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  }%
  \item[]}{\end{list}} 

 
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%\title{\textbf{MÉTODOS GEOESTATÍSTICOS BASEADOS EM MODELOS, APLICADOS A DADOS COMPOSICIONAIS NA CLASSIFICAÇÃO DE SOLOS}}
%\author[Ana Beatriz Tozzo Martins Orientador: Prof. Dr. Paulo Justiniano Ribeiro Jr.]{Ana Beatriz Tozzo Martins\\ Orientador: Prof. Dr. Paulo Justiniano Ribeiro Jr.}
%\author{Ana Beatriz Tozzo Martins\\ Orientador: Prof. PhD Paulo Justiniano Ribeiro Junior.}
%\author{Orientador: Prof. PhD Paulo Justiniano Ribeiro Jr. }

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\title[]{\textbf{MÉTODOS GEOESTATÍSTICOS BASEADOS EM MODELOS, APLICADOS A DADOS COMPOSICIONAIS NA CLASSIFICAÇÃO DE SOLOS}}
\author[Ana Beatriz Tozzo Martins]{Ana Beatriz Tozzo Martins\\ Orientador: Prof. PhD Paulo Justiniano Ribeiro Junior.}
\institute{PPGMNE - UFPR}
\date{\today}
\subject{alguma coisa}


\begin{document}
%\title{\textbf{DADOS COMPOSICIONAIS}}
%\author{Ana Beatriz Tozzo Martins \\
%\small{Orientador: Prof. Dr. Paulo Justiniano Ribeiro Jr. }}

\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

% Os comandos a seguir fazem aparecer antes de cada slide um índice com o título do slide em destaque.
%\AtBeginSection[]  % "Beamer, do the following at the start of every section"
%{
%\begin{frame}<beamer> 
%\frametitle{Dados Composicionais} % make a frame titled "Outline"
%\tableofcontents[currentsection]  % show TOC and highlight current section
%\end{frame}
%}	

\begin{frame}
% SLIDE 1: Título
   \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Roteiro de Apresentação}
 \begin{itemize}
  \item[1.] Introdução \vspace{0.3cm}
  \item[2.] Objetivo  \vspace{0.3cm}
  \item[3.] Revisão da literatura  \vspace{0.3cm}
         \begin{itemize}
            \item[3.1] Geoestatística \vspace{0.3cm}
            \item[3.2] Dados Composicionais \vspace{0.3cm}
         \end{itemize}
  \item[4.] Material e Métodos \vspace{0.3cm}
  \item[5.] Resultados Esperados \vspace{0.3cm}
  \item[6.] Cronograma.
 \end{itemize}
\end{frame}

%\section{Motivação}
\begin{frame}{Motivação}
% SLIDE 2: 
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
 \item Ciências da Terra: dados expressos como frações ou porcentagens.\vspace{0.4 cm}
 \item Exemplos: \vspace{0.3 cm}
      \begin{itemize}
      \item textura de solos; \vspace{0.3 cm}
      \item composição química de uma rocha; \vspace{0.3 cm}
      \item estruturas de dados resultantes de algoritmos de classificação.
      \end{itemize}
\end{itemize}
\vspace{0.3cm}
\begin{flushright}
Walvoort, D. J. J. e Gruijter, J.J. (2001).
\end{flushright}
\end{frame}

%\section{Introdução}
\begin{frame}{Introdução}
% SLIDE 3: 
%\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
 \item Dados de solo: areia, silte e argila. \vspace{0.2cm}
 \item Importância:
         \begin{itemize}
              \item[] combate à erosão;
              \item[] cultura a ser plantada;
              \item[] preservação do meio ambiente;
              \item[] manejo e uso do solo;
         \end{itemize}\vspace{0.2cm}
 \item Classificação do solo de acordo com a granulometria\\ (NBR 6502/95 da ABNT): \vspace{0.3cm}
\begin{itemize}\item[] 
                \begin{tabular}{lc}\hline
                  Classificação & Diâmetro dos Grãos (mm)  \\  \hline
                  Argila        & ($0;\,0,002$]            \\
                  Silte         & ($0,002;\,0,06$]         \\
                  Areia         & ($2,0;\,0,06$]           \\
                  Pedregulho    & ($60,0;\, 2,0$]          \\  \hline
                \end{tabular}
\end{itemize} \vspace{0.3cm}
 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Introdução}
% SLIDE 4: 
\vspace{1.5cm}
\begin{figure}[htbp]
%\includegraphics[width=5.0cm,bb= 0 50 350 300]{TFeret}
\includegraphics[width=1.5cm,bb= 100 100 200 200]{TFeret}
\vspace{1cm}
\caption{Tri\^{a}ngulo de Feret.}
\end{figure}
\end{frame}
%1.3-0.8

\begin{frame}{Introdução}
% SLIDE 5: 
%\vspace{1.7cm}
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=6cm,scale=2]{TriSolo1}
\vspace{-0.5cm}
\caption{Diagrama triangular simplificado, utilizado pela EMBRAPA, para a classificação textural do solo.}
\end{figure}
\end{frame}

%Schabenberger e Pierce(2001),
%\section{Tratamento Estatístico}
\begin{frame}{Tratamento Estatístico}
% SLIDE 6: 
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
 %\item[$\bullet$] \textbf{Estatística Espacial:} Matheron(1963), Cressie(1993); \vspace{0.2cm}
 \item \textbf{Geoestatística:} Diggle, Tawn e Moyeed (1998), Banerjee, Carlin e Gelfand (2004), Schmidt e Sansó (2006), e Diggle e Ribeiro Jr.(2007);\vspace{0.2cm}
 \item \textbf{Dados Composicionais:} Aitchison(1986);\vspace{0.2cm}
 \item \textbf{Análise Geoestatística de Dados Composicionais:} Pawlowsky-Glahn e Olea(2004).
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Objetivo Geral}
\begin{frame}{Objetivo Geral}
% SLIDE 7: 
Obter um modelo geoestatístico para dados composicionais de solo que sejam espacializados e multivariados e que compatibilize a estrutura de covariância induzida pelo modelo multivariado com a estrutura de covariância induzida pelo modelo de dados composicionais representando o resultado através de mapas de classificação de solo.
\end{frame}

%\section{Objetivos Específicos}
\begin{frame}{Objetivos Específicos}
% SLIDE 8: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Investigar formas alternativas à proposta de Pawlowsky-Glahn e Olea (2004);
\item[$\bullet$] Construir um modelo em que as dependências espacial e entre variáveis sejam consideradas na obtenção de uma função de covariância válida;
\item[$\bullet$] Derivar métodos de inferência baseados em verossimilhança para a estimação dos parâmetros desconhecidos do modelo;
\item[$\bullet$] Adequar métodos bayesianos aos parâmetros do modelo;
\item[$\bullet$] Desenvolver recursos computacionais livres para análise de dados composicionais;
\item[$\bullet$] Elaborar mapas temáticos de modelos composicionais de solo em estudo de caso.
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Revisão da Literatura}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Modelo Geoestatístico Gaussiano}
% SLIDE 9: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Dados $y_1,y_2,...,y_n$ nas localizações $\b{$x$}_1,\b{$x$}_2,...,\b{$x$}_n$  em uma região $A\subset\mathbb{R}^2$ relacionados ao sinal $S(\b{$x$});\,\b{$x$}\in\mathbb{R}^2$; \vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] $y_i$ é uma realização de $Y_i=Y(\b{$x$}_i)$ onde $Y_i$ é uma versão ruído de $S(\b{$x$}_i)$;\vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] O delineamento amostral será tal que $\b{$x$}_1,\b{$x$}_2,...,\b{$x$}_n$ sejam fixos ou estocasticamente independentes de $Y(\b{$x$}_1),Y(\b{$x$}_2),...,Y(\b{$x$}_n)$;\vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] Modelo geoestatístico:
$$[S(\b{$x$}),Y(\b{$x$})]=[S(\b{$x$})][Y(\b{$x$})|S(\b{$x$})];$$
A distribuição do delineamento amostral $\{\b{$x$}_1,\b{$x$}_2,...,\b{$x$}_n\}$ é assumido independente de $S(\b{$x$})$ \,e\, $Y(\b{$x$})$.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Modelo Geoestatístico Gaussiano}
% SLIDE 10: 
\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] $Y_i$ o valor observado na localização $\b{$x$}_i$; \vspace{0.2cm} 
\item[$\bullet$] $S(\b{$x$}) \sim N(\mu;\,\sigma^2)$ -  processo gaussiano estacionário; \\ \vspace{0.4cm} 
\item[$\bullet$] Função de correlação: $\rho(u_{ij})=Corr[S(\b{$x$}_i),S(\b{$x$}_j)]$, \,\\ \vspace{0.2cm}
  \hspace{4cm}$u_{ij}=\| \b{$x$}_i-\b{$x$}_j\|$, $i,j=1,...,n$  \\ \vspace{0.4cm} 
%definida como:
%$$\rho(u)=\dfrac{\gamma(u)}{\sigma^2},$$
%simétrica em $u$, ou seja, $\rho(u)=\rho(-u)$.\vspace{0.2cm}
\begin{flushright}
Diggle, Ribeiro Jr e Christensen (2003)
\end{flushright}
\end{itemize}
\end{frame}

