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\begin{document}
\title{Análise de Dados Composicionais Via Árvores de Regressão}
\author{Ana Beatriz Tozzo Martins - PPGMNE/UFPR - DES/UEM \\
Cesar Augusto Taconeli - DEST/UFPR\\
Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR\\
Antônio Carlos Andrade Gonçalves - UEM}
\date{}
\maketitle

%#############
% RESUMO
%#############
\section*{Resumo}
Dados composicionais consistem de vetores (composições), cujos componentes são frações e satisfazem a restrição de soma 1. Técnicas estatísticas convencionais podem levar a resultados inconsistentes na análise deste tipo de dados. Neste sentido, a proposição de extensões dos métodos estatísticos usuais de maneira a permitir a análise de composições torna-se imprenscidível. Tais extensões são possíveis, por exemplo, mediante a transformação razão log-aditiva. Árvores de regressão permitem a modelagem de uma variável resposta numérica por meio de um conjunto de covariáveis e de suas interações, sem impor restrição paramétrica aos dados. Propõe-se a modelagem dos dados composicionais por meio de árvores de regressão considerando a distância de Aitchison como medida de impureza e de qualidade preditiva na construção dos modelos. Esta proposta é fundamentada em adaptações do algoritmo de árvores de classificação multivariadas construídas a partir de coeficientes de dissimilaridades. Como exemplo de aplicação utilizou-se dados de areia, silte e argila e covariáveis relacionadas às propriedades físico-químicas do solo provenientes de um trabalho conduzido no campo experimental da ESALQ-USP. O trabalho foi realizado utilizando recursos de \textit{software} livre em ambiente operacional GNU/Linux; no ambiente estatístico R, utilizando o pacote \textit{compositions} e rotinas específicas. Os resultados permitiram identificar propriedades do solo associadas às composições, estabelecendo uma hierarquia entre as variáveis físico-químicas na explicação das frações granulométricas.

\vspace{-0.7cm}

%#############
% INTRODUÇÃO
%#############
\section*{Introdução}

\par Este estudo é motivado pelo interesse em caracterizar frações granulométricas do solo, definindo grupos e áreas de homogeneidade e investigando a relação dessas com outros atributos do solo. Do ponto de vista metodológico, de forma geral, o interesse está em combinar e conciliar na modelagem os aspectos de que as variáveis resposta são proporções das frações de solo, a distribuição espacial e as relações com potenciais covariáveis, incluindo ainda o uso de algoritmos de classificação e regressão no auxílio da caracterização do solo. Pretende-se assim, combinar a teoria de dados composicionais com análise geoestatística e algoritmos de classificação e regressão.

\par A análise de dados composicionais foi introduzida nos anos $80$ por Aitchison ($1982$) e é aplicada nas ciências agrárias, geologia entre outras onde este tipo de dados ocorre com frequência. Dados composicionais consistem de vetores, denominados composições, cujos componentes $Y_1,...,Y_B$ representam frações de algum ``todo"\, e satisfazem a restrição de que a soma dos componentes é igual a $1$ (AITCHISON, $1986$), ou seja,
$$Y_1 \geq 0,Y_2 \geq 0,...,Y_B \geq 0,$$ 
\vspace{-0.3cm}
e
\vspace{-0.3cm}
$$  Y_1 + Y_2 +\cdots+Y_B =1.  $$
%\begin{eqnarray}
%       Y_1 + Y_2 +\cdots+Y_B =1. 
%\label{eq:soma1} 
%\end{eqnarray}

\par O espaço amostral é o simplex unitário de dimensão igual ao número de componentes dado por
$$ \mathbb{S}^B = \{ \b{Y} \in \mathbb{R}^B;\,\, Y_i > 0, \,\, i=1,...,B;\,\, \b{j}'\b{Y}=1 \},$$
sendo $\b{j}'$ um vetor com elementos iguais a $1$.  

