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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\leftlogo[1]{home_05}
\rightlogo[0.90]{wiki:figs:leg1}
\title{\huge Análise de Dados Composicionais Via Árvore de Regressão}
\author {\Large {Ana Beatriz Tozzo Martins{\large $^1$}
\hspace{5cm} Cesar Augusto Taconeli{\large $^2$}
					\\ \hspace{2.0cm} Paulo Justiniano Ribeiro Jr{\large $^3$}
					\hspace{5.0cm} Antônio Carlos Andrade Gonçalves{\large $^4$}}}

\institute{\large {$^1$PPGMNE/UFPR- Departamento de Estatística, UEM; $^2$Departamento de Estatística, UFPR; \\
$^3$Laboratório de Estatística e Geoinformação, LEG- DES/UFPR;  $^4$Departamento de Agronomia, UEM}}
\email{abtmartins@uem.br}

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%%%%%%%%%%%%%% Begin of Document
\begin{document}
\hyphenation{di-fe-ren-te}

\conference{{\bf $XI$ EMR}, Escola de Modelos de Regressão, 1 a 4 de março de 2009, International Palace Hotel, Recife - PE}

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\maketitle

%%% Begin of Multicols-Enviroment
\begin{multicols}{3}

\section{Introdução}

\subsection{Dados composicionais}
\begin{itemize}
 \item Ciências da Terra: É comum os dados serem expressos como frações ou porcentagens.  \vspace{0.2cm}
\begin{flushright}
Aitchison (1986).
\end{flushright}
 \item Exemplo: textura de solos ou granulometria que se refere a proporção de areia, silte e argila do solo. %\vspace{0.1cm}
%      \begin{itemize}
%      \item[] textura de solos ou granulometria que se refere a proporção de areia, silte e argila do solo; \vspace{0.1cm}
%      \item[] composição química de uma rocha; \vspace{0.1cm}
%      \item[] estruturas de dados resultantes de algoritmos de classificação.
%      \end{itemize}\vspace{0.2cm}
\begin{flushright}
Walvoort, D. J. J. e Gruijter, J.J. (2001).
\end{flushright}
      \item Literatura:
        \begin{itemize}
          \item[] \textit{Dados Composicionais:} Aitchison (1986); \vspace{0.4cm}
          \item[] \textit{Análise Geoestatística de Dados Composicionais:} Pawlowsky-Glahn e Olea (2004); \vspace{0.4cm}
          \item[] \textit{Inferência Bayesiana de Dados Composicionais Sem Efeito Espacial:} Obage (2007); \vspace{0.4cm}
          \item[] \textit{Inferência Bayesiana Espacial:} Tjelmeland e Lund (2003). 
        \end{itemize}\vspace{0.2 cm}
\item Composição: Vetor $\b{Y}=(Y_1,Y_2,...,Y_B)'$ satisfazendo: \vspace{0.1 cm}
      \begin{center}
        \begin{itemize}
        \item[]  $Y_1 \geqslant 0,\,\dots, \, Y_B \geqslant 0$; \vspace{0.2 cm} 
        \item[]  $ Y_1 +\,Y_2 + \, \dots \, + Y_B = 1$. 
        \end{itemize}
      \end{center}\vspace{0.2 cm}
\end{itemize}

\begin{itemize}
%\item Butler e Glasbey (2008): Registram informação sobre frequências relativas associadas a diferentes componentes de um sistema.  \vspace{0.2cm}
%\item Aitchison (1986): Vetores cujos elementos são proporções de algum todo. \vspace{0.2cm}