%$Y_i=\mu(\b{$x$}_i)+S(\b{$x$}_i)+Z_i

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Modelo Geoestatístico Gaussiano}
% SLIDE 11: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $Y_i=S(\b{$x$}_i)+Z_i \hspace{1 cm} i=1,...,n$ \\ \vspace{0.2cm} 
 $Z_i \sim N(0;\tau^2)$ erros aleatórios independentes de $S(\b{$x$})$; \vspace{0.4cm}
\item[$\bullet$] $\b{Y} \sim N_n(\mu \b{1}; \sigma^2\mathbf{R}+\tau^2\mathbf{I})$ \vspace{0.2cm}
      \begin{itemize}
         \item[] \b{$1$} vetor com $n$ elementos iguais a $1$,
         \item[] $\mathbf{R}$ matriz de ordem $n\times n$ com elementos $\rho(u_{ij})$ e
         \item[] $\textbf{I}$ matriz identidade de ordem $n\times n$.
       \end{itemize}\vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] Reparametrização\, $\nu^2=\dfrac{\tau^2}{\sigma^2}\, \Rightarrow \, \b{$Y$}\sim N_n(\mu \b{1};\,\sigma^2 \textbf{V})$  %onde  $\textbf{V}=\textbf{R} +\nu^2 \textbf{I},$ 
\begin{flushright}
Diggle, Ribeiro Jr (2007)
\end{flushright}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Componentes do Modelo}
% SLIDE 12: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{Estacionariedade}: distribuição espacial de $S(\b{$x$})$ invariante sob translação das coordenadas, média e variância constantes em $A$ e não dependem da localização $\b{$x$}$.\vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] \textbf{Isotropia}: covariância depende somente da distância entre dois pontos e não da direção nos quais estão separados.\vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] $\rho(u)$ \, $\Rightarrow$ \, suavidade do processo $S(\b{$x$})$ \, $\Rightarrow$ \, grau de diferenciabilidade.
%$$
%S(\b{x}) \left\{
%\begin{array}{l}
%\hspace{-0.2cm}\text{quadrado-médio contínuo} \Leftrightarrow \rho(u)\, \text{é contínuo em}\, u=0\\
%\hspace{-0.2cm}k\, \text{vezes quadrado-médio dif.} \Leftrightarrow \rho(u)\, \text{é ao menos}\, 2k\,\\ \hspace{5cm}\text{vezes dif. em}\, u=0 
%\end{array}
%\right.
%$$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Componentes do Modelo}
% SLIDE 13: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Função de correlação de Matérn:\\
 $$\rho(u,k,\phi)=\dfrac{1}{2^{k-1}\Gamma(k)}\left( \dfrac{u}{\phi}\right)^k K_k\left( \dfrac{u}{\phi}\right)$$
     \begin{itemize}
     \item[$\bullet$] $K_k(\cdot)$: função de Bessel modificada de ordem $k$; \vspace{0.3cm}
     \item[$\bullet$] $\phi>0$ parâmetro de escala associado ao alcance; \vspace{0.3cm} 
     \item[$\bullet$] $k>0$ medida da diferenciabilidade do processo $S(\b{$x$})$\\
                      \hspace{1cm} $\{0,5;\,1,5;\,2,5\}$; \vspace{0.3cm} 
     \item[$\bullet$] Amplitude prática: distância $u_0$ no qual $\rho(u_0)=\alpha$ e\\
                      \hspace{2.7cm} $\{3\phi;\, 4,75\phi;\, 5,92\phi \};$
 
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Componentes do Modelo}
% SLIDE 14: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Função de correlação de Matérn:\\
    \begin{itemize}
    \item[$\bullet$] $
               \left\{ \begin{array}{l}
                             k=0,5 \,\,\Rightarrow \,\, \rho(u)=\text{exp}(-u/\phi) 
                             \\
                             k\rightarrow \infty\,\,\Rightarrow \rho(u)= \text{exp} \left\{-(u/\phi)^2 \right\}.
                       \end{array}
               \right.$
    \end{itemize} \vspace{0.4cm}
\item[$\bullet$] Não estacionariedade na média: $\mu(\b{$x$})=\beta_0+\sum_{j=1}^p \,\beta_jd_j(\b{$x$})$\\\vspace{0.3cm}
 $d_j(\b{$x$})$ variáveis explanatórias espaciais dependentes ou não das coordenadas; \vspace{0.4cm}
\item[$\bullet$] Efeito Pepita: $\tau^2=Var(Z_i)= \text{EM}+\text{VME}$ \\
                 \begin{itemize}
                 \item[] \hspace{1.5cm}EM : Erro de medida
                 \item[] \hspace{1.5cm}VME: Variação de pequena escala
                 \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Revisão da Literatura}
%\begin{frame}{Revisão da Literatura - Componentes do Modelo}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] Transformação Box \& Cox (1964):\\ \vspace{0.5cm}
%$
%Y^*= \left\{
%\begin{array}{lcl}
%\dfrac{Y^{\lambda}-1}{\lambda} &,&  \lambda \neq 0 \\
%\end{array}
%     \right.
%$
%\\ \vspace{0.6cm}
%$
%\begin{array}{lcl}
%\lambda=1,0   & : & \text{Sem transformação}               \\
%\lambda=0,5   & : & \text{Transformação raiz quadrada}     \\
%\lambda=1,5   & : & \text{Transformação logarítmica}       \\
%\lambda=-1,0  & : & \text{Transformação recíproco.}
%\end{array}
%$
%\end{itemize}
%\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Estimação de parâmetros do Modelo}
% SLIDE 15: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Tendência: Método dos Mínimos Quadrados\\ \vspace{0.1cm}
      \hspace{2cm}$ \hat{\b{$\beta$}}=(\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\textbf{D})^{-1}\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$}$\vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] Método da Máxima Verossimilhança: \vspace{0.2cm}
    \begin{itemize}
    \item[$\bullet$] $\b{$Y$}\sim N_n(\textbf{D}\b{$\beta$};\,\sigma^2\textbf{R} +\tau^2 \textbf{I})$\\\vspace{0.4cm}
          \hspace{0cm}   $\textbf{D}$ matriz $n\times p$ de covariáveis;\\ \vspace{0.2cm}
          \hspace{0cm}   $\b{$\beta$}$  vetor de parâmetros da regressão;\\\vspace{0.2cm}
          \hspace{0cm}   $\textbf{R}$ depende de $\phi$ e $k$ 
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Estimação de parâmetros do Modelo}
% SLIDE 16: 
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Método da Máxima Verossimilhança\\ \vspace{0.2cm}
                 %\begin{itemize} \item[$\bullet$] 
%Função de Verossimilhança de \b{$Y$}:
%\begin{eqnarray*}
%L(\b{$Y$}) & = & \dfrac{(2\pi)^{-n/2}                                 }
%                     {|\sigma^2\textbf{R} +\tau^2 \textbf{I}|^{1/2} }\cdot\\
%            &  & \hspace{0.5 cm}{}   \text{exp}\{-\frac{1}{2}
%                                     \left(\b{$Y$}-\textbf{D}\b{$\beta$}\right)'
%                                     \left(\sigma^2\textbf{R} +\tau^2 \textbf{I}\right)^{-1}
%                                     \left(\b{$Y$}-\textbf{D}\b{$\beta$}\right)
%                         \} 
%\end{eqnarray*} \\
                                 %\item[$\bullet$] 
Função de log-verossimilhança 
     \begin{eqnarray*}
     l(\b{$\beta$},\sigma^2) & = &-\dfrac{1}{2}\{
                                      n\,log(2\pi)+
                                      log(|\sigma^2\textbf{V}|)+{} \nonumber \\ 
                  &   & \hspace{0.5 cm}{}
                                         \dfrac{1}{\sigma^2}
                                          [\b{$Y$}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$}-2\b{$Y$}'\textbf{V}^{-1}\textbf{D}\b{$\beta$}+
                                           \b{$\beta$}'(\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\textbf{D})\b{$\beta$}
                                          ]
                                     \}
    \end{eqnarray*}
                %\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Estimação de parâmetros do Modelo}
% SLIDE 17: 
\begin{itemize}
       \item[$\bullet$]$\hat{\b{$\beta$}} = (\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\textbf{D})^{-1}\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$}$\vspace{0.4cm}
       \item[$\bullet$]$\hat{\sigma}^2 = n^{-1}\left[(\b{$Y$}-\textbf{D}\hat{\b{$\beta$}})'
                                                     \textbf{V}^{-1}(\b{$Y$}-\textbf{D}\hat{\b{$\beta$}})\right]$
                                                                                    \vspace{0.4cm}
       \item[$\bullet$] Log-verossimilhança concentrada:\\\vspace{0.3cm}
$
l_0(\nu^2,\phi,k)=-\dfrac{1}{2}\left\{n\,log(2\pi)+n\,log\left(\hat{\sigma}^2\right)+log|\textbf{V}|+n\right\}
$
\end{itemize}
\end{frame}

% $\hat{T}=t(\b{$Y$}),$\\ \vspace{0.1cm}
%                          $\text{EQM}(\hat{T})$ $\rightarrow$ $\hat{T}=E[T|\b{Y}]$\,\ e
%                          $E[(T-\hat{T})^2]\leq Var[T]$ 