\par Um vetor $\b{W}$ cujos componentes são positivos e medidos na mesma escala denomina-se base e pode se tornar uma composição através do operador fechamento $\mathcal{C}$ que garante que a restrição de soma igual a $1$ seja satisfeita:
$$
\begin{array}{cccl}
\mathcal{C} \ : & \! \mathbb{R}^B_+ & \! \longrightarrow & \mathbb{S}^B                                                               \\
                & \! \b{W}   & \! \longrightarrow & \mathcal{C}\big(\b{W}\big)=\dfrac{\b{W}}{\b{j}'\b{W}}.
\end{array}
$$

\par Neste espaço amostral, o simplex, as operações matemáticas de soma e multiplicação definidas no espaço real equivalem às operações pertubação 
$$ \b{Y}_1 \oplus \b{Y}_2 = (Y_{11},Y_{12},...,Y_{1B}) \oplus (Y_{21},Y_{22},...,Y_{2B}) = \mathcal{C}(Y_{11}Y_{21},Y_{12}Y_{22},...,Y_{1B}Y_{2B}),$$ 
e potência 
$$ \alpha \odot (Y_{11},Y_{12},...,Y_{1B}) = \mathcal{C}(Y_{11}^{\alpha},Y_{12}^{\alpha},...,Y_{1B}^{\alpha}),$$
respectivamente, e a média passa a ser a média geométrica $g(\b{Y}_1)= \sqrt[B]{\prod_{j=1}^B Y_{1j}}$.

\par Uma característica desse tipo de dados é que a restrição de que a soma dos componentes deve ser igual a $1$ implica em correlação negativa entre os componentes fazendo com que as correlações não sejam diretamente interpretáveis (GRAF, 2006). Neste sentido Aitchison (1986) propôs, dentre outras, a transformação razão log-aditiva (ALR) que generaliza a transformação logística para um vetor composicional de duas partes e é dada por:
$$
\begin{array}{cccl}
\text{ALR} \ : & \! \mathbb{S}^B  & \! \longrightarrow &  \mathbb{R}^{B-1}                                                              \\
               & \! \b{Y}  & \! \longrightarrow &  \text{ALR} \big(\b{Y}\big)=\left(\text{ln}\left(\dfrac{Y_1}{Y_B}\right),
                                                                                     \dots,
                                                                                     \text{ln}\left(\dfrac{Y_{B-1}}{Y_B}\right)
                                                                                     \right)'.
\end{array}
$$
\par Então, acrescentando às operações definidas anteriormente, o produto interno
$$<\b{Y}_1,\b{Y}_2 > =  \sum_{i=1}^{B} \text{ln}\left(\dfrac{Y_{1i}}{g(\b{Y}_1)}\right)\text{ln}\left( \dfrac{Y_{2i}}{g(\b{Y}_2)}\right)$$
tem-se uma estrutura de espaço Euclidiano real para o simplex. Este produto interno induz uma distância (entendida, por exemplo, como grau de alteração) no simplex, denominada distância de Aitchison, usada para calcular a distância ou diferença entre duas composições e útil para entender a variabilidade dentro de um conjunto de dados:
$$ d(\b{Y}_1,\b{Y}_2)=\sqrt{\sum_{i=1}^B \left(
\text{ln}\left(
               \dfrac{Y_{1i}}{g(\b{Y}_1)}
        \right)-
\text{ln}\left(
               \dfrac{Y_{2i}}{g(\b{Y}_2)}
        \right)           
                                         \right)^2 }.$$
\vspace{-1cm}
\par A representação gráfica de uma amostra de composições pode ser feita através do diagrama ternário, por exemplo no caso em que $B=3$, um triângulo equilátero cujos vértices representam os três componentes da composição (BUTLER, $2008$). 

