\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\documentclass{abnt}
%\usepackage[utf8]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
%usepackage[normalem]{ulem}  \uwave{x} % vetor x com til em baixo
 
%--------Pacotes para português
\usepackage[brazil,brazilian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{setspace}

%--------Pacotes para Bibliografia-----
\usepackage{abnt-alf}
\usepackage[alf]{abntcite}

%--------Pacotes de uso geral----------
\usepackage{graphicx} % inclui gráfico no texto (EPS, PS)
%\usepackage{pgf}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[all]{xy} %pacote necessário para a figura 1 - isotropia
\usepackage{lscape} %pacote para o cronograma em forma paisagem
\usepackage{rotating}
\usepackage{subeqnarray} % pacote necessário para enumerar duas equações dentro do eqnarray e depois referenciá-las
\usepackage{float}     %o package float que disponibiliza a opção H - coloca a imagem MESMO ali!
\usepackage{placeins} % ajusta a posição das figuras e tabelas na pagina certa
 
%--------Espaço entre linhas-------------
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 

%--------Formato da página-------
%\setlength{\parindent}{1.5cm} % Identação da primeira linha do parágrafo
%\setlength{\mathindent}{1cm}  % DEU ERRO!!!!!!!!!!!!!
%\raggedbottom  % avoid vertical fitting

%--------Tamanho da página-------
%\usepackage[a4paper,top=3cm,left=3cm,right=2cm,bottom=2cm, includeheadfoot, headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\usepackage[a4paper,text={19cm, 25cm},top=2cm,left=2cm,right=1.5cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
\usepackage[a4paper,top=1cm,left=1cm,right=.5cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\setlength\topmargin{1cm}
%\setlength\headheight{0cm}
%\setlength\headsep{0in}
%\setlength\textheight{24cm}
%\setlength\textwidth{15cm}
%\setlength\oddsidemargin{1cm}
%\setlength\evensidemargin{1cm}
%\setlength\parindent{0cm}
%\setlength\parskip{0.3cm} 

\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

%--------Pacote para Sweave--------
%\usepackage{/usr/share/R/share/texmf/Sweave}
%\usepackage{Sweave}


\begin{document}
\begin{center}
  \textbf{\Large Exercícios sobre Verossimilhança - IV}\\
  % Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR\\
\end{center}

\begin{enumerate}
\item O conjunto de dados \verb|Nile| disponível no \verb|R| fornece 
  medidas do fluxo anual do rio Nilo próximo à cidade de Ashwan no período de 1871-1970.
  Assuma que os dados tem distribuição normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
  \begin{enumerate}  
  \item Encontre estimativas de verossimilhança para os parâmetros e seus erros-padrão.
  \item Considere agora que os dados (em múltiplos de 100)
    são apenas fornecidos na forma tabela de frequências a seguir e
    encontre estimativas de verossimilhança para os parâmetros e seus erros-padrão.
    \begin{center}
      \begin{tabular}{lcccccccccc}
        \hline
        Vazão & \multicolumn{10}{c}{Frequência} \\
        \hline
Vazão &  $[ 4,   5)$ &  $[ 5,   6)$ & $[ 6,   7)$ & $[ 7,   8)$ & $[ 8,   9)$ & 
 $[ 9,  10)$ & $[10,  11)$ & $[11,  12)$ & $[12,  13)$ & $[13,  14)$ \\
Frequência &  1 & 0 & 5 & 20 & 25 & 19 & 12 & 11 & 6 & 1 \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \item obtenha os gráficos da função de verossimilhança para os dois casos, dados originais e agrupados;
  \item reagrupe os dados em cinco classes: $[4, 6), [6,8), [8, 10), [10,12), [12,14]$ e obtenha novamente o gráfico da função de verossimilhança comparando com o anterior.  
  \end{enumerate}
  
\item Considere os dados originais e também agrupados do problema anterior e obtenha para cada parâmetro:
  \begin{enumerate}
  \item o gráfico da verossimilhança fixando o outro parâmetro no valor de sua estimativa;
  \item para o caso anterior, mostre em gráfico adequado, para cada parâmetro, as verossimilhanças de cada classe individualmente;
  \item o gráfico do perfil de verossimilhança.
  \end{enumerate}


\item Considere os dados originais do problema anterior e obtenha para cada parâmetro:
  \begin{enumerate}
  \item o gráfico da verossimilhança fixando o outro parâmetro no valor de sua estimativa;
  \item o gráfico do perfil de verossimilhança.
  \end{enumerate}

  
\item Repita as duas questões anteriores assumindo agora que os dados  seguem a v.a. $X \sim \Gamma(\alpha, \beta)$ de densidade:
$$f(x; \theta = (\alpha, \beta)) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \beta^\alpha x^{\alpha - 1} e^{\beta x} \;\; .$$

\item Sugira uma transformação adequada para os parâmetros da Gamma e refaça as análises.

\item Discuta alternativas e encontre regiões e intervalos para os parâmetros dos modelos acima.

\item Considere uma amostra de uma v.a. $Y$ em que assume-se que
$Y_i \sim P(\lambda_i)$ em que o parâmetro $\lambda_i$
é descrito por uma função de uma variável explicativa $\log(\lambda_i) = \beta_0 + \beta_1 x_i$ com
valores conhecidos de $x_i$. Dados simulados com $(\beta_0=2, \beta_1=0.5)$  são mostrados a seguir.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|cccccccccc}
Y & 10 &15 &11 &37 &70 &19 &12 &12 &13 &88\\
\hline
X &1,7& 1,5& 0,5& 2,8& 4,4& 1,8& 0,4& 0,7& 1,3& 5,1\\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Obtenha o gráfico da função de verossimilhança indicando a posição dos valores verdadeiros dos parâmetros.
\item Obtenha os perfis de verossimilhança dos parâmetros.
\item Obtenha estimativas.
\item Obtenha intervalos (use diferentes métodos).
\item Compare os resultados anteriores com os fornecidos pela função \verb|glm()| e discuta os achados. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}

\item 
  \begin{enumerate}
  \item 
  \item 
  \item 
  \end{enumerate}
  