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Predição Linear Espacial}
% SLIDE 18: 
\begin{itemize}
  \item[$\bullet$] $\b{S}\sim N_n(\mu \b{1};\,\sigma^2\textbf{R})$;\,\,\,$\b{$Y$}\sim N_n(\mu \b{1};\,\sigma^2 \textbf{V});$ \\ \vspace{0.2cm}
  \item[$\bullet$] Preditor pontual de $T$: $\hat{T}=E(T|\b{Y})$;\\ \vspace{0.2cm}
  \item[$\bullet$] $T=S(\b{$x$})$\,\,$\Rightarrow$\,\, $[S(\b{$x$}),\,\b{$Y$}]$ \\ \vspace{0.2cm}
 \begin{itemize}
           \item[$\bullet$] $\hat{T} =\mu +\b{$r$}'\textbf{V}^{-1} (\b{$Y$}-\mu\b{$1$})$;\\ \vspace{0.2cm}
           \item[$\bullet$] $Var[T|\b{Y}] = \sigma^2 + (1-\b{r}'\textbf{V}^{-1}\b{r}).$  \\ \vspace{0.2cm} 
          \end{itemize}
  \item[$\bullet$] $\hat{S}(\b{$x$}_0)=\{ 1-\sum_{i=1}^{n}a_i(\b{$x$}_0)\}\mu+\sum_{i=1}^{n}a_i(\b{$x$}_0)Y_i$

\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Krigagem }
% SLIDE 19: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Krigagem ordinária: \\\vspace{0.5cm}
     \begin{itemize}
        \item[$\bullet$] $\hat{T}=\hat{S}(\b{$x$})=\sum_{i=1}^{n}\, a_i(\b{$x$})Y_i$; \hspace{0.4cm} $\sum_{i=1}^{n}\, a_i(\b{$x$})=1$;\\\vspace{0.5cm}
        \item[$\bullet$] $\hat{\mu}=(\b{$1$}'\textbf{V}^{-1}\b{$1$})^{-1}\b{$1$}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$}$;\\\vspace{0.5cm}
        \item[$\bullet$]$\hat{T}= (\b{$1$}'\textbf{V}^{-1}\b{$1$})^{-1}\b{$1$}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$} +
           \b{$r$}'\textbf{V}^{-1}
           \left[\b{$Y$}-(\b{$1$}'\textbf{V}^{-1}\b{$1$})^{-1}\b{$1$}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$}\right].$
      \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Inferência Bayesiana para Predição Espacial}
% SLIDE 20: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\b{$\theta$}=[\b{$\beta$},\sigma^2,\phi,\tau^2]$ e $p(\b{$Y$}=\b{$y$}|\b{$\theta$})$; 
                                                                                \\\vspace{0.4cm}
\item[$\bullet$] $\b{$Y$}\sim NM(\textbf{D}\b{$\beta$};\,\sigma^2\textbf{R} +\tau^2 \textbf{I})$;
                                         \\\vspace{0.3cm}
\item[$\bullet$] Função de Verossimilhança: 
\begin{eqnarray*}
 L(\b{$\theta$}|\b{$Y$}) & \propto & |\sigma^2\textbf{R}+\tau^2 \textbf{I}|^{-\frac{1}{2}}\cdot\\
                          &  &  \hspace{0.5cm} {}        \text{exp}\{-\frac{1}{2}
                                             \left(\b{$Y$}-\textbf{D}\b{$\beta$}\right)'
                                             \left(\sigma^2\textbf{R} +\tau^2 \textbf{I}\right)^{-1}
                                             \left(\b{$Y$}-\textbf{D}\b{$\beta$}\right)
                                             \}. 
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Inferência Bayesiana para Predição Espacial}
% SLIDE 21: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Teorema de Bayes: $p(\b{$\theta$}|\b{$Y$}) \propto p(\b{$\theta$})\,p(\b{$Y$}|\b{$\theta$})$ \\\vspace{0.4cm}
\item[$\bullet$] Distribuição \textit{posteriori}:\\
\begin{eqnarray*}
 p(\b{$\beta$},\sigma^2,\phi,\tau^2|\b{$Y$})&\hspace{-0.6cm}\propto\hspace{-0.6cm}& p(\b{$\beta$},\sigma^2,\phi,\tau^2)
                                                             |\sigma^2\mathbf{R} +\tau^2 \textbf{I}|^{-\frac{1}{2}}\hspace{-0.2cm}\cdot\\
                                                    &&  {}\hspace{-0.3cm} \text{exp}\left\{-\frac{1}{2}
                                                                        \left(\b{$Y$}-\textbf{D}\b{$\beta$}\right)'
                                                                        \left(\sigma^2\textbf{R} +\tau^2 \textbf{I}\right)^{-1}
                                                                        \left(\b{$Y$}-\textbf{D}\b{$\beta$}\right) 
                                                                       \right\}
\end{eqnarray*}
\item[$\bullet$] Distribuição preditiva dos parâmetros do modelo $p(\b{$\theta$}|\b{$Y$})$:\\\vspace{0.4cm}
      $p(\b{$Y$}_0,\b{$Y$}) = \int \, p(\b{$Y$}_0|\b{$Y$},\b{$\theta$})p(\b{$\theta$}|\b{$Y$})\,d\b{$\theta$}$
      %,\,ou\,\,\\\vspace{0.4cm}
     % $p(\b{$Y$}_0,\b{$Y$})= \int \dfrac{p(\b{$Y$}_0,\b{$Y$}|\b{$\theta$})p(\b{$\theta$}|\b{$Y$})}
      %                            {\int\,p(\b{$Y$}|\b{$\theta$})p(\b{$\theta$})\,d\b{$\theta$}} \,d\b{$\theta$}.$
\end{itemize}
\end{frame}

%\item[$\bullet$] processo estocástico $\b{$Y$}=[Y_1(\b{$x$}),...,Y_d(\b{$x$})]'$\\ \vspace{0.2cm}
%                 $\b{$x$} \in \mathbb{R}^2$, tal que $\b{$x$}_i$  está associado a $y_i=(y_{i1},...,y_{id})$.

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Matriz de covariância, de Correlação e Variograma Cruzado}
% SLIDE 22: 
%\setbeamersize{text margin left=2em, text maring right=2em}
 $\b{$Y$}(\b{$x$})$ processo estacionário,\\
	\vspace{1cm}
\begin{scriptsize}
$
\Gamma(\b{$x$},\b{$x$}')=\left[
\begin{array}{cccc}
        \sigma_1^2              & Cov[Y_1(\b{$x$}),Y_2(\b{$x$}')] & \cdots & Cov[Y_1(\b{$x$}),Y_d(\b{$x$}')]\\
Cov[Y_2(\b{$x$}),Y_1(\b{$x$}')] &           \sigma_2^2            & \cdots & Cov[Y_2(\b{$x$}),Y_d(\b{$x$}')]\\
         \vdots                 &           \vdots                & \ddots &           \vdots              \\
Cov[Y_d(\b{$x$}),Y_1(\b{$x$}')] & Cov[Y_d(\b{$x$}),Y_2(\b{$x$}')] & \cdots &           \sigma_d^2 
\end{array}
                         \right]
$
\end{scriptsize}
\end{frame}

%\section{Revisão da Literatura}
%\begin{frame}{Matriz de covariância, de Correlação e Variograma Cruzado}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$]
% $
%\mathbf{R}(u)=\left[
%\begin{array}{cccc}
% \rho_1(u) & \frac{\gamma_{12}(u)}{\sigma_1\sigma_2}  & \cdots & \frac{\gamma_{1d}(u)}{\sigma_1\sigma_d}\\
% \frac{\gamma_{21}(u)}{\sigma_2\sigma_1} & \rho_2(u) & \cdots & \frac{\gamma_{2d}(u)}{\sigma_2\sigma_d}\\
% \vdots    &     \vdots      & \ddots &   \vdots            \\
% \frac{\gamma_{d1}(u)}{\sigma_d\sigma_1} &\frac{\gamma_{d2}(u)}{\sigma_d\sigma_2}&\cdots&\rho_d(u)
%\end{array}\right]$
%\end{itemize}
%\end{frame}

