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\title[Predição Espacial Bayesiana Para Dados Composicionais]{Predição Espacial Bayesiana Para Dados Composicionais} % \title[rodapé]{Título}

\author[Ana Beatriz Tozzo Martins]{Aluna de Doutorado: Ana Beatriz Tozzo Martins \and \\ Orientador: Paulo Justiniano Ribeiro Junior \\
Universidade Federal do Paraná \\ Programa de Pós-Graduação em
Métodos Numéricos em Engenharia}
\date{19 de outubro de 2009}

\begin{document}

\frame{\titlepage}

\section{Introdução}
\subsection{Tese}
\frame{ \frametitle{TESE} \vspace{-0.3cm}
  \begin{itemize}
  \item[1.] Introdução    \vspace{-0.1cm}            
  \item[2.] Revisão da Literatura:\vspace{-0.3cm}
     \begin{itemize}
       \item[$\bullet$] Modelo Geoestatístico Gaussiano;                 \vspace{-0.2cm}
       \item[$\bullet$] Predição Linear Espacial- Clássica e Bayesiana; \vspace{-0.2cm}
       \item[$\bullet$] Matriz de Covariância, Correlação e Variograma Cruzado;\vspace{-0.2cm}
       \item[$\bullet$] Modelo Multivariado;\vspace{-0.2cm}
       \item[$\bullet$] Dados Composicionais; \vspace{-0.2cm}
     \end{itemize}
  \item[3.] Material e Métodos: \vspace{-0.2cm}
     \begin{itemize}
       \item[$\bullet$] Modelo Geoestatístico Composicional - Clássica e Bayesiana;\vspace{-0.2cm}
       \item[$\bullet$] Análise de Dados Composicionais Simulados;
     \end{itemize}\vspace{-0.3cm}
  \item[4.] Resultados: Análise de frações granulométricas de um solo; \vspace{-0.3cm}
  \item[5.] Conclusão.\vspace{-0.3cm}
 \end{itemize}
}

\subsection{Motivação}
\frame{ \frametitle{MOTIVAÇÃO} \vspace{-0.5cm}
\begin{figure}
\begin{minipage}[b]{0.50\linewidth}
  \centering
  \includegraphics[width=\linewidth]{fotopivo}
\vspace{-1.2cm}
\caption{Quadrante irrigado por sistema pivô-central no campo experimental da ESALQ-USP.}\vspace{-0.7cm}
\end{minipage}\hfill 
\begin{minipage}[b]{0.50\linewidth}%\vspace{-2cm}
\begin{center}
 \textbf{SOLO}                 \\  \vspace{-0.1cm}
 frações granulométricas\\(composição) \\  \vspace{-0.1cm}
 $\Downarrow$                  \\  \vspace{-0.1cm}
 propriedades físico$-$hídricas\\  \vspace{-0.1cm}
 $\Downarrow$                  \\ \vspace{-0.1cm}
 prática agrícola              \\ \vspace{-0.1cm}
 $\Downarrow$                  \\  \vspace{-0.2cm}
 agricultura de precisão
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}
}

\subsection{Dados Composicionais - Aitchison (1986)}
\frame{ \frametitle{Dados Composicionais - Aitchison (1986)} 
\vspace{-1.3cm}
\begin{figure}
\begin{minipage}[b]{0.43\linewidth} 
  \includegraphics[width=\linewidth]{DigTerrbras09}
\vspace{-1.2cm}
\caption{Diagrama Ternário das composições.}
\vspace{-1cm}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[b]{0.54\linewidth}\vspace{1.5cm}
$\bullet$ \hspace{-0.1cm}\textbf{Composição:}\hspace{-0.1cm}
  $\b{X}\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}(X_1,X_2,...,X_B)'$  \\  
  $X_i \geqslant 0$;  \hspace{0.2cm} $X_1 +\,X_2 +  \dots  + X_B = 1$ \\ %\vspace{0.2cm}
  $\mathbb{S}^B\hspace{-0.15cm}=\hspace{-0.15cm} \{ \b{X}\hspace{-0.1cm} \in \hspace{-0.1cm}\mathbb{R}^B; X_i \hspace{-0.1cm}>\hspace{-0.1cm}0, \b{1}'\b{X}=1\hspace{-0.1cm} \}$\\ %\vspace{0.2cm}
$\bullet$ \textbf{Base}: $\b{W}\hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm}(W_1,W_2,...,W_B)'$\\ %\vspace{0.2cm}
 $\mathbb{R}^B_+ \hspace{-0.1cm}=\hspace{-0.1cm} \{ \b{W}\hspace{-0.1cm} \in \hspace{-0.1cm}\mathbb{R}^B; W_i \hspace{-0.1cm}>\hspace{-0.1cm}0, i=1,...,B \}$ \\
$\bullet$ \textbf{Operador~fechamento:} \vspace{-0.1cm}
\hspace{1cm}$\begin{array}{cccl}
     \mathcal{C}:& \mathbb{R}^B_+  &  \longrightarrow & \mathbb{S}^B \\ 
                 & \b{W}  &  \longrightarrow & \mathcal{C}[\b{W}]=\dfrac{\b{W}}{\b{1}'\b{W}}\\
   \end{array}$
\end{minipage}
\end{figure}
}

