\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\documentclass{abnt}
%\usepackage[utf8]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
%usepackage[normalem]{ulem}  \uwave{x} % vetor x com til em baixo
 
%--------Pacotes para português
\usepackage[brazil,brazilian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{setspace}

%--------Pacotes para Bibliografia-----
\usepackage{abnt-alf}
\usepackage[alf]{abntcite}

%--------Pacotes de uso geral----------
\usepackage{graphicx} % inclui gráfico no texto (EPS, PS)
%\usepackage{pgf}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[all]{xy} %pacote necessário para a figura 1 - isotropia
\usepackage{lscape} %pacote para o cronograma em forma paisagem
\usepackage{rotating}
\usepackage{subeqnarray} % pacote necessário para enumerar duas equações dentro do eqnarray e depois referenciá-las
\usepackage{float}     %o package float que disponibiliza a opção H - coloca a imagem MESMO ali!
\usepackage{placeins} % ajusta a posição das figuras e tabelas na pagina certa
 
%--------Espaço entre linhas-------------
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 

%--------Formato da página-------
%\setlength{\parindent}{1.5cm} % Identação da primeira linha do parágrafo
%\setlength{\mathindent}{1cm}  % DEU ERRO!!!!!!!!!!!!!
%\raggedbottom  % avoid vertical fitting

%--------Tamanho da página-------
%\usepackage[a4paper,top=3cm,left=3cm,right=2cm,bottom=2cm, includeheadfoot, headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\usepackage[a4paper,text={19cm, 25cm},top=2cm,left=2cm,right=1.5cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
\usepackage[a4paper,top=1cm,left=1cm,right=.5cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\setlength\topmargin{1cm}
%\setlength\headheight{0cm}
%\setlength\headsep{0in}
%\setlength\textheight{24cm}
%\setlength\textwidth{15cm}
%\setlength\oddsidemargin{1cm}
%\setlength\evensidemargin{1cm}
%\setlength\parindent{0cm}
%\setlength\parskip{0.3cm} 

\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

%--------Pacote para Sweave--------
%\usepackage{/usr/share/R/share/texmf/Sweave}
%\usepackage{Sweave}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\Large Exercícios sobre Verossimilhança - III}\\
%Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR\\
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sejam os dados a seguir provenientes de uma amostra aleatória de $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, 
onde vamos assumir que $\sigma^2$ é conhecido e com valor igual a da variância amostral. 
\begin{center}
$73 \;\;\; 75 \;\;\; 84 \;\;\; 76 \;\;\; 93 \;\;\; 79 \;\;\; 85 \;\;\; 80 \;\;\; 76 \;\;\; 78 \;\;\; 80 $
\end{center}
Denote os valores ordenados por $x_{(1)}, x_{(1)}, x_{(2)}, \ldots x_{(11)}$ 
Obtenha e compare os gráficos da função de verossimilhança de $\mu$ para os seguintes casos:
  \begin{enumerate}
  \item o conjunto completo dos dados $x_1, \ldots, x_{11}$ é disponível;
  \item apenas a média amostral $\bar{x}$ é fornecida;
  \item apenas a mediana $x_{(5)}$ é fornecida;
  \item apenas os valores mínimo $x_{(1)}$ e máximo $x_{(n)}$ são fornecidos;
  \item os quartis ($Q_1$, $Q_2$ e $Q_3$) são fornecidos
  \item apenas os dois menores valores $x_{(1)}$ e $x_{(2)}$ são fornecidos.
  \end{enumerate}
  
\item Sejam os dados a seguir provenientes de uma amostra aleatória de $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, 
onde vamos assumir que $\sigma^2$ é conhecido e com valor igual a da variância amostral. 
\begin{center}
$ 0,88 \;\;\; 1,07 \;\;\; 1,27 \;\;\; 1,54 \;\;\; 1,91 \;\;\; 2,27 \;\;\; 3,84 \;\;\; 4,50 \;\;\; 4,64 \;\;\; 9,41 $
\end{center}
Obtenha o gráfico da função de verossimilhança, encontre as estimativa e erros padrão comentando sobre a aproximação 
quadrática dos seguintes parâmetros:
  \begin{enumerate}
  \item $e^{-\mu}$ ;
  \item o probabilidade de excedência $P(X > 3)$ ;
  \item o coeficiente de variação $\sigma/\mu$.
  \end{enumerate}
  
\item Seja dados binomiais com $n=12$ e $x = 9$
Obtenha o gráfico da função de verossimilhança, encontre as estimativa e erros padrão comentando sobre a aproximação 
quadrática dos seguintes parâmetros:
  \begin{enumerate}
  \item $g(\theta) = \theta/(1-\theta) $
  \item $g(\theta) = log\{\theta/(1-\theta)\}$
  \item $g(\theta) = arcsen \sqrt{\theta}$
  \end{enumerate}
  Verifique para qual parâmetro o erro padrão é mais rezoável. Compare os intervalos (Wald) 
  para $\theta$ baseados em cada transformação e compare com intervalos baeados na verossimilhança.

\end{enumerate}

\end{document}