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Matriz de covariância, de Correlação e Variograma Cruzado}
% SLIDE 23: 
Variograma Cruzado\\
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Variáveis nas mesmas localizações
$V_{jk}^*(u)=\sigma_j\sigma_k\{1-\dfrac{1}{2}[\rho_{jk}(u)+\rho_{jk}(-u)]\},$
\item[$\bullet$] Variáveis não necessariamente nas mesmas localizações
$V_{jk}(u) = \dfrac{1}{2}(\sigma_j^2+\sigma_k^2)-\sigma_j\sigma_k\rho_{jk}(u).$
\item[$\bullet$] Variáveis padronizadas \\$V_{jk}^*(u)=V_{jk}(u)$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Modelo Bivariado}
% SLIDE 24: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] 
      $
       \left\{
       \begin{array}{ccc}
              Y_{i1} & = & \mu_1(\b{$x$}_i)+S_1(\b{$x$}_i)+Z_1(\b{$x$}_i)\\
              Y_{i'2} & = & \mu_2(\b{$x$}_{i'})+S_2(\b{$x$}_{i'})+Z_2(\b{$x$}_{i'})
       \end{array}\right.$ \vspace{0.3cm}
     \begin{itemize}
     \item[$\bullet$] $\b{$Y$}=\left(\b{$Y$}_1,\b{$Y$}_2\right)'=\left(Y_{11},Y_{21},...,Y_{n_{1}1},Y_{12},Y_{22},...,Y_{n_{2}2}\right)'$\\\vspace{0.4cm}
      medidas nas localizações $\b{$x$}_{ij}$,$\b{$x$}_{i'j}$\, $i,i'=1,...,n_j$,\,$j=1,2$;\\\vspace{0.3cm}
     \item[$\bullet$]$\b{$S$}(\b{$x$})=(S_1(\b{$x$}),S_2(\b{$x$}))$ processo gaussiano estacionário com \\\vspace{0.3cm}
 $\b{$\mu$}=(0,\, 0)'$, $\sigma_j^2=Var(S_j(\b{$x$}))$\\\vspace{0.3cm}
      estrutura de correlação\\\vspace{0.3cm}
$
\left[\begin{array}{cc}
            Corr(S_1(\b{$x$}), S_1(\b{$x$}-u))  &  Corr(S_1(\b{$x$}), S_2(\b{$x$}-u)) \\
            Corr(S_1(\b{$x$}), S_2(\b{$x$}-u))  &  Corr(S_2(\b{$x$}), S_2(\b{$x$}-u))
      \end{array}
\right];
$\\
    \end{itemize}
\item[$\bullet$] $Z_j\sim N(0;\,\tau^2)$.
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Modelo Bivariado}
% SLIDE 26: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\left\{
\begin{array}{ccc}
              Y_{i1} & = & \mu_1(\b{$x$}_i)+\sigma_{01}U_{0}(\b{$x$}_i)+\sigma_1 U_1(\b{$x$}_i)+Z_1(\b{$x$}_i)  \\
              Y_{{i'}2} & = & \mu_2(\b{$x$}_{i'})+\sigma_{02}U_{0}(\b{$x$}_{i'})+\sigma_2 U_2(\b{$x$}_{i'})+Z_2(\b{$x$}_{i'})  \\
       \end{array}\right.$
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Modelo de Corregionalização}
% SLIDE 27: 
\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] Teoria de variáveis regionalizadas desenvolvidas por Matheron (1965) \\
\item[$\bullet$] Modelo de corregionalização linear
$$\b{$Y$}(\b{$x$})=\mathbf{D}\b{$w$}(\b{$x$})$$
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\mathbf{D}$ é uma matriz de dimensão $p \times p$ \\ \vspace{0.3cm}
\item[$\bullet$] $w_j(\b{$x$})$,\, $j=1,...,p,$\, processos espaciais iid.\\ \vspace{0.3cm}
\item[$\bullet$] $\mathbf{D}\mathbf{D}'=\mathbf{T}$ $\rightarrow$ modelo de corregionalização linear intrínsica\\ \vspace{0.3cm}
\item[$\bullet$] $\mathbf{D}$ triangular inferior e $\b{$Y$}=(\b{$Y$}(\b{$x$}_1),\b{$Y$}(\b{$x$}_2),...,\b{$Y$}(\b{$x$}_n))'$\\ \vspace{0.3cm}
\item[$\bullet$] $\textbf{$\Sigma$}=\mathbf{R} \otimes \mathbf{T}$
\end{itemize}
\begin{flushright}
Schmidt e Sansó(2006)
\end{flushright}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Modelo de Corregionalização}
% SLIDE 27: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $w_j(\b{$x$})$ independentes mas não identicamente distribuídos \\\vspace{0.3cm}
\item[$\bullet$] $w_j(\b{$x$})$ processo gaussiano com média 0, variância 1, função de correlação estacionária $\rho_j(u)$\\ \vspace{0.3cm}
  $\Sigma=\sum_{j=1}^p \left( \mathbf{R}_j \otimes \mathbf{T}_j \right)$\\ \vspace{0.3cm}
$\mathbf{T}_j=\b{d}_j\b{d}_j^{'}$\, com $\b{d}_j$ sendo a $j$-ésima coluna de $\mathbf{D}.$
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Dados Composicionais}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Dados Composicionais}
%SLIDE 28: Dados Composicionais
\vspace{0.5cm}
\begin{itemize}
\item Butler e Glasbey (2008): Registram informação sobre frequências relativas associadas a diferentes componentes de um sistema. \\ \vspace{0.5cm}
%\item \citeonline{butler:2008}: Registram informação sobre frequências relativas associadas a diferentes componentes de um sistema. \\ \vspace{0.5cm}
\item Aitchison (1986):
        \vspace{0.2 cm}
        \begin{itemize}
	\item a. Vetores cujos elementos são proporções de algum todo.\vspace{0.2 cm}
   	\item b. \textbf{Composição}: Vetor $\b{Y}=(Y_1,Y_2,...,Y_B)'$ satisfazendo: \vspace{0.2 cm}
                             \begin{center}
                             \begin{itemize}
                             \item  $Y_1 \geqslant 0,\,\dots, \, Y_B \geqslant 0$; \vspace{0.2 cm} 
                             \item  $ Y_1 +\,Y_2 + \, \dots \, + Y_B = 1$. 
                             \end{itemize}
                             \end{center}
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Características}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Características de Um Conjunto De Dados Composicionais}
%SLIDE 29: Características de Um Conjunto De Dados Composicionais
Reyment e Savazzi (1999) apud Labus (2005): \\
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] representado em forma matricial;         \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] linha: unidade observacional;            \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] coluna: parte ou variável;               \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] elementos não negativos;                 \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] cada linha soma 1 (100\%);               \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] coeficientes de correlação mudam se uma das variáveis é excluída da matriz e as linhas somam 1 (100\%). O mesmo ocorre se um novo componente é adicionado.
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Representação Gráfica}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Diagrama Ternário: Malha Quadrada}
%SLIDE 30: Representação Gŕafica: height:altura; width:largura; scale:Percentual do tamanho original da figura(=0.50 reduz figura pela metade);angle:ângulo de rotação em graus.
\vspace{-0.5cm}
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=6.5cm,scale=2]{TerMalhaQuadrada.pdf}
\vspace{-1cm}
\caption{Diagrama ternário para dados da Malha Quadrada.}
\label{fig:digum}
\end{figure}
\end{frame}

%\section{Composição}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Composição Regionalizada}
%SLIDE 31: Composição Regionalizada
\vspace{0.3cm}
Seja $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ domínio espacial, $\mathbb{R}^n$ espaço real de dimensão $n$.    \vspace{0.4cm}
\begin{itemize}
\item \textbf{Composição Regionalizada}:\\ \vspace{0.4cm}
 $\b{Y}(\b{x})=[Y_1(\b{x}),Y_2(\b{x}),...,Y_B(\b{x})]'$, $\b{x} \in \Omega$, satisfazendo:          \vspace{0.5cm}
                             \begin{itemize}
                             \item 1. $Y_1(\b{x})\geqslant 0,\,\dots, \, X_B(\b{x}) \geqslant 0$;   \vspace{0.5cm}
                             \item 2. $ Y_1(\b{x}) +\,Y_2(\b{x}) + \, \dots \, + Y_B(\b{x}) = 1$. 
                             \end{itemize}   \vspace{0.4cm}
\item \textbf{Espaço Amostral}:\\                                                             \vspace{0.4cm}
$ \mathbb{S}^B = \{ \b{Y}(\b{x}) \in \mathbb{R}^B;\,\, Y_i(\b{x}) > 0, \,\, i=1,...,B;\,\, \b{j}'\b{Y}(\b{x})=1 \}$
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Base}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Base Regionalizada}
%SLIDE 32: Base Regionalizada
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Vetor $\b{W}(\b{x})$, $\b{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^n$ cujos componentes são todos medidos na mesma escala e positivos. \\     \vspace{0.4cm}
\item[$\bullet$] \textbf{Espaço Amostral:} \\
   \begin{center}
    $\mathbb{R}^B_+ = \{ \b{W}(\b{x}) \in \mathbb{R}^B;\,\, W_i(\b{x}) > 0, \,\, i=1,...,B \}$ \\ 
   \end{center}                   \vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] \textbf{Operador fechamento:}\,\, Base \, $\Rightarrow$ \, Composição \\
$$
   \begin{array}{cccl}
 \mathcal{C} : &  \mathbb{R}^B_+  &  \longrightarrow & \mathbb{S}^B \\ 
               &  \b{W}(\b{x})    &  \longrightarrow & \mathcal{C}[\b{W}(\b{x})]=\dfrac{\b{W}(\b{x})}{\b{j}'\b{W}(\b{x})},\\
   \end{array}
$$
\item[] $\b{j}'$ vetor de $1^{'s}$.
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Subcomposição}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Subcomposição Regionalizada}
%SLIDE 33: Subcomposição Regionalizada
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Seja $\b{Y}(\b{x})$ composição regionalizada de $D$ partes;        \\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] $ s \subset \{1,2,...,B\}$ tal que $\b{Y}_s(\b{x})$ é subvetor cujos elementos são os componentes de $\b{Y}(\b{x})$ correspondentes às partes em $s$;                                    \\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$]\textbf{Subcomposição Regionalizada}: \\
$$ \mathcal{C}[\b{Y}_s(\b{x})]=\dfrac{\b{Y}_s(\b{x})}{\b{j}'\b{Y}_s(\b{x})}; $$     \\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] Se \hspace{0.2 cm}
 $\b{s}(\b{x}) = \mathcal{C}[\b{Y}_s(\b{x})]$\hspace{0.1 cm} $\Rightarrow$\hspace{0.1 cm} $\dfrac{s_i(\b{x})}{s_j(\b{x})}=\dfrac{Y_i(\b{x})}{Y_j(\b{x})}$, \hspace{0.1 cm} \, $i,\,j \in s.$
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Amalgamação e Partição}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Amalgamação}
%SLIDE 34: Amalgamação 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\b{Y}(\b{x})=[Y_1(\b{x}),Y_2(\b{x}),...,Y_B(\b{x})]'$ uma composição regionalizada de $B$ partes;\\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] $\b{Y}(\b{x})$ dividida em $C$ ($C \leq B$) subconjuntos mutuamente exclusivos;\\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] $\b{Y}_i(\b{x})$,\, $i=1,...,C$, \,\, vetor cujos componentes são os elementos do $i$-ésimo subconjunto.\\ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] \textbf{Amalgamação Regionalizada}: composição regionalizada de $C$ partes \\ 
\begin{center}
 $\b{A}(\b{x}) = [A_1(\b{x}),A_2(\b{x}),...,A_C(\b{x})]',$
\end{center}
em que $A_i(\b{x})= \b{j}'\b{Y}_i(\b{x}),  \hspace{0.4cm} \b{j}'$ vetor de $1^{'s}.$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Partição}
%SLIDE 35: Partição
\textbf{Partição Regionalizada}:\,\,\,  Amalgamação juntamente com subcomposições. \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $ P_C [\b{Y}(\b{x})]=[\b{s}_1(\b{x}),\b{s}_2(\b{x}),...\b{s}_C(\b{x});\b{A}(\b{x})]$\\ \vspace{0.4 cm}
em que $\b{s}_i(\b{x})=\mathcal{C}[\b{Y}_i(\b{x})]$,\, $i=1,...,C$.\\ \vspace{0.4 cm}
\item[$\bullet$] Preserva informações contidas nos subvetores.
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Problema}
\begin{frame}{Revisão da Literatura:  Problema - Dados Composicionais}
%SLIDE 36: Problema - Dados Composicionais
Efeito de \textbf{correlação espúria} (Pawlowsky e Olea, 2004):    \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Covariâncias sujeitas à controles não estocásticos \\
 \begin{center}
          $\Downarrow$      \\
\end{center}