\subsection{Literatura}
\frame {\frametitle{LITERATURA}\vspace{-0.2cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Dados composicionais:
 \begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Aitchison (1986). %\vspace{0.2cm}
 \end{itemize}
 \item[$\bullet$] Modelos espaciais uni e multivariados:
 \begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Diggle e Ribeiro Jr (2007);%\vspace{0.2cm}
   \item[$\bullet$] Schmidt e Gelfand (2003);%\vspace{0.2cm}
   \item[$\bullet$] Banerjee, Carlin e Gelfand (2004);%\vspace{0.2cm}
   \item[$\bullet$] Schmidt e Sansó (2006). %\vspace{0.2cm}
 \end{itemize} 
 \item[$\bullet$] Combinação de dados composicionais e espaciais:
 \begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Pawlowsky e Olea (2004); %\vspace{0.2cm}
   \item[$\bullet$] Tjelmeland e Lund (2003).
 \end{itemize}
\end{itemize}
}

\subsection{Objetivo}
\frame { \frametitle{OBJETIVO} \vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] Estender o modelo geoestatístico bivariado para dados composicionais, derivando e implementando estimação via inferência bayesiana baseada na verossimilhança; \\ \vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] Obter preditores espaciais no simplex que permitam a construção de mapas de predição das frações do solo na área de estudo.
\end{itemize}
}

\subsection{Fundamentos Para Análise de Dados Composicionais}
\frame {\frametitle{Fundamentos Para Análise de Dados Composicionais} \vspace{-0.2cm} 
\textbf{Transformação razão log-aditiva} (alr): \vspace{-0.2cm} 
$$
\begin{array}{cccl}
\text{alr} \ : & \! \mathbb{S}^B  & \! \longrightarrow &  \mathbb{R}^{B-1}         \\
               & \! \b{X}(\b{x})         & \! \longrightarrow &  \text{alr} \big(\b{X}(\b{x})\big)=\left(\text{ln}\dfrac{X_1(\b{x})}{X_B(\b{x})},\dots, \text{ln}\dfrac{X_{B-1}(\b{x})}{X_B(\b{x})} \right)'
\end{array}
$$ \vspace{-0.2cm}
Composição:~$\b{X}(\b{x})=(X_1(\b{x}),\,X_2(\b{x}),\,X_3(\b{x}))'=(\text{Areia},\text{Silte},\text{Argila})'$\\ \vspace{0.2 cm}
\hspace{2.15cm}$\b{$Y$}(\b{x})=(Y_1(\b{x}),\,Y_2(\b{x}))'=\left(\text{ln}\dfrac{X_1(\b{x})}{X_3(\b{x})},\text{ln}\dfrac{X_2(\b{x})}{X_3(\b{x})}\right)'$
\\\vspace{0.2cm}
\textbf{Transformação logística generalizada aditiva} (agl):  agl=alr$^{-1}$ \vspace{-0.3cm}
\begin{flushright}
Pawlowsky e Olea (2004).
\end{flushright}
}

