\documentclass{beamer}
\mode<presentation>{

  \usepackage{beamerthemesplit} 
  %\usetheme[secheader]{Madrid}
  %\usecolortheme{seagull}
  \usepackage{pgf,pgfarrows,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps,pgfshade}
  \beamertemplatetransparentcovereddynamic
  \beamertemplateballitem
  \beamertemplatefootpagenumber
  %\setbeamercolor{title}{fg=red!80!black}
  %\setbeamercolor{normal text}{fg=red!80}
}
\usepackage{url,color}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[brazil,brazilian]{babel}

%\usepackage{abnt-alf}
%\usepackage[alf]{abntcite}

%\mode{presentation}
\usetheme{Ilmenau}
%\usetheme{Rochester}

%\mode\usepackage{graphicx} %Para incluir graficos EPS, PS
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[all]{xy}
\setbeamersize{text margin right=0.75cm,text margin left=0.75cm}
\beamersetleftmargin{0.4cm}
\beamersetrightmargin{0.4cm}

%\newenvironment{changemargin}[2]{%
%  \begin{list}{}{%
%    \setlength{\topsep}{0pt}%
%    \setlength{\leftmargin}{#1}%
%    \setlength{\rightmargin}{#2}%
%    \setlength{\listparindent}{\parindent}%
%    \setlength{\itemindent}{\parindent}%
%    \setlength{\parsep}{\parskip}%
%  }%
%  \item[]}{\end{list}} 

%\usepackage{/usr/share/R/share/texmf/Sweave}

\title[]{\textbf{Um Modelo Geostatístico Bivariado Para Análise de Dados Composicionais}}
\author[]{\hspace{0.3cm} Ana Beatriz Tozzo Martins - PPGMNE-LEG/UFPR\\ \hspace{3.5cm}DES/UEM\\ \hspace{1.3cm} Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR \\ \hspace{1.6cm}Wagner Hugo Bonat - PPGMNE-LEG/UFPR \\ \hspace{1cm} Antônio Carlos Andrade Gonçalves - DAG/UEM}
\institute{}
\date{julho de 2009}
\subject{alguma coisa}

