\section{Metodologia} \label{met}

A modelagem de variáveis binárias pode ser feita via regressão logística. 
A regressão logística é um caso particular dos modelos de regressão da 
família exponencial, os chamados modelos lineares 
generalizados~\cite{nelder:72}. 
Em dados de incidência de doenças em plantas, o modelo de 
regressão logística usual não é adequado.
Na maioria dos casos não há indepêndencia das observações. 
Espera-se que plantas próximas tenham características similares, 
particularmente, que a localização das plantas doentes apresentem 
algum padrão espacial. 
Quando as plantas são dispostas em linhas e colunas 
em uma área, talhão ou \textit{lattice}, pode-se utilizar 
um modelo autoregressivo espacial para dados binários, onde as 
observações vizinhas são utilizadas como covariadas. 

\subsection{Especificação do modelo autologístico} \label{sec:especificacao}

No modelo autologístico, a probabilidade de sucesso é modelada como 
combinação linear de presença ou ausência de sucesso em locais vizinhos e 
de covariadas que captam informações adicionais nesses locais: 
\begin{equation}
P(Y=y_{i}|x_{ji},y_{(i)})=logit(y_{i})=\sum_{j=1}^{p}\beta_{j}x_{ji}+\sum_{k=1}^{q}\gamma_{k}y_{(i)} 
\; ,
\end{equation}
onde $y_{(i)}$ é o vetor de observações sem a i-ésima observação, 
$\beta_{j}$ mede a influência da covariada $x_{j}$ e $\gamma_{k}$ mede a 
influência de vizinhança de ordem $k$. 
No caso de {\it lattices} essa expressão pode ser reescrita como
\begin{equation}
P(Y=y_{kl}|x_{kl},y_{(kl)})=logit(y_{kl})=\sum_{j=1}^{p}\beta_{j}x_{kl}+\sum_{k=1}^{q}\gamma_{k}y_{(kl)} 
\; ,
\end{equation}
 onde o índice $kl$ indica a posição da observação na linha $k$ e 
na coluna $l$.

Um {\it lattice} $D$ é uma região com $n$ posições, cada uma descrita 
pelas coordenadas $(k,l)$ especificando a linha e coluna do {\it 
lattice} que a observação é alocada.
Em cada posição é observada uma resposta binária $y_{k,l}$, onde 
$y_{k,l}$ tem valor 1 na presença da variável de interesse e 0 caso 
contrário, e um vetor $p\times 1$ de covariadas $x_{k,l}$. As respostas 
binárias de $n$ posições correspondem a 
$Y=(y_{k,l},(k,l)\in D)$ que constituem um mapa da ocupação da variável de 
interesse~\citeonline{he:03}.

A expressão do modelo autologístico é dada por
\begin{equation}
Pr(Y_{k,l}=y_{k,l}|x_{k,l},y_{(k,l)}, (k,l) \in 
D)=\frac{exp\{\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l}+\sum_{t=1}^{q}\gamma_{t}y_{(k,l)}\}}{1+ 
exp\{ 
\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l}+\sum_{t=1}^{q}\gamma_{t}y_{(k,l)}\}} \; , 
\end{equation}
onde os $\beta's$ são parâmetros de regressão e $\gamma's$ são os 
parâmetros de autocorrelação espacial, $x_{k,l}$ representam as covariadas 
e $y_{(k,l)}$ representam as covariadas de vizinhança.


\paragraph{Estrutura de Vizinhança:}

A estrutura de vizinhança pode ser 
construída de diferentes formas, considerando simplesmente a ordem ou 
considerando linhas e colunas separadamente.
Na Figura~\ref{fig:viz} estão representadas algumas estruturas de vizinhança.

\begin{figure}[htb] 
  \begin{center}
    \caption{Estruturas de vizinhança: primeira ordem, segunda ordem e 
segunda ordem separadamente}
    \label{fig:viz} 
    \vspace{0.2cm}
    \includegraphics[angle=0,scale=0.7]{/home/elias/Projetos/FUNDECITRUS/msc/autologistic/figs/viz.eps}
%%% {\scriptsize Fonte: Indicar procedência.}\\
%%% {\scriptsize Nota: Alguma especificação geral.}
  \end{center}
\end{figure}

Na estrutura de vizinhança de segunda ordem separadamente, 
a primeira covariada inclui informações dos dois vizinhos na mesma 
linha em colunas adjacentes, posições $(k,l+1) $ e $(k,l-1)$.
A segunda covariada inclui informações dos dois vizinhos na mesma coluna 
em linhas adjacentes, posições $(k-1, l)$ e $(k+1,l)$,  
a terceira covariada, que inclui dois vizinhos da diagonal $(-1,1)$, 
posições $(k-1,l+1)$ e $(k+1,l-1)$.
E a quarta covariada inclui dois vizinhos da diagonal $(1,1)$, posições 
$(k-1,l-1)$ e $(k+1,l+1)$. 
Esta estrutura mais flexível é particularmente útil
no caso com doenças de plantas que possuem espaçamento
diferente entre linhas e colunas.