%\section{Modelo Espacial}
\frame {\frametitle{MODELO ESPACIAL} \vspace{-0.3cm}
 Modelo geoestatístico bivariado para dados composicionais:\\\vspace{-0.8cm}
 \begin{eqnarray*}\left\{
   \begin{array}{ccl}
 Y_{1}(\b{$x$}_i)       & = &\mu_1(\b{$x$}_i)+\sigma_{1}U(\b{$x$}_i;\phi)+\tau_1Z(\b{$x$}_i;\rho) \\
 Y_{2}(\b{$x$}_{i^{'}}) & = & \mu_2(\b{$x$}_{i^{'}})+\sigma_{2}U(\b{$x$}_{i^{'}};\phi)+\tau_2Z(\b{$x$}_{i^{'}};\rho)    \\
   \end{array}
                  \right.
   \label{eq:bivarComU}
\end{eqnarray*}
\vspace{-0.4cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] $\b{$x$}_i,\b{$x$}_{i'} \in \mathbb{R}^{2}$;\,\, $i,i^{'}=1,...,n_1$,\, $n_1$  tamanho amostral; %\vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] $\b{$Y$}_{n\times 1}(\b{x}) = \left(Y_1(\b{$x$}_1),Y_2(\b{$x$}_1),\dots,Y_1(\b{$x$}_{n_{1}}),Y_2(\b{$x$}_{n_{1}})\right)^{'}$;%\vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] $U \sim N(\b{0};\,\Sigma_U)$, $\Sigma_U$: {\small var. unitárias, função de $\rho_U(\phi)$ exponencial}; %\vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] $Z \sim N(\b{0};\Sigma_Z)$, $\Sigma_Z$: {\small var/cov em função de $\rho$ induzida pela estrutura composicional.}
\end{itemize}
}

%\subsection{continuação}
\frame {\frametitle{MODELO ESPACIAL} \vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] $\b{$\theta$}=(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\tau_1,\tau_2,\phi,\rho)'$ \hspace{-0.2cm} $\rightarrow$  $\b{$\theta$}^*=(\eta,\nu_1,\nu_2,\phi,\rho)'$\\\vspace{0.3cm}
  \item[$\bullet$] \textbf{Log-Verossimilhança $\rightarrow$ Normal multivariada com EMV}:\\ \vspace{0.2cm} $\hat{\b{$\mu$}}=(\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\textbf{D})^{-1}(\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$})$  \hspace{0.2cm} e \hspace{0.2cm} $\hat{\sigma}_1=\sqrt{\hat{Q}e/n}$
  $$\hat{Q}e=(\b{$Y$}-\textbf{D}\hat{\b{$\mu$}})'\textbf{V}^{-1}   (\b{$Y$}-\textbf{D}\hat{\b{$\mu$}})$$
  \item[$\bullet$] \textbf{Log-verossimilhança concentrada $\rightarrow$ solução numérica}:\\\vspace{0.3cm}
$l(\b{$\theta$}^*,\b{$Y$})=-0,5\left[ \text{ln}(|\textbf{V}|) + n\left(\text{ln}(2\pi) + \text{ln}(\hat{Q}e) - \text{ln}(n)+ 1\right) \right]$ 
 \end{itemize}
}
\section{Inferência Bayesiana}
\frame {\frametitle{INFERÊNCIA BAYESIANA} \vspace{-0.3cm}
 \begin{itemize}
  \item[$\bullet$] $\b{$\theta$}=(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\tau_1,\tau_2,\phi,\rho)'$ \hspace{0.2cm} $\rightarrow$ variáveis aleatórias   \\%\vspace{0.3cm}