%#############
% LINK
%#############
\par  A teoria de dados composicionais vêm sendo estudada e apresentada na literatura sob diferentes abordagens. Aitchison (1986) apresenta esta teoria considerando a independência entre as observações (composições), Pawlowsky-Glahn e Olea (2004) acrescentam a esta teoria o efeito espacial, Obage (2005) faz inferência bayesiana de dados
composicionais sem considerar o efeito espacial e Tjelmeland e Lund (2003) tratam do aspecto da inferência bayesiana espacial. Nossos desenvolvimentos visam combinar estas abordagens sob a perspectiva da teoria de árvores de classificação e regressão e a contribuição desta para a análise de dados composicionais.

\par Árvores de classificação e regressão (Classification And Regression Trees – CART - BREIMAN et al., $1984$) permitem a explicação de uma variável categorizada (classificação) ou numérica (regressão) com base em um conjunto de covariáveis e das eventuais interações entre as mesmas. Tais técnicas destacam-se por serem flexíveis, não impondo qualquer restrição paramétrica às variáveis sob estudo, e versáteis, dadas suas aplicações como complemento ou alternativa a diversos procedimentos estatísticos. A extensão do CART para a análise de dados multivariados (SEGAL, $1992$; ZHANG, 1998; De'ATH, 2002; LEE, 2005) permite modelar conjuntamente duas ou mais variáveis respostas, mediante a definição de medidas de heterogeneidade e de qualidade preditiva adequadas. Taconeli (2008) propõe a construção de árvores de classificação multivariadas fundamentadas em coeficientes de dissimilaridades. 

\par Propõe-se, no presente trabalho, modelar dados composicionais via CART segundo proposta apresentada em Taconeli ($2008$), considerando a distância de Aitchison, aplicável na análise de dados desta natureza, no lugar dos coeficientes de dissimilaridades originalmente formulados. 

\vspace{-0.5cm}

%##############
% METODOLOGIA
%##############
\section*{Metodologia}

\par Os dados analisados são provenientes de Gonçalves ($1997$) cujo trabalho foi conduzido no campo experimental de irrigação do Departamento de Engenharia Rural da Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (ESALQ-USP) situado nas coordenadas $22^{\text{o}}42$' de latitude sul, longitude oeste de $47^{\text{o}}38$' e altitude média de $546$ m acima do nível do mar. Esta área em estudo consistiu de um quadrante irrigado por um sistema pivô-central, com declividade média de aproximadamente $2$\% na sua direção bissetriz. Esse quadrante correspondeu ao topo da encosta onde foi instalado o pivô. Construiu-se uma malha quadrada ou grade de amostragem de $20$ em $20$ m onde foram analisadas 81 amostras de solo e medidos os percentuais de areia, silte e argila, além dos valores de  ph-CaCl$2$, matéria orgânica, fósforo, potássio, cálcio, magnésio, hidrogênio+alumínio, densidade global, densidade da partícula, porosidade total e cota (altura do terreno).

\par O algoritmo proposto para a análise de dados composicionais via CART é semelhante ao apresentado em Breiman et al. ($1984$), baseado na extensão multivariada proposta em Taconeli ($2008$), diferindo apenas quanto às medidas de impureza e de qualidade preditiva empregadas. Inicialmente, seja $d(\b{Y}_k,\b{Y}_{k^{'}})$ o resultado da distância de Aitchison, calculado a partir dos vetores correspondentes às composições de duas amostras de solo $k$ e $k^{'}$. Utiliza-se como medida de impureza para $n_t$ elementos que constituem um nó $t$ a distância média entre tais elementos, ou seja,
$$\phi_{Dis}(t)=\left( \dfrac{n_t(n_t-1)}{2} \right)^{-1}\sum_{k=1}^{n}\sum_{k<k'}d(\b{Y}_k,\b{Y}_{k^{'}})$$
servindo como base para a partição dos nós e para a poda. 