    \item[]  Espaço Amostral:
       \begin{itemize}
       \item[] $ \mathbb{S}^B = \{ \b{Y} \in \mathbb{R}^B;\, Y_i > 0, \, i=1,...,B;\,\b{j}'\b{Y}=1 \}$
       \end{itemize}\vspace{0.2 cm}
\item Base: Vetor $\b{W}(\b{x})$, $\b{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ com componentes medidos na mesma escala e positivos
  \begin{itemize}
%  \item[] Vetor $\b{W}(\b{x})$, $\b{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ com componentes medidos na mesma escala e positivos. \vspace{0.5cm}
  \item[] Espaço Amostral:
  \\ $\mathbb{R}^B_+ = \{ \b{W}(\b{x}) \in \mathbb{R}^B;\,\, W_i(\b{x}) > 0, \,\, i=1,...,B \}$ \vspace{0.5cm}
  \end{itemize}\vspace{0.2 cm}
      \item Operador fechamento: \,\, Base \, $\Rightarrow$ \, Composição
  $$
   \begin{array}{cccl}
   \mathcal{C} : &  \mathbb{R}^B_+  &  \longrightarrow & \mathbb{S}^B \\ 
                 &  \b{W}(\b{x})    &  \longrightarrow & \mathcal{C}[\b{W}(\b{x})]=\dfrac{\b{W}(\b{x})}{\b{j}'\b{W}(\b{x})},\\
   \end{array} \hspace{0.4cm}\b{j}' \,\,\text{vetor de}\,\, 1^{'s}.
  $$
\item Operações que definem uma estrutura de espaço vetorial de dimensão $B-1$ no simplex: Perturbação e Potência.
%   \begin{itemize}
%   \item[] \textbf{Perturbação}: Multiplicação de composições componente a componente e divisão de cada componente pela soma de todos.
%   $$
%   \begin{array}{ccl}
%   \b{Y}_1 \oplus \b{Y}_2 & = & (Y_{11},Y_{12},...,Y_{1B}) \oplus (Y_{21},Y_{22},...,Y_{2B})\\ 
%   \\
%                          & = &  \mathcal{C}(Y_{11}Y_{21},Y_{12}Y_{22},...,Y_{1B}Y_{2B})\\
%   \end{array}
%   $$
%   \vspace{0.4 cm}
%   \item[] \textbf{Potência}: Análogo à multiplicação por um escalar no espaço real.
%    $$ \alpha \odot (Y_{11},Y_{12},...,Y_{1B}) = \mathcal{C}(Y_{11}^{\alpha},Y_{12}^{\alpha},...,Y_{1B}^{\alpha}).$$ 
%   \end{itemize}
%\item Centro: \hspace{0.5cm} $ \text{cen}(\b{Y}) =  \dfrac{1}{g_s}\,(g(Y_1) \hspace{0.4cm} g(Y_2) \hspace{0.4cm} \hdots \hspace{0.4cm} g(Y_B))'$
%     \begin{itemize}
%     \item[]$g(Y_i)$: média geométrica do $i$-ésimo componente \vspace{0.3 cm}
%     \item[] $ g_s = g(Y_1) + g(Y_2) + \hdots + g(Y_B).$
%     \end{itemize} \vspace{0.4 cm}
\item Transformação razão log-aditiva (ALR):  
  $$
  \begin{array}{cccl}
  \text{ALR} : & \mathbb{S}^B & \longrightarrow & \mathbb{R}^{B-1}        \\ 
               & \b{Y}(\b{x}) & \longrightarrow & \text{ALR} [\b{Y}(\b{x})]=\left(\text{ln}\,\dfrac{Y_1(\b{x})}{Y_B(\b{x})},
                                                \dots,
                                                \text{ln}\,\dfrac{Y_{B-1}(\b{x})}{Y_B(\b{x})}\right)'. \\
  \end{array}
  $$ 
\begin{flushright}
Pawlowsky e Olea (2004).
\end{flushright}
\vspace{0.4cm}
\item Distância de Aitchison:
   $$ d(\b{Y}_1,\b{Y}_2) =\sqrt{\sum_{i=1}^B 
                \left(\text{ln}
                     \left(\dfrac{Y_{1i}}{g(\b{Y}_1)}
                     \right)-
                     \text{ln}
                     \left(\dfrac{Y_{2i}}{g(\b{Y}_2)}
                     \right)^2 
                \right)}$$
\end{itemize}
\vspace{0.5cm}
\subsection{CART-\textit{Classification and Regression Trees}}
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Modelagem não paramétrica de uma variável resposta categorizada (classificação) ou numérica (regressão) com base em um conjunto de covariáveis e interações entre as mesmas; 
\begin{flushright}
Breiman et al. (1984).
\end{flushright}
   \item[$\bullet$] Literatura:
\begin{itemize}
\item[] \textit{Árvores de Classificação e Regressão - CART:} Breiman et al. (1984);  \vspace{0.5cm}
\item[] \textit{CART para Análise de Dados Multivariados:} Segal (1992), Zhang (1998), De'Ath (2002) e Lee (2005), Taconeli (2008).
\end{itemize}
\end{itemize}
\vspace{0.5cm}