\begin{document}

\sloppy % arruma separação de sílabas

\begin{frame}
   \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{Roteiro de Apresentação}
 \begin{itemize}
  \item[1.] Introdução: Motivação, literatura, objetivo;                  \vspace{0.3cm}
  \item[2.] Metodologia: Modelo Geoestatístico Bivariado;                 \vspace{0.3cm}
  \item[3.] Resultados: Estudo de caso de frações granulométricas de solo;\vspace{0.3cm}
  \item[4.] Conclusão. 
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Motivação}
\begin{figure}
\begin{minipage}[b]{0.50\linewidth}
  \centering
  \includegraphics[width=\linewidth]{fotopivo}
\caption{Quadrante irrigado por sistema pivô-central no campo experimental da ESALQ-USP.}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[b]{0.50\linewidth}
\begin{center}
\vspace{-0.3cm}
 \textbf{SOLO}                 \\  \vspace{0.3cm}
 frações granulométricas\\(composição) \\  \vspace{0.3cm}
 $\Downarrow$                  \\  \vspace{0.3cm}
 propriedades físico$-$hídricas\\  \vspace{0.3cm}
 $\Downarrow$                  \\  \vspace{0.3cm}
 prática agrícola              \\  \vspace{0.3cm}
 $\Downarrow$                  \\  \vspace{0.3cm}
 agricultura de precisão
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Dados Composicionais - Aitchison (1986)}
\vspace{-0.4cm}
\begin{figure}
\begin{minipage}[b]{0.43\linewidth}
  \includegraphics[width=\linewidth]{DigTerrbras09}
\caption{Diagrama Ternário das composições.}
\vspace{-0.6cm}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[b]{0.54\linewidth}
$\bullet$ \hspace{-0.1cm}\textbf{Composição:}\hspace{-0.1cm}
  $\b{X}\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}(X_1,X_2,...,X_B)'$  \\  
  $X_1 \geqslant 0,\dots, X_B \geqslant 0$\\ \vspace{0.2cm}
  $X_1 +\,X_2 +  \dots  + X_B = 1$ \\ \vspace{0.2cm}
  $\mathbb{S}^B\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm} \{ \b{X} \in \mathbb{R}^B; X_i \hspace{-0.1cm}>\hspace{-0.1cm}0,i\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}1,...,B;\b{1}'\b{X}\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}1\hspace{-0.1cm} \}$\\ \vspace{0.2cm}
$\bullet$ \textbf{Base}: $\b{W}\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}(W_1,W_2,...,W_B)'$\\ \vspace{0.2cm}
 $\mathbb{R}^B_+ \hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm} \{ \b{W}\hspace{-0.1cm} \in \hspace{-0.1cm}\mathbb{R}^B; W_i \hspace{-0.1cm}>\hspace{-0.1cm}0, i=1,...,B \}$ \\\vspace{0.3cm}
$\bullet$ \textbf{Operador fechamento:}  \vspace{-0.3cm}
 $$\begin{array}{cccl}
     \mathcal{C}:& \mathbb{R}^B_+  &  \longrightarrow & \mathbb{S}^B \\ 
                 & \b{W}  &  \longrightarrow & \mathcal{C}[\b{W}]=\dfrac{\b{W}}{\b{1}'\b{W}}\\
   \end{array}$$
\end{minipage}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Literatura}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Dados composicionais:
 \begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Aitchison (1986). \vspace{0.2cm}
 \end{itemize}
 \item[$\bullet$] Modelos espaciais uni e multivaridados:
 \begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Diggle e Ribeiro Jr (2007);\vspace{0.2cm}
   \item[$\bullet$] Schmidt e Gelfand (2003);\vspace{0.2cm}
   \item[$\bullet$] Banerjee, Carlin e Gelfand (2004);\vspace{0.2cm}
   \item[$\bullet$] Schmidt e Sansó (2006). \vspace{0.2cm}
 \end{itemize} 
 \item[$\bullet$] Combinação de dados composicionais e espaciais:
 \begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Pawlowsky e Olea (2004); \vspace{0.2cm}
   \item[$\bullet$] Tjelmeland e Lund (2003).
 \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Objetivo}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Estender o modelo geoestatístico bivariado para dados composicionais, derivando e implementando estimação baseada na verossimilhança; \\ \vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] Obter preditores espaciais no simplex que permitam a construção de mapas de predição das frações do solo na área de estudo.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Fundamentos Para Análise de Dados Composicionais}
\textbf{Transformação razão log-aditiva} (alr): \\ 
$$
\begin{array}{cccl}
\text{alr} \ : & \! \mathbb{S}^B  & \! \longrightarrow &  \mathbb{R}^{B-1}         \\
               & \! \b{X}(\b{x})         & \! \longrightarrow &  \text{alr} \big(\b{X}(\b{x})\big)=\left(\text{ln}\dfrac{X_1(\b{x})}{X_B(\b{x})},\dots, \text{ln}\dfrac{X_{B-1}(\b{x})}{X_B(\b{x})} \right)'
\end{array}
$$ \\ \vspace{0.3 cm}
Composição: $\b{X}(\b{x})=(X_1(\b{x}),\,X_2(\b{x}),\,X_3(\b{x}))'=(\text{Areia},\,\text{Silte},\,\text{Argila})'$\\ \vspace{0.2 cm}
\hspace{2.15cm}$\b{$Y$}(\b{x})=(Y_1(\b{x}),\,Y_2(\b{x}))'=\left(\text{ln}\dfrac{X_1(\b{x})}{X_3(\b{x})},\text{ln}\dfrac{X_2(\b{x})}{X_3(\b{x})}\right)'$
\\ \vspace{0.4 cm}
\textbf{Transformação logística generalizada aditiva} (agl): \\ \vspace{0.5cm}
\hspace{1cm} agl=alr$^{-1}$
\begin{flushright}
Pawlowsky e Olea (2004).
\end{flushright}
\end{frame}