       interpretação errônea da estrutura de covariância espacial;  \vspace{0.5 cm}
\item[$\bullet$] Singularidade da matriz de covariância de uma composição.
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Transformação}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Transformação}
%SLIDE 37: Transformação
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\textbf{Graf (2006):}\,\, Soma constante\,\, $\Rightarrow$ \,\,correlação negativa entre os componentes.
                                  \\ \vspace{0.4 cm}
\item[$\bullet$]\textbf{Aitchison (1986):} \\ \vspace{0.2 cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Propõe transformação que generaliza a transformação logística $\text{ln}\,\dfrac{Y}{1-Y}$ para um vetor composicional de $2$ partes;      \\ \vspace{0.3 cm}
\item[$\bullet$] Magnitudes relativas ou razões \,\, $\Rightarrow$\,\, tratabilidade e interpretação estatística.
                                  \\ \vspace{0.2 cm}
\end{itemize}
\item[$\bullet$]\textbf{ Transformações logísticas:} Aitchison (1982), Aitchison et al. (2000), Odeh et al. (2003).
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Transformação}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Transformação}
%SLIDE 38:  Transformação ALR
\textbf{Transformação razão log-aditiva} (ALR): \\ 
$$
\begin{array}{cccl}
\text{ALR} : & \mathbb{S}^B & \longrightarrow & \mathbb{R}^{B-1}        \\ 
            & \b{Y}(\b{x}) & \longrightarrow & \text{ALR} [\b{Y}(\b{x})]=\left(\text{ln}\,\dfrac{Y_1(\b{x})}{Y_B(\b{x})},
                                                \dots,
                                                \text{ln}\,\dfrac{Y_{B-1}(\b{x})}{Y_B(\b{x})}\right)'. \\
\end{array}
$$ \\ \vspace{0.5 cm}
\begin{flushright}
Pawlowsky et al. (1995), Pawlowsky e Olea (2004).
\end{flushright}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Transformação}
%SLIDE 39: Transformação AGL
\textbf{Transformação logística generalizada aditiva} (AGL):\\
$$
\begin{array}{cccl}
\text{AGL} : & \mathbb{R}^{B-1}          & \longrightarrow & \mathbb{S}^B  \\
             & \text{ALR}[\b{Y}(\b{x})]  & \longrightarrow & \text{AGL}\{\text{ALR}[\b{Y}(\b{x})]\} = \b{Y}(\b{x})
  =\dfrac{\text{exp}[\b{Y}(\b{x})]}{\b{j}'\text{exp}[\b{Y}(\b{x})]}; \\
\end{array}
$$ \\ \vspace{0.3 cm}
$$\b{Y}(\b{x})=\left(Y_1(\b{x}),Y_2(\b{x}),\,\dots,\,0\right)'.$$\\\vspace{0.3 cm}
\begin{center}
Se $c\neq 0$ \hspace{0.2 cm} $\Rightarrow \hspace{0.2 cm} \b{Y}(\b{x}) = c \cdot \text{AGL}\{\text{ALR} [\b{Y}(\b{x})]\}.$
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Transformação}
%SLIDE 40: Transformação CLR
\textbf{Transformação Razão Log Centrada} (CLR):\\
$$
\begin{array}{cccl}
\text{CLR} : & \mathbb{R}^B_+ & \rightarrow & \mathbb{R}^B \\
             & \b{W}(\b{x})   & \rightarrow & \text{CLR} [\b{W}(\b{x})]=\text{ln}\,\dfrac{\b{W}(\b{x})}{g[\b{W}(\b{x})]}
\end{array}
$$
ou
$$
\begin{array}{cccl}
\text{CLR} : & \mathbb{S}^B & \longrightarrow & \mathbb{R}^B  \\
             & \b{Y}(\b{x}) & \longrightarrow & \text{CLR}[\b{Y}(\b{x})]=\text{ln}\,\dfrac{\b{Y}(\b{x})}{g[\b{Y}(\b{x})]}
\end{array}
$$ \\ \vspace{0.2 cm}
$g$: média geométrica.
\end{frame}

%\section{Operações}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Perturbação e Potência}
%SLIDE 41: Perturbação
\vspace{0.5 cm}
Aitchison (1986), Aitchison e Egozcue(2005), Tolosana-Delgado et al.(2005):\\ \vspace{0.4 cm}
     \begin{center} 
     Operações que definem uma estrutura de espaço vetorial de dimensão $B-1$ no simplex.
     \end{center}
\begin{itemize}
   \item 1. \textbf{Perturbação} ($\oplus$) : operação comutativa;\vspace{0.4 cm}
   \item 2. \textbf{Potência} ($\odot$)     : produto externo.
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Perturbação}
%SLIDE 42: Perturbação
\vspace{1.0 cm}
\begin{tabular}{cl}
\textbf{Perturbação}: &  Multiplicação de composições componente a     \\
                      &  componente e divisão de cada componente       \\
                      &  pela soma de todos. \\
\end{tabular}\\\vspace{0.5 cm}
$$
\begin{array}{ccl}
 \b{Y}_1 \oplus \b{Y}_2 & = & (Y_{11},Y_{12},...,Y_{1B}) \oplus (Y_{21},Y_{22},...,Y_{2B}) \\ 
                                                                      \\
                    & = &  \mathcal{C}(Y_{11}Y_{21},Y_{12}Y_{22},...,Y_{1B}Y_{2B}).    \\
\end{array}
$$
\end{frame}


\begin{frame}{Revisão da Literatura - Potência}
%SLIDE 43: Potência
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\textbf{Potência}: análogo à multiplicação por um escalar no espaço real. \vspace{0.2 cm}
$$ \alpha \odot (Y_{11},Y_{12},...,Y_{1B}) = \mathcal{C}(Y_{11}^{\alpha},Y_{12}^{\alpha},...,Y_{1B}^{\alpha}).$$ \vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] Vetor de \textbf{diferenças} composicionais: \vspace{0.2 cm}
$$ \b{Y}_1 \ominus \b{Y}_2 = \b{Y}_1 \oplus (-1 \odot \b{Y}_2).$$
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Geometria de Aitchison do Simplex}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Geometria de Aitchison do Simplex}
%SLIDE 44: Geometria de Aitchison do Simplex
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{Produto interno}: \vspace{0.1 cm}
$$<\b{Y}_1,\b{Y}_2 > =  \sum_{i=1}^{B} \text{ln}\left(\dfrac{Y_{1i}}{g(\b{Y}_1)}\right)\text{ln}\left( \dfrac{Y_{2i}}{g(\b{Y}_2)}\right).$$\vspace{0.2 cm}
\item[$\bullet$] \textbf{Distância de Aitchison}:\vspace{0.1 cm}
$$ d(\b{Y}_1,\b{Y}_2) =\sqrt{\sum_{i=1}^B \left(
\text{ln}\left(
               \dfrac{Y_{1i}}{g(\b{Y}_1)}
        \right)-
\text{ln}\left(
               \dfrac{Y_{2i}}{g(\b{Y}_2)}
        \right)^2
                                         \right)}$$
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Estatísticas Descritivas}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Estatísticas Descritivas}
%SLIDE 45: Estatísticas Descritivas
\begin{itemize}
\item \textbf{Centro}: 
$$ \text{cen}(\b{Y}) =  \dfrac{1}{g_s}\,(g(Y_1) \hspace{0.4cm} g(Y_2) \hspace{0.4cm} \hdots \hspace{0.4cm} g(Y_B))'$$ 
\begin{itemize}
     \item $g(Y_i)$ - média geométrica do $i$-ésimo componente \vspace{0.3 cm}
     \item $ g_s = g(Y_1) + g(Y_2) + \hdots + g(Y_B).$
\end{itemize} \vspace{0.4 cm}
\item \textbf{Medida de dispersão}:
$$ \text{Totvar}(\b{Y}) = \dfrac{1}{B}\, \sum_{i<j}\,Var\left(\text{ln}\left(\dfrac{Y_i}{Y_j}\right)\right).$$
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Domínio de Confiança}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Domínio de Confiança}
% SLIDE 46: 
$B_{1-\alpha}(\b{Y})=  \left\{ \b{Y} \in S^B |
                               \left(\text{ln}\left(\frac{\b{Y}_{-B}}{\b{Y}_B}\right) -\mu 
                               \right)'
                               \Sigma^{-1}
                               \left(\text{ln}\left(\frac{\b{Y}_{-B}}{\b{Y}_B}\right) -\mu 
                               \right) \leq \chi^2_{b;1-\alpha}
                        \right\}$
\end{frame}