\par Considere, ainda, $T$ uma árvore de regressão multivariada. Suponha que uma nova composição $\b{Y}^{*}$, independente daquelas utilizadas na construção de $T$, seja alocada a um nó $t \in T$. Seja $d_k^{*}$ a distância de $\b{Y}^{*}$ em relação a uma observação $k \subset t$. Considera-se como medida de qualidade da predição a distância média entre esta nova observação e as $n_t$ contidas em $t$, ou seja, 
$$ \phi_{Dis}(\b{Y}^{*})=\sum_{k \subset t} \dfrac{d(\b{Y}^{*},\b{Y}_{k})}{n_t}.$$

\par Dada a existência de elevadas correlações e o elevado número de covariáveis, decidiu-se aplicar antes uma análise fatorial (JOHNSON, $1998$), com o objetivo de compor um número reduzido de fatores interpretáveis capazes de conservar boa parte da variabilidade associada às variáveis originais. A  estimação das cargas fatoriais e dos escores, foi realizada pelo método das componentes principais usando o procedimento de mínimos quadrados ordinários com rotação varimax. A incorporação dos resultados produzidos pela análise fatorial ao modelo de regressão por árvore ocorreu ao considerar como covariáveis as estimativas dos escores fatoriais, em detrimento às variáveis originais. 

\par Todo o trabalho foi realizado utilizando recursos de \textit{software} livre em ambiente operacional GNU/Linux; no ambiente estatístico R (R development Core Team, $2008$), utilizando o pacote \textit{compositions} e rotinas desenvolvidas em Taconeli ($2008$).

\vspace{-0.5cm}

%#############
% RESULTADOS
%#############
\section*{Resultados}

\par O primeiro passo da análise consistiu na execução da análise fatorial, aplicada ao conjunto de $11$ covariáveis. Optou-se pela constituição de três fatores, uma vez que conjuntamente eles mostraram-se capazes de conservar $74$\% da variabilidade original. Na seqüência, os fatores obtidos foram caracterizados segundo suas cargas fatoriais. Dessa forma, os escores fatoriais tornam-se interpretáveis, viabilizando a utilização dos mesmos como covariáveis no modelo. A Tabela \ref{tab:cargasfat} apresenta as maiores cargas fatoriais e as comunalidades referentes aos três fatores sob estudo. Dentre todas as variáveis originais, apenas a quantidade de Potássio tem comunalidade inferior a $0,6$, indicando que as variáveis originais são bem representadas pelos três fatores. 

%############################
% TABELA DAS CARGAS FATORIAIS
%############################
\begin{table}[htb]
\centering
\caption{Cargas fatoriais}
\label{tab:cargasfat}
\begin{tabular}{l|rrrc}\hline
Variável               &    F1     &     F2    &    F3    & Comunalidade \\\hline
Ph-CaCl$2$             &  $0,876$  &           &          &    $0,85$ \\   
Matéria orgânica       &           &  $-0,848$ &          &    $0,77$ \\
Fósforo                &           &  $-0,711$ &          &    $0,61$ \\
Potássio               &           &  $-0,531$ &          &    $0,36$ \\
Cálcio                 &  $0,806$  &           &          &    $0,82$ \\
Magnésio               &  $0,783$  &           &          &    $0,83$ \\ 
Hidrogênio+Alumínio    & $-0,873$  &           &          &    $0,79$ \\
Densidade global       &           &           &  $0,765$ &    $0,75$ \\ 
Densidade da partícula &           &           & $-0,807$ &    $0,68$ \\
Porosidade total       &           &           & $-0,965$ &    $0,98$ \\
Altura do terreno      &           &  $-0,681$ &          &    $0,70$ \\ \hline 
Var. Acum              &  $ 0,29$  &    $0,52$ &  $0,74$  &           \\\hline 
\end{tabular}
\end{table}

\par As variáveis com maior carga fatorial no primeiro fator são o Ph-CaCl$2$, o cálcio e o magnésio (com cargas positivas) e hidrogênio+alumínio (negativa). A configuração das cargas indica correlação positiva entre as variáveis com cargas positivas, e correlação negativa dessas variáveis em relação a hidrogênio+alumínio. Amostras de solo com elevados escores para esse fator têm elevados Ph-CaCl$2$ e teor de cálcio e magnésio, em detrimento a uma reduzida quantidade de hidrogênio+alumínio. Já amostras com escores reduzidos têm características opostas às mencionadas. 