  \item[$\bullet$] Dist conjunta = veros. x \textit{priori}: \hspace{0.1cm}$P(\b{$Y$},\b{$\theta$})=P(\b{$Y$}|\b{$\theta$})\,P(\b{$\theta$}).$
  \item[$\bullet$] \textbf{Teorema de Bayes} $\Rightarrow$ distribuição à \textit{posteriori} de $\b{$\theta$}$:
$$ P(\b{$\theta$}|\b{$Y$})=\dfrac{P(\b{$\theta$},\b{$Y$})}{P(\b{$Y$})}
                          =\dfrac{P(\b{$Y$}|\b{$\theta$})P(\b{$\theta$})}{P(\b{$Y$})} 
                          =\dfrac{P(\b{$Y$}|\b{$\theta$})P(\b{$\theta$})}
                                 {\int P(\b{$\theta$},\b{$Y$})d\b{$\theta$}} \propto P(\b{$Y$}|\b{$\theta$})P(\b{$\theta$}),$$
  \item[$\bullet$] \textbf{Resumos estatísticos} como esperanças à posteriori de funções de $\b{$\theta$}$:
$$E(f(\b{$\theta$})|\b{$Y$})=
\dfrac{\int f(\b{$\theta$})P(\b{$\theta$})P(\b{$Y$}|\b{$\theta$})d\b{$\theta$}}
      {\int P(\b{$\theta$})P(\b{$Y$}|\b{$\theta$})d\b{$\theta$}}
\propto \int f(\b{$\theta$})P(\b{$\theta$})P(\b{$Y$}|\b{$\theta$})d\b{$\theta$}.$$
  \end{itemize}
}
\subsection{continuação}
\frame {\frametitle{INFERÊNCIA BAYESIANA (cont.)} \vspace{-0.3cm}
 \begin{itemize}
  \item[$\bullet$] \textbf{Resolução}:  \\ 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{aproximação de Laplace}: Nott, Fielding e Leonte (2009),       Gelman, Carlin, Stern e Rubin (2003), Gilks, Richardson e Spiegelhalter (1996);\\ %\vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] \textbf{quadratura de Gauss-Hermite}:
      Paulino, Turkman e Murteira (2003), Gamerman (2006), Abramowitz e Stegun (1972);\\ %\vspace{0.2cm}
\item[$\bullet$] \textbf{integração Monte Carlo - Cadeias de Markov de Monte Carlo (MCMC)}: Gamerman (2006), Lee (2004), Gelman, Carlin, Stern e Rubin (2003), Gill (2002), Gilks, Richardson e Spiegelhalter (1996).
 \end{itemize}
  \end{itemize}
}
%\subsection{continuação}
\frame {\frametitle{INFERÊNCIA BAYESIANA (cont.)} \vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] $\b{$\theta$}=(\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\tau_1,\tau_2,\phi,\rho)'$\\ \vspace{0.4cm}
 \item[$\bullet$] $\b{$\theta$}^{*}=(\eta,\nu_1,\nu_2,\phi,\rho)$ \hspace{0.1cm}e\hspace{0.1cm} $(\b{$\mu$}, \sigma_1^2)$\hspace{0.1cm} independentes\\ \vspace{0.4cm}
 \item[$\bullet$] \textbf{Distribuição à \textit{posteriori}} de $\b{$\theta$}$:\\ \vspace{0.2cm} $P(\b{$\mu$},\sigma_1^2,\b{$\theta$}^{*}|\b{$Y$})\propto P(\b{$Y$}|\b{$\mu$},\sigma_1^2,\b{$\theta$}^{*})P(\b{$\mu$},\sigma_1^2)P(\b{$\theta$}^{*})$\\ \vspace{0.4cm}