%\section{Representação Gráfica}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Diagrama Ternário: Malha Quadrada}
% SLIDE 47: 
\vspace{-2cm}
\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=8cm,scale=2]{TerMalhaQuadradaEli.pdf}
\vspace{-1cm}
\caption{Diagrama ternário para dados da Malha Quadrada, incluindo o centro da distribuição e regiões $2$ e $4\sigma$}
\label{fig:digum}
\end{figure}
\end{frame}

%\section{Estacionariedade}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Estacionariedade}
% SLIDE 48: 
 Segundo Pawlowsky-Glahn e Olea (2004)\\ \vspace{0.5 cm} 
$\b{Y}(\b{x})$\,\,é \textbf{Estacionária de $2^{a}$ ordem} se  $f(\b{Y}(\b{x}))$ satisfaz: \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] $E(f(\b{Y}(\b{x})))= \mu$\,\,  existe e não depende de $\b{x}$; \vspace{0.5 cm}
   \item[$\bullet$] $\text{Cov}\left(f(\b{Y}(\b{x}_2)),f(\b{Y}(\b{x}_1))\right)$ = $\textbf{$\Sigma$}(\b{x}_2-\b{x}_1)$ existe e não depende \\ \vspace{0.3 cm}
  de $\b{x}_1$,\, $\b{x}_2$, mas somente da diferença $\b{h}=\b{x}_2-\b{x}_1.$ \vspace{0.3 cm}
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Função Intrínsica}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Função Intrínsica}
% SLIDE 49: 
$\b{Y}(\b{x})$\,\, é \textbf{função intrínsica} se $f(\b{Y}(\b{x}))$ satisfaz: \vspace{0.5 cm}
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] $E(f(\b{Y}(\b{x})))= \mu$  existe e não depende de $\b{x}$; \vspace{0.5 cm}
   \item[$\bullet$] $\text{Cov}(f(\b{Y}(\b{x}_2))-f(\b{Y}(\b{x}_1)))$ = $\textbf{$\Gamma$}(\b{x}_2-\b{x}_1)$\\ \vspace{0.3 cm}
existe e não depende de $\b{x}_1$,\, $\b{x}_2$, mas somente da diferença $\b{h}=\b{x}_2-\b{x}_1.$ \vspace{0.3 cm}
\end{itemize}
\end{frame}

%\begin{frame}{Função Intrínsica}
%SLIDE 22: Função Intrínsica
%\begin{itemize}
%   \item[$\bullet$] \textbf{LR estacionária}: $\b{Y}(\b{x})$ é log razão estacionária de $2^{a}$ ordem se o conjunto das log razão entre todos os pares é estacionário de $2^{a}$ ordem; \vspace{0.4 cm}
%   \item[$\bullet$] \textbf{LR intrínsica}: $\b{Y}(\b{x})$ é log razão intrínsica se o conjunto das log razão entre todos os pares é intrínsica; \vspace{0.3 cm}
%\end{itemize}
%\end{frame}

\begin{frame}{Revisão da Literatura - Estrutura de Covariância Espacial}
\textbf{Estrutura de Covariância Espacial}: conjunto de funções $B^4$ \\ \vspace{0.7cm}
$$ \sigma_{ij\cdot kl}(\b{h}) = \text{Cov}\left( \text{ln}\, \dfrac{\b{Y}_i(\b{x})}{\b{Y}_k(\b{x})}  \, ,\, 
                                                 \text{ln}\, \dfrac{\b{Y}_j(\b{x}+\b{h})}{\b{Y}_l(\b{x}+\b{h})}
                                         \right),$$\\
\vspace{0.7cm}
 $i,j,k,l \in \{1,2,...,B \}$,\,\,\, para \,\,$\b{x}$,\,$\b{x}+\b{h} \in \Omega$.\vspace{0.7cm}
\begin{flushright}
Pawlowsky e Olea (2004).
\end{flushright}
\end{frame}

%\section{Estrutura de Covariância Espacial}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Estrutura de Covariância Espacial}
% SLIDE 50: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{LR autocovariâncias} (Matriz Variação) \\
$$\textbf{T}(\b{h})_{B \times B}= \left(\tau_{i\cdot j}(\b{h})\right) = \left(\sigma_{ii\cdot jj}(\b{h})\right)$$ \\\vspace{0.1 cm}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{ALR covariâncias cruzadas} \\ 
$$\textbf{$\Sigma$}(\b{h})_{B-1 \times B-1}=\left(\sigma_{ij}(\b{h})\right) = \left(\sigma_{ij\cdot BB}(\b{h})\right)$$ \\\vspace{0.1 cm}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{CLR covariâncias cruzadas}, $\textbf{$\Xi$}(\b{h})$ com elementos 
$$\xi_{ij}(\b{h}) = \text{Cov}\left( \text{ln}\, \dfrac{X_i(\b{x})}{g(\b{X}(\b{x}))}  \, ,\, 
                                     \text{ln}\, \dfrac{Y_j(\b{x}+\b{h})}{g(\b{Y}(\b{x}+\b{h}))} \right),$$
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Estrutura de Covariância Espacial Intrínsica}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Estrutura de Covariância Espacial Intrínsica}
% SLIDE 51: 
\begin{center}
\textbf{Estrutura de Cov. Espacial Intrínsica}: conjunto de funções $B^4$ 
\end{center} \vspace{0.8cm}
$$
V_{ij\cdot kl}(\b{h}) 
= \dfrac{1}{2}\, \text{Cov} 
    \left( \text{ln}\,\dfrac{\b{Y}_i(\b{x})}{\b{Y}_k(\b{x})}-\text{ln}\,\dfrac{\b{Y}_i(\b{x}+\b{h})}{\b{Y}_k(\b{x}+\b{h})}
                                      ,
 \text{ln}\,\dfrac{\b{Y}_j(\b{x})}{\b{Y}_l(\b{x})}-\text{ln}\,\dfrac{\b{Y}_j(\b{x}+\b{h})}{\b{Y}_l(\b{x}+\b{h})}
    \right)
$$ \\ \vspace{0.8 cm}
$ i,j,k,l \in \{1,2,...,B \}$\,\,para \,\, $\b{x}$,\,$\b{x}+\b{h} \in \Omega$.
\end{frame}

%\section{Estrutura de Covariância Espacial Intrínsica}
\begin{frame}{Revisão da Literatura - Estrutura de Covariância Espacial Intrínsica}
% SLIDE 52: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{LR variogramas} (Matriz Variação Intrínsica) \\
$$\textbf{$\Gamma$}(\b{h})_{B \times B}= \left(V_{i\cdot j}(\b{h})\right) = \left(V_{ii\cdot jj}(\b{h})\right)$$ 
\\ \vspace{0.1 cm}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{ALR variograma cruzado} \\ 
$$\textbf{$\Psi$}(\b{h})_{B-1 \times B-1}=\left(\psi_{ij}(\b{h})\right) = \left(V_{ii\cdot BB}(\b{h})\right)$$
\\ \vspace{0.1 cm}
\item[$\bullet$] Matriz de \textbf{CLR covariâncias cruzadas}, $\textbf{$\Delta$}(\b{h})$ com elementos \\ 
$$ \delta_{ij}(\b{h}) = \text{Cov}\left( \text{ln}\, \dfrac{Y_i(\b{x})}{g(\b{Y}(\b{x}))}  \, ,\, 
                                      \text{ln}\, \dfrac{Y_j(\b{x}+\b{h})}{g(\b{Y}(\b{x}+\b{h}))}
                                 \right)$$
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Material e Métodos}
\begin{frame}{Material e Métodos}
% SLIDE 53: 
  Material: Dados de areia, silte e argila. \\ \vspace{0.3cm}
     \begin{itemize}
    \item[$\bullet$] Lago Ártico extraído de Aitchison (1986): $n=39$ \\ \vspace{0.3cm}
    \item[$\bullet$] Gener - ESALQ/USP: $n=412$\
 Areia Muito Grossa, Areia Média, Areia Fina e Areia Muito Fina, além de Altimetria do terreno e Superfície, \\ \vspace{0.3cm}
    \item[$\bullet$] Bassoi - ESALQ/USP: $n=250$ \
Cota, Areia Grossa, Silte, Argila, pHAgua, pHKCl, Ca, Mg, K, Al, H, C, N, CTC, S, V, M, NC, CEC, CN. \\ \vspace{0.3cm}
    \item[$\bullet$] Gonçalves (1997) - ESALQ/USP-UEM:  $n=412$ \\ \vspace{0.2cm}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Material e Métodos - Método }
% SLIDE 54: 
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Banerjee, Carlin e Gelfand (2004), Diggle e Ribeiro Jr (2007), Schmidt e Sansó (2006): declaração explícita de modelo;\\ \vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] Aitchison (1986): independência entre as localizações;\\ \vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] Pawlowsky e Olea (2004): espacialização;\\ \vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] Obage (2005): análise bayesiana sem espacialização.\\ \vspace{0.2cm}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Material e Métodos - Método }
% SLIDE 55: 
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Integração das metodologias:
    \begin{itemize}
      \item[$\bullet$] Imposição de restrição no espaço paramétrico;
      \item[$\bullet$] Via priori utilizando-se inferência bayesiana.
    \end{itemize}
\item[$\bullet$] Como:
    \begin{itemize}
      \item[$\bullet$] Geoestatística e teoria de dados composicionais;
      \item[$\bullet$] Teoria de verossimilhança e inferência bayesiana;
      \item[$\bullet$] Formas de implementar as restrições induzidas no espaço paramétrico.
    \end{itemize}
\item[$\bullet$] Performance das metodologias verificadas na análise de dados reais que motivam o trabalho.
\end{itemize}
\end{frame}