\begin{frame}{Modelo Espacial}
 Modelo geoestatístico bivariado para dados composicionais:\\\vspace{-0.4cm}
 \begin{eqnarray*}\left\{
   \begin{array}{ccl}
 Y_{1}(\b{$x$}_i)       & = &\mu_1(\b{$x$}_i)+\sigma_{1}U(\b{$x$}_i;\phi)+\tau_1Z(\b{$x$}_i;\rho) \\
 Y_{2}(\b{$x$}_{i^{'}}) & = & \mu_2(\b{$x$}_{i^{'}})+\sigma_{2}U(\b{$x$}_{i^{'}};\phi)+\tau_2Z(\b{$x$}_{i^{'}};\rho)    \\
   \end{array}
                  \right.
   \label{eq:bivarComU}
\end{eqnarray*}
\vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] $\b{$x$}_i,\b{$x$}_{i'} \in \mathbb{R}^{2}$;\,\, $i,i^{'}=1,...,n_1$,\, $n_1$  tamanho amostral; \vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] $\b{$Y$}_{n\times 1}(\b{x}) = \left(Y_1(\b{$x$}_1),Y_2(\b{$x$}_1),\dots,Y_1(\b{$x$}_{n_{1}}),Y_2(\b{$x$}_{n_{1}})\right)^{'}$;\vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] $U \sim N(\b{0};\,\Sigma_U)$, $\Sigma_U$: variâncias unitárias e covariâncias em\\ \hspace{3.5cm} função de $\rho_U(\phi)$, exponencial;\vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] $Z \sim N(\b{0};\Sigma_Z)$, $\Sigma_Z$: variâncias unitárias e covariâncias em função de \\ \hspace{3.3cm} $\rho$ induzida pela estrutura composicional.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Verossimilhança}
\vspace{-0.2cm}
 \begin{itemize}
 \item[$\bullet$] $\b{$\theta$}=(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\tau_1,\tau_2,\phi,\rho)'$ \hspace{-0.2cm} \xymatrix{ \ar@{=>}[r]^{Reparam.} & }  \hspace{0.1cm} $\b{$\theta$}^*=(\eta,\nu_1,\nu_2,\phi,\rho)'$\\\vspace{0.3cm}
  \item[$\bullet$] \textbf{Log-Verossimilhança $\rightarrow$ Normal multivariada com EMV}:\\ \vspace{0.2cm} $\hat{\b{$\mu$}}=(\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\textbf{D})^{-1}(\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$})$  \hspace{0.2cm} e \hspace{0.2cm} $\hat{\sigma}_1=\sqrt{\hat{Q}e/n}$
  $$\hat{Q}e=(\b{$Y$}-\textbf{D}\hat{\b{$\mu$}})'\textbf{V}^{-1}   (\b{$Y$}-\textbf{D}\hat{\b{$\mu$}})$$
  \item[$\bullet$] \textbf{Log-verossimilhança concentrada $\rightarrow$ solução numérica}:\\\vspace{0.3cm}
$l(\b{$\theta$}^*,\b{$Y$})=-0,5\left[ \text{ln}(|\textbf{V}|) + n\left(\text{ln}(2\pi) + \text{ln}(\hat{Q}e) - \text{ln}(n)+ 1\right) \right]$ \\\vspace{0.3cm}
 % \item[$\bullet$] \textbf{Processo de otimização}: método ``L-BFGS-B'' em R
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Predição}
 \begin{itemize}
  \item[$\bullet$]\textbf{Método delta}:\\\vspace{0.3cm}
       \begin{itemize}
        \item[$\bullet$] $\text{Var}(\hat{\b{$\mu$}})=\textbf{I}_o(\hat{\b{$\mu$}})^{-1}= \hat{\sigma}_1^2 (\textbf{D}'\hat{\textbf{V}}^{-1}\textbf{D})^{-1}$ \\\vspace{0.3cm}
        \item[$\bullet$] $\text{Var}(\hat{\sigma}_1)=\textbf{I}_o(\hat{\sigma}_1)^{-1}= \dfrac{\hat{\sigma}_1^3}{3\hat{Q}e-n\hat{\sigma}_1}$\\\vspace{0.3cm}
       \end{itemize}\vspace{0.2cm}
  \item[$\bullet$] \textbf{Cokrigagem} de $\b{$Y$}_0$ em $\b{$x$}_0=(\b{$x$}_{10},\b{$x$}_{20},...,\b{$x$}_{n_{2}0})$:\\ \vspace{0.3cm}
\begin{itemize}
        \item[$\bullet$] $ \b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}_0|\b{$Y$}}}=
                           \b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}_0}}+
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}_0}{\scriptsize \b{$Y$}}}
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}}{\scriptsize \b{$Y$}}}^{-1}
                           (\b{$Y$}-\b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}}})$ \vspace{0.4cm}
        \item[$\bullet$] $ \Sigma_{\scriptsize {\b{$Y$}_0|\b{$Y$}}}=
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}_0}{\scriptsize \b{$Y$}_0}}-
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}_0}{\scriptsize \b{$Y$}}}
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}}{\scriptsize \b{$Y$}}}^{-1}
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}}{\scriptsize \b{$Y$}_0}}$
 \end{itemize} 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Predição (cont.)}
\begin{itemize}