\begin{itemize}
%   \item[$\bullet$] Modelagem não paramétrica; \vspace{0.2 cm}
   \item[$\bullet$] Execução de sucessivas partições binárias de uma amostra, buscando a constituição de sub-amostras menos heterogêneas.\vspace{0.2 cm}
%  \item[$\bullet$] Variável dependente:\vspace{0.2 cm}
%             \begin{itemize}
%                 \item[$\bullet$] Numérica – Árvore de Regressão\vspace{0.2 cm}
%                 \item[$\bullet$] Categórica – Árvore de Classificação.
%             \end{itemize}
\end{itemize}
\vspace{-0.6cm}
\subsubsection{Construção do Modelo} \vspace{0.3cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Partição dos nós;
                \begin{itemize}
                    \item[] Minimizar a heterogeneidade dos nós produzidos;
                    \item[] Baseada em uma medida de impureza.
                 \end{itemize}\vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] Poda;
                \begin{itemize}
                    \item[] Obtenção de uma seqüência aninhada de árvores.
                 \end{itemize} \vspace{1cm}
\item[$\bullet$] Seleção do modelo;
                \begin{itemize}
                    \item[] Baseada em alguma medida de qualidade preditiva.
                 \end{itemize}
\item[$\bullet$] Caracterização dos nós finais.
                \begin{itemize}
                    \item[] Segundo a distribuição dos resultados em cada nó. 
                 \end{itemize}
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}
\subsection{Objetivo}
 Modelar dados composicionais via CART por meio de uma extensão da proposta apresentada em Taconeli (2008), considerando a distância de Aitchison ao invés de dissimilaridades.

\vspace{0.5cm}
\section{Metodologia}
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Dados: Gonçalves (1997), ESALQ-USP. \vspace{0.3cm}
 \item[$\bullet$] CART - Extensão multivariada: Taconeli (2008), ESALQ-USP. \vspace{0.3cm}
 \item[$\bullet$] Integração das metodologias: \vspace{0.3cm}
    \begin{itemize}
    \item[] Utilização da distância de Aitchison como medida de impureza e de qualidade preditiva na construção dos modelos.
    \end{itemize}\vspace{0.3cm}
 \item[$\bullet$] Seja $d(\b{Y}_k,\b{Y}_{k'})$ a distância de Aitchison calculada para duas composições $k$ e $k'$. \vspace{0.3cm}
 \item[$\bullet$] \textbf{Medida de impureza} de um nó $t (\phi_{Dis}(t))$:  \vspace{0.3cm} $$\phi_{Dis}(t)=\left( \dfrac{n_t(n_t-1)}{2} \right)^{-1}\sum_{k=1}^{n_t}\sum_{k<k'}d(\b{Y}_k,\b{Y}_{k^{'}})$$ %\\\vspace{0.3cm}
sendo $n_t$ o número de composições em $t$.
 \item[$\bullet$] \textbf{Medida de qualidade de predição}: %\\ \vspace{0.5cm} 
$$ \phi_{Dis}(\b{Y}^{*})=\sum_{k \subset t} \dfrac{d(\b{Y}^{*},\b{Y}_{k})}{n_t}.$$ %\\\vspace{0.3cm}
 \item[$\bullet$] Análise Fatorial: estimação das cargas fatorais e escores por componentes principais - mínimos quadrados ordinários com rotação varimax.\vspace{0.3cm} 
    \begin{itemize}
    \item[ ] Estimativas dos escores fatoriais incorporadas como \textbf{covariáveis} no modelo de regressão por árvores.
    \end{itemize}
\end{itemize}

