\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\documentclass{abnt}
%\usepackage[utf8]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
%usepackage[normalem]{ulem}  \uwave{x} % vetor x com til em baixo
 
%--------Pacotes para português
\usepackage[brazil,brazilian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{setspace}

%--------Pacotes para Bibliografia-----
\usepackage{abnt-alf}
\usepackage[alf]{abntcite}

%--------Pacotes de uso geral----------
\usepackage{graphicx} % inclui gráfico no texto (EPS, PS)
%\usepackage{pgf}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[all]{xy} %pacote necessário para a figura 1 - isotropia
\usepackage{lscape} %pacote para o cronograma em forma paisagem
\usepackage{rotating}
\usepackage{subeqnarray} % pacote necessário para enumerar duas equações dentro do eqnarray e depois referenciá-las
\usepackage{float}     %o package float que disponibiliza a opção H - coloca a imagem MESMO ali!
\usepackage{placeins} % ajusta a posição das figuras e tabelas na pagina certa
 
%--------Espaço entre linhas-------------
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 

%--------Formato da página-------
%\setlength{\parindent}{1.5cm} % Identação da primeira linha do parágrafo
%\setlength{\mathindent}{1cm}  % DEU ERRO!!!!!!!!!!!!!
%\raggedbottom  % avoid vertical fitting

%--------Tamanho da página-------
%\usepackage[a4paper,top=3cm,left=3cm,right=2cm,bottom=2cm, includeheadfoot, headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\usepackage[a4paper,text={19cm, 25cm},top=2cm,left=2cm,right=1.5cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
\usepackage[a4paper,top=1cm,left=1cm,right=.5cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\setlength\topmargin{1cm}
%\setlength\headheight{0cm}
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%\setlength\textheight{24cm}
%\setlength\textwidth{15cm}
%\setlength\oddsidemargin{1cm}
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%\setlength\parindent{0cm}
%\setlength\parskip{0.3cm} 

\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

%--------Pacote para Sweave--------
%\usepackage{/usr/share/R/share/texmf/Sweave}
%\usepackage{Sweave}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\Large Exercícios sobre Verossimilhança - II}\\
%Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR\\
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Seja $X$ uma v.a. com distribuição binomial negativa e definida como
  o número de falhas em uma sequência de ensaios de Bernoulli até que 
  se obtenha o $n$-ésimo sucesso com
  função de probabilidade dada por:
  $$P(X=x) = \dbinom{n+x-1}{x} \theta^n (1-\theta)^x \;\;; \;  x = 0, 1, 2, ... \; ;  n > 0 \mbox{ e } 0 < \theta \leq 1$$
  Considere que o número desejado de sucessos é de  $n=3$.
  \begin{enumerate}
  \item  Obtenha a função de verossimilhança para cada uma das observações a seguir e desenhe todas 
    em um mesmo gráfico que pode ser escalonado, se necessário.
    \begin{enumerate}
    \item Sabe-se que ocorreram exatamente cinco falhas, isto é, $x = 5$.
    \item Sabe-se apenas que o número de falhas é no máximo nove, isto é $x \leq 9$.
    \item Sabe-se que ocorreram entre duas e oito falhas, isto é, $2 \leq x \leq 8$. 
    \end{enumerate}
    
  \item Considere agora que nas condições do problema anterior são obtidas três observações independentes
    dadas pelos itens da questão anterior. Escreva e obtenha um gráfico de função de verosimilhança 
    para o conjunto das observações. Faça o gráfico da função, se possível sobreposto as da questão anterior.
    
  \item Encontre o valor da estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro $\theta$ para cada um dos itens
    de primeira questão e também para as condições da segunda questão.

  \item Considere a reparametrização $\psi = \log(\theta/1-\theta)$ e obtenha o gráfico da função de verossimilhança 
    para $x=5$.

  \item Obtenha para $x=5$ intervalos para $\theta$ das formas a seguir e discuta os resultados.
    \begin{enumerate}
      \item Intervalo de verossimilhança para valores relativos de 20, 15, 10 e 4\%.
      \item Intervalo de confiança de Wilks (pela razão de verossimilhança) para 5 e 1\%.
      \item Intervalo de confiança de Wald (pela aproximação quadrática) para 5 e 1 \%.
      \item Intervalo obtido a partir da transformação inversa dos limites do intervalo de Wilks para $\psi$.
      \item Intervalo obtido a partir da transformação do erro padrão de $\hat(\psi)$ obtido por 
        aproximação quadrática (Wald).
    \end{enumerate}

    \item Avalie graficamente a aproximação quadrática da verossimilhança para $x=5$
    \begin{enumerate}
      \item pelos gráficos de verossimilhança
      \item fazendo um gráfico de $-I^{1/2}(\hat(\theta)) S(\theta) \; \; versus \;\; I^{1/2}(\hat{\theta}) (\theta - \hat{\theta})$  
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