  \item[$\bullet$] \textbf{Integração de Gauss-Hermite multivariada} de ordem ${\sf k}$ \vspace{0.4cm}
 \begin{itemize}
  \item[$\bullet$] $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^{B-1}} g(\b{${\sf Z}$})f(-\b{${\sf Z}$}'\b{${\sf Z}$})d\b{${\sf Z}$} \approx$ \\ \vspace{0.5cm}
$\displaystyle \sum_{i_1=1}^{{\sf k}}\displaystyle \sum_{i_2=1}^{{\sf k}}\cdots \displaystyle\sum_{i_{B-1}=1}^{{\sf k}}
\omega_{i_1}\omega_{i_2}\cdots\omega_{i_{B-1}}
g({\sf Z}_{i_1},{\sf Z}_{i_2},...,{\sf Z}_{i_{B-1}})$\\ \vspace{0.6cm}
  \item[$\bullet$] pesos $\omega_{i_1}\omega_{i_2}\cdots\omega_{i_{B-1}}$ e abscissas ${\sf Z}_{i_1},{\sf Z}_{i_2},...,{\sf Z}_{i_{B-1}}$ \\\vspace{0.4cm}
 \end{itemize}
\begin{flushright}
 Abramowitz e Stegun (1972)
\end{flushright}
  \item[$\bullet$] \textbf{Alternativa por simulação}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Predição (cont.)}
\textbf{Momentos no simplex:} \vspace{0.2cm}
 \begin{itemize}
  \item[$\bullet$] $\b{$\mu$}_{\scriptsize \b{$X$}}=\int_{\mathbb{S}^B} \b{$X$}f(\b{$X$})d\b{$X$} \hspace{2.5cm}\Rightarrow$ $\b{$\mu$}_{\scriptsize \b{$X$}}\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}\int_{\mathbb{R}^{B-1}} g_1(\b{${\sf Z}$})f(-\b{${\sf Z}$}'\b{${\sf Z}$})d\b{${\sf Z}$} $\vspace{0.3cm}
  \item[$\bullet$] $ \Sigma_{\scriptsize \b{$X$}}\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}\int_{\mathbb{S}^B} (\b{$X$}\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}\b{$\mu$}_{\scriptsize \b{$X$}})(\b{$X$}\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm} \b{$\mu$}_{\scriptsize \b{$X$}})'f(\b{$X$})d\b{$X$}  \hspace{0.2cm}\Rightarrow$ $\Sigma_{\scriptsize \b{$X$}}\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}\int_{\mathbb{R}^{B-1}} g_2(\b{${\sf Z}$})f(-\b{${\sf Z}$}'\b{${\sf Z}$})d\b{${\sf Z}$}$\vspace{0.5cm}  
  \item[$\bullet$] $\b{${\sf Z}$}\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm} \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\textbf{\sf R}')^{-1}(\text{alr}(\b{$X$})-\b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}}})$\,; \hspace{1.7cm}$\textbf{\sf R}$ cholesky de $\Sigma_{\scriptsize {\b{$Y$}}}$\vspace{0.2cm}
  \item[$\bullet$] $g_1(\b{${\sf Z}$})=\pi^{-\frac{B-1}{2}} \text{agl}\left(\b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}}}+\sqrt{2}\textbf{\sf R}'\b{${\sf Z}$}\right)$
  \item[$\bullet$] $g_2(\b{${\sf Z}$})=\pi^{-\frac{B-1}{2}}\hspace{-0.1cm}                    \left(\hspace{-0.1cm} \text{agl}(\b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}}}\hspace{-0.1cm} +\hspace{-0.1cm}\sqrt{2}\textbf{\sf R}'\b{${\sf Z}$})\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm} \b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$X$}}}\right)\hspace{-0.1cm}\left(\hspace{-0.1cm} \text{agl}(            \b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}}}\hspace{-0.1cm}+\hspace{-0.1cm}\sqrt{2}\textbf{\sf R}'\b{${\sf Z}$})\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}\b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$X$}}}
\right)'$
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo}
\begin{figure}
\vspace{-0.5cm}
\begin{minipage}[b]{0.50\linewidth}
  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{./figs/-001}
\vspace{-0.5cm}
\caption{Distribuição das localizações na área de estudo.}
\vspace{-2cm}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[b]{0.50\linewidth}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Gonçalves (1997): \\Tese - ESALQ-USP;\\ \vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] Área: quadrante irrigado por um sistema pivô-central;\\ \vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] Grade de amostragem $20\times20$m \\\vspace{0.2cm}
 $\Rightarrow$ $76$ amostras: $\left\{ \begin{array}{l}
                                         Areia\\
                                         Silte\\
                                         Argila.
                                        \end{array}  \right.$
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo}
\vspace{-0.2cm}
