics}, USA:
Springer Series in Statistics, $2007$, $228$~p.}
\vskip 5mm

%%{BUTLER, A.; GLASBEY, C. A latent Gaussian model for compositional data with zeros. %%\textbf{Journal of the Royal Statistical Society}, \textbf{Series C} (in press), $2008$. %%Disponível em: {\scriptsize  %%$<$http:$//$www.bioss.ac.uk$/$staff$/$adam$/$documents$/$ButlerGlasbey\_ resubmit.pdf$>$}. %%Acesso em: $13/02/08$.}
%%\vskip5mm

{GONÇALVES, A. C. A. \textbf{Variabilidade espacial de propriedades físicas do solo para fins de manejo da irrigação}. 1997. $119$p. Tese (Doutorado em Agronomia) - Escola Superior de Agricultura ``Luiz de Queiroz"\,. Universidade de São Paulo, Piracicaba.}
\vskip 5mm

{OBAGE, S. C. \textbf{Uma análise bayesiana para dados composicionais}. $2007$. $69$p. Dissertação (Mestrado em Estatística) - Universidade Federal de São Carlos, São Carlos.}
\vskip 5mm

{PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R. A. \textbf{Geostatistical analysis of compositional data}. New York: Oxford University Press, Inc., $2004$.}
\vskip 5mm

{TJELMELAND, H.; LUND, K. V. Bayesian modelling of spatial compositional data. \textbf{Journal of Applied Statistics}, v.$30$, n.$1$, p.$87$–$100$, $2003$.}
\vskip 5mm

%%{WALVOORT, D. J. J.; GRUIJTER, J. J. Compositional kriging: A spatial interpolation method for %compositional data. \textbf{Mathematical Geology}, v.33, n.8, p. 951-966, nov $2001$.}
%\vskip 5mm
}
\end{flushleft}
\vspace{-0.5cm}
\section*{Agradecimento}
Esse trabalho foi parcialmente financiado pela FINEP projeto CT-INFRA/UFPR.
\end{multicols}

\end{document}