\end{itemize}
}
%\subsection{continuação}
\frame {\frametitle{PRIORIS} \vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] \textbf{Prioris}: 
   \begin{itemize}
     \item[$\bullet$] $P(\b{$\mu$},\sigma_1^2)\propto \dfrac{1}{\sigma_1^2}$;\vspace{0.4cm}
     \item[$\bullet$] $P(\b{$\mu$}|\sigma_1^2)=1$;                           \vspace{0.2cm}
     \item[$\bullet$] $P(\eta)$, $P(\nu_1)$ e $P(\nu_2)$: lognormais com parâmetros correpondentes àsrazões das estimativas de máxima verossim.; \vspace{0.2cm}
     \item[$\bullet$] $P(\phi)=Gama(66,1)$;\vspace{0.2cm}
     \item[$\bullet$] $P(\rho)=1$
    \end{itemize}
\end{itemize}
}

%\subsection{continuação}
\frame {\frametitle{Distribuições à Posteriori} \vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] $\displaystyle\int_{\b{$\theta$}^{*}} P(\b{$\mu$},\sigma_1^2,\b{$\theta$}^{*}|\b{$Y$}) d\b{$\theta$}^{*}\propto \displaystyle\int_{\b{$\theta$}^{*}}P(\b{$Y$}|\b{$\mu$},\sigma_1^2,\b{$\theta$}^{*})P(\b{$\mu$},\sigma_1^2)P(\b{$\theta$}^{*})d\b{$\theta$}^{*}$\\ \vspace{0.4cm}
  \item[$\bullet$] $\begin{array}{lll} P(\b{$\mu$},\sigma_1^2|\b{$Y$})  & \propto & P(\b{$Y$}|\b{$\mu$},\sigma_1^2,\b{$\theta$}^{*})\dfrac{1}{\sigma_1^2}\displaystyle\int_{\b{$\theta$}^{*}}P(\b{$\theta$}^{*})d\b{$\theta$}^{*}.\\
      & \propto  & \dfrac{1}{\sigma_1^2}P(\b{$Y$}|\b{$\mu$},\sigma_1^2,\b{$\theta$}^{*})                   \end{array}$\\ \vspace{0.5cm}
 \item[$\bullet$] $\left[ \b{$\mu$}| \b{Y},\sigma_1^2\right] \sim N\left(\hat{\b{$\mu$}};\sigma_1^2 \left(\textbf{D}'\textbf{V}_{{\scriptsize \b{Y}}}^{-1} \textbf{D}\right)\hspace{-0.1cm}^{-1}\hspace{-0.1cm}\right)$     $\hat{\b{$\mu$}}=(\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\textbf{D})^{-1}(\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$})$\\ $ \left[ \sigma_1^2| \b{Y}\right] \sim \chi_{{\scriptsize \text{Sinv}}}^2 \left(n-n_{{\scriptsize \b{$\mu$}}};S^2 \right)$ \hspace{1cm} $S^2=\dfrac{\left(\b{Y}-\textbf{D}\hat{\b{$\mu$}}\right)'\textbf{V}_{{\scriptsize \b{Y}}}^{-1} \left(\b{Y}-\textbf{D}\hat{\b{$\mu$}}\right)}{n-n_{{\scriptsize \hat{\b{$\mu$}}}}}.$
\end{itemize}
}
%\subsection{continuação}
\frame {\frametitle{Algoritmo Metropolis-Hastings} \vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] $\theta^{(t)}\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}\theta^{(t+1)}\textbf{:}\hspace{0.2cm} \theta'$ de $q(\cdot|\theta^{(t)})$ com probabilidade $\alpha(\theta^{(t)},\theta')$ 
 \item[$\bullet$] Passos:\vspace{-0.1cm}
\begin{itemize}
\item[1.] Escolher número de simulações - n \vspace{-0.1cm}
\item[2.] Iniciar o contador de iterações - t=1\vspace{-0.1cm}
\item[3.] Valor inicial $\theta^{(t)}$\vspace{-0.1cm}
\item[4.] Gerar $\theta'$ de $q(\cdot|\theta^{(t)})$\vspace{-0.1cm}
\item[5.] Gerar $u \sim U(0;1)$ \vspace{-0.1cm}
\item[6.] $\alpha(\theta;\theta')= \text{min} \left\lbrace 1;\dfrac{P(\b{$Y$}\vert \theta')\,P(\theta')\,q(\theta\vert\theta')}{P(\b{$Y$}\vert \theta)\,P(\theta)\,q(\theta'\vert\theta)} \right\rbrace $
\item[7.] Se $u < \alpha(\theta;\theta') \Rightarrow \theta^{(t)}=\theta'$, cc $\theta^{(t)}=\theta^{(t-1)}$.\vspace{-0.2cm}
\item[8.] Se $t=n$, FIM.\vspace{-0.2cm}
\item[9.] Incrementar o contador $t$ fazendo $t=t+1$.\vspace{-0.2cm}
\item[10.] Voltar para o passo 4.  \hspace{0.2cm} FIM.
\item[11.] FIM.\vspace{-0.1cm}
\end{itemize}
\end{itemize}
}

\subsection{Passos Para Inferência Bayesiana}
\frame {\frametitle{Passos Para Inferência Bayesiana} \vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[1.] Algoritmo Metropolis-Hastings $\Rightarrow$ matriz de covariância do modelo;%\vspace{0.3cm}
 \item[2.] Calcular $\hat{\b{$\mu$}}$ e $S^2$ e amostrar $\sigma_1^2$ de $\left[ \sigma_1^2| \b{Y}\right] \sim \chi_{{\scriptsize \text{Sinv}}}^2 \left(n-n_{{\scriptsize \b{$\mu$}}};S^2 \right)$;%\vspace{0.3cm}
 \item[3.] Calcular $\text{Var}(\b{$\mu$})$: $\left[ \b{$\mu$}| \b{Y},\sigma_1^2\right] \sim N\left(\hat{\b{$\mu$}};\sigma_1^2 \left(\textbf{D}'\textbf{V}_{{\scriptsize \b{Y}}}^{-1} \textbf{D}\right)^{-1}\right)$;%\vspace{0.3cm}
 \item[4.] Amostrar um valor de $\b{$\mu$}$ de $\left[ \b{$\mu$}| \b{Y},\sigma_1^2\right]$;%\vspace{0.3cm}
 \item[5.] Repetir tantas vezes quanto o número de simulações;
 \end{itemize}
}

