\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\documentclass{abnt}
%\usepackage[utf8]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
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\usepackage[all]{xy} %pacote necessário para a figura 1 - isotropia
\usepackage{lscape} %pacote para o cronograma em forma paisagem
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\usepackage{subeqnarray} % pacote necessário para enumerar duas equações dentro do eqnarray e depois referenciá-las
\usepackage{float}     %o package float que disponibiliza a opção H - coloca a imagem MESMO ali!
\usepackage{placeins} % ajusta a posição das figuras e tabelas na pagina certa
 
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%\usepackage{/usr/share/R/share/texmf/Sweave}
\usepackage{Sweave}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\Large Exercícios sobre Verossimilhança - VI}\\
%Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR\\
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Foram tomadas as seguintes observações independentes de uma v.a. $X \sim N(\mu, \sigma^2)$. 
  \begin{itemize}
    \item \verb|56,4   54,2   65,3   49,2   50,1   56,9   58,9   62,5   70,0   61,0| 
    \item sabe-se que outras 5 observações são menores que 50
    \item sabe-se que outras 3 observações são maiores que 65
  \end{itemize}
  \begin{enumerate}
  \item Escrever a função de verossimilhança; 
  \item obter as estimativas de máxima verossimilhança;
  \item obter as verossimilhanças perfilhadas;
  \item obter os erro-padrão das estimativas.
  \end{enumerate}
  
\item Seja $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ uma amostra aleatória de uma distribuição normal bivariada com média zero e matrix de covariância:
\[
\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}
1 & \rho \\
\rho & 1
\end{array}
   \right]
\]
\begin{enumerate}
\item Mostrar que a matrix de informação de Fisher é dada por:
\[\left(\begin{array}{cc}
\frac{n}{\sigma^4} & -\frac{n\rho}{\sigma^2(1-\rho^2)} \\
-\frac{n\rho}{\sigma^2(1-\rho^2)}  & \frac{n(1+\rho^2)}{(1-\rho^2)} 
\end{array}\right)
\]
\item Considere os dados a seguir assumindo que a média é conhecida no valor observado de forma que os valores podem
ser centrados. Obtenha a verossimilhança conjunta de $(\sigma^2, \rho)$. Compare $I_{22}$ com  $I^{-1}_{22}$ e comente os resultados. 
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ccccccccccc}
\hline
x & y & \mbox{} & x & y & \mbox{} & x & y & \mbox{} & x & y \\
\hline
109 & 116 & \mbox{} &  85 &  91 & \mbox{} &  88 &  77 & \mbox{} & 100 &  88  \\
 96 &  95 & \mbox{} & 113 & 115 & \mbox{} &  96 &  79 & \mbox{} & 117 & 119  \\
109 & 113 & \mbox{} & 107 & 100 & \mbox{} & 116 & 122 & \mbox{} & 104 & 115  \\
114 & 109 & \mbox{} & 101 &  95 & \mbox{} &  96 &  94 & \mbox{} &  81 &  90  \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\item Investigue como a aproximação quadrática se comporta neste problema. 
  Tente transformações de $\rho$ e $\sigma^2$ para obter uma função de verossimilhança mais regular.
\item A chamada transformação $z$ de Fisher da correlação amostral
  $$z = \frac{1}{2} \log \frac{1 + \hat{\rho}}{1 - \hat{\rho}}$$
  é aproximadamente normal com
  $$E[Z] = \frac{1}{2} \log \frac{1 + \hat{\rho}}{1 - \hat{\rho}} \;\;\; \mbox{e} \;\;\; {\rm Var}[Z] \frac{1}{n-3}.$$
Compare a verossimilhança de $\rho$ baseada na transformação $z$ de Fisher com a verossimilhança perfilhada.  
\end{enumerate}

\item Considere os dados da tabela a seguir (adaptados/modificados de Montgomery \& Runger, 1994) 
aos quais deseja-se ajustar um modelo de regressão linear simples relacionando a variável resposta $Y$ 
(pureza em \%) a uma variável explicativa $X$ (nível de hidrocarbonetos).
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{l|cccccccccc}
\hline
X & 0.99 & 1.02 & 1.15 & 1.29 & 1.46 & 1.36 & 0.87 & 1.23 & 1.55 & 1.40\\
\hline
Y & 90.01 & 89.05 & 91.43 & 93.74 & 96.73 & 94.45 & 87.59 & 91.77 & 99.42 & 93.65\\
\hline
\hline
X & 1.19 & 1.15 & 0.98 & 1.01 & 1.11 & 1.20 & 1.26 & 1.32 & 1.43 & 0.95\\
\hline
Y & 93.54& 92.52& 90.56& 89.54& 89.85& 90.39& 93.25& 93.41& 94.98& 87.33\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\begin{enumerate}
\item Encontre a função de verossimilhança.
\item Encontre as estimatívas de máxima verossimilhança.
\item Obtenha a verossimilhança conjunta para os parâmetros $\beta_0$ e $\beta_1$:
  \begin{enumerate}
  \item considerando $\sigma$ fixo com valor igual à sua estimativa,
  \item obtendo a verossimilhança (conjunta - 2D) perfilhada em relação a $\sigma$
  \end{enumerate}
\item Obtenha a verossimilhança perfilhada para os parâmetros $\beta_0$ e $\beta_1$ individualmente.
\end{enumerate}

\item Repetir o exercício anterior porém considerando os dados modificados como indicado na  
da tabela a seguir.
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{l|cccccccccc}
\hline
X & 0.99 & 1.02 & 1.15 & 1.29 & 1.46 & 1.36 & 0.87 & 1.23 & 1.55 & 1.40\\
\hline
Y & 90.01 & < 90 & 91.43 & [91, 95] & 96.73 & 94.45 & 87.59 & 91.77 & [96, 100] & 93.65\\
\hline
\hline
X & 1.19 & 1.15 & 0.98 & 1.01 & 1.11 & 1.20 & 1.26 & 1.32 & 1.43 & 0.95\\
\hline
Y & > 92.5 & 92.52& 90.56& 89.54& 89.85& [89, 93]& 93.25& 93.41& > 93 & 87.33\\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\end{enumerate}

\end{document}