\vspace{0.4cm}
\section{Resultados}
{\small
\begin{table}[htb]
\caption{Cargas fatoriais}
\label{tab:cargasfat}
\begin{tabular}{l|rrrc}\hline
Variável               &    F1     &     F2    &    F3    & Comunalidade \\\hline
Ph-CaCl$2$             &  $0,876$  &           &          &    $0,85$ \\   
Matéria orgânica       &           &  $-0,848$ &          &    $0,77$ \\
Fósforo                &           &  $-0,711$ &          &    $0,61$ \\
Potássio               &           &  $-0,531$ &          &    $0,36$ \\
Cálcio                 &  $0,806$  &           &          &    $0,82$ \\
Magnésio               &  $0,783$  &           &          &    $0,83$ \\ 
Hidrogênio+Alumínio    & $-0,873$  &           &          &    $0,79$ \\
Densidade global       &           &           &  $0,765$ &    $0,75$ \\ 
Densidade da partícula &           &           & $-0,807$ &    $0,68$ \\
Porosidade total       &           &           & $-0,965$ &    $0,98$ \\
Altura do terreno      &           &  $-0,681$ &          &    $0,70$ \\ \hline 
Var. Acum              &  $ 0,29$  &    $0,52$ &  $0,74$  &           \\\hline 
\end{tabular}
\end{table}}

%\begin{figure}[H]%!htb
%\vspace{-1.5cm}
%\centering
%%\includegraphics[height=5cm,width=12cm, viewport=70 310 580 580,clip]{graf1}
%\centering
% \includegraphics[height=18cm,width=18cm]{Pgraf1.pdf}
%\vspace{-0.8cm}
%\caption{Curva de custo-complexidade.}
%\label{fig:custo}
%\end{figure}

\begin{figure}[!htb]
\vspace{-2cm}
\centering
%\includegraphics[height=6.2cm,width=10cm,scale=0.3,viewport=60 70 500 590 ]{arvore}
\includegraphics[height=20cm,width=20cm]{ParvoreOpe.pdf}
\vspace{-5cm}
\caption{Árvore de regressão.}
\label{fig:arvore}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\vspace{-2.08cm}
\centering
%\includegraphics[height=4.5cm,width=10cm,viewport=50 310 550 550]{graf3}
\includegraphics[height=16cm,width=16cm]{Pgraf3.pdf}
\vspace{-1cm}
\caption{Gráfico de dispersão dos escores fatoriais para o segundo e terceiro fatores.}
\label{fig:digdis}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\vspace{-3cm}
\centering
\includegraphics[width=16cm, height=16cm]{Pgraf4.pdf}
%\includegraphics[height=7cm,width=12cm,viewport=100 210 550 550]{graf4}
\vspace{-1.4cm}
\caption{Diagrama ternário das porcentagens de areia, silte e argila.}
\label{fig:ternario}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\vspace{-5.5cm}
\centering
\includegraphics[width=18cm, height=18.5cm]{Pgraf5.pdf}
\vspace{-1.6cm}
\caption{Composição média segundo os nós.}
\label{fig:barras}
\end{figure}

%\vspace{-6cm}
%\begin{figure}[H]
%\centering
%\includegraphics[width=18cm, height=18cm]{Pgraf6}
%%\includegraphics[width=11cm, height=11cm, bb= 50 100 550 550]{graf6}
%\vspace{-1.4cm}
%\caption{Localização espacial dos pontos amostrais em que os símbolos representam os grupos de frações granulométricas identificados pela análise}
%\label{fig:localização}
%\end{figure}

\vspace{-0.6cm}
{\footnotesize
\begin{table}[htb]
\caption{Resultados}
\label{tab:conclusao}
\vspace{-0.2cm}
\begin{tabular}{l|ll}\hline
Nó  \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} Técnica             &\hspace{-0.3cm} Descrição do nó \\\hline
$3$ \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} AF    &\hspace{-0.3cm} Menos matéria orgânica, menos fósforo e menos potássio e áreas\\ 
    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm}       &\hspace{-0.3cm}  com menores alturas. \\
    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} CART  &\hspace{-0.3cm} Solos argilosos, mais silte do que areia.\\\hline