\frame {\frametitle{Passos Para Inferência Bayesiana} \vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[$\bullet$] $\displaystyle\int_{\b{$\theta$}^{*}} P(\b{$\mu$},\sigma_1^2,\b{$\theta$}^{*}|\b{$Y$}) d\b{$\theta$}^{*}\propto \displaystyle\int_{\b{$\theta$}^{*}}P(\b{$Y$}|\b{$\mu$},\sigma_1^2,\b{$\theta$}^{*})P(\b{$\mu$},\sigma_1^2)P(\b{$\theta$}^{*})d\b{$\theta$}^{*}$\\ \vspace{0.4cm}
  \item[$\bullet$] $\begin{array}{lll} P(\b{$\mu$},\sigma_1^2|\b{$Y$})  & \propto & P(\b{$Y$}|\b{$\mu$},\sigma_1^2,\b{$\theta$}^{*})\dfrac{1}{\sigma_1^2}\displaystyle\int_{\b{$\theta$}^{*}}P(\b{$\theta$}^{*})d\b{$\theta$}^{*}.\\
      & \propto  & \dfrac{1}{\sigma_1^2}P(\b{$Y$}|\b{$\mu$},\sigma_1^2,\b{$\theta$}^{*})                   \end{array}$\\ \vspace{0.5cm}
 \item[$\bullet$] $\left[ \b{$\mu$}| \b{Y},\sigma_1^2\right] \sim N\left(\hat{\b{$\mu$}};\sigma_1^2 \left(\textbf{D}'\textbf{V}_{{\scriptsize \b{Y}}}^{-1} \textbf{D}\right)\hspace{-0.1cm}^{-1}\hspace{-0.1cm}\right)$     $\hat{\b{$\mu$}}=(\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\textbf{D})^{-1}(\textbf{D}'\textbf{V}^{-1}\b{$Y$})$\\ $ \left[ \sigma_1^2| \b{Y}\right] \sim \chi_{{\scriptsize \text{Sinv}}}^2 \left(n-n_{{\scriptsize \b{$\mu$}}};S^2 \right)$ \hspace{1cm} $S^2=\dfrac{\left(\b{Y}-\textbf{D}\hat{\b{$\mu$}}\right)'\textbf{V}_{{\scriptsize \b{Y}}}^{-1} \left(\b{Y}-\textbf{D}\hat{\b{$\mu$}}\right)}{n-n_{{\scriptsize \hat{\b{$\mu$}}}}}.$
\end{itemize}
}
%\subsection{continuação}
\frame {\frametitle{Passos Para Inferência Bayesiana (cont.)} \vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
 \item[6.] \textbf{Predição espacial}: \vspace{0.2cm}
   \begin{itemize}
     \item[6.1] \textbf{Cokrigagem} de $\b{$Y$}_0$ em $\b{$x$}_0=(\b{$x$}_{10},\b{$x$}_{20},...,\b{$x$}_{n_{2}0})$ com cada conjunto de parâmetros simulados:    \vspace{-0.1cm}
     \begin{itemize}
        \item[$\bullet$] $ \b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}_0|\b{$Y$}}}=
                           \b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}_0}}+
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}_0}{\scriptsize \b{$Y$}}}
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}}{\scriptsize \b{$Y$}}}^{-1}
                           (\b{$Y$}-\b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}}})$ \vspace{0.4cm}
        \item[$\bullet$] $ \Sigma_{\scriptsize {\b{$Y$}_0|\b{$Y$}}}=
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}_0}{\scriptsize \b{$Y$}_0}}-
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}_0}{\scriptsize \b{$Y$}}}
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}}{\scriptsize \b{$Y$}}}^{-1}
                           \Sigma_{{\scriptsize \b{$Y$}}{\scriptsize \b{$Y$}_0}}$
     \end{itemize}\vspace{0.2cm}
     \item[6.2] Gerar uma amostra de $NM\sim(\b{$\mu$}_{\scriptsize {\b{$Y$}_0|\b{$Y$}}};\,\Sigma_{\scriptsize {\b{$Y$}_0|\b{$Y$}}})$ para cada conjunto de parâmetros simulados.\\%\vspace{0.2cm}
     \item[6.3] Aplicar transformação agl. \vspace{-0.1cm}
     \item[6.4] Calcular a média das simulações para cada componente.
   \end{itemize}
\end{itemize}
}
\section{Resultados}
\frame {\frametitle{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo} %\vspace{-0.2cm}
\begin{figure}
\vspace{-0.5cm}
\begin{minipage}[b]{0.50\linewidth}
  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{./figs/-001}
\vspace{-0.7cm}
\caption{Distribuição das localizações na área de estudo.}\vspace{-1.5cm}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[b]{0.50\linewidth}
\begin{itemize}\vspace{-0.5cm}
 \item[$\bullet$] Gonçalves (1997): \\Tese - ESALQ-USP;\\ %\vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] Área:  quadrante irrigado por um sistema pivô-central;\\ %\vspace{0.2cm}
 \item[$\bullet$] {\small Grade de amostragem $20\hspace{-0.1cm}\times\hspace{-0.1cm}20$m}\\ 
 $\Rightarrow$ $76$ amostras: $\left\{ \begin{array}{l}
                                         Areia\\\vspace{-0.1cm}
                                         Silte\\\vspace{-0.1cm}
                                         Argila.
                                        \end{array}  \right.$
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{figure}
}