\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[height=0.55\textwidth,width=0.55\textwidth]{./figs/-002}
\vspace{-0.5cm}
\caption{Distribuição de areia, silte e argila e diagrama ternário das composições.}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo}
\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[height=0.35\textwidth,width=0.9\textwidth]{./figs/-003}
\caption{Distribuição das log-razão e correspondente diagrama de dispersão.}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo}
\begin{table}[htb]
 \caption{Estimativas, erros padrão e intervalos de confiança pelo método delta via método de otimização ``L-BFGS-B''.}
 \label{tab:est}
 \centering
 \begin{tabular}{c|rrrr}
 \hline
   Parâmetros  & Estimativas & Erro Padrão &   LI. Delta &  LS. Delta\\ \hline
      $\mu_1$  & -0,7598  & 0,44029  & -1,20017 &  -0,3195\\
      $\mu_2$  & -0,7941  & 0,22857  & -1,02268 &  -0,5655\\
   $\sigma_1$  &  0,4504  & 0,12080  &  0,32968 &  0,5712\\
   $\sigma_2$  &  0,1152  & 0,05153  &  0,06375 &  0,1668\\
     $\tau_1$  &  0,2870  & 0,04510  &  0,24191 &  0,3321\\
     $\tau_2$  &  0,2669  & 0,03142  &  0,23555 &  0,2984\\
       $\phi$  & 66,9084  & 42,55386 & 24,35460 & 109,4623\\
       $\rho$  &  0,9544  &  0,06803 &  0,88638 &   1,0224\\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo}
\vspace{-0.2cm}
\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[height=0.5\textwidth,width=0.9\textwidth]{./figs/-004}
\vspace{-0.2cm}
\caption{Mapas das porcentagens de areia, silte e argila obtidos por quadratura de Gauss-Hermite (A-C) e por simulação (D-F).}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Conclusão}
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Construção de mapas de areia, silte e argila garantindo que as frações somem $1$, nos pontos observados e preditos;
   \item[$\bullet$] Modelo captura variações espaciais, induzidas pelas composições e não estruturadas;
   \item[$\bullet$] Declaração explícita do modelo permite fazer inferências sobre parâmetros;
   \item[$\bullet$] Possibilidade de tratamento Bayesiano para considerar nas predições a incerteza associada à estimação dos parâmetros;
   \item[$\bullet$] Estimação de outros funcionais;
   \item[$\bullet$] Necessidade de investigar alternativas para computação mais eficiente e formas de especificação do modelo para um número maior de componentes.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bibliografia}
\beamertemplatearticlebibitems
\begin{footnotesize}
\vspace{-0.2cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] AITCHISON, J., \textit{The statistical analysis of compositional data}, New Jersey: The Blackburn Press, $1986$.
%\item[$\bullet$] BANERJEE, S.; CARLIN B.P.; GELFAND, A.E., \textit{Hierachical modelling and analysis for spatial data}, Boca Raton: Chapman and Hall, $2004$.
\item[$\bullet$] DIGGLE, P.J.; RIBEIRO JR, P.J., \textit{Model-based geostatistics}, USA: Springer Series in Statistics, $2007$. 
\item[$\bullet$] GONÇALVES, A.C.A., \textit{Variabilidade espacial de propriedades físicas do solo para fins de manejo da irrigação}. $1997$. $119$p. Tese (Doutorado em Agronomia) - ESALQ-USP, São Paulo, Piracicaba.
\item[$\bullet$] PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R.A., \textit{Geostatistical analysis of compositional data}, New York: Oxford University Press, Inc., $2004$.
\item[$\bullet$] SCHMIDT, A.M.; GELFAND, A.E., A bayesian coregionalization approach for multivariate pollutant data. \textit{Journal of Geophysical Research}, v. 108, p. 10-1-18-8, $2003$.
\item[$\bullet$] SCHMIDT, A.M.; SANSÓ, B., Modelagem bayesiana da estrutura de covariância de processos espaciais e espaço temporais, In: \textit{17 SINAPE e ABE}, Caxambu: Associação Brasileira de Estatística, $2006$, Minicurso.
\item[$\bullet$] TJELMELAND, H.; LUND, K.V., Bayesian modelling of spatial compositional data. \textit{Journal of Applied Statistics}, v. 30, n. 1, p. 87–100, $2003$.
\end{itemize}
\end{footnotesize}
\end{frame}