%\section{Material e Métodos}
%\begin{frame}{Material e Métodos - Método }
%\begin{itemize}
% \item[$\bullet$] Recursos Computacionais - Fase inicial:  \\ \vspace{0.2cm}
%     \begin{itemize}
%      \item[$\bullet$] Ambiente operacional GNU/Linux; \\ \vspace{0.2cm}
%      \item[$\bullet$] R (R Development Core Team, 2006); \\ \vspace{0.2cm}
%      \item[$\bullet$] Geoestatístico geoR (Ribeiro e Diggle, 20010); \\ \vspace{0.2cm}
%      \item[$\bullet$] Compositions (Boogaart, 2005).
%      \end{itemize}\vspace{0.3cm}
%\item[$\bullet$] Na implementação das propostas de modelagem e inferência será feito desenvolvimento e extensões para o modelo proposto.
%\begin{flushright}
% licença GPL (\textit{General Public Licence})
%\end{flushright}
%\end{itemize}
%\end{frame}

\begin{frame}{Material e Métodos - Método }
% SLIDE 56: 
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Análise geoestatística\\\vspace{0.2cm}
     \begin{itemize}
        \item[$\bullet$] Análise descritiva: normalidade dos dados, tendência direcional; \\ \vspace{0.2cm}
        \item[$\bullet$] Tranformação Box \& Cox ou, por exemplo, a arco seno; \\ \vspace{0.2cm}
        \item[$\bullet$] Método dos mínimos quadrados ordinários: estimativas dos parâmetros; \\ \vspace{0.2cm}
        \item[$\bullet$] Modelo geoestatístico: verossimilhança, função de correlação da família de Matérn ; \\ \vspace{0.2cm}
        \item[$\bullet$] Métodos bayesianos: distribuição preditiva $p(\b{$Y$}_0,\b{$Y$})$ ; \\ \vspace{0.2cm}
        \item[$\bullet$] Adaptar modelos bivariados aos dados composicionais incluindo a restrição soma dos componentes igual a 1.
      \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Material e Métodos - Método }
% SLIDE 57: 
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Análise de dados composicionais\\\vspace{0.2cm}
     \begin{itemize}
        \item[$\bullet$] Diagrama ternário; \\ \vspace{0.2cm}
        \item[$\bullet$] Estatísticas descritivas: centro da distribuição; variância total; matriz de LR autocovariâncias, CRL covariâncias cruzadas; \\ \vspace{0.2cm}
        \item[$\bullet$] Composição modelada usando geoestatística;\\ \vspace{0.2cm}
        \item[$\bullet$] Método de krigagem empregado na construção do mapa de classificação do solo.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Material e Métodos - Método }
% SLIDE 58: 
Modelos Iniciais:\\\vspace{0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[1.] $\left\{
\begin{array}{ccc}
              Y_{i1}    & = & \mu_1(\b{$x$}_i)   +Z_1(\b{$x$}_i)  \\
              Y_{{i'}2} & = & \mu_2(\b{$x$}_{i'})+Z_2(\b{$x$}_{i'})  \\
\end{array}\right.$\\\vspace{0.2cm}
com $i,i'=1,...,n_j$,\, $j=1,2$ e $Z_i \sim N(0;\,\tau_i^2)$. \\ \vspace{0.2cm}
$f(\b{$Y$})=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left[ \dfrac{1}{\sqrt{2\pi|\Sigma|}} 
                 \text{exp}\left \{  -\dfrac{1}{2} (\b{$Y$}-\b{$\mu$}_{{\scriptsize \b{$Y$}}})'\Sigma^{-1}(\b{$Y$}-\b{$\mu$}_{{\scriptsize \b{$Y$}}})
                           \right\}\right]$\\\vspace{0.2cm}
                   \begin{itemize}
                    \item[$\bullet$] $\hat{\b{$\mu$}}=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^n X'\Sigma^{-1}X\right)'\displaystyle\sum_{i=1}^n\left( X'\Sigma^{-1}\b{$Y$}\right)$
                    \item[$\bullet$] $\hat{\tau}_1^2={\displaystyle\sum_{i=1}^n 
                                      \dfrac{(\b{$Y$}-\b{$\mu$}_{\scriptsize{\b{$Y$}}})G^{-1}(\b{$Y$}-\b{$\mu$}_{\scriptsize{\b{$Y$}}})}{n}}$
                   \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Material e Métodos - Método }
% SLIDE 59: 
Modelos Iniciais:\\
\begin{itemize}
 \item[2.] $\left\{
\begin{array}{cccc}
 Y_{i1}  & = &  \mu_1(\b{$x$}_i)+S_{1}(\b{$x$}_i)+Z_1(\b{$x$}_i)          \\
 Y_{i'2} & = & \mu_2(\b{$x$}_{i'})+S_{2}(\b{$x$}_{i'})+Z_2(\b{$x$}_{i'})  \\
\end{array}
\right.$\\\vspace{0.2cm}
$\left\{
\begin{array}{cccc}
 Y_{i1}  & = & \mu_1(\b{$x$}_i)+\sigma_{1}U(\b{$x$}_i;\phi)+Z_1(\b{$x$}_i)            \\
 Y_{i'2} & = & \mu_2(\b{$x$}_{i'})+\sigma_{2}U(\b{$x$}_{i'};\phi)+Z_2(\b{$x$}_{i'})       \\
\end{array}
\right.$\vspace{0.4cm}
                   \begin{itemize}
                          \item[$\bullet$]$\hat{\b{$\beta$}} = (\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\textbf{D})^{-1}\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$}$\vspace{0.4cm}
                          \item[$\bullet$]$\hat{\sigma}_1^2 = n^{-1}\left[(\b{$Y$}-\textbf{D}\hat{\b{$\beta$}})'
                                                     \textbf{V}^{-1}(\b{$Y$}-\textbf{D}\hat{\b{$\beta$}})\right]$  \vspace{0.4cm}
                   \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Resultados Preliminares}
% SLIDE 59: 
\begin{figure}[htb!]
\centering
\includegraphics[width=0.32\linewidth,height=0.4\linewidth]{mapaareia}
\hfill
\includegraphics[width=0.32\linewidth,height=0.4\linewidth]{mapasilte}
\hfill
\includegraphics[width=0.32\linewidth,height=0.4\linewidth]{mapaargila}
\caption{Mapas da porcentagem de areia (à esquerda), silte (centro) e argila (à direita).}
\label{fig:mapas}
\end{figure}
\end{frame}


%\section{Resultados Esperados}
\begin{frame}{Resultados Esperados}
% SLIDE 60: 
\begin{itemize} 
\item[$\bullet$] Espera-se que a imposição no modelo bivariado de uma restrição induzida pelo modelo de dados composicionais torne o modelo bivariado compatível com a estrutura de dados correlacionados;\\ \vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] Avaliar o modelo proposto em comparação com o modelo considerando as variáveis separadamente;\\ \vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] Desenvolver programas computacionais para a implementação e análise do modelo proposto; \\ \vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] Aplicar a metodologia em dados reais que motivam este trabalho, por exemplo, na contrução de mapa temático de classificação espacial do solo segundo concentrações de areia, silte e argila.
\end{itemize}
\end{frame}