$5$ \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} AF    &\hspace{-0.3cm} Elevada densidade global, reduzidas densidade de\\
    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm}       &\hspace{-0.3cm} partícula e porosidade total.\\
    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} CART  &\hspace{-0.3cm} Solos pouco argilosos, areia, silte e argila equilibrados\\\hline

$6$ \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} AF    &\hspace{-0.3cm} Mais matéria orgânica, fósforo, potássio e áreas com\\
    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm}       &\hspace{-0.3cm}  maiores alturas. Reduzida densidade global,  \\
    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm}       &\hspace{-0.3cm} elevadas densidade de partícula e porosidade total. \\
    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} CART  &\hspace{-0.3cm} Composição intermediária. \\\hline

$7$ \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} AF    &\hspace{-0.3cm} Menos 
matéria orgânica, menos fósforo, menos potássio e áreas \\
    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm}       &\hspace{-0.3cm} com menores alturas.\\
    \hspace{-1cm}&\hspace{-0.3cm} CART  &\hspace{-0.3cm} Mais argila e menos areia que nó $6$.\\\hline
\end{tabular}
\end{table}}

\vspace{-1.3cm}
\section{Conclusão}\vspace{0.1cm}
Resultados produzidos permitiram identificar propriedades do solo associadas às composições, estabelecendo hierarquia entre as variáveis físico-químicas na explicação das frações granulométricas.

%%% References

%% Note: use of BibTeX als works!!
\vspace{-0.5cm}
\section*{Referências Bibliográficas}
\begin{flushleft}
{\small
{AITCHISON, J. \textbf{The statistical analysis of compositional data}. New Jersey: The Blackburn Press, $1986$, $416$~p.}
\vskip 5mm

{BREIMAN, L.; FRIEDMAN, J. H.; OLSHEN, R. A.; STONE, C. J. \textbf{Classification and regression trees}. California: Wadsworth International Group, $1984$. $358$p.}
 \vskip5mm

%{BUTLER, A.; GLASBEY, C. A latent Gaussian model for compositional data with zeros. \textbf{Journal of the Royal Statistical Society}, \textbf{Series C} (in press), $2008$. Disponível em: {\scriptsize  $<$http:$//$www.bioss.ac.uk$/$staff$/$adam$/$documents$/$ButlerGlasbey\_ resubmit.pdf$>$}. Acesso em: $13/02/08$.}
%\vskip5mm

%{GONÇALVES, A. C. A. \textbf{Variabilidade espacial de propriedades físicas do solo para fins de manejo da irrigação}. 1997. $119$p. Tese (Doutorado em Agronomia) - Escola Superior de Agricultura ``Luiz de Queiroz"\,. Universidade de São Paulo, Piracicaba.}
\vskip 5mm

{OBAGE, S. C. \textbf{Uma análise bayesiana para dados composicionais}. $2007$. $69$p. Dissertação (Mestrado em Estatística) - Universidade Federal de São Carlos, São Carlos.}
 \vskip 5mm

{PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R. A. \textbf{Geostatistical analysis of compositional data}. New York: Oxford University Press, Inc., $2004$.}
\vskip 5mm

{TACONELI, C. A. \textbf{Árvores de classificação multivariadas fundamentadas em coeficientes de dissimilaridade e entropia}. $2008$. $99$p. Tese (Doutorado em Estatística e Experimentação Agronômica) – Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”, Universidade de São Paulo, Piracicaba.}
 \vskip 5mm

{TJELMELAND, H.; LUND, K. V. Bayesian modelling of spatial compositional data. \textbf{Journal of Applied Statistics}, v.$30$, n.$1$, p.$87$–$100$, $2003$.}
\vskip 5mm

%{WALVOORT, D. J. J.; GRUIJTER, J. J. Compositional kriging: A spatial interpolation method for compositional data. \textbf{Mathematical Geology}, v.33, n.8, p. 951-966, nov $2001$.}
\vskip 5mm
}
\end{flushleft}

\end{multicols}

\end{document}