\subsection{Inferência para o modelo autologístico} \label{sec:infmodaut}

No modelo autologístico não é possível obter a expressão 
da função de verossimilhança para a estimação dos parâmetros
do modelo. A probabilidade de sucesso de uma 
observação $s_{k,l}$, neste modelo, é condicional 
ao \textit{status} das outras observações $v_{k,l}$. 

\subsubsection{Estimação por pseudo-verossimilhança}

\cite{besag:72} sugere um método de estimação que maximize uma função de 
pseudo-verossimilhança para o modelo ajustado, dada por:
\begin{eqnarray} 
l_{ps}& = &\sum_{(k,l)\in D} ln[P(Y_{k,l}=y_{k,l}|todos \; os \; outros 
\; valores)]\nonumber \; , \\ 
l_{ps}& = &\sum_{(k,l)\in D}\{y_{k,l}f_{k,l}(\theta)-ln[ 
1+\exp(f_{k,l}(\theta))]\} \nonumber\;,
\end{eqnarray}
onde 
$f_{k,l}(\theta)=\beta_{0}+\beta_{1}x_{k,l}^{T}+\gamma_{1}y_{(k,l)}+\gamma_{2}y_{(k,l)}+\gamma_{3}y_{(k,l)}+\gamma_{4}y_{(k,l)},$ e 
$\theta=(\beta_{0},\beta^{T}_{1},\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, 
\gamma_{4})^{T}$

Neste método não há grandes problemas ao estimar os efeitos, porém as 
estimativas de variância dos efeitos são subestimadas. 
É preciso um procedimento alternativo para reestimar os 
erros-padrão das estimativas. 
O procedimento proposto por~\cite{besag:72} é o método de 
Bootstrap paramétrico. 

\subsubsection{Estimação pelo método de Bootstrap}

A metodologia bootstrap, consiste em gerar amostras dos dados originais 
para estimar a quantidade de interesse com estas amostras, ou seja, 
simular $N$ {\it lattices} $(\tilde{y}^{1},...,\tilde{y}^{N})$. 
Devido ao fato de que cada $y_{i}^{t}$ estar condicionada a posição 
original dentro do {\it lattice}, é preciso preservar esta condição em 
cada amostra simulada. Para considerar isso, o procedimento bootstrap 
deve ser paramétrico. Neste caso, deve-se ter informação suficiente 
sobre a forma da distribuição dos dados. 
O modelo autologístico é ajustado aos dados observados, 
pelo método da pseudo-verossimilhança, $\gamma_{t}^{0}$. 
As estimativas dos parâmetros são obtidas a partir dos $N$ $\gamma^{t}$, 
obtidos do modelo ajustado ao $N$ $\tilde{y}^{t}$ simulados. 
Devido a configuração dos dados, esse procedimento de reamostragem só é 
possível utilizando o algoritmo amostrador de Gibbs.

\paragraph{Amostrador de Gibbs:}

O amostrador de Gibbs é um procedimento de amostragem baseada em 
distribuições condicionais. 
A idéia desse amostrador é de retirar amostras sucessivas da 
distribuição de cada dado em particular, condicionado a todos os outros.

Construímos um algoritmo de Gibbs para obter $N$ amostras $\hat{\gamma}$ 
da seguinte forma: 
\begin{enumerate}
\item Iniciar com os dados observados, e fazer um ciclo pelas 
  plantas atualizando cada planta em ordem aleatória.
\item Para atualizar cada planta deve-se simular o status (doente/sadia) 
de acordo com o 
  modelo ajustado dos dados observados e o estado atual dos vizinhos.
\item Uma varredura completa é realizada após atualizar o status de 
  todas as plantas uma vez.
\item Ajustar o modelo com os dados atuais e guardar as estimativas 
  dos parâmetros.
\item Repetir os passos anteriores $N$ vezes.
\end{enumerate}

Para obter a estimativa de $\gamma$ é preciso simular $y_{t}$ 
de $P(y_{i}^{t}|y_{i-1}^{t-1})$, onde $y_{i-1}^{t-1}=(y_{0}^{t}, ..., 
y_{i-1}^{t}, y_{i+1}^{t-1}, ..., y_{n}^{t-1})$ são as observações atuais 
da cadeia, 
reconstruir as covariadas de vizinhança e obter as estimativas de 
$\hat{\gamma}$ ajustando um \acronym{GLM} usual. 
Os $N$ vetores de $\hat{\gamma}$ são utilizados para obter o erro-padrão 
para $\hat{\gamma}$ estimado com os dados observados. 