%\section{Cronograma}
\newcommand{\tamanho}{0.12cm}
\begin{frame}{Cronograma}
% SLIDE 61: 
\begin{changemargin}{0cm}{-0.3cm}

\begin{tiny}
%\begin{table}
%\begin{center}
\begin{tabular}{|@{\extracolsep{\tamanho}}l@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|}\hline
         Ano                                                &\multicolumn{4}{c|}{$2008$}&\multicolumn{12}{c|}{$2009$}& \multicolumn{2}{@{\extracolsep{\tamanho}}c@{\extracolsep{\tamanho}}|}{$2010$} \\ \hline 
         Mês                                                &09 & 10 & 11 & 12  & 01 & 02 & 03 & 04 & 05 & 06
& 07 & 08 & 09 & 10  & 11 & 12 & 01 & 02 \\ \hline 
1. Qualificar o projeto junto ao PPGMNE                     &X &    &    &     &    &    &    &    &    &    &    &    &    &     &    &    &     & \\
2. Completar a revisão da literatura e                      & &    &    &     &    &    &    &    &    &    &    &    &    &     &    &    &     & \\
\hspace{0.4cm} Elaborar Metodologia de análise de dados     &X &  X &  X &  X  &  X  &    &    &    &    &    &    &    &    &     &    &    &     & \\
3. Aplicar metodologia aos conjuntos de dados               & &    &    &     &  X &  X &  X &  X &  X &  X &  X &    &    &     &    &    &     & \\
4. Elaborar relatório preliminar com resultados             & &    &    &     &    &    &    &    &    &    &    &    &    &     &    &    &     &   \\
\hspace{0.4cm} e discussão                                  & &    &    &     &    &    &    &  X &  X &  X &    &    &    &     &    &    &     &  \\
5. Elaborar versão preliminar da tese                       & &    &    &     &    &    &    &    &    &    
&  X &  X &  X &  X  &    &    &     &  \\
6. Fazer revisão ortográfica e gramatical da tese           & &    &    &     &    &    &    &    &    &    &    &    &    &     &  X &  X &     &  \\
7. Redação e submissão de artigos                           & &    &  X &  X  &  X &  X &  X &  X &  X &  X 
&  X &  X &  X &  X  &  X &    &     &\\
8. Confecção da tese                                        &X &  X &  X &  X  &  X &  X &  X &  X &  X &  X 
&  X &  X &  X &  X  &  X &  X &     &\\ 
9. Defesa da tese                                           & &    &    &     &    &    &    &    &    &
&    &    &    &     &    &    &  X  & X\\ \hline      
\end{tabular}
%\end{center}
%\end{table}
\end{tiny}
\end{changemargin} 
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
% SLIDE 62: 
%\bibliographystyle{abnt-alf}
%\bibliography{./ProjetoTese}
%\end{frame}
%-----------------------
\beamertemplatearticlebibitems
%	\begin{thebibliography}{1}  enumerate
%	\bibitem{et-all}
\begin{footnotesize}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] AITCHISON, J. The statistical analysis of compositional data. \textbf{Journal of the Royal Statistical Society}, \textbf{Series B}, v. 44, n.2, p. 139-177, $1982$.\\ \vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] AITCHISON, J. \textbf{The statistical analysis of compositional data}. New Jersey: The Blackburn Press, $1986$.\\ \vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] AITCHISON, J.; BARCELÓ-VIDAL, C.; MARTÍN-FERNANDÉZ, J. A.; PAWLOWSKY-GLAHN, V. Logratios analysis and compositional distance. \textbf{Mathematical Geology}, v. 32, n.3, p. 563-580, $2000$.\\ \vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] AITCHISON, J.; EGOZCUE, J. J. Compositional date analysis: where are we and where should we be hesding?. \textbf{Mathematical Geology}, v. 37, n.7, p. 829-850, oct. $2005$.\\ \vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] BANERJEE, S.; CARLIN B. P. e GELFAND , A. E. \textbf{Hierachical modelling and analysis for spatial data}, Boca Raton: Chapman and Hall, $2004$. \vspace{0.2cm}
\end{itemize}
\end{footnotesize}
%	\end{thebibliography}
\end{frame}


\begin{frame}{Bibliografia}
% SLIDE 63: 
%\bibliographystyle{abnt-alf}
%\bibliography{./ProjetoTese}
%\end{frame}
%-----------------------
\beamertemplatearticlebibitems
%	\begin{thebibliography}{1}  enumerate
%	\bibitem{et-all}
\begin{footnotesize}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] BOOGAART, K.G.v.d.  Using the R package "compositions", v. 0.9, $2005$. Disponível em: {\scriptsize $<$http:$//$www.stat.boogaart.de$/$compositions$/$ UsingCompositions.pdf$>$}. Acesso em: $09/02/08$.\\ \vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] BUTLER, A.; GLASBEY, C. A latent Gaussian model for compositional data with zeros. \textbf{Journal of the Royal Statistical Society}, \textbf{Series C} (in press), $2008$. Disponível em: {\scriptsize  $<$http:$//$www.bioss.ac.uk$/$staff$/$adam$/$documents$/$ButlerGlasbey\_ resubmit.pdf$>$}. Acesso em: $13/02/08$.\\\vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] DIGGLE, P. J. e RIBEIRO JR, P. J. \textbf{Model-based geostatistics}, USA: Springer Series in Statistics, $2007$ \\\vspace{0.2cm}

\item[$\bullet$] DIGGLE, P. J.; RIBEIRO JR, P. J. e CHRISTENSEN, O. F. An introduction to model-based geostatistics. \textbf{Spatial Statistics and Computational Methods}, New York: M{\o}ller, J. Springer, p. 43-86, $2003$ \\
\end{itemize}
\end{footnotesize}
%	\end{thebibliography}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
% SLIDE 64: 
\beamertemplatearticlebibitems
\begin{footnotesize}
%\setcounter{enumi}{0} Comando (Gledson) para colocar a numeração de forma continuada.
% deve ser colocada antes do \begin{enumerate}
\begin{itemize} 

\item[$\bullet$] DIGGLE, P. J.;TAWN, J. A.; MOYEED, R. A. Model-based geostatistics.\textbf{Applied Statistics},v. 47, n.3, p. 299-350, $1998$. Disponível $<$http:$//$em citeseer.ist.psu.edu$/$diggle98modelbased.html$>$, Acesso em:10/01/08. \\\vspace{0.1cm}

\item[$\bullet$] GRAF, M. Precision of compositional data in a stratified two-Stage cluster sample: comparison of the swiss earnings structure survey 2002 and 2004.\textbf{Survey Research Methods Section, ASA }, Session 415: Sample Survey Quality V, 3066-3072, $2006$. Disponível em: {\scriptsize      $<$http:$//$www. amstat.org$/$sections$/$SRMS$/$proceedings$/$y2006$/$Files$/$JSM2006-000771.pdf$>$}. Acesso em: $18/05/08$.\\\vspace{0.1cm}

\item[$\bullet$] LABUS, M. Compositional data analysis as a toll for interpretation of rock porosity parameters. \textbf{Geological Quarterly}, v. 49, n.3, p. 347-354, $2005$ \\\vspace{0.1cm}

\item[$\bullet$] ODEH, I. O. A.; TOOD, A. J.; TRIANTAFILIS, J. Spatial prediction of soil particle-size fractions as compositional data. \textbf{Soil Science}, v. 168, n.7, p. 501-515, July $2003$.\\\vspace{0.2cm}

\end{itemize}
\end{footnotesize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
% SLIDE 65: 
\beamertemplatearticlebibitems
\begin{footnotesize}
%\setcounter{enumi}{5} Comando (Gledson) para colocar a numeração de forma continuada. 5 implica que a 1a numeração %será 5+1=6
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R. A.; DAVIS, J. C. Estimation of regionalized compositions: a comparison of three methods. \textbf{Mathematical Geology}, v.27, n.1, p. 105-127. $1995$.\\

\item[$\bullet$] PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R. A. \textbf{Geostatistical analysis of compositional data}. New York: Oxford University Press, Inc., $2004$.\\

\item[$\bullet$] REYMENT, R. A. and SAVAZZI E. \textbf{Aspects of multivariate statistical analysis in geology}. Amsterdam: Elsevier, $1999$.\\

\item[$\bullet$] SCHMIDT, A. M.; SANSÓ, B. Modelagem bayesiana da estrutura de covariância de processos espaciais e espaço temporais. \textit{17 SINAPE e ABE-Associação Brasileira de Estatística}. Caxambu: Associação Brasileira de Estatística, $2006$, \textbf{Minicurso}. \\

\item[$\bullet$] TOLOSANA-DELGADO, R.; OTERO, N.; PAWLOWSKY-GLAHN, V. Some Basic Concepts of Compositional Geometry. \textbf{Mathematical Geology}, v. 37, n.7, p. 563-580, oct $2005$.\\

\item[$\bullet$] WALVOORT, D. J. J.; GRUIJTER, J. J. Compositional kriging: A spatial interpolation method for compositional data. \textbf{Mathematical Geology}, v.33, n.8, p. 951-966, nov $2001$.
\end{itemize}
\end{footnotesize}
\end{frame}

\begin{frame}
% SLIDE 66: 
\begin{center}
\textbf{OBRIGADA PELA ATENÇÃO!}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Agradecimentos}
% SLIDE 67: 
\begin{itemize}
\item Orientador: Ph.D. Paulo Justiniano Ribeiro Junior  \vspace{0.3cm}
\item Membros da banca: Ph.D. Alexandra Mello Schmidt e Dr. Antônio Carlos Gonçalves
\item UEM/DES - Universidade Estadual de Maringá/Departamento de Estatística \vspace{0.3cm}
\item PPGMNE - Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia \vspace{0.3cm}
\item LEG - Laboratório de Estatística e Geoinformação  \vspace{0.3cm}
\item CNPQ - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico \vspace{0.3cm}
\item Aos professores e colegas de curso.
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}

\end{document}