\subsection{Resultados}
\frame {\frametitle{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo (cont.)} \vspace{-0.3cm}
\vspace{-0.2cm}
\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[height=0.5\textwidth,width=0.5\textwidth]{./figs/-002}
\vspace{-0.7cm}
\caption{{\small Distribuição de areia, silte e argila e diagrama ternário das composições.}}
\end{figure}
}

%\subsection{Resultados}
\frame {\frametitle{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo (cont.)} \vspace{-0.3cm}
\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[height=0.35\textwidth,width=0.9\textwidth]{./figs/-003}
\caption{Distribuição das log-razão e correspondente diagrama de dispersão.}
\end{figure}
}

%\subsection{Resultados}
\frame {\frametitle{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo (cont.)} \vspace{-0.4cm}
\begin{table}[htb] \vspace{-0.3cm}
 \caption{Estimativas e intervalos de $95\%$ de confiança obtidos por inferência Bayesiana considerando-se $12000$ simulações, \textit{burn-in}$=1000$ e salto$=10$.}
 \label{tab:est}\vspace{-0.1cm}
 \centering
 \begin{tabular}{c|rrr}
 \hline \vspace{-0.1cm}
   Parâmetros  & Estimativas &    LI    &    LS    \\ \hline \vspace{-0.2cm}
      $\mu_1$  & -0.7467     & -1.1078  &  -0.4038 \\\vspace{-0.3cm}
      $\mu_2$  & -0.7900     & -0.8958  &  -0.6887 \\\vspace{-0.3cm}
   $\sigma_1$  &  0.1992     &  0.1273  &  0.2889  \\\vspace{-0.3cm}
   $\sigma_2$  &  0.0512     &  0.0247  &  0.0890  \\\vspace{-0.3cm}
     $\tau_1$  &  0.1268     &  0.0978  &  0.1625  \\\vspace{-0.3cm}
     $\tau_2$  &  0.1179     &  0.0884  &  0.1510  \\\vspace{-0.3cm}
       $\phi$  & 65.7278     & 53.7055  &  80.5381 \\\vspace{-0.2cm}
       $\rho$  &  0.9314     &  0.85290 &  0.98854 \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\frame {\frametitle{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo (cont.)} \vspace{-0.3cm}
\begin{figure}[!htb]
 \centering
 \includegraphics[width=\linewidth]{mapabayesby20}
 \caption{Mapas das porcentagens de areia, silte e argila obtidos por inferência Bayesiana.}
\end{figure}
}

\frame {\frametitle{Análise de Frações Granulométricas de Um Solo (cont.)} \vspace{-0.3cm}
\begin{figure}
%\vspace{4cm}
 \centering
 \includegraphics[height=0.45\textwidth,width=0.6\textwidth]{mapaQuaSimBayes}
\vspace{-0.5cm}
 \caption{Mapas das porcentagens de areia, silte e argila por quadratura de Gauss-Hermite (A-C), simulação (D-F) e inferência Bayesiana (G-I).}
\end{figure}
}