%\begin{frame}{Bibliografia}
%\beamertemplatearticlebibitems
%\begin{footnotesize}
%\begin{itemize}

%\item[$\bullet$] AITCHISON, J. The statistical analysis of compositional data. \textbf{Journal of the Royal Statistical Society}, \textbf{Series B}, v. 44, n.2, p. 139-177, $1982$.\\ \vspace{0.2cm}

%\item[$\bullet$] AITCHISON, J.; BARCELÓ-VIDAL, C.; MARTÍN-FERNANDÉZ, J. A.; PAWLOWSKY-GLAHN, V. Logratios analysis and compositional distance. \textbf{Mathematical Geology}, v. 32, n.3, p. 563-580, $2000$.\\ \vspace{0.2cm}

%\item[$\bullet$] AITCHISON, J.; EGOZCUE, J. J. Compositional date analysis: where are we and where should we be hesding?. \textbf{Mathematical Geology}, v. 37, n.7, p. 829-850, oct. $2005$.\\ \vspace{0.2cm}

%\item[$\bullet$] BOOGAART, K.G.v.d.  Using the R package "compositions", v. 0.9, $2005$. Disponível em: {\scriptsize $<$http:$//$www.stat.boogaart.de$/$compositions$/$ UsingCompositions.pdf$>$}. Acesso em: $09/02/08$.\\ \vspace{0.2cm}