\par No segundo fator, aparecem com maiores cargas a matéria orgânica, o fósforo, o potássio e a altura do terreno, todas negativas, indicando correlação positiva entre essas quatro variáveis. Já no fator $3$ a densidade global se contrapõe à densidade de partícula e a porosidade total, por ter carga positiva, ao contrário das outras duas. A interpretação dos escores fatoriais das amostras de solo segundo os sinais das cargas fatoriais obtidas é realizada de maneira semelhante à descrita para o primeiro fator.

%  CURVA CUSTO (Figura 1)  E ARVORE (Figura 2)
%\begin{minipage}[b]{0.45\linewidth}
%\mbox{
\par O gráfico de custo complexidade apresentado na Figura \ref{fig:custo} indica, segundo a regra do ‘$1$ desvio padrão’ (BREIMAN et al., $1984$), a seleção da árvore com quatro nós finais. A referida árvore é apresentada na Figura \ref{fig:arvore}. Verifica-se que apenas os fatores $2$ e $3$ são responsáveis por partições, evidenciando a relação entre as variáveis associadas a estes fatores e as propriedades físico-químicas do solo. 

\begin{figure}[H]%!htb
\centering
\includegraphics[height=8cm,width=8cm]{graf1}
\vspace{-0.5cm}
\caption{Curva de custo-complexidade.}
\label{fig:custo}
\end{figure}

\vspace{1cm}

\begin{figure}[!htb]
\vspace{-2cm}
\centering
\includegraphics[height=13cm,width=13cm]{arvoreOpe}
\vspace{-3cm}
\caption{Árvore de regressão.}
\label{fig:arvore}
\end{figure}

% DIAGRAMA DE DISPERSÃO (Figura 3)
\par A Figura \ref{fig:digdis} apresenta o gráfico de dispersão para os escores fatoriais para o segundo e terceiro fatores (responsáveis por partições no modelo). Sua avaliação, conjugada à árvore de regressão obtida, permite interpretar as relações entre a composição do solo e as demais covariáveis consideradas. A Figura \ref{fig:ternario}, por sua vez, apresenta a disposição das $81$ composições de solo em um diagrama ternário. Nesse tipo de representação, quanto mais próxima uma composição estiver de um dos vértices do triângulo, maior a concentração do componente correspondente a esse vértice na referida composição. As cores dos pontos em cada um destes gráficos indicam o nó final da árvore em que cada composição foi alocada, de acordo com a configuração de cores adotada na árvore apresentada na Figura \ref{fig:arvore}.
%Pode-se observar que a variabilidade da razão argila/areia é maior que a variabilidade da razão silte/areia, assim como a variabilidade da razão argila/silte é maior que a variabilidade da razão areia/silte. As cores dos pontos em cada um destes gráficos indicam o nó final da árvore em que cada amostra de solo foi alocada.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[height=8cm,width=8cm,scale=0.8]{graf3}
\vspace{-1.3cm}
\caption{Gráfico de dispersão dos escores fatoriais para o segundo e terceiro fatores.}
\label{fig:digdis}
\end{figure}

\par Considerando-se as composições alocadas em cada um dos nós finais, calculou-se a média geométrica de cada componentes de modo que a composição média segundo os nós está representada na Figura \ref{fig:barras}.
% DIAGRAMA TERNARIO (Figura 4)
\begin{figure}[H]
\vspace{-0.4cm}
\centering
\includegraphics[height=7cm,width=7cm,scale=0.6]{graf4}
\vspace{-1cm}
\caption{Diagrama ternário das porcentagens de areia, silte e argila.}
\label{fig:ternario}
\end{figure}

% GRÁFICO COMPARATIVO (Figura 5)
\begin{figure}[H]
\vspace{-2cm}
\centering 
\includegraphics[width=8.5cm]{graf5}
\vspace{-1.5cm}
\caption{Distribuição da composição média segundo os nós.}
\label{fig:barras}
\end{figure}