\section{Conclusão}
\frame {\frametitle{Conclusão} \vspace{-0.4cm}
{\small
\begin{itemize}
   \item[$\bullet$] Construção de mapas de areia, silte e argila garantindo que as frações somem $1$, nos pontos observados e preditos;\vspace{-0.3cm}
   \item[$\bullet$] Modelo captura variações espaciais, induzidas pelas composições e não estruturadas;\vspace{-0.3cm}
   \item[$\bullet$] Declaração explícita do modelo permite fazer inferências sobre parâmetros tanto pelo método clássico quanto por inferência Bayesiana considerando nas predições a incerteza associada à estimação dos parâmetros;\vspace{-0.3cm}
   \item[$\bullet$] Estimação de outros funcionais;\vspace{-0.3cm}
   \item[$\bullet$] Necessidade de investigar alternativas para computação mais eficiente e formas de especificação do modelo para um número maior de componentes.
\end{itemize}}
}

\section{Bibliografia}
\frame{
\beamertemplatearticlebibitems
\begin{scriptsize}
\vspace{-0.2cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] AITCHISON, J., \textit{The statistical analysis of compositional data}, New Jersey: The Blackburn Press, $1986$.\vspace{-0.2cm}
%\item[$\bullet$] BANERJEE, S.; CARLIN B.P.; GELFAND, A.E., \textit{Hierachical modelling and analysis for spatial data}, Boca Raton: Chapman and Hall, $2004$.
\item[$\bullet$] DIGGLE, P.J.; RIBEIRO JR, P.J., \textit{Model-based geostatistics}, USA: Springer Series in Statistics, $2007$. \vspace{-0.2cm}
\item[$\bullet$] GONÇALVES, A.C.A., \textit{Variabilidade espacial de propriedades físicas do solo para fins de manejo da irrigação}. $1997$. $119$p. Tese (Doutorado em Agronomia) - ESALQ-USP, São Paulo, Piracicaba.\vspace{-0.2cm}
\item[$\bullet$] PAWLOWSKY-GLAHN, V.; OLEA, R.A., \textit{Geostatistical analysis of compositional data}, New York: Oxford University Press, Inc., $2004$.\vspace{-0.2cm}
 \item[$\bullet$] CARLIN, B. P.; LOUIS, T. A., \textbf{Bayesian Methods for Data Analysis}, Boca Raton: Chapman and Hall, Third ed., $2009$.\vspace{-0.2cm}
 \item[$\bullet$] GELMAN, A.; CARLIN, J. B.; STERN, H. S.; RUBIN, D. B., \textbf{Bayesian Data Analysis}, Boca Raton: Chapman and Hall, Second ed., $2003$.\vspace{-0.15cm}
 \item[$\bullet$] GILL, J., \textbf{Bayesian Methods For The Social And Behavioral Sciences}, London: Chapman and Hall, $2002$. \vspace{-0.2cm}
 %\item[$\bullet$] LEE, P. M.,\textbf{Bayesian Statistics}, New York: Arnold, Third ed., $2004$.\vspace{-0.2cm}
 \item[$\bullet$] PAULINO, C. D.; TURKMAN, M. A. A.; MURTEIRA, B., \textbf{Estatística Bayesiana}, Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, $2003$.
\end{itemize}
\end{scriptsize}
}
\frame{
\begin{center}
\textbf{OBRIGADA PELA ATENÇÃO!}
\end{center}
}
\frame {\frametitle{Agradecimentos} %\vspace{-0.3cm}
\begin{itemize}
\item DES - Departamento de Estatística, UEM. %\vspace{0.3cm}
\item PPGMNE - Programa de Pós-Graduação em \\\vspace{0.1cm} \hspace{2cm}Métodos Numéricos em Engenharia, UFPR. %\vspace{0.3cm}
\item LEG - Laboratório de Estatística e Geoinformação, UFPR.  %\vspace{0.3cm}
\item CNPQ - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e \\\vspace{0.1cm} \hspace{1.5cm}Tecnológico. %\vspace{0.3cm}
\item FINEP projeto CT-INFRA/UFPR.
\end{itemize}
}


\end{document}