%\item[$\bullet$] BUTLER, A.; GLASBEY, C. A latent Gaussian model for compositional data with zeros. \textbf{Journal of the Royal Statistical Society}, \textbf{Series C} (in press), $2008$. Disponível em: {\scriptsize  $<$http:$//$www.bioss.ac.uk$/$staff$/$adam$/$documents$/$ButlerGlasbey\_ resubmit.pdf$>$}. Acesso em: $13/02/08$.\\\vspace{0.2cm}
%\item[$\bullet$] DIGGLE, P. J.; RIBEIRO JR, P. J. e CHRISTENSEN, O. F. An introduction to model-based geostatistics. \textbf{Spatial Statistics and Computational Methods}, New York: M{\o}ller, J. Springer, p. 43-86, $2003$ \\
%\end{itemize}
%\end{footnotesize}
%\end{frame}

%\begin{frame}{Bibliografia}
%\beamertemplatearticlebibitems
%\begin{footnotesize}
%\begin{itemize} 

%\item[$\bullet$] DIGGLE, P. J.;TAWN, J. A.; MOYEED, R. A. Model-based geostatistics.\textbf{Applied Statistics},v. 47, n.3, p. 299-350, $1998$. Disponível $<$http:$//$em citeseer.ist.psu.edu$/$diggle98modelbased.html$>$, Acesso em:10/01/08. \\\vspace{0.1cm}

%\item[$\bullet$] GRAF, M. Precision of compositional data in a stratified two-Stage cluster sample: comparison of the swiss earnings structure survey 2002 and 2004.\textbf{Survey Research Methods Section, ASA }, Session 415: Sample Survey Quality V, 3066-3072, $2006$. Disponível em: {\scriptsize      $<$http:$//$www. amstat.org$/$sections$/$SRMS$/$proceedings$/$y2006$/$Files$/$JSM2006-000771.pdf$>$}. Acesso em: $18/05/08$.\\\vspace{0.1cm}

%\item[$\bullet$] LABUS, M. Compositional data analysis as a toll for interpretation of rock porosity parameters. \textbf{Geological Quarterly}, v. 49, n.3, p. 347-354, $2005$ \\\vspace{0.1cm}

%\item[$\bullet$] ODEH, I. O. A.; TOOD, A. J.; TRIANTAFILIS, J. Spatial prediction of soil particle-size fractions as compositional data. \textbf{Soil Science}, v. 168, n.7, p. 501-515, July $2003$.\\\vspace{0.2cm}
%\end{itemize}
%\end{footnotesize}
%\end{frame}

%\begin{frame}{Bibliografia}
%\beamertemplatearticlebibitems
%\begin{footnotesize}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R. A.; DAVIS, J. C. Estimation of regionalized compositions: a comparison of three methods. \textbf{Mathematical Geology}, v.27, n.1, p. 105-127. $1995$.\\

%\item[$\bullet$] REYMENT, R. A. and SAVAZZI E. \textbf{Aspects of multivariate statistical analysis in geology}. Amsterdam: Elsevier, $1999$.\\

%\item[$\bullet$] TOLOSANA-DELGADO, R.; OTERO, N.; PAWLOWSKY-GLAHN, V. Some Basic Concepts of Compositional Geometry. \textbf{Mathematical Geology}, v. 37, n.7, p. 563-580, oct $2005$.\\

%\item[$\bullet$] WALVOORT, D. J. J.; GRUIJTER, J. J. Compositional kriging: A spatial interpolation method for compositional data. \textbf{Mathematical Geology}, v.33, n.8, p. 951-966, nov $2001$.
%\end{itemize}
%\end{footnotesize}
%\end{frame}

\begin{frame}
\begin{center}
\textbf{OBRIGADA PELA ATENÇÃO!}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{Agradecimentos}
\begin{itemize}
\item DES - Departamento de Estatística, UEM. \vspace{0.3cm}
\item PPGMNE - Programa de Pós-Graduação em \\\vspace{0.1cm} \hspace{2cm}Métodos Numéricos em Engenharia, UFPR. \vspace{0.3cm}
\item LEG - Laboratório de Estatística e Geoinformação, UFPR.  \vspace{0.3cm}
\item CNPQ - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e \\\vspace{0.1cm} \hspace{1.5cm}Tecnológico. \vspace{0.3cm}
\item FINEP projeto CT-INFRA/UFPR.
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}

\end{document}