\par A Figura \ref{fig:espacial} mostra a distribuição das coordenadas das amostras de acordo com o nó a que pertencem e permite levantar evidências quanto à possíveis padrões espaciais.
% GRÁFICO ESPACIAL (Figura 6)
\begin{figure}[H]
\vspace{-1.5cm}
\centering  %,scale=0.8
\includegraphics[width=8.5cm]{graf6}
\vspace{-1.5cm}
\caption{Localização espacial dos pontos amostrais em que os símbolos representam
os grupos de frações granulométricas identificados pela análise.}
\label{fig:espacial}
\end{figure}

\par A avaliação conjunta dos gráficos apresentados nas Figuras \ref{fig:digdis} e \ref{fig:ternario} e \ref{fig:barras} permite estudar as relações entre a composição do solo e as demais covariáveis consideradas. A Tabela \ref{tab:conclusao}  apresenta os principais resultados extraídos da análise fatorial e da árvore de regressão multivariada executadas.

\vspace{7cm}
% Tabela 2
\begin{table}[htb]
\centering
\caption{Resultados}
\label{tab:conclusao}
\begin{tabular}{l|ll}\hline
Nó  \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm} Técnica             &\hspace{-0.3cm} Descrição do nó \\\hline

$3$ \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm} Análise fatorial    &\hspace{-0.3cm} Menores quantidades de matéria orgânica, fósforo e potássio \\ 
    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm}                     &\hspace{-0.3cm} e áreas com menores alturas. \\
    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm} Árvore de regressão &\hspace{-0.3cm} Solos acentuadamente argilosos, com mais silte do que areia.\\\hline

$5$ \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm} Análise fatorial    &\hspace{-0.3cm} Elevada densidade global, em detrimento a reduzidas densi-\\
    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm}                     &\hspace{-0.3cm} dade de partícula e porosidade total.\\
    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm} Árvore de regressão &\hspace{-0.3cm} Solos pouco argilosos, nó em que as porcentagens de areia, \\
    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm}                     &\hspace{-0.3cm} silte e argila são mais equilibradas.\\\hline

$6$ \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm} Análise fatorial    &\hspace{-0.3cm} Maiores quantidades de matéria orgânica, fósforo e potássio \\

    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm}                     &\hspace{-0.3cm} e áreas com maiores alturas. Reduzida densidade global, em  \\  

    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm}                     &\hspace{-0.3cm} detrimento a elevadas densidade de partícula e porosidade \\

    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm}                     &\hspace{-0.3cm} total.  \\
    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm} Árvore de regressão &\hspace{-0.3cm} Composição intermediária.\\\hline
$7$ \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm} Análise fatorial    &\hspace{-0.3cm} Características semelhantes às do nó $6$, mas com menores \\

    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm}                     &\hspace{-0.3cm} quantidades de matéria orgânica, fósforo e potássio e áreas \\
    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm}                     &\hspace{-0.3cm} com menores alturas.\\
    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm} Árvore de regressão &\hspace{-0.3cm} Mais argila e menos areia que as amostras que compõem \\
    \hspace{-0.9cm}&\hspace{-0.3cm}                   &\hspace{-0.3cm} o nó $6$.\\\hline 
\end{tabular}
\end{table}

\vspace{-0.5cm}
%#############
% CONCLUSÃO
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\section*{Conclusão}

\par Os resultados produzidos até o momento permitiram identificar propriedades do solo associadas às composições, estabelecendo uma hierarquia entre as variáveis físico-químicas na explicação das frações granulométricas. Próximos passos incluem propostas para modelagem conjunta espacial, com implementações de predição bayesianas permitindo obter incertezas associadas às classificações. A metodologia deve ainda ser testada em dados adicionais da área de estudo considerada, bem como dados provenientes de estudos em outras áreas, a fim de se verificar a
aplicabilidade e generalidade da proposta. 

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% REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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\section*{Referências Bibliográficas}

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\end{document}