\subsubsection{Inferência via método de Monte Carlo}

O método de Monte Carlo é o procedimento mais simples para se fazer 
inferência sobre parâmetros, a respeito dos quais desconhecemos 
a distribuição e, consequentemente, uma estatística de teste. 
Esse método consiste em obter amostras do parâmetro de interesse sob 
hipótese a nula. Isso é feito ajustando-se o modelo proposto à dados 
simulados sob a hipótese nula. 
A partir das amostras dos parâmetros obtida, 
obtem-se a distribuição empírica dos parâmetros sob a hipótese 
nula. O valor observado na amostra de dados reais é avaliado 
na distribuição empírica obtida e o valor-p é obtido.

No caso do ajuste do modelo autologístico à dados de incidência de 
doenças em plantas, a hipótese nula é que não há dependência 
espacial ou o padrão espacial é aleatório. Então, ao se 
ajustar o modelo autologístico, os parâmetros das covariáveis 
de vizinhança não serão significativamente diferentes de zero. 
A amostra desses parâmetros sob a hipótese de padrão aleatório 
é obtida a partir de uma distribuição aleatória das plantas, 
doentes e sadias. 

O algoritmo de Monte Carlo nesse caso é dado pelos passos:
\begin{enumerate}
\item Ajustar o modelo autologístico aos dados reais;
\item Aleatorizar as plantas no talhão;
\item Ajustar o modelo autologístico aos dados aleatorizados;
\item Repetir os passos $2$ e $3$ $N$ vezes,
\item Comparar as estimativas do passo $1$ com as estimativas do passo $3$.
\end{enumerate}

O método de Monte Carlo é mais simples que o método de bootstrap e 
sua aplicação extremamente mais rápida. 
A vantagem do procedimento de bootstrap é que são obtidas 
estimativas por intervalo para os parâmetros. 
Porém, o método de Monte Carlo traz resultados muito 
semelhantes sobre a hipótese de dependência espacial, tornando-se 
uma opção aplicável a grandes conjuntos de dados.

\subsection{Covariadas de vizinhança no período de tempo anterior}

Existem situações onde as observações são medidas em diferentes períodos 
de tempo. Neste caso podería-mos ajustar um modelo autologístico para 
as observações em cada um dos períodos. 
Uma proposta é modelar os dados de um período de tempo $t$, utilizando 
as covariadas de vizinhança no período de tempo anterior $t-1$. 

Esta abordagem permite explorar o potencial preditivo do modelo. 
Pois o modelo ajustado em cada avaliação, tendo como base as covariadas 
do tempo anterior, pode ser utilizado para predizer a incidência no 
tempo futuro, baseado nas covariadas de vizinhança do período atual. 

A expressão do modelo autologístico, neste caso, é dada por
\begin{equation}
Pr(Y_{k,l}=y_{k,l}^{t}|x_{k,l},y_{(k,l)}^{t-1}, (k,l) \in 
D)=\frac{exp\{\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l}+\sum_{t=1}^{q}\gamma_
{t}y_{(k,l)}^{t-1}\}}{1+ 
exp\{ 
\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l}+\sum_{t=1}^{q}\gamma_{t}y_{(k,l)}^{t-1}\}} \; , 
\end{equation}
onde os $\beta's$ são parâmetros de regressão e $\gamma's$ são os 
parâmetros de autocorrelação espacial, $x_{k,l}$ representam as covariadas  
e $y_{(k,l)}^{t-1}$ representam as covariadas de vizinhança.

Nessa situação, não há indução de autocorrelação pelo uso repetitivo 
das observações. 
Portanto a estimação dos parâmetros de variância, podem ser feitas 
por pseudo-verossimilhança, ou seja, 
as estimativas fornecidas pelo modelo de regressão logística usual.

\subsection{Covariadas de vizinhança no tempo atual e anterior}

A partir do modelo ajustado com covariadas no tempo anterior, 
podemos testar se ainda sobrou algum efeito possível de ser explicado 
pelas covariadas no tempo atual. Ou seja, construir o modelo 
autologístico considerando covariadas no período de tempo atual e 
período de tempo anterior em um mesmo modelo. A expressão do 
modelo é dada por 

\begin{equation}
Pr(Y_{k,l}=y_{k,l}^{t}|x_{k,l},y_{k,l}^{t}, 
y_{(k,l)}^{t-1}, (k,l) \in D)=
\frac{exp\{ \eta^{*} \}}{1+ 
exp\{ \eta^{*} \}} \; , 
\end{equation}
onde $\eta^{*}$ é dado por 
\[\sum_{j=0}^{p}\beta_{j}x_{k,l}+\sum_{t=1}^{q} 
\gamma_{t}y_{(k,l)}^{t}+\gamma_{t}y_{(k,l)}^{t-1} \; .\] 

Aqui covariadas de vizinhança estão tanto no período de 
tempo anterior, $t-1$ quanto no período de tempo $t$. 
Neste caso os erros-padrão das estimativas dos parâmetros no 
tempo $t$ precisam ser estimados pelo procedimento de reamostragem, 
pois há a indução de autocorrelação e os erros padrões usuais 
não são apropriados. 
