\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\documentclass{abnt}
%\usepackage[utf8]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
%usepackage[normalem]{ulem}  \uwave{x} % vetor x com til em baixo
 
%--------Pacotes para português
\usepackage[brazil,brazilian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{setspace}

%--------Pacotes para Bibliografia-----
\usepackage{abnt-alf}
\usepackage[alf]{abntcite}

%--------Pacotes de uso geral----------
\usepackage{graphicx} % inclui gráfico no texto (EPS, PS)
%\usepackage{pgf}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[all]{xy} %pacote necessário para a figura 1 - isotropia
\usepackage{lscape} %pacote para o cronograma em forma paisagem
\usepackage{rotating}
\usepackage{subeqnarray} % pacote necessário para enumerar duas equações dentro do eqnarray e depois referenciá-las
\usepackage{float}     %o package float que disponibiliza a opção H - coloca a imagem MESMO ali!
\usepackage{placeins} % ajusta a posição das figuras e tabelas na pagina certa
 
%--------Espaço entre linhas-------------
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 

%--------Formato da página-------
%\setlength{\parindent}{1.5cm} % Identação da primeira linha do parágrafo
%\setlength{\mathindent}{1cm}  % DEU ERRO!!!!!!!!!!!!!
%\raggedbottom  % avoid vertical fitting

%--------Tamanho da página-------
%\usepackage[a4paper,top=3cm,left=3cm,right=2cm,bottom=2cm, includeheadfoot, headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\usepackage[a4paper,text={19cm, 25cm},top=2cm,left=2cm,right=1.5cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
\usepackage[a4paper,top=1cm,left=1cm,right=.5cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\setlength\topmargin{1cm}
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%\setlength\parskip{0.3cm} 

\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

%--------Pacote para Sweave--------
%\usepackage{/usr/share/R/share/texmf/Sweave}
%\usepackage{Sweave}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\Large Exercícios sobre Verossimilhança - I}\\
%Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR\\
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Seja $X$ uma v.a. com distribuição binomial com  $n=12$.
  Obtenha a função de verossimilhança para cada uma das observações a seguir e desenhe todas 
  em um mesmo gráfico, escalonado se necessário.
  \begin{enumerate}
  \item $x = 5$
  \item $x \leq 10$
  \item $3 \leq x \leq 7$
  \end{enumerate}
  
\item A fim de se obter uma estimativa do público de um jogo sem utilizar dados de venda de ingressos ou registros das roletas do estádio, foram distribuídas camisas especiais para 300 torcedores sob a condição que estes a utilizassem durante um jogo. Durante o jogo foram selecionados ao acaso 250 torcedores verificando-se 12 destes possuiam a camisa.  
  \begin{enumerate}
  \item Obtenha a função de verossimilhança para o número total de torcedores
  \item Obtenha a estimativa pontual e a intervalar, esta última por pelo menos dois métodos diferentes. 
  \item Repita e compare os resultados caso fossem 500 camisas e 20 com camisas dentre os 250. 
  \end{enumerate}
  
  
\item Para $X \sim N(\theta, 1)$ construa e compare as verossimilhanças para cada uma das seguintes observações
  \begin{enumerate}
  \item $x=2.45$
  \item $0.9 < x < 4$
  \item somente o máximo de uma amostra de tamanho cinco é fornecido $x_{(5)} = 3.5$
  \end{enumerate}

\item Para $X \sim N(\theta, 1)$. Construa a função de verossimilhança para dados proveninentes de três amostras 
que forneceram as informações descritas a seguir. Mostre no mesmo gráfico as verossimilahnças individuais e conjunta. Use um escalonamento adequado das funções de verossimilhança para permitir uma melhor visualização.
  \begin{enumerate}
  \item $\bar{x} = 10$ em uma amostra de tamanho $n=3$;
  \item o máximo $x_{(5)} = 8$ em uma amostra de tamanho $n=5$;
  \item o mínimo $x_{(1)} = 7.5$ em uma amostra de tamanho $n=4$
  \end{enumerate}

\item Obtenha estimativas de máxima verossimilhança para os dois problemas anteriores

\item Seja $X$ uma v.a. com distribuição uniforme $X \sim U(0, \theta)$. 

Uma amostra aleatória forneceu os seguintes valores: 5,5; 3,2; 4;8, 5,3; 3,8 e 5,0.
Obtenha a função de verossimilhança e um (ou mais) intervalo(s)  adequado(s) especificando a forma de obtenção.

\item Seja $X$ uma v.a. de uma distribuição de Poisson ($X \sim P(\lambda)$) 
  para a qual foi obtida a seguinte amostra aleatória: (3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 0)
  \begin{enumerate}
  \item Obtenha a função de verossimilhança, sua aproximação quadrática e intervalos para  $\lambda$.
  \item Repita a questão anterior para a reparametrização $\theta = \log(\lambda)$.
  \item  Obtenha ainda (por pelo menos dois métodos diferentes) intervalos de confiança para o parâmetro $\lambda$
    a partir da função de verossimilhança (aproximada ou não) de $\theta$.
  \end{enumerate}
  

\end{enumerate}

\end{document}
